Matematika 4: Příručka pro přežití Verze ze dne 29. listopadu 2015 Jan Chleboun Obsah Úvod... 2 1 Komplexní čísla... 2 2 Lineární algebra... 4 2.1 Vlastní čísla, vlastní vektory... 4 2.2 Geršgorinova věta... 5 2.3 Normovaný lineární prostor... 6 2.4 Normy vektorů a matic... 7 2.5 Skalární součin vektorů... 8 2.6 Pozitivně definitní matice... 10 2.7 Řešení soustav lineárních algebraických rovnic... 10 2.7.1 Gaussova eliminační metoda... 10 2.7.2 Iterační metody... 12 2.8 Číslo podmíněnosti... 16 3 Zpět do 1. ročníku... 17 3.1 Řešíme soustavy lineárních algebraických rovnic... 17 3.2 Vypočítáváme inverzní matici... 20 3.3 Počítáme determinanty... 20 3.4 Hledáme extrémy funkce jedné proměnné... 21 4 Řešitelnost okrajových úloh v 1D... 22 5 Užitečné drobnosti... 23 5.1 Diferenciální operátory... 23 5.2 Některé pojmy, vztahy a hodnoty... 24 Literatura... 24
Úvod Cíl těchto stránek 1 je trojí: (a) Zachytit to podstatné z přednášek týkajících se lineární algebry. (b) Některé části přednesené látky doplnit o podrobnosti a souvislosti, na něž při přednášce nebyl čas. (c) Připomenout ty partie z předmětů Matematika 1, Matematika 2 a Matematika 3 (řešitelnost okrajových úloh), bez nichž se v Matematice 4 (zejména při řešení příkladů) nelze obejít. Některé části textu tedy přednášku přesahují a jsou jen informační, například metoda sdružených gradientů je uvedena pro svou důležitost, nicméně u zkoušky se neobjevuje. Jiné úseky jsou naopak pro úspěšné absolvování zkoušky zásadní, to se týká především oddílů 1, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7.1, 2.7.2 (zejména Jacobiova metoda) a 2.8, jak je ostatně patrné i z příkladů uvedených ve sbírce [9]. Kapitola 3 je věnována praktickým ukázkám toho, jak se řeší soustava lineárních algebraických rovnic a hledá extrém funkce jedné proměnné, což jsou dovednosti v [9] zhusta využívané. V listopadu 2014 byly přidány dvě nové části. Kapitolu 4 tvoří tvrzení a vztahy postačující pro zvládnutí standardních školních problémů zaměřených na řešitelnost okrajových úloh. Kapitola 5 sestává z útržkovitých informací, které se mohou uplatnit při řešení úloh zadaných u zkoušky. Práce se sbírkou [9] však odhalí, že název Příručka pro přežití je více reklamní než pravdivý. Příklady v [9] totiž pokrývají i témata, o nichž se příručka vůbec nezmiňuje, takže nastudování příručky ke zvládnutí zkoušky z Matematiky 4 nestačí. 1 Komplexní čísla Komplexní číslo má tvar α = a+ib, kde a a b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka, pro niž platí imaginární osa i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. b α = a+ib Reálné číslo a se nazývá reálná část čísla α, r reálné číslo b se nazývá imaginární část čísla α. Je-li a = 0, nazýváme α ryze imaginárním ϕ reálná osa číslem. a Množinu komplexních čísel značíme C, množinu reálných čísel značíme R. Sčítání a násobení komplexních čísel dle pravidel pro úpravu algebraických výrazů: (a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 ) = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ), (a 1 +ib 1 )(a 2 +ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +a 2 b 1 ). 1 V žádném případě nejde o ucelený učební text podrobného a výkladového typu, jako jsou například skripta a učebnice. 2
Například 2+i4+7 i5 = 5 i, ( 2+i4)(7 i5) = 14+i28+i10 i 2 20 = 6+i38. Číslu a ib říkáme číslo komplexně sdružené k číslu α = a+ib, komplexní sdruženost označujeme α. Pro komplexní čísla α, β, γ platí ( ) α (α+β) = α+β, αβ = αβ, = α γ γ, kde γ 0. Absolutní hodnotou komplexního čísla α = a + ib nazýváme reálné číslo α = a2 +b 2. Například 3 i4 = 3 2 +( 4) 2 = 25 = 5. Převrácená hodnota komplexního čísla a+ib je komplexní číslo 1/(a+ib). Tento tvar čísla nám však nedává dobrou představu o reálné a imaginární složce převrácené hodnoty, proto je žádoucí vhodná úprava. Je založena na vynásobení hodnotou 1 zapsanou ve tvaru zlomku a ib a ib. Pak 1 a ib a+ib a ib = a ib a 2 +b 2. 1 Konkrétně například 3+i4 = 3 25 i 4 25. S podílem dvou komplexních čísel si poradíme stejným způsobem: Konkrétně například c+id a+ib = c+id a ib a+ib a ib = (c+id)(a ib). a 2 +b 2 2 i3 3+i4 = (2 i3)(3 i4) (3+i4)(3 i4) = 6 i8 i9+i2 12 = 6 17 i 3 2 (i4) 2 25 25. Úpravou tedy dostáváme komplexní číslo ve tvaru p + iq, kde p a q ovšem mohou být reálná čísla ve tvaru zlomků. Nenulová komplexní čísla lze psát v goniometrickém tvaru α = a+ib = r(cosϕ+i sinϕ) = re iϕ, kde r = α a úhel ϕ (viz 2 obrázek) je dán (až na celé násobky 2π) vztahy cosϕ = a b sinϕ = a2 +b2, a2 +b 2. Výhodou goniometrického vyjádření je snadné násobení komplexních čísel, nebot pro α 1 = r 1 (cosϕ 1 +i sinϕ 1 ) a α 2 = r 2 (cosϕ 2 +i sinϕ 2 ) platí, že α 1 α 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+i sin(ϕ 1 +ϕ 2 )]. Další informace například v [12, Kapitola 1.6]). 2 Toto místo je mi příležitostí k výzvě čtenářům, aby nepodléhali hromadnému bludu a nepsali za viz tečku. V angličtiněse píševiz., ale význam je zcela odlišný. Kdo v českémtextu píševiz., nedělá si dobrou reklamu. 3
2 Lineární algebra Odkazy na literaturu jsou spíše namátkové knihy [1, 6] se tématu věnují do hloubky. Základy lineární algebry (vektorový prostor, matice, vlastní čísla a vlastní vektory, řešení soustav lineárních algebraických rovnic atd.) jsou vyloženy a příklady ilustrovány v mnoha běžně dostupných skriptech, např. [4, 5, 8, 11]. Základní informace nabízí i [12]. Leccos je na internetu, doporučuji odkazy, k nimž se dostanete z webové stránky předmětu MA 4. 2.1 Vlastní čísla, vlastní vektory Zpracováno především podle [6]. Necht A je čtvercová(!!!) matice 3 s reálnými nebo komplexními prvky. Nenulový(!!!) vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo 4 λ C. Toto λ se nazývá vlastní číslo 5 matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. Dvojici (λ, x) budeme pro jednoduchost říkat vlastní pár. Aby číslo λ bylo vlastním číslem matice A, je nutné a postačující, aby matice A λi byla singulární, tj. aby det(a λi) = 0, jinými slovy, aby hodnota λ byla kořenem charakteristického polynomu matice A. Připomeňme, že(čtvercová) matice B je singulární právě tehdy, když existuje nenulový vektor x takový, že platí 6 Bx = 0. Poznámka 2.1 Matice s reálnými prvky může mít komplexní vlastní čísla a vlastní vektory s komplexními složkami, viz [9]. Některé vlastnosti [2, 11] (A je čtvercová matice n-tého řádu): Matice A = (a ij ) má právě n vlastních čísel (počítáme je i s jejich násobnostmi), označme je λ 1,λ 2,...,λ n. O jejich součtu a součinu platí 7 n n λ i = a ii, λ 1 λ 2...λ n = deta. i=1 i=1 Vlastní vektory matice A odpovídající různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé. (Platí i pro komplexní matice.) Matice A je singulární právě tehdy, když má vlastní číslo 0. (Platí i pro komplexní matice.) Je-li λ vlastní číslo matice A, pak je λ také vlastní číslo matice A T. To je důsledek toho, že determinant matice i k ní transponované matice je v obou případech stejný, i když matice není symetrická. Proto det(a λi) = det ( (A λi) T) = det ( A T λi ), 3 Připomeňme, že matice je obdélníková tabulka čísel (obecněji i jiných matematických objektů výrazů,funkcíaj.),kterámámřádkůansloupců,jetedytypu(m,n)či,jinakpsáno,m n.očtvercových maticích, tj. maticích typu (n,n), říkáme, že jsou řádu n. 4 Už v předchozí části bylo zavedeno, že symbol C označuje komplexní čísla. 5 Zdůrazněme, že vlastní číslo může být rovno nule, kdežto vlastní vektor je z definice vždy nenulový! 6 Symbol 0 zde značí nulový sloupcový vektor. 7 Číslo n i=1 a ii, tj. součet diagonálníchprvků čtvercovématice, se nazývá stopa matice a značíse tra. 4
tedy oba charakteristické polynomy jsou stejné a mají stejné množiny kořenů(i s násobnostmi). Je-li (λ,x) vlastní pár reálné matice A, je také ( λ, x) vlastní pár matice A. To je patrné z rovností A x = Ā x = (Ax) = (λx) = λ x. Je-li (λ,x) vlastní pár (reálné nebo komplexní) matice A, je (λ k,x) vlastní pár matice A k, kde k je přirozené číslo. To je vidět z toho, že A k x = A k 1 (Ax) = A k 1 (λx) = λa k 1 x = λa k 2 (Ax) = λa k 2 (λx) = λ 2 A k 2 x = = λ k 1 Ax = λ k x Existuje-li A 1, tj. matice inverzní k matici A, je (λ,x) vlastním párem matice A právě tehdy, když (1/λ,x) je vlastním párem matice A 1 (tj. A i A 1 mají stejné vlastní vektory, ale převrácená vlastní čísla), nebot Ax = λx A 1 Ax = A 1 (λx) x = λa 1 x λ 1 x = A 1 x, a pak stejnou úvahu provedeme pro A 1ˆx = ˆλx, kde (ˆλ,ˆx) je vlastní pár matice A 1. (Platí i pro komplexní matice.) Je-liAreálnáasymetrická 8 matice,pakvšechnajejívlastníčíslajsoureálnáavlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou vzájemně kolmé. 9 Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice. Spektrum matice A budeme označovat σ(a). Reálnému číslu (A) = max{ λ : λ σ(a)} říkáme spektrální poloměr matice A. K výpočtu vlastních vektorů se nepřímo vrací i kapitola 3.1. 2.2 Geršgorinova věta Zpracováno dle [6, str. 183]. Necht A = (a ij ) je komplexní nebo reálná čtvercová matice n-tého řádu(tj. typu (n, n)). Potom všechna vlastní čísla matice A leží v komplexní rovině ve sjednocení n i=1 K i kruhů K i o středu a ii a poloměru j i a ij : { } n K i = z : a ii z a ij, i = 1,2,...,n. j i V každé komponentě tohoto sjednocení leží právě tolik vlastních čísel matice A, z kolika kruhů tato komponenta vznikla. 8 Připomeňme, že matice transponovaná k matici A = (a ij ) typu (m,n) vznikne prohozením řádků a sloupců matice A, tedy A T = (a ji ) je typu (n,m). Platí (A 1 ) T = (A T ) 1, deta = deta T a pro součin matic AB platí (AB) T = B T A T. O matici A řekneme, že je symetrická, jestliže A = A T. 9 Analogickétvrzení platí i pro jistý typ komplexních matic (hermitovskématice), ale tím se nebudeme zabývat. 5
Speciálně vizolovanémkruhu leží právějednovlastní číslo. KruhK s jeizolovaný tehdy a jen tehdy, platí-li pro všechny indexy t s, že a ss a tt > i s a si + j t a tj, kde se v první sumě sčítá přes index i a v druhé přes index j. 2.3 Normovaný lineární prostor Zpracováno dle [13, str. 46 a 111]. Reálný vektorový prostor 10 je množina V (její prvky se nazývají vektory, i když nemusejí být tvořeny uspořádanými n-ticemi), na níž jsou definovány dvě operace, jimž se říká sčítání (prvků vektorového prostoru) a násobení (prvků vektorového prostoru) skalárem. V našem případě se skalárem myslí libovolné reálné číslo. Pro každu dvojici vektorů x,y V a pro každou dvojici α,β R platí, že výsledek lineární kombinace αx+βy opět leží v prostoru V. Operace sčítání a násobení (skalárem) dále mají následující vlastnosti: Každé dvojici vektorů x a y je přiřazen vektor x+y tak, že x+y = y+x; pro každou trojici vektorů x, y a z platí x+(y+z) = (x+y)+z; V obsahuje jediný vektor 0 (nulový vektor neboli počátek) takový, že x+ 0 = x pro každé x V; konečně každému x V je přiřazen jediný vektor x takový, že x+( x) = 0. Každé dvojici α,x, kde x V a α R je skalár, je přiřazen vektor αx V takový, že 1x = x, α(βx) = (αβ)x a jsou splněny dva distributivní zákony α(x+y) = αx+αy, (α+β)x = αx+βx. Zcela obdobně lze zavést komplexní vektorový prostor, pak skalár znamená komplexní číslo. Reálný (nebo komplexní) vektorový prostor X se nazývá normovaný lineární prostor, jestliže každému x X je přiřazeno reálné číslo x, které se nazývá norma x, a jsou splněny tyto podmínky: x 0 x X, (1) x+y x + y x,y X, (2) αx = α x x X, α R (α C, je-li X komplexní), (3) x = 0 x = 0. (4) Povšimněme si, že pro u,v,w X platí u v u w + w v, (5) což plyne z rovnosti u v = u w +w v, v níž položíme x = u w a y = w v, a pak uplatníme (2). Nerovnosti (2), ale i (5) se říká trojúhelníková nerovnost. Pro 0 (nulový prvek prostoru X) platí 0 = 0 (viz (3)-(4), kde α = 0). 10 Též se říká lineární prostor. 6
2.4 Normy vektorů a matic Více a podrobněji v [6, str. 164 a další]. Vektorem x nyní rozumíme matici typu (n,1), tj. x = (x 1,x 2,...,x n ) T C n, případně x R n. Požadavkům (1)-(4) vyhovuje mnoho různých definic norem vektorů. V lineární algebře se však jako nejpraktičtější osvědčily tyto: Pro p 1 je l p -norma definována vztahem její důležité speciální případy jsou x 1 = ( n ) 1/p x p = x i p, i=1 n x i (oktaedrická norma), i=1 ( n ) 1/2 x 2 = x i 2 i=1 (euklidovská norma). Limitním případem l p -normy (pro p ) je max-norma: x = max i {1,2,...,n} x i. V dalším se pro jednoduchost omezme na reálné matice a na reálné vektory. 11 Uvažujme množinu všech (reálných) matic typu (m, n) a povšimněme si, že zavedemeli obvyklé sčítání matic a násobení matic skalárem, tvoří tato množina vektorový prostor; označme jej M. Necht X n a Y m jsou (reálné) prostory m-dimenzionálních a n- dimenzionálních vektorů opatřené normou Xn a normou Ym. Pak vztahem 12 A YmX n = sup{ Ax Ym : x X n, x Xn = 1} (6) definujeme pro každou matici A M normu A YmX n ; důkaz, že A YmX n opravdu má vlastnosti normy, je podán například v [6]. O normě YmX n říkáme, že je generována normami Xn a Ym. Z (3) a ze spojitosti zobrazení x Ax plyne, že (6) lze ekvivalentně definovat takto A YmX n = Ax Ym max. (7) {x X n: x 0} x Xn 11 Pro zvídavé: Níže uvedené definice norem matic by byly platné i pro komplexní matice, jen normu 2 by bylo nutné definovat mírně odlišně. 12 Pokud nejste obeznámeni s pojmem supremum, nahrad te jej ve vztahu (6) pojmem maximum, tj. A YmX n = max{ Ax Ym : x X n, x Xn = 1}. 7
Povšimněme si, že jestliže platí y = Ax, kde x X n a y Y m, pak z (7) plyne y Ym A YmX n x Xn. (8) Jsou-li v obou prostorech použity normy stejného typu konkrétně ξ, kde ξ odpovídá 1, 2, p nebo, pak i normu matice A generovanou normami ξ budeme značit A ξ. V některých případech se dokonce můžeme vyhnout nepohodlnému výpočtu normy z definice (6) či (7), protože lze ukázat (viz [6]), že platí A 1 = max k {1,2,...,n} A = max i {1,2,...,m} m a ik, i=1 n a ik, k=1 A 2 = ( (A T A)) 1/2 (spektrální norma), kde A T značí matici transponovanou k matici A. Jest (A T A) = (AA T ) = λ max (AA T ) = λ max (A T A), kde λ max (A T A) značí největší vlastní číslo matice A T A (matice A T A je symetrická a pozitivně semidefinitní, všechna její vlastní čísla jsou reálná a nezáporná). Je-li matice A reálná a symetrická, je A 2 = ( (A T A)) 1/2 = ( (A 2 )) 1/2 = (A). Často používaná Frobeniova norma ( m ) 1/2 n A F = a ik 2 i=1 není (pro n > 1 nebo m > 1) normou matice generovanou z norem v prostorech X n a Y m. Povšimněte si, že pro I n, jednotkovou matici n-tého řádu, je I n F = n, kdežto I n ξ = 1, kde ξ = 1,2,p,. Lze dokázat [6, Věta 9.2], že je-li A čtvercová matice a Frobeniova nebo libovolná generovaná norma, pak (A) A. Z předchozího už víme, že v případě, že A je symetrická matice, platí (A) = A 2 k=1 2.5 Skalární součin vektorů I v této části předpokládáme, že matice a vektory jsou reálné. Připomeňme definici skalárního součinu v prostoru n-rozměrných reálných vektorů: 13 skalárním součinem vektorů x = (x 1,...,x n ) a y = (y 1,...,y n ) rozumíme číslo (x,y) = n x k y k. (9) 13 Pro zájemce. Definice skalárního součinu komplexních vektorů se liší jen v (10) a (12), konkrétně (y,x) = (x,y), k=1 α(x,y) = α(x,y), (x,αy) = ᾱ(x,y), v definici se tedy vyskytují komplexně sdružená čísla. 8
Pro x,y,z R n a α R platí (y,x) = (x,y), (10) (x+z,y) = (x,y)+(z,y), (11) (αx,y) = α(x,y), (x,αy) = α(x,y), (12) (x,x) 0, (13) (x,x) = 0 x = 0. (14) Ovšem také (0,x) = (x,0) = 0, viz (12) při α = 0. Pomocí skalárního součinu definujeme euklidovskou normu vektoru x 2 = (x,x). (15) Z definice skalárního součinu a přímým výpočtem dostaneme([6, Věta 2.3]), že(ax, y) = (x,a T y) = j,k a jky j x k. Připomeňme ještě, že o vektorech x,y R n, pro něž (x,y) = 0, řekneme, že jsou vzájemně kolmé (ortogonální). Důležitá a užitečná je Cauchyova nerovnost (též někdy nazývaná Schwarzova nerovnost) (x,y) x 2 y 2, (16) jejížodvození není obtížné: Jestliže y jenulový vektor, pak(16)platí,nebot 0 0. Jestliže y 0, pak spočítejme kvadrát normy speciálně zvoleného vektoru (je to samozřejmě nezáporné číslo) 0 (x,y) x y y 2 2 = x 2 2 2 (x,y)2 y 2 2 2 2 ( = x (x,y) y 2 2 + (x,y)2 y 2 2 Porovnáním levého a pravého konce řetězce zjistíme, že 0 x 2 2 (x,y)2, y 2 2 (x,y) 2 x 2 y 2 2, 2 (x,y) 2 x 2 2 y 2 2. y,x (x,y) ) y y 2 2 = x 2 2 (x,y)2. y 2 2 Poznámka 2.2 Později se setkáte se skalárním součinem funkcí definovaným například pro funkce z lineárního prostoru C([a, b]) funkcí spojitých na uzavřeném intervalu [a, b], jenž je pro u,v C([a,b]) definován takto (u,v) = b a u(x)v(x) dx. (17) Uvědomte si, že určitý integrál součinu dvou funkcí opravdu splňuje požadavky kladené na skalární součin, viz (10)-(14), a definuje normu na prostoru C([a, b]), viz (15). Zároveň 9
platí nerovnost (16) a o funkcích u,v C([a,b]), pro něž platí (u,v) = 0, říkáme, že jsou ortogonální. Skalární součin (17) je důležitý při studiu diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami. Také se zamyslete nad tím, že C([a,b]) s obvyklým sčítáním dvou funkcí a s násobením funkce reálným číslem tvoří vektorový (lineární) prostor. 2.6 Pozitivně definitní matice Matice A = (a ij ) typu (n,n) se nazývá pozitivně definitní, platí-li pro každý nenulový n-rozměrný reálný vektor x (Ax,x) > 0, tj. n n a ij x i x j > 0. j=1 j=1 Lze ukázat, že symetrická(!) matice A je pozitivně definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná. (To je jen jedna z mnoha ekvivalentních charakterizací, jež uvádí např. [6, Věta 2.17].) Jestliže platí jen neostrá nerovnost, tj. (Ax, x) 0, hovoříme o matici semidefinitní. Poznámka 2.3 Rozmyslete si, že pro matici A typu (n,n) a sloupcové vektory x,y typu (n,1) platí y T Ax = (Ax,y) = (x,a T y) = (A T y,x) = (y,ax) = (Ax) T y = x T A T y. 2.7 Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Uvažované matice jsou čtvercové typu (n, n) a všecky jejich prvky jsou reálné, vektory jsou n-rozměrné sloupcové. Nepředpokládá se, že matice jsou pozitivně definitní. 2.7.1 Gaussova eliminační metoda Metodu znáte z prvního semestru, je vyložena např. ve standarních skriptech Matematika I. Těm, kdo si ji chtějí připomenout, doporučuji přejít ke kapitole 3.1. Níže uvádím jen jádro metody v podobě vztahů používaných při eliminaci [6, str. 203], viz také např. [14] a mnohé jiné zdroje. Vztahy se mohou hodit těm, kdo by si chtěli metodu naprogramovat. Řešme soustavu Ax = b se čtvercovou maticí n-tého řádu, kde b R n a také všechny prvky a ij matice A jsou reálné. Označme a (0) 1i = a 1i a definujme vztahy závislé na k = 1,2,...,n 1, a (k) ij = a (k 1) ij b (k) i = b (k 1) i a (k 1) ik a (k 1) ik přitom se předpokládá, že hlavní prvky jsou nenulové a 11 0, a (1) 22 (a (k 1) kk ) 1 a (k 1) kj, i,j = k +1,...,n, (18) (a (k 1) kk ) 1 b (k 1) k, i = k +1,...,n, (19) 0, a(2) 33 0,...,a(n 2) n 1,n 1 0, (20) 10
aby se v (18)-(19) nedělilo nulou. Smyslem (18) je v k-tém kroku vynulovat tu část k- tého sloupce matice, která leží pod hlavní diagonálou, a to odečtením vhodných násobků k-tého řádku. Vynulované prvky už nejsou vztahem (18) zachyceny. Odpovídající úpravy pravé strany popisuje vztah (19). Zaved me zjednodušené označení l ik = a (k 1) ik (a (k 1) kk ) 1, i = k +1,...,n, (21) u kj = a (k 1) kj, j = k,k +1,...,n, k = 1,2,...,n. Pak soustava Ax = b přejde po eliminaci prvků pod hlavní diagonálou na ekvivalentní soustavu 14 Ux = b, kde U je horní trojúhelníková matice n-tého řádu s prvky u kj. Definujme dolní trojúhelníkovou matici L = (l ij ) n-tého řádu: viz (21), jestliže i > k, l ik = 1, jestliže i = k, 0, jestliže i < k. Lze ukázat, že A = LU, a tedy Ux = L 1 b, kde L 1 b = b. Pak x = U 1 b. V praxi se matice U neinvertuje, ale soustava Ux = b se řeší zpětným chodem, přičemž vektor b se z rovnice L b = b také vypočítá dopřednou obdobou zpětného chodu. Není-li splněno (20) nebo potřebujeme-li se vyhnout numerickým problémům, 15 pomůžeme si pivotací, tj. výběrem hlavního prvku, v úpravách vystupuje v (a (k 1) kk ) 1. Nejjednodušší je částečná pivotace založená na prohození řádků(včetně odpovídajících složek vektoru na pravé straně soustavy). Při úplné pivotaci se na místo hlavního prvku přesouvá ten prvek nedokončené části matice, jenž je v absolutní hodnotě maximální. Přitom se mohou prohodit i sloupce matice, což znamená změnu pořadí složek vektoru neznámých. Je-li matice A symetrická a pozitivně definitní, je (20) splněno, k pivotaci však mohou vést ohledy na přesnost výsledku získaného v počítačové aritmetice. Je-li matice A symetrická a pozitivně definitní, je výhodný rozklad (Choleského rozklad, metoda) A = LL T, kde L = (l ij ) je dolní trojúhelníková matice s prvky počítanými postupně pro r = 1,2,...,n: r 1 l rr = (a rr lrs 2 )1/2, s=1 l ir = 1 r 1 (a ir l rs l is ), i = r +1,...,n. l rr s=1 O matici řekneme, že je řídká, pokud nejvýše 5% prvků matice je nenulových. 14 To je ta soustava, k níž dospějete postupem, který znáte už z MA 1, cestou používáte informace, jež zachycuje matice L zmíněná dále. 15 Výpočetní nesnáze provázené ztrátou přesnosti řešení se objevují, když a (k 1) kk je malé číslo, tedy (a (k 1) kk ) 1 je číslo velké. 11
Zaplnění matice (anglicky fill-in): Jev při Gaussově eliminaci charakterizovaný tím, že při ekvivalentních úpravách vedoucích k horní trojúhelníkové matici se zvyšuje počet nenulových prvků a rostou nároky na pamět počítače a počet operací. Příkladem může být matice nulová až na hlavní diagonálu, první řádek a první sloupec. Oslabuje se či ztrácí charakter řídké matice. Matice (p,q)-pásová: její prvky ležící mimo pás kolem hlavní diagonály jsou nulové. Přesněji [6] p = max(p 0,0), p 0 = max{k i; i,k,a ik 0}, q = max(q 0,0), q 0 = min{k i; i,k,a ik 0}. Počet aritmetických operací nutných pro vyřešení soustavy Ax = b Předpokládejme, že není třeba provádět pivotaci a že náročnost jednoho dělení odpovídá náročnosti jednoho násobení a sčítání. Pak (viz [1, Section 1.4.3]) k vyřešení soustavy s (a) plnou maticí potřebujeme zhruba n 3 /3+n 2 flops(floatingpointoperations,aritmetickýchoperacísplovoucířádovoučárkou), (b) plnou symetrickou maticí zhruba n 3 /6 + n 2 flops, (c) (q,q)-pásovou maticí zhruba (q + 1) 2 n + 2qn flops, (d) (q,q)-pásovou symetrickou maticí zhruba (q + 1) 2 n/2 + 2qn flops. 2.7.2 Iterační metody Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních algebraických rovnic s regulární (tj. čtvercovou) reálnou maticí. U zkoušky se můžete setkat s příklady týkajícími se Jacobiovy a Gaussovy-Seidelovy metody. Věta 2.1 (podrobněji viz [6, Věta 12.1]) Necht pro spektrální poloměr (A) matice A platí (A) < 1. Pak pro libovolný vektor b a každý počáteční vektor x (0) posloupnost vektorů {x (k) } k=0,1,2,... určená vztahem x (k+1) = Ax (k) +b, k = 0,1,2,..., (22) konverguje (po souřadnicích) k vektoru x, jenž je řešením soustavy (I A)x = b. (23) Postačující podmínkou pro (A) < 1 je, aby pro některou generovanou normu A matice A platilo A < 1. Pak také platí odhady x x (k) A k x (0) + A k b, 1 A (24) x x (k) A 1 A x(k) x (k 1). (25) 12
Důkaz nerovnosti (25) je velmi jednoduchý. Protože x = A x+b, platí (s užitím (22)) tento řetězec rovností x x (k) = A x+b (Ax (k 1) +b) = A( x x (k 1) )+b b = A( x x (k) +x (k) x (k 1) ) = A( x x (k) )+A(x (k) x (k 1) ). Normy levé a pravé strany rovnosti jsou si rovny, ale, po uplatnění trojúhelníkové nerovnosti, normu členů A( x x (k) ) a A(x (k) x (k 1) ) odhadneme shora pomocí (8) x x (k) A x x (k) + A x (k) x (k 1), což po algebraické úpravě dává nerovnost (25). Povšimněme si, že nerovnosti (24)-(25) nám umožňují odhadnout chybu (ve významu nepřesnost ) iteračního řešení v k-tém kroku, aniž bychom znali přesné řešení x! My se však v praxi nesetkáváme se soustavami ve tvaru (23), nýbrž ve tvaru Cx = y. (26) Musíme tedy od (26) přejít k (23), což lze udělat např. takto [6, str. 217]: Napíšeme 16 C = (c ij ) jako D Ĉ, kde D = diag{c 11,c 22,...,c nn } je matice, jejíž hlavní diagonála je totožná s hlavní diagonálou matice C, ale jejíž všechny ostatní prvky jsou nulové, a Ĉ = (ĉ ij) je matice s prvky ĉ ii = 0, ĉ ij = c ij pro i j. Jsou-li všechny diagonální prvky c ii nenulové, položíme A = D 1 Ĉ, b = D 1 y. (27) Ověřme, že soustavy (I A)x = b a Cx = y mají stejné řešení x: (I A)x = b (I D 1 Ĉ)x = D 1 y (D Ĉ)x = y Cx = y. Iterační metoda (22), kde matice A a vektor b jsou dány předpisem (27), se nazývá Jacobiova a lze ji zapsat i takto x (k+1) = D 1 Ĉx (k) +D 1 y, k = 0,1,..., (28) kde počáteční vektor x (0) R n zvolíme, a pak postupně vypočítáváme vektory x (1), x (2), x (3),... 16 Celý postup lze ekvivalentně zapsat s odlišnou znaménkovou konvencí, ta však může někomu více vyhovovat. Napíšeme C = (c ij ) jako D + C, kde C = ( c ij ) je matice s prvky c ii = 0, c ij = c ij pro i j. Jsou-li všechny diagonální prvky c ii nenulové, položíme (povšimněte si znaménka v definici matice A zde a v (27)) A = D 1 C, b = D 1 y. Ověřme, že soustavy (I A)x = b a Cx = y mají stejné řešení x: (I A)x = b (I +D 1 C)x = D 1 y (D + C)x = y Cx = y. 13
Zapsáno po složkách x (k+1) i = 1 c ii ( i 1 j=1 c ij x (k) j + n j=i+1 c ij x (k) j ) + y i c ii, i = 1,2,...,n, (29) kde x (s) r značí r-tou složku vektoru x (s), c ij jsou prvky matice C a y i jsou složky vektoru y. Podle věty 1 podmínka (D 1 Ĉ) < 1 zaručuje konvergenci Jacobiovy metody pro každou pravou stranu y a při libovolné volbě počátečního vektoru x (0). Tuto podmínku však bývá nesnadné ověřit, proto se v praxi používají podmínky jednodušší, uved me dvě. Věta 2.2 ([6, Věta 12.2]) Necht matice C = (c ij ) n-tého řádu má převládající diagonálu, tj. necht existují kladná čísla h 1,h 2,...,h n tak, že c ii h i > k i c ik h k, i = 1,...,n. Pak Jacobiova metoda pro řešení soustavy Cx = y konverguje pro každou pravou stranu y a každý počáteční vektor x (0). (Poznámka: V praxi někdy stačí volit h 1 = h 2 = = h n = 1.) Věta 2.3 ([6, str. 219]) Má-li reálná symetrická matice C všechny prvky na hlavní diagonále kladné a je-li D diagonální část matice C (definici matice D viz výše), konverguje Jacobiova metoda pro každý počáteční vektor a každou pravou stranu, právě když C i 2D C jsou pozitivně definitní matice. Jiný rozklad matice C vede na jinou metodu. Pišme C = D +L+U, (30) kde D je opět diagonální část matice C, L je dolní trojúhelníková matice, která je pod hlavní diagonálou identická s maticí C a jinde nulová, U je horní trojúhelníková matice, která je nad hlavní diagonálou identická s maticí C a jinde nulová; matice L a U mají nulové hlavní diagonály. Definujme A = (D +L) 1 U, b = (D +L) 1 y (31) a ověřme, že Iterační metoda (I A)x = b (I +(D+L) 1 U)x = (D +L) 1 y (D+L+U)x = y Cx = y. x (k+1) = (D +L) 1 Ux (k) +(D +L) 1 y, k = 0,1,..., (32) se nazývá Gaussova-Seidelova metoda. 14
Z(32)plyne, ževektor x (k+1) řešísoustavu(d+l)x (k+1) = Ux (k) +y.tétorovnostise využívá v implementaci algoritmu Gaussovy-Seidelovy metody, při níž se snadno vyhneme výpočtu inverzních matic. Protože matice D + L je dolní trojúhelníková, lze první složku vektoru x (k+1) ihned vypočítat. Tuto složku pak dosadíme do rovnice pro druhou složku vektoru x (k+1), čímž počet neznámých této rovnice redukujeme o jednu (tj. na jednu); vypočteme druhou složku. První a druhou složku vektoru x (k+1) dosadíme do rovnice pro třetí složku vektoru x (k+1), čímž počet neznámých této rovnice opět redukujeme na jednu; vypočteme třetí složku. Takto postupujeme tak dlouho, až vypočteme celý vektor x (k+1). Předchozí slovní popis můžeme snadno vyjádřit matematickým zápisem (viz [12]): x (k+1) i = 1 c ii ( i 1 j=1 c ij x (k+1) j + n j=i+1 c ij x (k) j ) + y i c ii, i = 1,2,...,n, (33) kde c ij jsou prvky matice C a y i složky vektoru y. Srovnejte (29) a (33). Lze ukázat [6, Věta 12.4], že má-li matice C převládající diagonálu (viz výše), je ((D L) 1 U) < 1, tj. metoda konverguje prokaždou volbu počátečního vektoru akaždou pravou stranu. Velmi užitečné je toto tvrzení: 17 Věta 2.4 ([6, Věta 12.5]) Gaussova-Seidelova metoda konverguje, je-li matice C pozitivně definitní. Dnes pravděpodobně nejpoužívanější metodou pro iterační řešení soustav se symetrickou a pozitivně definitní maticí je metoda sdružených gradientů a její vylepšení. Pro s.p.d. matici A typu (n,n) je metoda definována takto (viz např. [6, str. 212] nebo [10, str. 105]): Necht x (0) je počáteční aproximace řešení soustavy Ax = b taková, že Ax (0) b. Položme p (0) = r (0) = b Ax (0) a počítejme pro k = 0,1,...,n 1 a (k) = (r(k),r (k) ) (Ap (k),p (k) ), x (k+1) = x (k) +a (k) p (k), r (k+1) = r (k) a (k) Ap (k), b (k) = (r(k+1),r (k+1) ), (r (k),r (k) ) p (k+1) = r (k+1) +b (k) p (k). Není-li pro žádné k < n vektor r (k) nulový, je x (n) řešení. Nastane-li (poprvé) pro nějaké k < n, že vektor r (k) je nulový, je x (k) řešení. Předchozí tvrzení zaručuje, že řešení nalezneme v nejvýše n krocích; jde tedy vlastně o metodu přímou. Zároveň (a častěji) je však počítána mezi metody iterační; jednak 17 Numerické řešení mnoha praktických úloh je založeno na vyřešení soustavy lineárních algebraických rovnic. To, že odpovídající matice je pozitivně definitní (a často i symetrická), lze u některých metod (například u metody konečných prvků) a u řady důležitých inženýrských problémů snadno ukázat přímo z vlastností výchozí úlohy, aniž by bylo nutné analyzovat konkrétní matici. Předpoklad tvrzení tedy v praxi bývá splněn. 15
kvůli nepřesné počítačové aritmetice proces nebývá ukončen nulovostí vektoru r i, jednak v mnoha praktických případech je uspokojivé přesnosti řešení dosaženo mnohem dříve než po n krocích. O metodě přístupným způsobem pojednává [10], velmi podrobně [1]. Obdobou nerovností (24)-(25) je odhad (viz např. [10]) x x (k) A 2 ( κ(a) 1 κ(a)+1 ) k x x (0) A, k = 0,1,2,..., kde κ(a) je číslo podmíněnosti 18 definované jako podíl největšího vlastního čísla matice A k nejmenšímu vlastnímu číslu matice A a x A = x T Ax je (energetická) norma (že jde o normu, to plyne z pozitivní definitnosti matice A). 2.8 Číslo podmíněnosti Necht je nějaká generovaná norma a necht A je regulární matice (tj. existuje matice A 1 ). Pak číslo κ(a) = A A 1 se nazývá číslo podmíněnosti matice A vzhledem k normě. Připomeňme si, že je-li A reálná a symetrická matice a použijeme-li normu 2, je A 2 = (A). Předpokládejme navíc, že matice A je pozitivně definitní, pak (A) = λ max, kde λ max je největší vlastní číslo matice A (všechna vlastní čísla pozitivně definitní matice jsou kladná). Protože vlastní čísla matice A 1 jsou převrácenými hodnotami vlastních čísel (pozitivně definitní) matice A, je A 1 2 = 1/λ min, kde λ min je nejmenší vlastní číslo matice A. Pak tedy κ(a) = λ max /λ min (je-li matice A symetrická a pozitivně definitní). Je-li matice A jen reálná a symetrická, je k výpočtu norem A 2 a A 1 2 zapotřebí vzít absolutní hodnoty vlastních čísel, nebot příslušná vlastní čísla mohou být i záporná. Číslo podmíněnosti ukazuje, jak citlivé může být řešení soustavy lineárních algebraických rovnic na malé změny soustavy a pravé strany. Je-li z řešení soustavy Az = b a x řešení soustavy s maticí A + Γ a s pravou stranou b + β, přičemž prvky matice Γ a vektoru β jsou malé, tj. (A+Γ)x = b+β, pak pro velikost relativního rozdílu mezi z a x platí [1, Theorem A.13 ] x z z [ κ(a) Γ 1 A 1 Γ A + β ], (34) b za předpokladu, že A 1 Γ < 1. Předchozí odstavec popisuje například situaci, kdy místo přesné soustavy Az = b řešíme soustavu (A+Γ)x = b+β, která odpovídá nepřesně spočítané matici A a nepřesně určenému vektoru b(nepřesnosti jsou reprezentované maticí Γ a vektorem β). To je v praxi běžné, pokud prvky matice A a vektoru b počítáme nějakou numerickou, tudíž přibližnou metodou. Nerovnost (34) nám říká, že součet relativních nepřesností (výraz v [ ]) je zesílen κ(a) faktorem, jenž při velkém κ(a) může být velmi velký. Pak je horní mez pro 1 A 1 Γ 18 Podrobněji v oddílu 2.8. 16
relativní chybu na levé straně (34) také velká. Praxe ukazuje, že skutečná chyba opravdu velká bývá. Ještě srozumitelnější je tvrzení [6, Věta 11.1]: Necht A je regulární matice a x 0 řešení soustavy Ax = b 0 a x 1 řešení soustavy Ax = b 1, kde b 0 b 1, pak platí x 1 x 0 x 0 κ(a) b 1 b 0, (35) b 0 kde κ(a) je číslo podmíněnosti matice A vzhledem k normě. Přitom k dané matici A existují vektory b 0 0 a b 0 b 1 takové, že v (35) nastane rovnost. Jinými slovy, i když se od sebe pravé strany soustavy liší málo, mohou se příslušná řešení lišit velmi mnoho. 3 Zpět do 1. ročníku Pro oživení pozapomenuté látky si připomeňme postupy, bez nichž je absolvování zkoušky z Matematiky 4 stěží možné. 3.1 Řešíme soustavy lineárních algebraických rovnic Na ukázku vyřešme tuto soustavu rovnic (viz [7, Příklad 2.22]) Zapišme ji maticově a upravujme: 10 5 5 10 5 1 1 1 1 0 1 2 1 1 5 1 1 1 1 4 10x 1 5x 2 + 5x 3 + 10x 4 = 5, x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 5, x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 4. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 5 1 1 1 1 4 1 1 1 1 0 0 1 0 2 5 0 3 3 4 1 0 2 0 2 4 1 1 1 1 0 1 2 1 1 5 2 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 0 0 1 0 2 5 0 0 3 10 16 0 0 0 6 6 Nejprve jsme první řádek podělili číslem 5 (krok ), pak jsme první řádek přesunuli o dva řádky dolů (krok ), v kroku jsme od druhého řádku odečetli první řádek, od třetího řádku odečetli dvojnásobek prvního řádku a k poslednímu řádku přičetli první řádek. Nakonec (krok ) jsme k třetímu řádku přičetli trojnásobek druhého řádku a od posledního řádku jsme odečetli dvojnásobek druhého řádku. 17
Část matice vlevo od svislé čáry jsme upravili na horní trojúhelníkový tvar. Poslední řádek můžeme ještě vydělit číslem 6, upravené matici pak odpovídá soustava x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, x 2 + 2x 4 = 5, 3x 3 + 10x 4 = 16, x 4 = 1. Hodnost matice soustavy i hodnost rozšířené matice soustavy jsou stejné, existuje tedy řešení soustavy. Soustava má čtyři neznámé a hodnost její matice je 4, soustava má tedy právě jedno řešení. Poslední rovnice upravené soustavy už přímo určuje, že x 4 = 1, což dosadíme do třetí rovnice, tj. 3x 3 +10 = 16, odkud x 3 = 2. S využitím x 4 = 1 dostaneme z druhé rovnice x 2 = 3. Dosadíme-li získané výsledky do první rovnice, obdržíme x 1 = 0. Zkouška 10 5 5 10 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 3 2 1 = potvrzuje správnost výsledku. Připomeňme, že pokud hodnost matice soustavy je menší než hodnost rozšířené matice soustavy, soustava nemá řešení. V Matematice 4 se však častěji setkáte s případem, kdy naopak existuje nekonečně mnoho řešení například při určování vlastních vektorů matic. Tuto situaci ilustrujme Příkladem 2.23 z [7]. Postupujme už stručněji. Jisté soustavě rovnic Ax = b, kde b = ( 1,3, 4,4) T, odpovídá rozšířená matice, kterou se snažíme dále upravit: 1 2 1 1 1 0 1 1 3 3 1 3 2 4 4 5 2 0 4 4 1 2 1 1 1 0 1 1 3 3 0 5 3 5 5 0 12 5 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 3 3 0 0 1 5 5 5 0 5 4 1 2 1 1 1 0 1 1 3 3 0 0 2 10 10 0 0 7 35 35 K třetímu řádku jsme přičetli první řádek a k poslednímu řádku jsme přičetli pětinásobek prvního řádku(krok ). Ke třetímu řádku jsme přičetli pětinásobek druhého řádku a ke čtvrtému řádku jsme přičetli dvanáctinásobek druhého řádku (krok ). Třetí řádek jsme vydělili číslem 2 a čtvrtý řádek jsme vydělili číslem 7, po této úpravě se čtvrtý řádek shoduje s řádkem třetím, nepřináší tedy žádnou novou vazbu mezi proměnnými a může být z rozšířené matice vyškrtnut (krok ). Pro čtyři neznámé máme jen tři rovnice, očekáváme tedy nekonečný počet řešení. Upravenou soustavu. x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 = 1, x 2 x 3 + 3x 4 = 3, x 3 5x 4 = 5 řešíme tak, že jednu zvolenou neznámou považujeme za parametr a ostatní neznámé vyjádříme pomocí tohoto parametru. Za parametr zvolme x 4 a pro přehlednost označme symbolem p, tedy 18
x 4 = p. Z poslední rovnice dostaneme x 3 = 5p 5, z druhé rovnice x 2 = 2 2p a z první rovnice x 1 = 0. Řešení x tedy můžeme napsat takto 0 0 0 x = 2 2p 5+5p = u+pv, kde u = 2 5 a v = 2 5, p 0 1 přičemž p je libovolné reálné číslo. Jak ověříme správnost řešení? Povšimněme si, že pro libovolné p R má platit b = Ax = A(u+pv) = Au+A(pv) = Au+pAv. (36) Z (36) dostáváme vztah b Au = pav, jenž by měl platit pro všechna čísla p R, což, pokud by vektor Av byl nenulový, nemůže nastat, protože levá strana rovnosti na p nezávisí. Musí tedy být Av = o, kde o = (0,0,0,0) T. Odtud pak Au = b. Správnost řešení x tedy ověříme tak, že vektor u vynásobíme maticí A a výsledek srovnáme s nenulovým vektorem b. Vektor Av se naopak musí rovnat nulovému vektoru. Poznamenejme, že pro jinou soustavu se může stát, že její řešení je závislé například na dvou parametrech, tj. Ax = b, kde, kupříkladu, x = u+pv+qw a p,q R. Pak musí platit, že Au = b a že vektory Av a Aw jsou nulové. Ukažme to na řešení soustavy s touto rozšířenou maticí 0 8 8 2 22 2 4 6 3 13 6 4 10 7 17 4 4 8 5 15 2 4 6 3 13 0 4 4 1 11 6 4 10 7 17 4 4 8 5 15 ( ) 2 4 6 3 13 0 4 4 1 11 2 4 6 3 13 0 4 4 1 11 0 8 8 2 22 0 4 4 1 11 ( 2 0 2 2 2 0 4 4 1 11 Prohodilijsmeprvníadruhýřádek, přičemž jsmecelý nový druhýřádekdělili dvěma(krok ). Od třetího řádku jsme odečetli trojnásobek prvního řádku, od čtvrtého řádku jsme odečetli dvojnásobek prvního řádku (krok ). Po této úpravě jsou třetí a čtvrtý řádek jen násobkem druhého řádku, nepřináší tedy žádnou novou vazbu mezi proměnnými a mohou být z rozšířené matice vyškrtnuty (krok ). Nakonec druhý řádek ještě vynásobíme 19 číslem 1 a přičteme ho k prvnímu řádku, tím se soustava dále zjednoduší. Pro čtyři neznámé máme jen dvě nezávislé rovnice, očekáváme tedy nekonečný počet řešení závislých na dvou parametrech. Upravenou soustavu (první řádek vydělíme 2) x 1 + x 3 + x 4 = 1, 4x 2 4x 3 x 4 = 11 řešíme tak, že dvě zvolené neznámé považujeme za parametry a ostatní neznámé vyjádříme pomocí těchto parametrů. Za parametr zvolme x 4 a pro přehlednost označme symbolem p, tedy x 4 = p. Dále označme x 3 = q. Z druhé rovnice dostaneme x 2 = 11/4 + p/4 + q, z první pak x 1 = 1 p q. Řešení x tedy můžeme napsat takto x = 1 p q 11/4+p/4+q q p = u+vp+wq, kde u = 1 11/4 0 0, v = 19 Není to nutné, jen se tím v dalším kroku vyhneme záporným znaménkům. 1 1/4 0 1 a w = ). 1 1 1 0, 19
přičemž p a q jsou libovolná reálná čísla. Zkouška správnosti výsledku spočívá ve výpočtu vektoru Ax a jeho srovnání s vektorem b = ( 22, 13, 17, 15) T. Musí být Ax = b. Násobit maticí A přímo vektor x je však nepraktické kvůli parametrům p, q a nepřehledným součinům. Proto bývá jednodušší (a provázeno menším množstvím početních chyb) ověřit, že Au = b, Av = o a Aw = o, kde o = (0,0,0,0) T. 3.2 Vypočítáváme inverzní matici Jestliže umíme vyřešit soustavu lineárních algebraických rovnic, pak také umíme vypočítat inverzní matici k regulární matici řádu n. Jde vlastně jen o vyřešení několika soustav se stejnou maticí, ale s n různými pravými stranami. Ty jsou dány lineárně nezávislými jednotkovými vektory se všemi složkami nulovými s výjimkou i-té složky, ta má hodnotu 1, i = 1,2,...,n. Všechny soustavy se řeší zároveň, nebot do rozšířené matice můžeme najednou napsat všechny pravé strany. Levou část rozšířené matice nestačí upravit na trojúhelníkový tvar, nýbrž je nutné užít zpětný chod a dojít až k jednotkové matici. Pak, za předpokladu že jsme počítali bez chyby (nebo se naše chyby vzájemně vyrušily, na kterýžto jev ovšem nelze spoléhat), dostaneme v pravé části rozšířené matice hledanou inverzní matici. Postup si ukažme na příkladu s touto rozšířenou maticí 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 0 3 1 1 6 1 0 0 1/3 1/3 1 0 1 0 2/3 1/3 0 0 0 1 1/3 1/3 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 1 2 0 1 4. 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1/3 1/3 2 Pro pohodlí jsme nejprve přeuspořádali řádky rozšířené matice (krok ). Vlevo od místa je matice v horním trojúhelnikovém tvaru, vpravo také, ale už po zahájení úprav vedoucích k jednotkové matici. Ověříme, že jsme skutečně určili inverzní matici: 2 1 1 4 1 2 1 0 1 3.3 Počítáme determinanty 1/3 1/3 1 2/3 1/3 0 1/3 1/3 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Připomeňme, že determinant je jistým poměrně složitým způsobem definované číslo det A přiřazené čtvercové matici A řádu n. Kdykoli se v dalším výkladu objeví matice, vždy půjde bez dalšího upřesňování o čtvercovou matici s reálnými prvky. Základní vlastnosti a pojmy [2, 3] deta = deta T, kde deta T je matice transponovaná k matici A. Z toho například plyne, že tvrzení o vlivu operací s řádky matice na determinant jsou platná i pro operace se sloupci matice.. 20
Přičteme-li k libovolnému řádku(sloupci) matice A libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), determinant matice se nezmění. Jestliže z matice A = (a ij ) řádu n vynecháme i-tý řádek a j-tý sloupec, dostaneme matici řádu n 1, jejíž determinant označíme M ij. Číslo A ij = ( 1) i+j M ij se nazývá algebraický doplněk prvku a ij (a ij je ten prvek, který ležel na křížení vynechaného řádku a sloupce). Platí (rozvoj determiantu podle řádku) det(ab) = deta detb. deta = n a ik A ik. První tři vlastnosti s výhodou použijeme k výpočtu determinantů, jak ukazuje příklad převzatý z [3]: 20 Při výpočtu determinantu výchozí matice 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 4 3 2 1 1 10 3 5 7 4 deta = 3 5 2 1 2 = 7 5 3 9 3 2 2 1 3 1 2 2 1 1 1 1 2 3 1 3 5 2 5 3 5 jsme od prvního sloupce odečetli dvojnásobek druhého sloupce, k třetímu sloupci jsme přičetli druhý sloupec, od čtvrtého sloupce jsme odečetli dvojnásobek druhého sloupce a k pátému sloupci jsme přičetli druhý sloupec. Hodnota determinantu se nezměnila, ale první řádek je nulový s výjimkou prvku ve druhém sloupci (jest i +j = 3), rozvoj determinantu podle prvního řádku nás vede k výpočtu determinantu 21 matice řádu 4, kterou dále upravíme přičítáním vhodných násobků čtvrtého sloupce k ostatním sloupcům: deta = 10 5 7 4 7 3 9 3 2 1 1 1 5 5 3 5 k=1 = 2 1 3 4 1 0 6 3 0 0 0 1 5 0 2 5 Rozvojem podle třetího řádku s jediným nenulovým prvkem (hodnota 1, i + j = 3 + 4 = 7) dostáváme determinant matice třetího řádu, ale i ten lze rozvést podle druhého sloupce (i+j = 1+2 = 3) (větu o rozvoji uplatníme na druhý řádek transponované matice): deta = 2 1 3 1 0 6 5 0 2 = 1 6 5 2 = 28, k závěrečnému výpočtu jsme užili definici determinantu matice typu 2 2. 3.4 Hledáme extrémy funkce jedné proměnné V Matematice 4 se značná pozornost věnuje operátorové formulaci okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Při vyšetřování vlastností těchto operátorů je nutné najít minimum funkce jedné proměnné na omezeném intervalu. Připomeňme, jak se takové minimum hledá. Předpokládejme, že funkce f je spojitá na intervalu [a,b], pak na intervalu [a,b] jistě nabývá minima i maxima. Body, v nichž se nabývá extrému, mohou patřit pouze do těchto skupin 20 Zápisy det( ) a, kde symbolizuje čtvercovou tabulku prvků matice, jsou ekvivalentní. 21 Povšimněte si znaménka minus, vzniklo z ( 1) 3.. 21
(α) body, v nichž se nuluje derivace funkce f; (β) body, v nichž neexistuje derivace funkce f; (γ) body a a b. Příklad: Najděme extrémy funkce f(x) = 2x 3 15x 2 +36x+10 na intervalu [ 1,5]. Řešení: Derivace f (x) = 6x 2 30x + 36 existuje na celém intervalu [ 1,5], případ (β) tedy nenastane. Řešme 6x 2 30x+36 = 0, x 2 5x+6 = 0, (x 2)(x 3) = 0, tj. x 1 = 2, x 2 = 3 (situace (α)). Nesmíme zapomenout na (γ), výpočtem funkčních hodnot ve vyšetřovaných bodech nalezneme extrémy: f(x 1 ) = f(2) = 38, f(x 2 ) = f(3) = 37, f(a) = f( 1) = 43, f(b) = f(5) = 65. Funkce f na intervalu [ 1,5] nabývá minima v bodě x = 1 a maxima v bodě x = 5, hodnota minima je f( 1) = 43, hodnota maxima je f(5) = 65. 4 Řešitelnost okrajových úloh v 1D Řešitelnost obyčejné diferenciální rovnice u +λu = f, (37) kde f je funkce spojitá na intervalu [a, b], doplněné o okrajovou podmínku u(a) = 0, u(b) = 0 (38) nebo o okrajovou podmínku nebo o okrajovou podmínku u(a) = 0, u (b) = 0 (39) u (a) = 0, u(b) = 0 (40) je popsána takto (viz [15, tvrzení 4.9 a věta 5.15]): Není-li λ vlastní číslo okrajové úlohy dané rovnicí (37) a okrajovou podmínkou, má úloha právě jedno řešení. Je-li λ vlastní číslo a f je ortogonální k vlastní funkci příslušné λ, má úloha nekonečně mnoho řešení. Je-li λ vlastní číslo a f není ortogonální k vlastní funkci příslušné λ, nemá úloha žádné řešení. 22
Okrajovou podmínkou se myslí podmínka (38) nebo (39) nebo (40). Pro aplikaci předchozích tvrzení je tedy nutné znát systémy vlastních čísel a vlastních funkcí. Okrajová úloha (37), (38). Vlastní čísla λ k = k 2 π 2 (b a) 2, vlastní funkce u k(x) = sin kπ(x a), k = 1,2,... b a Okrajová úloha (37), (39). ( ) (k 1/2)π 2 (k 1/2)π(x a) Vlastní čísla λ k =, vlastní funkce u k (x) = sin, k = 1,2,... b a b a Okrajová úloha (37), (40). ( ) (k 1/2)π 2 (k 1/2)π(x a) Vlastní čísla λ k =, vlastní funkce u k (x) = cos, k = 1,2,... b a b a Pro všechny tři typy okrajových úloh platí, že cu k, kde 0 c R, je opět vlastní funkce příslušná vlastnímu číslu λ k aže vlastní funcepříslušné různým vlastním číslům jsou ortogonální na intervalu [a,b]. 22 5 Užitečné drobnosti Tato kapitola sestává z velice stručného přehledu různých matematických pojmů a vztahů, jejichž znalost by mohla usnadnit řešení úloh předmětu Matematika 4. Přehled podává jen jádro informací, neobsahuje podstatné detaily (tj. například definiční obory, vymezení platnosti atd.). 5.1 Diferenciální operátory O diferenciálním operátoru A řekneme, že je (na svém definičním oboru D(A)) symetrický, jestliže pro každou dvojici v,w D(A) platí (Av,w) = (Aw,v). Připomeňme, že skalární součin je zde definován pro funce η,ξ C([a,b]) takto: (η,ξ) = b a η(x)ξ(x)dx. O diferenciálním operátoru A řekneme, že je (na svém definičním oboru D(A)) pozitivně definitní, jestliže existuje kladná konstanta c > 0 taková, že pro každou funkci v D(A) platí (Av,v) c(v,v) (vjinévariantě (Av,v) c ( (v,v)+(v,v ) ) ;zdůrazněme, že konstanta cnezávisí na funkci v. Friedrichsova nerovnost: Pro každou funkci ω C 1 ([a,b]) takovou, že ω(a) = 0 nebo ω(b) = 0, platí nerovnost b ω 2 2 b (x)dx (b a) 2 ω 2 (x)dx. a 22 U okrajových úloh (37), (39) a (37), (40) se můžete setkat s formálně odlišným vztahem definujícím vlastní čísla a vlastní funkce, a to ( ) 2 (k +1/2)π (k +1/2)π(x a) λ k =, ũ k (x) = sin, k = 0,1,2,... b a b a ( ) 2 (k +1/2)π (k +1/2)π(x a) λ k =, ũ k (x) = cos, k = 0,1,2,... b a b a Vztahy v hlavním textu se od vztahů v této poznámce liší znaménkem před 1/2 a dolní mezí pro parametr k. Systémy vlastních čísel a vlastních funkcí jsou ovšem stejné, liší se jen pořadovými čísly, tj. λ k 1 = λ k a ũ k 1 = u k, kde k = 1,2,... 23 a
Operátor A v divergentním tvaru: Az def = ( p(x)z (x) ) +q(x)z(x), kde z D(A), p C 1 ([a,b]) a q C([a,b]). Je-li operátor v divergentním tvaru a okrajové podmínky v jeho definičním oboru D(A) jsou standardního typu (z(a) = 0 = z(b), z (a) = 0 = z(b), z(a) = 0 = z (b), z (a) = 0 = z (b)), pak je symetrický na svém definičním oboru. O pozitivní definitnosti nelze rozhodnout bez znalosti funkcí p a q, je však nutné, aby x [a,b] p(x) > 0. Integrování po částech funkcí r,s C 1 ([a,b]): b a b r (x)s(x)dx = [r(x)s(x)] x=b x=a r(x)s (x)dx. 5.2 Některé pojmy, vztahy a hodnoty Funkce Lichá funkce f: f( x) = f(x). Sudá funkce g: g( x) = g(x). Goniometrické funkce sinx je lichá funkce, cosx je sudá funkce, sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx, sin 2 x+cos 2 x = 1, sin(α+β) = sinα cosβ +cosα sinβ, cos(α+β) = cosα cosβ sinα sinβ, sin2α = 2sinαcosα, cos2α = cos 2 α sin 2 α, sin(α/2) = (1 cosα)/2, cos(α/2) = (1+cosα)/2, sin(π/6) = 1/2 = cos(π/3), sin(π/4) = 2/2 = cos(π/4), sin(π/3) = 3/2 = cos(π/6). Logaritmy log2 0,301, log3 0,477, log5 0,7, log7 0,845, log11 1,04, log13 1,11, log17 1,23, log19 1,28. a Literatura [1] O. Axelsson: Iterative Solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. [2] R. A. Beezer: A First Course in Linear Algebra. http://linear.ups.edu/download/fcla-electric-2.20.pdf [3] L. Bican: Lineární algebra. SNTL, Praha, 1979. [4] F. Bubeník, O. Zindulka: Matematika 1. FSv ČVUT, Praha, 2005. [5] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I (část 1). FSv ČVUT, Praha, 2000. [6] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. TKI. SNTL, Praha, 1981. [7] J. Charvát, M. Hála, Z. Šibrava: Příklady k Matematice I. ČVUT, Praha, 1992. [8] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 1. Sbírka příkladů. FSv ČVUT, Praha, 2005. 24
[9] J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4. Text na webových stránkách přednášejícího. [10] M. Křížek, J. Brandts: Padesát let metody sdružených gradientů aneb Zvládnou počítače soustavy milionů rovnic o milionech neznámých? Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 47 (2002), 103-113 [11] J. Neustupa: Matematika I. FS ČVUT, Praha, 2005. [12] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I (sedmé vydání). Prometheus, Praha, 2000. [13] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1977. [14] E. Vitásek: Numerické metody. SNTL, Praha, 1987. [15] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika nakladatelství ČVUT, Praha, 2007. 25