Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou vetory v bázi { i j, }, P pltí u v = 0, právě dyž u, v jsou olieárí vetory, u v = - ( v u ), vetorový souči je tiomuttiví, 3 u ( v + w ) = u v + u w, 4 α (u v ) = α u v = u α v pro libovolé α R j j = = 0, i j =, Vět: Nechť u, v jsou eulové eolieárí vetory P pltí: Vetorový souči u v je olmý oběm vetorům u, v u v = u v si ϕ, de ϕ je úhel vetorů u, v 3 Soustv vetorů u, v, u v je v tomto pořdí prvotočivá Def: Smíšeým součiem vetorů Vět: Pro smíšeý souči vetorů u u u 3 u, v, w zýváme číslo u ( v w) u, v, w pltí u ( v w) = v w v w v 3 w 3, de u = u i + u j + u 3, v = v i + v j + v 3, Chyb! Chybé propojeí, u ( v w) = v ( w u ) = w( u v ) 3 je ezáporý, právě dyž ásledují vetory u, v, w v ldé orietci, 4 ejsou-li vetory omplárí, je bsolutí hodot jejich smíšeého součiu rov objemu rovoběžostěu sestrojeému z těchto vetorů, 5 jsou-li vetory omplárí, je smíšeý souči rove ule Def: Normál je ždá olmá přím příslušé roviě Normálový vetor je te, terý lze umístit do libovolé ormály dé roviy Rozbor obecé rovice roviy: Je-li d = 0, rovi prochází počátem soustvy souřdic Je-li = 0, rovi je rovoběžá s osou x, obdobě pro b = 0 ebo c = 0 3 Je-li = b =0, rovi je rovoběžá se souřdou roviou xy o rovici z = ost, obdobě = c = 0, resp b = c = 0 4 Rovice z = 0, y = 0, x = 0 vyjdřují postupě souřdé roviy xy, xz, yz
Vět: Rovice roviy určeé třemi eolieárími body A = [x, y, z ], B = [x, y, z ], C = [x 3, y 3, z 3 ] má tvr x x y y z z x x 3 x x y y 3 y y z z 3 z z = 0 Pozám: Prmetricá rovice roviy určeé třemi body je X = A + t u + su 3 ebo rozepsé do slože x = x + t (x x ) + s(x 3 x ) y = y + t (y y ) + s(y 3 y ) z = z + t (z z ) + s(z 3 z ), t, s R Vět: Vzdáleost v bodu A = [x, y, z ] od roviy x + by + cz + d =0 je x + by + cz + d v = + b + c Vět: Odchylou dvou rovi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 je ostrý ebo prvý úhel ϕ jejich ormálových vetorů = (, b, c ), = (, b, c ), tz cos ϕ = Def: Svzem rovi zýváme možiu všech rovi procházejících pevou přímou (osou svzu) ebo možiu všech vzájem rovoběžých rovi Vět: Rovici svzu rovi, terý je urče rovimi o rovicích x + b y + c z + d = 0, x + b y + c z + d = 0 lze zpst ve tvru α ( x + b y + c z + d ) + β ( x + b y + c z + d ) = 0, de α, β jsou libovolá reálá čísl, z ichž spoň jedo je růzé od uly Pozám: Uvžujme tři roviy o rovicích x + b y + c z = d x + b y + c z = d 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Je-li h(a) = h(a r ) = 3, roviy mjí právě jediý společý bod Je-li h(a) = h(a r ) =, roviy ptří témuž svzu 3 Je-li h(a) = h(a r ) =, všechy tři roviy jsou totožé 4 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, roviy se protíjí ve vzájemě rovoběžých průsečicích 5 Je-li h(a) =, h(a r ) = 3, jde o tři růzé vzájem rovoběžé roviy 6 Je-li h(a) =, h(a r ) =, roviy jsou rovoběžé, le dvě z ich splývjí Vět: Pro ostrý ebo prvý úhel ϕ dvou příme se směrovými vetory s p pltí vzth s p cos ϕ = s p
Vět: Pro odchylu ϕ přímy se směrovým vetorem s roviy s ormálovým vetorem pltí si ϕ = s s Pozám: Vzdáleost bodu A od přímy p určíme jo vzdáleost bodu A od jeho prvoúhlého průmětu A přímu Prvoúhlý průmět A určíme jo průsečí přímy p s roviou olmou přímce p jdoucí bodem A Def: Jestliže 0,,, jsou libovolá reálá, popř omplexí čísl je ezáporé celé číslo, p výrz P(x) = 0 + x+ + x, 0, zýváme (reálým, popř omplexím) polyomem proměé x stupě Rovici P(x) = 0 zýváme lgebricou rovicí stupě Def: Kořeem eboli řešeím lgebricé rovice P(x) = 0 rozumíme ždé číslo c, teré této rovici vyhovuje, tz P(c) = 0 Lieárí dvojčle x c zýváme ořeový čiitel (ftor) lgebricé rovice Záldí vět lgebry: Kždá lgebricá rovice stupě má spoň jede omplexí oře Def: Číslo c se zývá -ásobý oře lgebricé rovice P(x) = 0, právě dyž pro ždé omplexí číslo x pltí P(x) = (x c) Q(x), de Q(c) 0 Vět: Algebricá rovice P(x) = 0 stupě má v tělese omplexích čísel právě ořeů c,, c pltí P(x) = (x c ) (x c ) (x c ) Def: Reálá čísl, terá jsou ořey lgebricých rovic P(x) = 0, de P(x) je libovolý polyom s celočíselými oeficiety se zývjí lgebricá Osttí reálá čísl se zývjí trscedetí Vět: Má-li lgebricá rovice P(x) = 0 s reálými oeficiety imgiárí oře c = u + iv, p má té omplexě sdružeý oře c = u iv Vět: Mezi oeficiety ormové lgebricé rovice x + - x - + + x + 0 = 0 jejími ořey c,, c pltí tzv Viètovy vzthy (symetricé fuce ořeů) c = - = (c + c + + c ) = - = c c + + c c + c c 3 + + c - c = i -3 = c c c 3 + c c c 4 + c - c - c = 0 = ( ) c c c, c, i c c c j, i c i j Def: Biomicou rovicí zýváme rovici x = 0, de je libovolé omplexí číslo
Vět: Biomicá rovice x = 0, 0, má v možiě omplexích čísel růzých ořeů α + π α + π c = (cos + i si ), = 0,,, Pozám: Kždé omplexí číslo růzé od uly má v možiě omplexích čísel od sebe růzých -tých odmoci, tz omplexích čísel c tových, že c = Řešit biomicou rovici x = 0, zmeá jít všechy -té odmociy z 3 Body předstvující obrzy ořeů biomicé rovice x = 0 tvoří vrcholy prvidelého -úhelí Vět: Normová vdrticá rovice x + px + q = 0 má v C dv ořey p ± p x, = 4q, pro teré pltí Viètovy vzthy x + x = p, x x = q Pozám: Kořey vdrticé rovice x + bx + c = 0 s omplexími oeficiety jsou omplexí čísl x, = čísl b 4c b ± b 4c, de b 4c je jed ze dvou druhých odmoci Pozám: Pro ořey rovice x 3 + x + x + 0 = 0 pltí Viètovy vzorce x + x + x 3 = x x + x x 3 + x x 3 = x x x 3 = 0 Def: Triomicou rovicí zýváme rovici x + bx + c = 0 pro 0 Vět: Substitucí x = y převádíme řešeí triomicé rovice řešeí vdrticé rovice dvou rovic biomicých Def: Algebricou rovici x + - x - + + x + 0 = 0, pro jejíž oeficiety, = 0,,,, pltí vzth ) = - zýváme ldě reciproou, b) = - zýváme záporě reciproou Vět: Kždá reciproá rovice má s ořeem c i oře c Vět: Kždá ldě reciproá rovice lichého stupě ždá záporě reciproá rovice sudého stupě má oře Kždá záporě reciproá rovice má oře + Důslede: Po přípdém vytutí ořeových čiitelů x x + lze ždou reciproou rovici převést ldě reciproou rovici sudého stupě Vět: Zvedeme-li do ldě reciproé rovice P(x) = 0 sudého stupě ovou ezámou vzthem y = x + x přejde rovici Q(y) = 0 stupě
Def: Nechť,, b,,b jsou dvě báze vetorového prostoru V Nechť P = (p ij ) je tová čtvercová mtice stupě, že pro ždé i =,, pltí b i = p i + p i + + p i P P se zývá mtice přechodu od báze,, bázi b,,b Vět: Nechť P je mtice přechodu od báze libovolý vetor V pltí souřdic vetoru,, bázi b,,b v prostoru V Pro x = x P -, de x je vetor původích x vetor ových Def: Nechť m, jsou přirozeá čísl Zobrzeí A rtézsého součiu,,, m,,, do možiy všech reálých čísel zveme reálou mticí typu (m, ) { } { } Def: Mtici 0 zýváme ulovou, má-li všechy prvy rovy ule Čtvercovou mtici I = ( ij ) stupě zýváme jedotovou, jestliže všechy prvy hlví digoály jsou rovy jedé, tz ii = pro ždé i =,,, všechy osttí prvy jsou rovy ule Def: Mtici A T typu (, m), terá vzie z mtice A typu (m, ) záměou řádů z sloupce (bez změy jejich pořdí) zveme mticí trspoovou mtici A Čtvercová mtice A se zývá symetricá, jestliže A = A T Def: Nechť A = ( ij ), B = (b ij ) jsou mtice téhož typu (m, ) Součet A + B těchto mtic defiujeme jo mtici C = (c ij ) opět typu (m, ), pro terou c ij = ij + b ij pro všech i =,, m, j =,, Vět: Pro libovolé mtice A, B, C stejého typu pltí A + B = B + A omuttivost sčítáí, (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C - socitivost sčítáí Def: Souči reálého čísl mtice A = ( ij ) typu (m, ) defiujeme jo mtici B = (b ij ) typu (m, ), pro jejíž všechy prvy pltí b ij = ij Vět: Pro libovolé mtice A, B stejého typu reálá čísl, pltí ( + ) A = A + A, (A + B) = A + B, 3 ( A) = ( ) A Def: Nechť A = ( ij ) je mtice typu (m, p) b = (b ij ) je mtice typu (p, ) Součiem AB těchto mtic rozumíme mtici C = (c ij ) typu (m, ) tovou, že c ij = i b j Vět: Nechť A, B, C jsou tové mtice, že existují dále uvedeé součiy P pltí (AB) C = A (BC) socitivost ásobeí, (A + B) C = AC + BC prvý distributiví záo, 3 C (A + B) = CA + CB - levý distributiví záo Vět: Mticová rovice A + X = B, de A, B jsou mtice stejého typu, má právě jedo řešeí X = B A, dále pltí A+ X = A X = 0 p =
Vět: Pro libovolou čtvercovou mtici A stupě pltí AI = IA = A, de I je jedotová mtice stupě Def: Je-li A čtvercová mtice stupě, p defiujeme A o = I, A = A, A = A - A pro libovolé přirozeé číslo Mticí A zýváme -tou mociou mtice A Def: Čtvercovou mtici zveme ilpotetí, jestliže pro ějé přirozeé číslo pltí A =0 Def: Přirozeé číslo, udávjící mximálí počet lieárě ezávislých řádů (resp sloupců) mtice, zýváme řádovou (resp sloupcovou) hodostí mtice Vět: Řádová sloupcová hodost libovolé mtice se rovjí Hovoříme tedy o hodosti h(a) mtice A typu (m, ), pro terou pltí h(a) mi (m, ) Vět: Hodosti vzájem trspoových mtic jsou stejé Def: Nechť A je čtvercová mtice stupě Jestliže h(a) =, říáme, že mtice A je regulárí Jestliže h(a), říáme, že mtice A je sigulárí Def: Mtice A = ( ij ) typu (m, ) se zývá trojúhelíová, dyž m pro i =,, m je ii 0 ij = 0 pro j i Vět: Hodost trojúhelíové mtice je rov počtu jejích řádů Vět: Mtice A B mjí stejou hodost, jestliže jed ze druhé vzie spoň jedou z těchto úprv: záměou pořdí libovolých řádů, vyecháím ebo přidáím ulového řádu, 3 vyecháím ebo přidáím řádu, terý je lieárí ombicí osttích řádů, 4 ásobeím libovolého řádu číslem růzým od uly, 5 přičteím dému řádu lieárí ombice osttích řádů Def: Uvedeé úprvy mtic ozčujeme jo evivletí příslušé mtice A, B zýváme evivletí Píšeme A ~ B Def: Čtvercovou mtici A zýváme iverzí mticí mtici A stejého stupě, jestliže pltí A A = A A = I Vět: Jestliže čtvercová mtice je regulárí, p í existuje právě jed iverzí mtice Jestliže je čtvercová mtice sigulárí, iverzí mtice í eexistuje Gussov metod iverze mtice Elemetárí úprvou ve čtvercové mtici rozumíme záměu libovolých řádů, vyásobeí ěterého řádu eulovým reálých číslem, 3 přičteí -ásobu jistého řádu jiému řádu Tyto elemetárí úprvy se djí vyjádřit jo souči původí mtice tzv mtice elemetárích úprv, terá vzie z jedotové mtice záměou příslušých řádů, vyásobeím příslušého řádu eulovým reálým číslem,
3 přičteím -ásobu příslušého řádu jiému řádu Vět: Jsou-li A, B regulárí mtice stejého stupě, p jejich souči AB je opět regulárí mtice pltí (AB) - = B - A - Vět: Je-li A mtice typu (m, ), B mtice typu (, p), p (AB) T = B T A T Jsou-li A, B mtice stejého typu, p (A+B) T = A T + B T 3 Je-li A regulárí mtice, p (A - ) T = (A T ) - Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (, p) P mticová rovice AX = B má právě jedié řešeí X = A - B Vět: Nechť A je regulárí mtice stupě B libovolá mtice typu (m, ) P mticová rovice XA = B má právě jedo řešeí X = BA - Def: Dvojice i, j se zývá iverze v permutci () =,,,, jestliže i j i j Def: Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice stupě Reálé číslo α det A = A = ( ) ( ), de sčítáme přes všechy permutce () čísel,,, α je počet iverzí v permutci (), se zývá determit mtice A Vedoucím čleem determitu rozumíme souči prvů hlví digoále mtice A Lplceov vět o rozvoji determitu: Nechť A je čtvercová mtice stupě P pro ždé i =,,, pltí det A = r= determitu vyecháím i-tého řádu r-tého sloupce i+ r ( ) ir M ir, de M ir je subdetermit vzilý z dého Vět: Pro vzájem trspoové čtvercové mtice pltí det A = det A T Vět (o řdových úprvách determitu): () Násobíme-li libovolou řdu determitu číslem, p se číslem ásobí celý determit (b) Vyměíme-li v determitu dvě rovoběžé řdy, p determit změí zméo (c) Přičteme-li ěteré řdě determitu libovolou lieárí ombici řd s í rovoběžých, p se hodot determitu ezměí Důsledy: Společý čiitel jedé řdy determitu můžeme vytout před determit Jsou-li v determitu dvě rovoběžé řdy stejé, p je determit rove ule 3 Jsou-li rovoběžé řdy determitu lieárě závislé, p je determit rove ule 4 Je-li determit růzý od uly, p jsou jeho řdy lieárě ezávislé op Vět: Je-li čtvercová mtice A = ( ij ) stupě trojúhelíová, p její determit je rove součiu prvů hlví digoále, tj det A = Vět: Čtvercová mtice A je regulárí, právě dyž její determit je růzý od uly Důslede: Mtice je sigulárí, právě dyž je její determit rove ule
Vět: Neulová mtice A typu (m, ) má hodost h, právě dyž z í lze vybrt spoň jede eulový determit řádu h všechy determity řádu většího ež h vybré z mtice A jsou rovy ule Vět: Jestliže A B jsou čtvercové mtice stejého stupě, potom det AB = det A det B Vět: Je-li A regulárí mtice, p det A - = det A Vět: Je-li A = ( ij ) regulárí mtice stupě, potom iverzí mtice mtici A se dá zpst ve tvru A A A A - A A A = det A, A A A de A ij je lgebricý doplě prvu ij T Defiice: Soustvou m lieárích rovic s ezámými x,, x rozumíme soustvu x + x + + x = b x + x + + x = b m x + m x + + m x = b m, de ij, i =,, m, j =,, b,, b m jsou reálá čísl Mtice A = m m m se zývá mtice soustvy Mtice m m m b b b m se zývá rozšířeá mtice soustvy Vět: Je-li čtvercová mtice A regulárí, p soustv lieárích rovic A x = b má právě jedié řešeí x = A - b
Frobeiov vět: Soustv lieárích rovic má řešeí, právě dyž je hodost mtice soustvy rov hodosti rozšířeé mtice soustvy Vět: Nechť soustv lieárích rovic s ezámými má řešeí Jestliže h(a) =, p má soustv právě jedo řešeí Jestliže h(a), p má soustv eoečě moho řešeí, přičemž z h ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Pozám: Nechť má soustv lieárích rovic eoečě moho řešeí Vzth popisující pomocí prmetrů všech řešeí soustvy, se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volitelé ezámé orétí reálá čísl, dostáváme tzv prtiulárí řešeí soustvy Prtiulárí řešeí soustvy, ve terém jsou volitelé ezámé rovy ule, se zývá záldí řešeí soustvy Def: Mjí-li dvě soustvy lieárích rovic o ezámých tutéž možiu řešeí, zývjí se evivletí Gussov elimičí metod řešeí soustvy lieárích rovic: Rozšířeou mtici dé soustvy uprvíme trojúhelíový tvr Této trojúhelíové mtici přiřdíme soustvu, terou řešíme odspodu Jordov metod řešeí soustv lieárích rovic (metod úplé elimice): Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíový tvr V trojúhelíové mtici logicy odspodu vyulujeme prvy d hlví digoálou 3 N hlví digoále tto zísé mtice vytvoříme jedičy 4 Výsledé mtici přiřdíme soustvu Def: Homogeí soustvou zýváme soustvu lieárích rovic, v íž všech čísl prvých strách rovic jsou uly Vět: Homogeí soustv lieárích rovic s ezámými má vždy řešeí Je-li h(a) =, p má jedié řešeí x = (0,, 0) Je-li h(a), p má eoečě moho řešeí, přičemž z h(a) ezámých lze volit libovolá reálá čísl osttí ezámé jsou určey jedozčě Vět: Obecé řešeí homogeí soustvy lieárích rovic je lieárí prostor dimeze h, de je počet ezámých h hodost mtice soustvy Vět: Nechť ehomogeí soustv lieárích rovic má řešeí P obecé řešeí ehomogeí soustvy je rovo součtu libovolého prtiulárího řešeí ehomogeí soustvy obecého řešeí odpovídjící homogeí soustvy Vět (Crmerovo prvidlo): Jestliže mtice A soustvy lieárích rovic o ezámých x,, x je regulárí, p má tto soustv právě jedo řešeí, teré se dá zpst ve tvru det A j x j =, j =,,,, de A j je mtice, terá vzie z mtice A áhrdou j-tého det A sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy
Def: Kždou podmožiu R rtézsého součiu A B zveme biárí relcí mezi možimi A, B V přípdě A = B hovoříme o biárí relci v možiě A Def: Relcí evivlece v možiě A rozumíme ždou relci R v A, terá je reflexiví, tj pro všech x A je [x, x] R, symetricá, tj [x, y] R [y, x] R, 3 trzitiví, tj [x, y] R [y, z] R [x, z] R Def: Rozldem možiy A zveme ždý systém moži ϕ P(A), ϕ = { A } tový, že Ø ϕ, A A l = Ø pro l, 3 A = A, de A ϕ Def: Nechť R A B je libovolá relce Iverzí relcí relci R rozumíme tovou relci R - B A, pro terou pltí [y, x] R -, právě dyž [x, y] R Def: Složeou relcí R = R o R relcí R, R v možiě A zýváme tovou relci R v možiě A, jejímiž prvy jsou právě všechy uspořádé dvojice [x, y] A, pro teré existuje prve z A tový, že [x, z] R [z, y] R Vět: ) (R o S) - = S - o R - b) (R o S) o T = R o (S o T) socitivost sládáí Def: Biárí relci U A B zveme zobrzeím z možiy A do možiy B, právě dyž e ždému x A existuje ejvýše jedo y B tové, že [x, y] U V přípdě A = B hovoříme o zobrzeí v možiě A Def: Je-li O (U) = A říáme, že U je zobrzeím možiy A do B Je-li O (U) = B říáme, že U je zobrzeím z možiy A B (surjetiví zobrzeí eboli surjece) 3 Říáme, že zobrzeí U z možiy A do B je prosté zobrzeí z A do B, právě dyž pro ždé dvě dvojice [x, y ] U, [x, y ] U pltí x x y y (ijetiví zobrzeí eboli ijece) 4 Prosté zobrzeí U možiy A B zýváme vzájemě jedozčé zobrzeí A B (bijetiví zobrzeí eboli bijece) Vět: Nechť U je zobrzeí z možiy A do B Relce U - je iverzí zobrzeí U, právě dyž U je prosté zobrzeí z A do B Vět: Nechť U je zobrzeí z A do B, V zobrzeí z B do C P relce U o V je zobrzeí z A do C Def: Uárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí možiy A do A Biárí opercí v možiě A zýváme zobrzeí A A do A
Def: Uspořádá -tice reálých čísel se zývá -čleý (-rozměrý) ritmeticý vetor Vět: Pro libovolé vetory, b, c R pltí + b = b + - omuttivost sčítáí ( + b ) + c = + ( b + c ) - socitivost sčítáí 3 + 0 =, de 0 = (0,, 0) je tzv ulový vetor (eutrálí prve pro sčítáí) 4 pro ždý vetor existuje právě jede vetor b t, že pltí + b = 0 (opčý vetor b = vzhledem ) Def: Nechť R, = (,, ) R Vetor = (,, ) R zýváme -ásobe vetoru Vět: Pro libovolá čísl, R vetory, b, c R pltí: ( + b ) = + b, ( + ) = + - distributiví záoy pro ásobeí vetoru číslem ( ) = ( ) socitiví záo pro ásobeí vetoru číslem 3 = Def: Moži T mjící spoň dv prvy spolu s opercemi +, se zývá těleso, jestliže pltí: + b = b +, (+b) + c = + (b + c) 3 + 0 =, tz existece eutrálího prvu vzhledem e sčítáí (ulový prve) 4 pro ždé existuje právě jedo b t, že + b = 0 (b = - ) 5 b = b 6 (b)c = (bc) 7 =, tz existece eutrálího prvu vzhledem ásobeí (jedotový prve) 8 pro ždé 0 existuje právě jedo b t, že b = (b = - = ) 9 ( + b) c = c + bc Def: Nechť V je eprázdá moži, teré je defiová operce + echť T je těleso Řeeme, že V je lieárí (vetorový) prostor d T, jestliže pltí: V spolu s opercí + má vlstosti 4 z defiice těles Je defiová operce ásobeí prvů z V prvy těles T t, že pltí vlstosti z předchozí věty Prvy lieárího (vetorového) prostoru zýváme vetory Vět: Pro t 0 má v libovolém vetorovém prostoru rovice + t x = b právě jedié řešeí Def: Nechť (W,, ) (V, +, ) jsou vetorové prostory d tělesem T Řeeme, že (W,, ) je vetorovým podprostorem prostoru (V, +, ), jestliže pltí W V b = + b, =, pro ždé, b W ždé T
Vět: Nechť W V, W Ø, de V je vetorový prostor d tělesem T (W, +, ) je vetorový podprostor V, právě dyž pro libovolá, b W libovolé t T pltí + b W, t W (W je uzvřeá vzhledem e sčítáí i ásobu) Def: Řeeme, že vetor je lieárí ombicí vetorů,, reálá čísl λ,, λ tová, že pltí = λ + + λ, právě dyž existují Def: Řeeme, že vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž existují reálá čísl λ,, λ, z ichž spoň jedo je růzé od uly, tová, že pltí λ + + λ Řeeme, že vetory,, jsou lieárě ezávislé, ejsou-li lieárě závislé = 0 Vět: Vetory,, jsou lieárě závislé, právě dyž spoň jede z ich je lieárí ombicí osttích Vět: Nechť,,, jsou vetory lieárího prostoru V d tělesem T Nechť W je moži všech lieárích ombicí vetorů,,, z V je lieárí podprostor prostoru V Potom W spolu s opercemi Def: Říáme, že podprostor W z předchozí věty je vytvoře vetory,,,,, ebo že je systém geerátorů podprostoru W Podprostor W se zývá lieárí obl možiy vetorů M = {,, } zčíme ho (M) Def: Nechť V je vetorový prostor moži vetorů M V M se zývá báze vetorového prostoru V, jestliže pltí ) (M) = V, b) M je moži lieárě ezávislých vetorů Vět: Systém vetorů e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e = (0, 0,, ) je báze vetorového prostoru R Vět: Nechť V je vetorový prostor d tělesem T, terý má oečou bázi Potom ždé dvě báze prostoru V mjí stejý počet prvů Def: Nechť V je vetorový prostor mjící oečou bázi Počet prvů báze se zývá dimeze prostoru V Řeeme, že prostor má eoečou dimezi, jestliže emá oečou bázi Vět: Kždý prve vetorového prostoru lze jedozčě vyjádřit jo lieárí ombici prvů dé báze tohoto prostoru Def: Tvoří-li vetory,, bází vetorového prostoru V je-li prve b V vyjádře ve tvru b = x + + x vzhledem bázi,,, říáme, že čísl x,, x jsou souřdice vetoru b
Def: Dv lieárí prostory V V se zývjí izomorfí, existuje-li mezi imi vzájemě jedozčé zobrzeí tové, že odpovídá-li prvu V prve V prvu b V prve b V, potom ) prvu + b V odpovídá prve + b V, b) prvu λ V odpovídá prve λ V, de λ R (obecě prve těles T) Vět: Průi, resp součet, dvou podprostorů W, W lieárího prostoru V je opět jeho podprostorem Def: Podprostor W lieárího prostoru V zýváme diretím součtem W = W W podprostorů W, W, jestliže W = W + W W W je triviálí podprostor Vět Dimeze prostoru W W je rov součtu dimezí prostorů W W Def: Říáme, že v dém lieárím prostoru je defiová slárí souči, jestliže je ždé dvojici, b prvů lieárího prostoru přiřzeo reálé číslo (, b ) tové, že pltí (, b ) = ( b, ), ( + b, c ) = (, c) + ( b, c), 3 (, b ) = (, b ), 4 (,) 0, (,) = 0 = 0 Def: Lieárí prostor se zvedeým slárím součiem zýváme eulidovsý prostor Def: Normou (bsolutí hodotou, veliostí, délou) prvu eulidovsého prostoru se zývá reálé číslo = Jedotovým prvem zýváme prve eulidovsého prostoru, jehož orm je rov jedé Vět (Schwrzov erovost): Nechť P pltí (, b ) b Vět (trojúhelíová erovost): Pro libovolé dv prvy + b + b Vět: Pro libovolé prvy 0, = 0 = 0, λ = λ, 3 + b + b Def: Vzdáleostí dvou prvů ρ (, b ) = b = ( b, b), b jsou dv libovolé prvy eulidovsého prostoru, b eulidovsého prostoru pltí, b eulidovsého prostoru libovolé reálé číslo λ pltí, b eulidovsého prostoru se zývá číslo
Def: Nechť E je eulidovsý vetorový prostor W jeho podmoži P ortogoálím doplňem možiy W zýváme možiu W = { E; pro všechy b W je b } Vět: Nechť W, V jsou podmožiy eulidovsého prostoru E P W je podprostor vetorového prostoru E, je-li W V, p V W, 3 součet dimezí vzájem ortogoálích doplňů v -rozměrém prostoru E je rove Vět: Nechť W je podprostor eulidovsého prostoru oečé dimeze P existuje ortoormálí báze podprostoru W Důz: Nechť,, je báze podprostoru W Iducí lze doázt, že existují eulové ortogoálí vetory b,, b, pro teré pltí b = b = + λ b b 3 = 3 + λ3 b + λ 3 b b = + λ b + + b λ Pro libovolé vyásobíme rovost b = + λ b + λ b + + λ b postupě vetory b,, b - využijeme jejich ortogolitu Dosteme pro ždé j =,, - postupě (b, b j) = (, b j ) + λ j (b j, b j ) prvou část rovosti položíme rovu ule, protože chceme, by vetory b, b j byly ortogoálí Tím dosteme rovici, z íž jedozčě vyjádříme λ j Tto lezeme všechy oeficiety λ,, λ -, tím i vetor b Zísé vetory b,, b tvoří ortogoálí bázi podprostoru W Abychom dostli hledou bi ortoormálí bázi c,, c, stčí položit c i = pro i =,, b Pozám: Předcházející důz je ostrutiví Uvedeý postup se zývá Schmidtov ortogolizčí metod V ždém -rozměrém eulidovsém vetorovém prostoru existuje moho ortoormálích bází Ortogolizčí proces báze,, vetorů, čímž zísáme růzé ortoormálí báze i lze zčít od růzých Vět: Nechť W je libovolý podprostor -rozměrého eulidovsého prostoru E Potom libovolý vetor c E se dá pst ve tvru c = + b, de W, b W Vetor se zývá ortogoálí projecí vetoru c do podprostoru W Důz: Je-li c W, p stčí položit c = c + 0, protože 0 W Je-li c W vetory c, c tvoří ortoormálí bázi podprostoru W, p vetory c, c,, c jsou lieárě ezávislé podle Schmidtovy ortogolizčí metody existují čísl λ +,, λ + t, že vetor b = c + λ + c + + λ c je ortogoálí vetory c,, c, což zmeá b W Tedy + c = + b, de W b W
Def: Úhlem dvou eulových prvů terý cos ϕ = (, b) b, b eulidovsého prostoru zýváme úhel ϕ, pro Def: Dv eulové prvy eulidovsého prostoru zýváme ortogoálí, jestliže jejich slárí souči je rove ule Jsou-li všechy prvy báze eulidovsého prostoru po dvou ortogoálí, hovoříme o ortogoálí bázi Jsou-li víc všechy prvy báze jedotové, hovoříme o ortoormálí bázi