SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Normálí rozděleí N Základí soubor: Z R Husoa pravděpodobos: f Dsrbučí fukce: F e e π π Číselé charakersky: Sředí hodoa: E Rozpyl: D Medá: ~ Modus: ˆ Koefce škmos: A Koefce špčaos: A 4 d SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9
Vlasos: Nechť ~ N a a b R; b pak plaí: Y a b ~ N a b b Nechť ~ N pak plaí: ~ N L - ezávslé ~ N pak ~ N Normovaé ormálí rozděleí N Základí soubor: Z R Husoa pravděpodobos: f e π Dsrbučí fukce: F e π Číselé charakersky: Sředí hodoa: E Rozpyl: D Medá: ~ Modus: ˆ Koefce škmos: A Koefce špčaos: A 4 Vlasos: Nechť ~ N pak plaí: a ϕ u ϕ u b Φ u Φ u c u p u p Nechť ~ N pak plaí: a ~ N b F Φ c p u p u ϕ u u e π d Φ u e d π Nechť ~ N Y ~ N. Pak a Y jsou sejé áhodé proměé. SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9
Charakerscká fukce Charakerscká fukce: Nechť je áhodá velča defovaá a pravděpodobosím prosoru Fukc ϕ E e R azveme charakersckou fukcí áhodé velčy. Plaí: Nechť ~ N pak ϕ ep Specálě pro ~ N je ϕ ep SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9
Plaí: a ~ N pak ϕ e emá magárí čás b ~ N pak ϕ e a ϕ d e Důkaz d π Příklad ~ N ϕ ep ϕ ep ϕ d ep d ep d π SP NV-Normala-vlasos 4 Lbor Žák ÚM FSI V 9
Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa Plaí Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa: Nechť posloupos áhodých proměých { L L} splňuje: a jsou po dvou ezávslé b mají sejé rozděleí c mají koečé sředí hodoy a rozpyly: : E : D Pak posloupos sadardzovaých průměrů Y koverguje v dsrbuc k ormovaému ormálímu rozděleí. y C Φ : lm F y Φ y Y y C Φ : lm P < y Φ y y C Φ : lm P edy ~. N Y as < y e d y π. SP NV-Normala-vlasos 5 Lbor Žák ÚM FSI V 9
Plaí cerálí lmí věa modfkace pro součy: Nechť posloupos áhodých proměých { L L} splňuje: a jsou po dvou ezávslé b mají sejé rozděleí c mají koečé sředí hodoy a rozpyly: : E : D Pak plaí: y C : lm P Φ < y F y a posloupos součů L L koverguje v dsrbuc k ormálímu rozděleí N. as. edy & ~ N y C F : lm P < y F y SP NV-Normala-vlasos 6 Lbor Žák ÚM FSI V 9
-rozměré ormálí rozděleí Defce: Nechť L Σ j j L Σ Σ Náhodý vekor L ~ N Σ má rozděleí áhodá velča c ~ N c c Σc. jeslže pro c R má Mace Σ je symercká Σ Σ pozvě semdefí c R c Σ c. j j L Číslo r hσ se azývá hodosí ormálího rozděleí N Σ Je-l r pak rozděleí se azývá regulárí. Je-l r < pak rozděleí se azývá sgulárí. Pro : > regulárí sgulárí Plaí: Je-l ~ N Σ pak E a var Σ. Plaí: m Je-l ~ N Σ a R Bm pak Y a B ~ Nm a B BΣB SP NV-Normala-vlasos 7 Lbor Žák ÚM FSI V 9
Plaí: - Opakováí - vz SP Náhodé proměé a Y Podobě o plaí pro vekory: kde ~ N mají sejé rozděleí: N Plaí: Je-l ~ N Σ r hσ L r L r jsou ezávslé áhodé velčy ~ N. Nechť B r r hb je mace reálých čísel aková že plaí BB Σ. Pak áhodé vekory a Y B mají sejé rozděleí: N Σ Pozámka: Mace var Σ je symercká pozvě semdefí a edy její vlasí čísla jsou reálá ezáporá. Lze edy provés její skeleí rozklad. Mace B z předcházející věy edy alezeme pomocí skeleího rozkladu. Příklad: 5 4 Nechť ~ N. Najděe B akové aby plalo B 4 5 Řešeí: Skeleí rozklad mace: 5 λ 4 5 6 λ λ λ λ 9 λ λ 9 4 5 λ h λ 9 4 4 h h h h h h λ 4 4 h h h h h H h h SP NV-Normala-vlasos 8 Lbor Žák ÚM FSI V 9
SP NV-Normala-vlasos 9 Lbor Žák ÚM FSI V 9 h h H 9 B Zkouška: 5 4 4 5 8 8 BB edy Pozámka k příkladu: Pak ~ N - Normovaé -roz. ormálí rozděleí. - - - - - - - upraví se rozpyly v jedolvých složkách
SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9-6 -4-4 6 - - - - oroormálí mace mace roace - pooočí se - závslos složek -6-4 - 4 6-6 -4-4 6 - posuuí -8-6 -4-4 -4-4 6 8
Plaí: N Σ h Σ regulárí rozděleí. Pak esuje husoa áhodého vekoru Je-l ve varu: ~ f π ep de Σ Σ Plaí: Je-l ~ N Σ pak charakerscká fukce má var: ϕ ep Σ SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9
Plaí podmíěé rozděleí: N Σ Nechť ~ rozpyl lze rozděl a čás Pak je p-rozměrý áhodý vekor. Sředí hodou a Σ Σ Σ. a Σ Σ ~ N Σ a ~ Σ p cov Σ N p jsou ezávslé právě když cov Σ p p 4 Pokud je regulárí podmíěé rozděleí za podmíky má rozděleí: ~ N ΣΣ Σ ΣΣ Σ p Pozámka: Rozpyl u podmíěého ormálího rozděleí jž ezávsí a - je kosaí. edy - rozměré ormálí rozděleí je homoskedascké. SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9
SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9 Příklad: Nechť 4 7 ~ N. Najděe B akové aby plalo B Řešeí: Příklad: Nechť 9 5 4 7 ~ N Najděe rozděleí pro: a b c d e f g h j k l Řešeí:
-rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí N SP NV-Normala-vlasos 4 Lbor Žák ÚM FSI V 9
SP NV-Normala-vlasos 5 Lbor Žák ÚM FSI V 9 Plaí: ~ N pak ~ N de 4 ep π f 5 cov - ezávslé 6 - ezávslé - ep π f Plaí: má charakersckou fukc: ep ϕ podmíěé rozděleí: ~ N