Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015
NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVRŮ V E3 V tomto text vedeme některé pozntky vektorového počt pro popis lineárních útvrů (bodů, přímek, rovin) v prostor E 3. Tké bdeme zkomt jejich polohové metrické vzthy. Požívt bdeme výhrdně popis pomocí rovnic, tzv. nlyticko metod. VEKTOR Veličin, která je dán poze číslem (velikostí) se nzývá sklár. Pokd je dán nejen velikostí, le tké směrem, pk ji nzýváme vektor. Vektor zprvidl grficky znázorňjeme úsečko, která vychází z rčitého počátečního bod jejíž délk dává velikost vektor směr dává směr vektor. Ke koncovém bod připisjeme šipk, bychom vyznčili orientci vektor, tj. n ktero strn směřje. Tto úsečk nzýváme orientovno úsečko. Orientovná úsečk Velikostí orientovné úsečky rozmíme vzdálenost jejího počátečního koncového bod, znčíme ji. Splývá-li počáteční bod koncový bod orientovné úsečky, pk je její velikost rovn nle. Definice: Vektorem nzveme množin všech rovnoběžných, stejně velkých stejně orientovných úseček. Kždo z těchto úseček nzýváme místěním vektor. (Npř. orientovná úsečk je místěním vektor.) Vektor Velikostí vektor pk rozmíme velikost jeho libovolného místění. Je-li = = 1, nzýváme vektor jednotkovým vektorem. Nlový vektor znčíme o. 1. Rovnost vektorů Operce s vektory Dv vektory, b jso si rovny, jso-li reprezentovány stejno množino rovnoběžných, sohlsně orientovných stejně velkých orientovných úseček. 2
2. Sočet vektorů Předpokládejme, že jso dány dv vektory b. Sočet vektorů, b získáme, jestliže do koncového bod vektor místíme počáteční bod vektor b, pk vektor c s počátečním bodem v počátečním bodě vektor s koncovým bodem v koncovém bodě vektor b je sočtem vektorů b (c = + b ). b c Sočet vektorů Pro sčítání dvo vektorů pltí komttivní zákon pro sčítání více vektorů pltí tké socitivní zákon. 3. Násobek vektor reálným číslem k Vektor c = k, kde k je reálné číslo, dostneme tk, že k-krát sečteme vektor. Velikost tkového vektor je k -násobek velikosti vektor, tj. c = k. Je-li k = 0, pk je c = k = 0. Orientce vektor c = k je stejná jko orientce vektor, je-li k > 0, opčná jko orientce vektor, je-li k < 0. Opčný vektor k vektor je tkový, mjí-li stejný směr velikost, le opčno orientci. Opčný vektor k vektor můžeme získt tké tk, že vektor násobíme číslem -1. Opčný vektor k vektor se obvykle znčí. Z definice plyno tyto vlstnosti: 1. Komttivnost: k = k 2. socitivnost: (k h) = k (h ) 3. Distribtivnost vzhledem ke sčítání čísel: (k + h) = k + h 4. Distribtivnost vzhledem ke sčítání vektorů: k( + b ) = k + k b 4. Odčítání vektorů Odčítání vektor b od vektor je definováno jko sočet vektor s vektorem opčným k vektor b, tj. b = + ( b ). -b -b b Odčítání vektorů 3
Lineární kombince vektorů Lineární kombincí vektorů, 1, 2, n nzveme vektor, jestliže existjí reálná čísl k 1, k 2,, k n tková, že Vektory, 1, 2, n pro něž pltí, = k 1 1 + k 2 2 + + k n. n k 1 1 + k 2 2 + + k n n = o zároveň lespoň jeden koeficient je nenlový, pk se nzývjí lineárně závislé. Nopk, jestliže pro vektory, 1, 2, n pltí k 1 1 + k 2 2 + + k n n = o, poze když k 1 = k 2 = = k n = 0, pk se nzývjí lineárně nezávislé. Vektory kolineární Nechť jso dány dv lineárně závislé vektory, b, pk můžeme psát npř. b = k. Z definice k násobk vektor víme, že místění vektorů, b jso rovnoběžná s tož přímko (tj. vektory, b jso rovnoběžné). Vektory rovnoběžné se stejno přímko nzýváme kolineární. Vektory komplnární Skpin tři více vektorů, které leží v téže rovině, jso vektory nvzájem lineárně závislými. Všechny vektory, které leží v jedné rovině, nebo které lze do jedné roviny místit, říkáme vektory komplnární. Máme-li dány tři lineárně závislé vektory, b, c, pk lespoň jeden z nich je lineární kombincí osttních dvo. Npř.: c = k 1 + k 2 b. áze vektorového prostor Vektorový prostor je kždá sostv vektorů, které mjí tto vlstnost: Obshje-li vektorový prostor všechny vektory nějké skpiny, 1, 2,, n obshje i kždo jejich lineární kombinci ť jso jejich koeficienty k 1, k 2,, k n jkékoliv. k 1 1 + k 2 2 + + k n, n Nechť jso ve vektorovém prostor E 3 dány tři lineárně nezávislé vektory, b, c libovolný vektor vektorového prostor lze vyjádřit jednoznčně jko jejich lineární kombinci, tj. = k 1 + k 2 b + k 3 c, {k 1, k 2, k 3 } R, pk tyto vektory tvoří v dném vektorovém prostor bázi. 4
Sořdnice vektor bod v prostor V krtézské sostvě sořdnic bdeme z bázi vektorového prostor volit vždy trojici jednotkových nvzájem kolmých vektorů i, j, k. Tto trojice jednotkových vektorů i, j, k je lineárně nezávislá, proto lze jkýkoliv vektor v prostor vyjádřit jko jejich lineární kombinci, = x i + y j + z k. Uspořádno trojici čísel koeficientů x, y, z nzýváme sořdnice vektor vektory x, i, y j, z k nzýváme složkmi vektor. Vektor pk píšeme ve tvr = ( x, y, z ). i x k i k z j Sořdnice vektor Předpokládejme, že ve vektorovém prostor E 3 máme dné dv vektory = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ) pomocí sořdnic, pk pltí následjící prvidl: ) dv vektory, b jso si rovny, tj. = b, právě když i = b i pro i = 1, 2, 3; b) sořdnice sočt vektorů dostneme ze vzth + b = ( x + b x, y + b y, z + b z ); c) sořdnice k - násobk vektor jso rčeny vzthem k = (k x, k y, k z ); d) sořdnice nlového vektor jso dány předpisem o = (0, 0, 0); e) velikost vektor je dán předpisem j = x 2 + y 2 + z 2 ; f) jednotkový vektor příslšný k vektor je dán předpisem = ( x, y, z ). y Umístíme-li jednotkové vektory i, j, k n sořdnicové osy x, y, z jejich počáteční body do počátk sostvy sořdnic jejich směr bde shodný s kldným směrem os (sořdnice jednotkových vektorů n sořdnicových osách jso dány předpisy i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)), pk z vektorového prostor přejdeme k prostor bodovém. Počátkem osmi je dán sostv bodových sořdnic v prostor. Kždý bod v prostor pk můžeme vyjádřit jeho polohovým vektorem, tedy vektorem, jehož počáteční bod je v počátk sostvy sořdnic koncový bod je v dném bod. 5
od v prostor má tedy tři sořdnice, které jso shodné se sořdnicemi jeho polohového vektor. Tyto sořdnice bod bdeme zpisovt [x, y, z ]. z z k x i k i j y j y x Sořdnice bod Máme-li dány dv body [x, y, z ], [x, y, z ], pk sořdnice vektor s počátečním bodem koncovým bodem získáme tkto: = (x x, y y, z z ). SKLÁRNÍ SOUČIN Sklární sočin dvo vektorů, b je číslo b = b cosφ, kde, b je velikost vektorů je velikost úhl, který tyto vektory svírjí (0 φ 180 ). b Velikost úhl dvo vektorů Mjí-li vektory sořdnice = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ), pk je sklární sočin: b = x b x + y b y + z b z. Vlstnosti sklárního sočin: ) komttivnost: b = b, b) distribtivnost vzhledem ke sčítání vektorů: (b + c ) = b + c, c) (k ) b = k( b ) = (kb ), d) b = 0, pk nebo b je nlový vektor nebo nenlové vektory jso k sobě kolmé. vzth Ze sklárního sočin vyplývá, že velikost úhl mezi vektory b můžeme vypočítt ze cosφ = xb x + y b y + z b z. b 6
VEKTOROVÝ SOUČIN Vektorovým sočinem dvo vektorů, b je vektor c (c = b ), který je kolmý n ob dv vektory, orientovný tk, by všechny tři vektory tvořily prvotočivý systém. Velikost vektorového sočin je rčen vzthem: c = b sin φ, kde je úhel, který svírjí vektory, b. c b Vektorový sočin Vektorový sočin vektorů = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ) vypočteme jko hodnot determinnt: i j k c = b = x y z = ( y b z z b y )i + ( z b x x b z )j + ( x b y y b x )k = b x b y b z ( y b z z b y, z b x x b z, x b y y b x ) = (c x, c y, c z ). Vlstnosti vektorového sočin: ) b = b (vzhledem ke smysl otáčení) b) (b + c ) = b + c c) ( + b ) c = c + b c d) (k ) b = (kb ) = k( b ) e) b = o, jestliže jeden z vektorů je nlový nebo ob vektory jso nenlové nvzájem rovnoběžné f) i j = k, j k = i, i k = j g) Velikost vektorového sočin se rovná ploše rovnoběžník, jehož strny jso rčeny vektory, b. Výšk rovnoběžník je v = b sinφ jeho ploch P = v = b sinφ = b. v b Vektorový sočin 7
ROVNICE PŘÍMKY Přímk v nlytické geometrii lze vyjádřit několik způsoby: 1. Vektorová rovnice přímky Přímk p prochází bodem [x, y, z ] rovnoběžně s nenlovým vektorem = ( x, y, z ), který nzýváme směrovým vektorem přímky p. od X[x, y, z] ležící n přímce rčje s bodem vektor X, který msí být násobkem vektor. Tedy X = k, kde k je reálné číslo, tzv. prmetr bod X. k p X 2. Prmetrické vyjádření přímky Vektorová rovnice přímky Přepíšeme-li vektorovo rovnici přímky pomocí bodů, X, dostáváme X = X = k, X = + k. Doszením sořdnic bodů, X vektor do vedené rovnice dostneme trojici tzv. prmetrických rovnic přímky x = x + k x y = y + k y z = z + k z Kždý bod n přímce má jiný prmetr k R. Směrový vektor přímky není rčen jednoznčně, je-li rčen vektorem, pk může být rčen tké jkýmkoliv vektorem s, s 0. 3. Knonický tvr rovnice přímky Jso-li všechny tři sořdnice směrového vektor přímky nenlová čísl, můžeme z trojice prmetrických rovnic přímky vyjádřit prmetr k, čímž získáme knonický tvr rovnice přímky k = x x x = y y y = z z z 4. Přímk jko průsečnice rovin V prostor může být přímk rčen jko průsečnice dvo rovin α, β. Potom její rovnice je rčen sostvo obecných rovnic rovin α, β, tj. α: α x + b α y + c α z + d = 0 β: β x + b β y + c β z + d = 0 8
Tto sostv je sostvo dvo rovnic o třech neznámých x, y, z. bychom mohli sostv vyřešit, zvolíme si jedn neznámo z prmetr. Osttní dvě neznámé pk vyjádříme pomocí tohoto prmetr. Odtd pk dostáváme prmetrické vyjádření přímky. Směrový vektor přímky je kolmý n normálové vektory rovin α, β, proto může být rčen jko jejich vektorový sočin = n α n β. n n Směrový vektor průsečnice rovin ROVNICE ROVINY Tké rovin lze v prostor vyjádřit několik způsoby: 1. Normálový tvr rovnice roviny Je-li dán rovin α bodem M[x M, y M, z M] dvěm lineárně nezávislými vektory, v, pk nenlový vektor n kolmý k rovině α je rčen vektorovým sočinem vektorů, v, tj. n = v. Tento vektor n nzýváme normálovým vektorem roviny α. Je-li bod X libovolný bod roviny α, pk jso vektory n MX n sebe kolmé, tj. pltí n MX = 0. Tto rovnice se nzývá normálový tvr rovnice roviny. 2. Obecná rovnice roviny M n Normálový tvr rovnice roviny Dosdíme-li do normálového tvr rovnice roviny sořdnice bodů M[x M, y M, z M], X [x, y, z] sořdnice nenlového normálového vektor n = (, b, c), pk dostáváme v n MX = 0, (X M)n = 0, (x x M, y y M, z z M ) (, b, c) = 0, x + by + cz (x M + by M + cz M ) = 0. Oznčíme-li d = (x M + by M + cz M ), pk získáme tvr obecné rovnice roviny, tj. x + by + cz + d = 0. X 9
3. Úsekový tvr rovnice roviny Neprochází-li rovin počátkem sostvy sořdnic, pk ji lze rčit pomocí úseků, které vytíná n sořdnicových osách. Úsekový tvr rovnice roviny odvodíme z obecného tvr rovnice roviny. Je-li d 0, pk jím můžeme obecno rovnici roviny vydělit. d x + b d y + c d z + 1 = 0 Doszením = d, = d, C = d dostneme úsekový tvr rovnice roviny b c x + y + z C = 1, kde čísl,, C rčjí úseky, v nichž rovin protíná sořdnicové osy. Trojice čísel,, C by neměl být nlová, pokd by bylo některé číslo rovno nle, pk je rovin rovnoběžná s příslšno sořdnicovo oso. 4. Vektorová rovnice roviny Je-li dán rovin α bodem M[x M, y M, z M] dvěm směrovými vektory, v, pk bod roviny X[x, y, z] vytvoří s bodem M vektor MX, který je lineární kombincí vektorů, v. Můžeme tedy psát, MX = X M = k + lv, kde k, l jso reálná čísl. Uvedená rovnice je vektorovo rovnicí roviny. 5. Prmetrické vyjádření roviny Vyjádříme-li z vektorové rovnice roviny bod X, pk pltí, že X = M + k + lv. Dosdíme-li do této rovnice sořdnice vektorů = ( x, y, z ), v = (v x, v y, v z ) sořdnice bod M[x M, y M, z M] dostáváme, že pro sořdnice libovolného bod X roviny pltí x = x M + k x + lv x y = y M + k y + lv y Pokd bychom z těchto rovnic vyjádřili prmetry k, l, pk získáme obecný tvr rovnice roviny. z = z M + k z + lv z POLOHOVÉ ÚLOHY 1. Vzájemná poloh dvo přímek V prostor máme dány dvě přímky bodem směrovým vektorem: p: X = P + t, t R q: X = Q + rv, r R 10
Vzájemno poloh těchto přímek rčíme podle vektorů, v, PQ : Vzájemná poloh dvo přímek, v kolineární vektory, v nekolineární vektory, PQ kolineární vektory, PQ nekolineární vektory, v, PQ lineárně závislé, v, PQ lineárně nezávislé totožné přímky různé rovnoběžky různoběžky mimoběžky P Q v p=q P Q p v q p P Q v q P Q v p q 2. Vzájemná poloh dvo rovin Zdáme-li v prostor dvě roviny v normálovém tvr, pk jejich vzájemno poloh můžeme rčit pomocí normálových vektorů n α, n β rovin vektor, přičemž bod leží v rovině bod leží v rovině. n α = 0 n α, n β kolineární vektory α: X n α = 0 β: X n β = 0. Vzájemná poloh dvo rovin n α 0 n α, n β nekolineární vektory totožné roviny různé rovnoběžné roviny různoběžné roviny n n n n n n 11
3. Vzájemná poloh přímky roviny Nechť je v prostor dán přímk p: X = + t, t R, rovin α: X n α = 0. Vzájemno poloh přímky roviny bdeme poszovt podle sklárního sočin n α sklárního sočin n. α Vzájemná poloh přímky roviny n α = 0 n α = 0 n α 0 n α 0 přímk je rovnoběžná s rovino leží v ní přímk je rovnoběžná s rovino neleží v ní přímk rovin jso různoběžné n n p n n p n n p METRICKÉ ÚLOHY Vzdálenost 1. Vzdálenost dvo bodů, Vzdálenost dvo bodů [x, y, z ], [x, y, z ] v prostor je rčen velikostí vektor : d = = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2. 2. Vzdálenost bod od přímky q Vzdálenost bod od přímky je možné vypočítt dvěm různými způsoby:. odem proložíme rovin kolmo n přímk q rčíme průsečík M přímky q s rovino ρ. Pk vzdálenost bod od přímky q je stejná jko vzdálenost bod od průsečík M: d(, q) = M. 12
q M Vzdálenost bod od přímky rovin kolmá b. Pomocí vlstností vektorového sočin: Přímk q je rčen bodem směrovým vektorem. Vektory jso nekolineární tedy rčjí rovnoběžník CD. Ploch rovnoběžník CD o strnách je: P = (z vlstností vektorového sočin). Z geometrických vlstností rovnoběžník zse získáme P = d. Tedy vzdálenost d bod od přímky vypočítáme: d = D d q C Vzdálenost bod od přímky vektorový sočin 3. Vzdálenost bod od roviny Konstrktivní postp řešení úlohy vede k rčení pty Q kolmice k vedené z bod k rovině. nlogickým způsobem bdeme postpovt i při výpočt vzdálenosti bod od roviny. Stejně jko v konstrktivním postp vedeme bodem [x, y, z ] kolmici k k rovině. Směrový vektor kolmice k je stejný jko normálový vektor n α = (, b, c) roviny. Pk prmetrické rovnice kolmice k jso tvr: x = x + t, y = y + tb, z = z + tc, t R. 13
k n Q n Kolmice k rovině dným bodem Doszením prmetrických rovnic kolmice do obecné rovnice roviny rčíme průsečík Q[x Q, y Q, z Q ] roviny s kolmicí: Vyjádříme prmetr t průsečík Q z této rovnice: (x + t) + b(y + tb) + c(z + tc) + d = 0. t = x +by +cz +d 2 +b 2 +c 2. Doszením sořdnic bodů Q do vzth pro velikost vektor Q, získáme vzdálenost bod od roviny: Q = (x Q x ) 2 + (y Q y ) 2 + (z Q z ) 2, Q = (x + t x ) 2 + (y + tb y ) 2 + (z + tc z ) 2, Q = t 2 + b 2 + c 2, Q = x +by +cz +d 2 + b 2 + c 2, 2 +b 2 +c 2 Q = x +by +cz +d. 2 +b 2 +c 2 4. Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek p q Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek p q rčjeme jko vzdálenost zvoleného bod n jedné z dných přímek od drhé přímky. 5. Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny je stejná jko vzdálenosti zvoleného bod přímky p od dné roviny. 6. Vzdálenost dvo rovnoběžných rovin, Vzdálenost dvo rovnoběžných rovin, se rovná vzdálenosti zvoleného bod v jedné rovině od drhé roviny. 14
1. Odchylk dvo přímek Odchylk Velikost odchylky úhl dvo přímek p, q, je stejná jko velikost odchylky směrových vektorů, v těchto přímek. Tto odchylk zjistíme z definice sklárního sočin. Odchylk dvo přímek vždy volíme od 0 do 90, proto msí být hodnot sklárního sočin vždy kldná tedy sklární sočin msí být v bsoltní hodnotě. φ = rccos v v. 2. Odchylk dvo rovin Odchylk φ dvo rovin, je rčen odchylko jejich normálových vektorů n α, n β. Pltí tedy φ = rccos nα n β n α n. β 3. Odchylk přímky roviny Odchylk φ přímky p od roviny je úhel, který svírá přímk p její prvoúhlý průmět p 0 do roviny. Odchylk přímky od roviny je dán vzorcem sin φ = cos ω = nα n, α kde n α je normálový vektor roviny, je směrový vektor přímky p je úhel, který svírá normálový vektor n α roviny směrový vektor přímky p. Přitom pltí, že φ = π ω. 2 15