4 Mříž tvořená body, mřížová funce její Fourierov trnsformce, reciproá mříž Reciproé vetory bázi reciproých vetorů používl již olem r 880 J W Gibbs ve svých přednášách o vetorové nlýze [], str 0, 83 Do struturní nlýzy zvedli pojem reciproé mřížy P Ewld M v Lue hned při jejím vzniu v r 93 [2] Důvodem tomu bylo usndnění výpočtů nlyticé geometrie lineárních útvrů při použití soustvy souřdnic s neortonormální bází, již je nezbytné použít, jsou-li studovány rystly s nižší symetrií neubicé Od té doby náleží reciproá mříž záldním pojmům rystlogrfie, fyziy pevných láte dlších oborů Uvedení lsiové i utoři učebnic příruče definují bzální vetory s reciproé mřížy lgebricy viz vzthy 42 v dlším textu resp dodte C Potom se vš v učebnicích příručách používá reciproé mřížy jo Fourierovy trnsformce mřížy Důz tohoto tvrzení vš ž n výjimy [3], str 85 87 nebývá uváděn Možná proto, že u neortogonálních soustv není tento důz jednoduchý Sám ft, že reciproá mříž je Fourierovou trnsformcí mřížy je ovšem důležitý nejen při studiu rystlicých pevných láte, le té npř pro vyjádření Fourierovy řdy periodicých funcí dvou více proměnných, jejichž periody nejsou v ortogonálních směrech, pro formulci vzorovcího teorému v prostorech s dimenzí N 2 pod V této pitole proto uvedeme nejprve onu lgebricou definici reciproé mřížy odst 42 potom podrobně podáme důz, že reciproá mříž je Fourierovou trnsformcí mřížy odst 43 Přitom zísáme výrz pro Fourierovu řdu obecné mřížové funce odst 44, tj i tové, jež chrterizuje mřížy periodicé pouze v neortogonálních směrech 4 Mřížová funce N rozměrnou mřížu s bzálními vetory r, r, 2,, N, tvořenou body, chrteristizuje tzv mřížová funce de f x x n n 2 2 n N N x x n, x n n n 2 2 n N N 2 znčí mřížový vetor symbol vyjdřuje, že všechny složy n, n 2,, n N multiindexu n nbývjí všech celočíselných hodnot Mřížová funce je tedy N násobnou řdou Dircových distribucí N proměnných Vytvořme mtici 2 N 2 22 2N A rs, 3 N N2 NN jejíž řády tvoří souřdnice rs bzálních vetorů r mřížy v soustvě souřdnic s ortonormální bází e, e 2,, e N Povžujeme-li proměnnou x i multiindex n z sloupcové mtice vytvořené souřdnicemi x r v uvedené ortogonální bázi resp celými čísly n r, můžeme mřížovou funci npst též ve tvru f x x A T n 4 Determinnt mtice A se nzývá vnější součin vetorů r, r, 2,, N, viz npř [4], str 95 [, 2,, N ] det A 5 Jeho bsolutní hodnot nezávisí n volbě ortonormální báze definuje viz npř [9], str 26 objem V U N rozměrného rovnoběžnostěnu elementární buňy, jehož hrny tvoří bzální vetory r mřížy: det A V U 6
2 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Nezávislost bsolutní hodnoty vnějšího součinu n volbě ortonormální báze e, e 2,, e N nhlédneme, vypočteme-li jeho druhou mocninu: [ ] 2 2, 2,, N det A det A det A T det AA T det r s det G 7 Symbol A T oznčuje mtici trnsponovnou mtici A 2 N 2 2 2 2 N det G N N 2 N N 8 je Grmův determinnt bzálních vetorů mřížy, jehož nezávislost n soustvě souřdnic je zřejmá Že je bsolutní hodnot vnějšího součinu objemem elementární buňy, je zřejmé pro dimenze prostoru N, 2 3, dy jde o délu, plochu objem v obvylém smyslu slov Že je tomu t i pro N 4 vyplývá z toho, že [, 2,, N ] má vlstnosti ldené n objem [4], str 95, [9], str 26 27, npř: i [, 2,, N ] 0 tehdy jen tehdy, dyž vetory tvořící vnější součin jsou lineárně závislé ii Znásobíme-li jeden z vetorů tvořících vnější součin číslem α, potom se té vnější součin znásobí číslem α iii [, 2,, N ] 2 N, de r znčí délu vetoru r 42 Algebricá definice reciproé mřížy V polovině minulého století doporučovl Mezinárodní rystlogrficá unie definovt bzální vetory s mřížy reciproé mřížce o bzálních vetorech r slárními součiny r s K rs, r, s, 2,, N, de K je tzv reciproá onstnt viz [6], str 2, jejíž hodnotu lze přípd od přípdu vhodně volit Kdybychom chtěli tohoto doporučení využít, volili bychom K / uázlo by se srov 435, 3, 7 v dlším textu, že při ždé volbě prmetrů A, B, je Fourierov trnsformce mřížové funce úměrná mřížové funci reciproé mřížy Doporučení Unie vš zůstlo nevyslyšeno v rystlogrfii, nuce o mteriálu příbuzných technicých oborech se důsledně volí K viz npř [3], str 386, [5], str 63, ztímco ve fyzice pevných láte příbuzných oborech, fyzice povrchů fyziálně lděných plicích se volí K viz npř [7], str 62, [8], str 87 Nědy se vedou i spory o to, terá ze dvou posledně jmenovných eventulit je t jedině správná viz [0], str 62 Přidržíme se zde zvylostí rystlogrfie, i dyž to poněud zompliuje formuli vyjdřující Fourierovu trnsformci mřížové funce Definujeme tedy bzální vetory s reciproé mřížy slárními součiny r s rs, r, s, 2,, N Z této definice je zřejmé jedn, že reciproá mříž reciproé mřížce je původní mříž, jedn, že bzální vetor s reciproé mřížy je olmý e všem bzálním vetorům r původní mřížy s výjimou vetoru s Definice je implicitní definicí bzálních vetorů reciproé mřížy, jež nedává bez dlších výpočtů explicitní vyjádření vetorů s prostřednictvím bzálních vetorů r původní mřížy Abychom tová explicitní vyjádření dostli, přepíšeme N 2 rovnic v mticovém tvru de A st A A T I, 2 2 N 2 22 2N N N2 NN 3
42 Algebricá definice reciproé mřížy 3 je mtice, jejíž řády tvoří souřdnice bzálních vetorů s souřdnic I je jednotová mtice Z 2 je zřejmé, že reciproé mřížy v ortonormální soustvě A A T, tj st ts 4 Vyjádřeno slovy: Tvoří-li řády mtice A souřdnice bzálních vetorů původní mřížy, jsou sloupce inverzní mtice A tvořeny souřdnicemi bzálních vetorů reciproé mřížy: st N N s st e t st det A st det A e t, s, 2, N, 5 t t de det A st je subdeterminnt, terý vznine z det A vynecháním s tého řádu t tého sloupce Vzth 5 lze zpst ještě jednodušším způsobem: Vytvořme mtici A s t, že s tý řáde mtice A nhrdíme vetory e, e 2,, e N ortonormální báze P součet N st det A st e t det A s t předstvuje rozvoj determinntu det A s podle prvů s tého řádu vyjádření 5 bzálních vetorů s reciproé mřížy zísává jednoduchý tvr s det A s, s, 2,, N 6 det A Nevýhodou tohoto vyjádření je, že je vztženo n nějou ortonormální soustvu souřdnic Vzth 6 de fcto dává souřdnice vetoru s prostřednictvím souřdnic rt vetorů r v ortonormální soustvě souřdnic Je prvd, že tto ortonormální soustv může být libovolná Přesto usilujeme o vyjádření, teré by použití ortonormální soustvy souřdnic nevyždovlo Nštěstí v E 3 je vnější součin det A 2 3 det A 2 3, det A 2 3, det A 3 2 Vzthy 6 t v E 3 předstvují populární vyjádření bzálních vetorů reciproé mřížy přímo bzálními vetory mřížy: 2 3 2 3, 2 3 2 3, 3 2 2 3 7 T je tomu vš jenom pro N 3 Abychom se odpoutli od nutnosti použít nějé ortonormální soustvy souřdnic té v přípdě obecné dimenze N, rozšíříme zlome v 6 determinntem det A T Ve jmenovteli 6 tím dostneme det A det A T det G v čitteli det A s det A T det G s, de det G s je determinnt vznilý nhrzením prvů s tého řádu Grmov determinntu bzálními vetory, 2,, N mřížy Bzální vetory s reciproé mřížy t dostáváme vyjádřeny přímo prostřednictvím bzálních vetorů r mřížy, nioli prostřednictvím jejich souřdnic: s det G s, s, 2,, N 8 det G Poznám: Výrzy 8 lze odvodit i bez použití ortonormální soustvy souřdnic mtice A: Vetory s rozložíme v bázi tvořené bzálními vetory mřížy s α s α sn N, s, 2,, N, 9 znásobíme ždý z těchto rozldů postupně vetory r, r, 2,, N Podle definice t dostneme α s r α sn N r rs, r, s, 2,, N 0
4 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Při pevném s předstvuje 0 soustvu N lineárních lgebricých rovnic pro N oeficientů α s, α s2,, α sn Determinnt této soustvy je Grmův determinnt 48 Prvou strnu soustvy 0 tvoří nuly, dyž r s jedn, dyž r s Crmerovo prvidlo p dává velmi jednoduché řešení soustvy rovnic 0 pro oeficienty α st : α st st det G st, t, 2,, N, det G de det G st je subdeterminnt příslušející v Grmově determinntu prvu s t Dosdíme-li řešení do 9, dostneme s det G N t st t det G st det G s det G, což je 8 Použijeme nyní 8 npíšeme výrzy pro bzální vetory v E E 2 : V E zřejmě je V E 2 je tj, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 2 Nop 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 V E 3 jsou trdičně používné výrzy 7 mnohem jednodušší než 8 tto jednoduchost vybízí tomu, by se jich využívlo té pro dvojrozměrné mřížy V E 2 vš není definován vetorový součin Tto nesnáz se obchází tím, že se e dvěm bzálním vetorům, 2 dvojrozměrné mřížy přidá jednotový vetor n olmý dvojrozměrné mřížce t, by vetory, 2, n tvořily trojrozměrnou prvotočivou bázi Podle 7 se p vypočtou bzální vetory reciproé mřížy viz npř [8], str 87 2 n 2, 2 n 2 5 Evivlenci výrzů 5 3 sndno nhlédneme, vyjádříme-li jednotový vetor n prostřednictvím bzálních vetorů, 2, n 2 2, 6 dosdíme do 5 použijeme identit b c c b b c, b c d c b d d b c Dostneme t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, ve shodě s 3 Co se týá nedůležitého třetího bzálního vetoru reciproé trojrozměrné báze, je zřejmé ze 6, že 3 n
42 Algebricá definice reciproé mřížy 5 42 Příld: Reciproá mříž primitivní obdélníové mřížce v E 2 Vypočítáme bzální vetory reciproé mřížy primitivní obdélníové mřížce v E 2 s poměrem déle bzálních vetorů :2 s delší strnou elementární buňy ve svislém směru Dély bzálních vetorů, 2 oznčíme, 2 2 viz obr, tže 2 2, 2 2 4 2, 2 0 Ze vzthů 3 p vyplývjí bzální vetory reciproé mřížy ve tvru reciproé mřížy týž směr jo bzální vetory původní mřížy jejich veliosti jsou, 2 2 Reciproá mříž je opět primitivní obdélníová, vš s poměrem strn elementární buňy 2:, tj s delší strnou ve vodorovném směru viz obr b Kdybychom z nějého důvodu nezvolili bzální vetory nší obdélníové mřížy ortogonální, le nějé jiné, dostneme ovšem touž reciproou mřížu; bude mít pouze jiné bzální vetory: Zvolme z bzální vetory mřížy npř vetory 2 podle obr c Zřejmě je 2 8 2, 2 2, 2 2 2 2 Mjí tedy bzální vetory 2 5 2, 2 6 2, tže ze vzthů 3 vyplývjí pro bzální vetory / 2, 2 3 2 2 2 / 2 Veliosti těchto vetorů jsou 2 2/ viz obr d reciproé mřížy výrzy 5 4 3 2 2 5/2, Obráze : Dvojrozměrná primitivní obdélníová mříž, c s různě zvolenými bzálními vetory její reciproá mříž b, d
6 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE 422 Příld: Reciproá mříž centrovné obdélníové mřížce v E 2 Vypočítáme reciproou mřížu centrovné obdélníové mřížce v E 2 s poměrem strn obdélníové elementární buňy :2 s delší strnou ve svislém směru Zvolíme neortogonální bzální vetory, 2 podle obr 2 Zřejmě je 2 2, 2 2 5 2 /4, 2 2 /2 Z rovnic 3 p vyplývá, že bzální vetory reciproé mřížy jsou 5 4 2 2 / 2, 2 2 2 / 2 Jejich veliosti jsou 5/2, 2 / viz obr 2b Reciproá mříž je tedy opět centrovná obdélníová mříž, vš s poměrem strn elementární buňy 2:, tj s delší strnou ve vodorovném směru Obráze 2: Dvojrozměrná centrovná obdélníová mříž s bzálními vetory, 2 definujícími primitivní mřížu její reciproá mříž b 43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce Výpočet Fourierovy trnsformce mřížové funce 4 provedeme ntřirát: Nejprve v E odst 43 V tomto přípdě dává výpočet Fourierových integrálů Fourierovu trnsformci ve tvru Fourierovy řdy Tto Fourierov řd je součsně geometricou řdou s vocientem, jehož bsolutní hodnot se rovná jedné Jejím součtem je neonečná řd Dircových distribucí, jež je úměrná mřížové funci reciproé mřížy Výpočet v E 2 odst 432 využívá uvedených vlstností jednorozměrné mřížové funce Vyžduje vš té něoli obrtů typicých pro odvozování Fourierovy trnsformce vícerozměrné mřížové funce Přitom vš zůstává geometricy názorný Výpočet v E N odst 433 je formálně identicý s výpočtem v E 2 Ve všech přípdech se uáže, že Fourierov trnsformce mřížové funce je úměrná mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 43 Fourierov trnsformce mřížové funce v E V jednorozměrném přípdě má mřížová funce tvr fx n x n předstvuje periodicé rozmístění Dircových distribucí jedné proměnné s periodou viz obr 3 Můžeme ji tedy formálně vyjádřit ve tvru Fourierovy řdy fx h c h exp i h x Pozoruhodné je, že v přípdě mřížové funce mjí všechny oeficienty c h touž hodnotu Pltí totiž
43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce 7 c h /2 /2 /2 fx exp i h x dx n /2 /2 /2 Fourierov řd mřížové funce v E má tedy tvr n x n x n exp i h x dx x exp i h x dx h exp i h x h exp i h x, 2 což je geometricá řd s vocientem rovným omplexní jednotce exp i x To je důležitý výslede, jehož budeme používt při výpočtech Fourierovy trnsformce mřížové funce vícerozměrné mřížy Připrvíme si tedy potřebnou formuli tím, že využijeme 2 vyjádření součtu geometricé řdy s vocientem q expibx: h exp ibhx b n x n b 3 Fourierovu trnsformci jednorozměrné mřížové funce můžeme nyní počítt buď přímo z definičního výrzu nebo z její Fourierovy řdy 2 Zvolíme první způsob Záměnou pořdí integrce sčítání použitím výběrové vlstnosti Dircovy distribuce dostneme Fourierovu trnsformci mřížové funce ve tvru Fourierovy řdy: [ F X A x n exp ixx ] dx n A x n exp ixx dx A n n exp ixn A n exp ixn 4 Fourierov řd 4 Fourierovy trnsformce mřížové funce je geometricou řdou s vocientem expix Podle 3 jde tedy o Fourierovu řdu funce F X A h X Dospíváme t závěru, že Fourierov trnsformce jednorozměrné mřížové funce s periodou je úměrná jednorozměrné mřížové funci s periodou : FT { n x n } B h X h h B h X h 5 Jednorozměrná mřížová funce i její Fourierov trnsformce 5 je znázorněn n obr 3
8 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE fx FX B - 0 2 3 x - 0 2 3 b X Obráze 3: Lineární mříž 43 s prmetrem, její Fourierov trnsformce 435, b 432 Fourierov trnsformce mřížové funce v E 2 Ve dvojrozměrném prostoru má mřížová funce tvr f x fx, x 2 x n n 2 2 n n 2 n n 2 x n n 2 2, x 2 n 2 n 2 22 6 Přímým výpočtem Fourierovy trnsformce této funce [ F X A 2 A 2 A 2 n n 2 n n 2 n n 2 x n n 2 2 ] exp i X x d 2 x exp [ i X n n 2 2 ] exp [ i X n n 2 2 ] 7 dostáváme Fourierovu trnsformci opět vyjádřenou Fourierovou řdou, tentoráte ovšem dvojnou Je vš zřejmé, že ji lze vyjádřit součinem dvou jednoduchých řd: F X A 2 n exp [ i X n ] n 2 exp [ i X 2 n 2 ] 8 Kždá z nich je geometricou řdou s vocientem expi X resp expi X 2 Podle 3 jde tedy o Fourierovy řdy funcí h X h resp Fourierovu trnsformci 8 můžeme přepst do tvru F X A 2 2 h h 2 X h h 2 X 2 h 2 9 X 2 h 2 0 Dříve než budeme porčovt v úprvách výrzu 0, všimněme si geometricého význmu jednoduchých řd v tomto výrzu viz obr 4 Je zřejmé, že v E 2 předstvují rovnice X i h i, tj X i i i h i, h i 0, ±, ±2,
43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce 9 2 2 2 2 Obráze 4: K odvození Fourierovy trnsformce mřížové funce v E 2 V horní části obrázu je mříž s bzálními vetory, 2 V dolní části obrázu je její reciproá mříž s bzálními vetory, 2 soustvu rovnoběžných příme s roztečí i olmých vetoru i Součin řd v 0 tedy předstvuje soustvu Dircových distribucí dvou proměnných s nenulovými hodnotmi v bodech X určených podmínmi tj v bodech X h, X 2 2 2 h 2, h, h 2 0, ±, ±2,, X h h 2 2 tvořících dvojrozměrnou reciproou mřížu s reciproou onstntou K K tomuto výsledu ovšem dojdeme lgebricými úprvmi výrzu 0, niž bychom se opírli o geometricou předstvu, ještě jej doplníme Z tím účelem vyjádříme součin dvou jednoduchých řd v 0 dvojnou řdou Dircových distribucí dvou proměnných Fourierov trnsformce 0 t zísá tvr F X B 2 h h 2 X h, X 2 h 2 Pohlížíme-li n rgument Dircových distribucí dvou proměnných v jo n řádovou mtici, můžeme jej uprvovt Přitom proměnnou X povžujeme z řádovou mtici, jejímiž prvy jsou souřdnice X, X 2 v ortonormální bázi multiindex h povžujeme z řádovou mtici, jejímiž prvy jsou celá čísl h, h 2
0 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE X h, X 2 h 2 X, X 2 h, h 2 X, X 2 2 2 22 h, h 2 X A T h X h A T A T X h A A T 2 Fourierovu trnsformci s tto vyjádřeným rgumentem Dircových distribucí můžeme dále uprvovt vrátit se od mticového vyjádření vetorovému, jež nezávisí n volbě ortonormální báze: F X B 2 h h 2 B 2 det A B 2 V U B 2 V U X h A A T h h 2 X X X h A h h 2 2, X 2 h 2 h 2 22 h h 2 2 3 Zde V U det A je ploch elementární buňy původní mřížy viz 46 Fourierov trnsformce 3 mřížové funce funce 6 je tedy úměrná s onstntou úměrnosti /B 2 V U mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 433 Fourierov trnsformce mřížové funce v E N K témuž výsledu jo v E 2 se dospěje i v obecném přípdě mřížové funce v E N Algebricé nlyticé úprvy jsou stejné jo v E 2, pouze geometricá názornost chybí Počítáme tedy Fourierovu trnsformci mřížové funce 4: { } F X FT x n n 2 2 n N N A N A N A N x n n 2 2 n N N exp i X x d N x exp [ i X n n 2 2 n N N ] exp [ i X n n 2 2 n N N ] 4 Výrz 4 předstvuje Fourierovu trnsformci N rozměrné mřížové funce ve tvru N násobné Fourierovy řdy Tuto řdu lze bez problémů ftorizovt záměnou pořdí sčítání násobení přepst do tvru součinu N jednoduchých geometricých řd:
44 Fourierov řd mřížové funce v E N F X A N N j exp [i ] X j nj A N N j n j exp [i ] X j nj 5 Kždou jednoduchou geometricou řdu v 5 lze podle 3 vyjádřit jednoduchou řdou Dircových distribucí jedné proměnné: F X A N N N j h j X j h j Anlogicy vyjádříme součin jednoduchých řd Dircových distribucí jedné proměnné N násobnou řdou Dircových funcí N proměnných: F X X B N h,, X N h N Argument těchto Dircových distribucí povžujeme z řádovou mtici úprvou obdobnou 2 dostneme F X B N B N B N det A X A T h X h A T A T X h A 6 Přejdeme-li obdobně jo v 3 od mticového vyjádření rgumentu Dircových distribucí vyjádření prostřednictvím bzálních vetorů reciproé mřížy použijeme-li vzthu 46, zísáme Fourierovu trnsformci mřížové funce ve tvru de F X B N V U B N V U X h h 2 2 h N N X X h, 7 X h h h 2 2 h N N 8 je mřížový vetor reciproé mřížy Fourierov trnsformce 7 mřížové funce v jejím nejobecnějším tvru 4 je zřejmě úměrná s oeficientem úměrnosti /B N V U mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 44 Fourierov řd mřížové funce v E N Při odvozování Fourierovy trnsformce mřížové funce jsme tuto trnsformci zísli nejprve ve tvru její Fourierovy řdy V jednorozměrném přípdě je to výrz 434 ve dvourozměrném 437 v N rozměrném 434 Ve všech těchto přípdech je v exponentu jednotlivých sčítnců slární součin proměnné X mřížového vetoru x n mřížy, nioli reciproé mřížy, j bychom mohli čet u Fourierovy trnsformce
2 REFERENCE Nsýtá se otáz, j vypdá Fourierov řd mřížové funce Pro jednorozměrný přípd jsme ji vypočetli výrz 432 uzuje, že v exponentu sčítnců je součin proměnné x mřížového vetoru reciproé mřížy h Kdybychom se v obecném N rozměrném přípdě omezili jen n mřížové funce, jejichž bzální vetory r jsou nvzájem ortogonální, bylo by sndné je ftorizovt, vypočítt Fourierovu řdu v ždé proměnné potom jednotlivé ftory opět složit V obecném přípdě, dy vetory r nejsou ortogonální, vš tto postupovt nelze Nštěstí můžeme v ždém přípdě zíst Fourierovu řdu mřížové funce 4 zpětnou Fourierovou trnsformcí Fourierovy trnsformce mřížové funce ve tvru 437: x n n 2 2 n N N FT B V U V U exp V U X X h h 2 2 h N N h h 2 2 h N N exp ix x d N X [ i h h 2 2 h N ] N x je Je zřejmé, že v jednorozměrném přípdě se vzth reduuje n 432, ve dvojrozměrném přípdě pro N 3 n n 2 x n n 2 2 2 h h 2 exp [ i h h 2 ] 2 x n n 2 n 3 x n n 2 2 n 3 3 2 3 h h 2 h 3 exp [ i h h 2 2 h 3 ] 3 x Mřížové funce ve tvru Fourierovy řdy se používá vyjádření eletronové hustoty v rystlicých látách [5], str 69, [6], str 353 dlší, odvození vzorovcího teorému funcí více proměnných používjícího jinou než ortogonální vzorovcí síť [] jinde Reference [] Gibbs J W: Elements of Vector Anlysis Tuttle, Morehouse nd Tylor, New Hven 88 4 [2] Ewld P: Historisches und Systemtisches zum Gebruch des Reziproen Gitters in der Kristllstruturlehre Zeitschrift für Kristllogrphie 93 936, 396 398 [3] Guinier A: X Ry Diffrction In Crystls, Imperfect Crystls, nd Amorphous Bodies W H Freemn nd Co, Sn Frncisco 963 [4] Čech E: Záldy nlyticé geometrie I Přírodovědecé vydvtelství, Prh 95 [5] Gicovzzo C et l: Fundmentls of Crystllogrphy Interntionl Union of Crystllogrphy, Oxford University Press 992
REFERENCE 3 [6] Henry N F M, Lonsdle K eds: Interntionl Tbles for X-Ry Crystllogrphy Vol The Kynoch Press, Birminghm 952 [7] Kittel Ch: Úvod do fyziy pevných láte Acdemi, Prh 985 [8] Lüth H: Surfces nd Interfces of Solid Mterils 3rd ed Springer Verlg, Berlin 995 [9] Gntmcher F R: Těorij mtric 4 izd Izdtěl stvo Nu, Mosv 988 [0] Kittel Ch: Introduction to Solid Stte Physics 4th ed, John Wiley, Inc, New Yor 97 [] Petersen D P, Middleton D: Smpling nd Reconstruction of Wve Number Limited Functions in N Dimensionl Eucliden Spces Informtion nd Control 5 962, 279 323