Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21
Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních rovnic... Jak vypadá maticový zápis soustavy lineárních rovnic... Kdy má soustava lineárních rovnic řešení a kolik řešení existuje... Jak řešení najdeme pomocí maticových úprav... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 2 / 21
Soustava lineárních rovnic Definice: Necht a ij, b i, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n jsou reálná čísla. Soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... +a mn x n = b m nazýváme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých. počet rovnic a počet neznámých nemusí být stejný čísla A = a ij jsou zadaná čísla a nazýváme je koeficienty rovnic čísla b 1, b 2,..., b m jsou zadaná čísla a nazýváme je koeficienty pravých stran a souhrnně je zapisujeme jako matici b jestliže b = 0 říkáme, že soustava je homogenní, jestliže b 0 jedná se o soustavu nehomogenní. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 3 / 21
Řešení soustavy rovnic x 1, x 2,..., x n jsou neznámé proměnné a souhrnně je zapisujeme jako vektor neznámých x řešení soustavy je každá n-tice čísel v 1, v 2,..., v n taková, že po dosazení za x 1, x 2,..., x n budou všechny rovnice splněny řešením soustavy je tedy vektor čísel, pro který platí všechny rovnosti z definice každé řešení má tedy n složek řešit soustavu znamená najít všechna řešení (všechny n-tice, které vyhovují soustavě) pro lineární soustavy mohou nastat pouze následující situace řešení je právě jedno řešení neexistuje řešeních je nekonečně mnoho Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 4 / 21
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Ax = b a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n......... a m1 a m2... a mn m n x 1 x 2... x n n 1 matice A je matice systému s rozměry m n = matice b je matice (vektor) pravých stran délky m matice x je matice (vektor) neznámých délky n b 1 b 2......... b m m 1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 5 / 21
Rozšířená matice systému (A b) matice, která vznikne z matice A přidáním vektoru pravých stran b se nazývá rozšířená matice soustavy (A b) = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............ a m1 a m2... a mn b m rozšířená matice soustavy má rozměry m (n + 1) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 6 / 21
Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x 2y = 2 x + y = 5 x + 2y = 4 2x + 4y = 8 2x + 4y = 0 x + 2y = 0 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 7 / 21
Grafické řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 8 / 21
Ekvivalentní řádkové úpravy matic Definice: Ekvivalentní řádkové úpravy matic jsou operace 1. Změna pořadí řádků. 2. Vynásobení řádku nenulovým číslem. 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému řádku. každou ekvivalentní úpravu lze napsat jako pronásobení původní matice( A speciální ) ( maticí M zleva ) ( ) 0 1 1 2 3 1 0 2 např. = 1 0 1 0 2 1 2 3 vznikne-li matice C z matice A pomocí ekvivalentních úprav, říkáme, že C je ekvivalentní s A. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 9 / 21
Stupňovitý tvar matice a Gaussova eliminační metody Definice: Matice A m n je v řádkově odstupňovaném tvaru, pokud existuje r takové, že platí řádky 1,..., r jsou nenulové (tj. každý obsahuje aspoň jednu nenulovou hodnotu), řádky r + 1,..., m jsou nulové, a navíc označíme-li p i = min{j; a ij 0}, tak platí p 1 < p 2 < < p r. pozice (1, p 1 ), (2, p 2 ),..., (r, p r ) se nazývají pivoty, sloupce p 1, p 2,..., p r se nazývají bázické a ostatní sloupce nebázické Převod matice na stupňovitý tvar se nazývá Gaussova eliminační metoda. Každou nenulovou matici lze pomocí Gaussovy eliminační metody upravit na stupňovitý tvar. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 10 / 21
Schematické znázornění odstupňované matice Pivoty jsou pozice černých teček. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 11 / 21
Postup při Gaussově eliminační metodě na první řádek přesunu řádek matice, který má na pozici 1 nenulový prvek prvek na pozici (1, p 1 ) je prvním pivotem vynuluji všechny prvky ve sloupci pod pivotem na druhý řádek přesunu řádek matice, který má na pozici 2 nenulový prvek (pokud takový řádek neexistuje, přesunu na druhý řádek takový řádek matice, který má nenulový prvek na pozici 3,... ) prvek na pozici (2, p 2 ) je dalším pivotem vynuluji všechny prvky ve sloupci pod pivotem... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 12 / 21
Hodnost matice Definice: Hodnost matice A typu m n je počet nenulových řádků upravené na stupňovitý tvar, která vznikne z matice A pomocí ekvivalentních řádkových úprav. Hodnost značíme rank(a) nebo h(a). Hodnost matice je číslo. Hodnost nenulové matice je v rozmezí hodnot 1 až m Hodnost matice nezávisí na pořadí ekvivalentních úprav. Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 13 / 21
Příklad na určení hodnosti matice A 1 = 1 2 3 3 5 1 2 3 2 1 2 3 0 1 8 0 0 0 1 2 3 0 1 8 2 3 2 rank(a 1 ) = 2 1 2 3 0 1 8 0 1 8 A 2 = 1 4 5 2 1 3 2 1 2 1 0 1 1 4 5 2 0 7 7 3 0 0 3 0 rank(a 2 ) = 3 1 4 5 2 0 7 7 3 0 7 10 3 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 14 / 21
Počet řešení soustavy lineárních rovnic Frobeniova věta Mějme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých ve tvaru Ax = b, pak pro počet řešení platí: když rank(a) = rank(a b) = n, pak soustava má právě jedno řešení když rank(a) = rank(a b) < n, pak soustava má nekonečně mnoho řešení když rank(a) rank(a b), pak soustava nemá řešení hodnost matice A b a matice A získáváme na základě odstupňované matice Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 15 / 21
Tvary odstupňovaných matic pro jednotlivé případy rank(a) = rank(a b) = n rank(a) = rank(a b) < n rank(a) rank(a b) a 11 a 12... a 1n b 1 0 a 22... a 2n b 2 0 0...... 0 0 0 a mn b m a 11 a 12... a 1n b 1 0 a 22... a 2n b 2 0 0...... 0 0 0 0 0 a 11 a 12... a 1n b 1 0 a 22... a 2n b 2 0 0...... 0 0 0 0 b m Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 16 / 21
Řešení soustavy pomocí Gaussovy eliminace využíváme toho, ekvivalentní řádkové úpravy rozšířené matice soustavy nemění řešení soustavy, převedeme rozšířenou soustavu pomocí ekvivalentních řádkových úprav na odstupňovaný tvar, pomocí Frobeniovy věty rozhodneme o řešitelnosti soustavy, pokud řešení existuje najdeme ho pomocí zpětné substituce napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku soustavy pokud poslední řádek soustavy má tvar a mn x n = b m pak x n = b m /a mn pokud poslední řádek soustavy má tvar 0x n = 0 pak x n = t je parametr (t je libovolné reálné číslo) napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 17 / 21
Příklad soustavy, které má právě jedno řešení 1 2 1 0 3 5 2 3 7 3 1 16 x 1 2 x 2 +x 3 = 0 3 x 1 5 x 2 2 x 3 = 3 7 x 1 3 x 2 +x 3 = 16 1 2 1 0 0 1 5 3 0 0 49 49 x 1 = 3, x 2 = 2, x 3 = 1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 18 / 21
Příklad soustavy, které má nekonečně řešení ( 1 1 2 1 2 0 2 0 x + y +2z = 1 2 x +2 z = 0 ) ( 1 1 2 1 0 1 1 1 ) x = t, y = 1 t, z = t kde parametr t R Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 19 / 21
Příklad soustavy, které nemá řešení 2 3 4 8 3 5 1 10 7 1 7 15 2 x 3 y +4z = 8 3 x +5 y z = 10 7 x y +7 z = 15 2 3 4 8 0 19 14 4 0 0 0 22 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 20 / 21
A co příště... Funkce a jejich vlastnosti... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 21 / 21