3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [, ], [, 4], [4, ] a [3, 3]. (4) plocha mezi křivkami x a x. (5) = {(x, y) : x y e x, x } (6) = {(x, y) : x + y x 4y 4 } (7) = {(x, y) : x + 4y 4, x, y } (8) = {(x, y) : x + y 4, y } (9) = {(x, y) : x + y x, x } 3.. Oblasti v R 3. Popište množinu R 3 a najděte meze integrálu f(x, y, z)dxdydz, kde je: () = {(x, y, z) : x 3, y 4, z }, () těleso ohraničené rovinami x =, y = z = x a z = y (3) = {(x, y, z) : x + y + z, x, y, z }, (4) = {(x, y, z) : x + y z, z }, (5) = { (x, y, z) : x + y + z <, x + y < 64 }, 3.3. Dvojné integrály v polárních souřadnicích. Pro následující oblasti, převeďte integrál f(x, y)dxdy do polárních souřadnic: () = {(x, y) : x + y 9}, () = {(x, y) : (x ) + (y + ) 4}, (3) = {(x, y) : x + y, x, y }, (4) = {(x, y) : x + y 4x}, (5) je trojúhelník určený body [, ], [, ] a [, ]. 3.4. Trojné integrály v cylindrických a sférických souřadnicích. Převeďte následující trojné integrály do cylindrických či sférických souřadnic: () x x f(x, y, z)dzdydx.
() x x y f(x, y, z)dzdydx, (3) 4 x z f(x, y, z)dydzdx, (4) 4 x 4 x z x x x y x y f(x, y, z)dzdydx. 3.5. Výpočet násobných integrálů. Vypočtěte následující integrály: () x + y dxdy, = {(x, y) : x, y }, () xy dxdy, = {(x, y) : a x b, c y d}, (3) y dxdy, = {(x, y) : x, y }, +x (4) x y dxdy, je určená křivkami y = x, y =, x =, (5) x + y dxdy, {(x, y) : x + y 4}, (6) dxdy, {(x, y) : x + y e }, x +y (7) xy z 3 dxdydz, = {(x, y, z) : x, y, z } (8) z x + y dxdydz, = {(x, y, z) : x + y, z } (9) dxdydz, = {(x, y, z) : x +y x + y + z } () x +y dxdydz, = {(x, y, z) : a x + y + z b, z } 3.6. Nulovost násobných integrálů. Pro jaká n N budou následující integrály nulové: () x dxdy, = {(x, y) : x n, y }, () x n y dxdy, = {(x, y) : x + y }, (3) x n ydxdy, = {(x, y) : x + y },
3.7. Obsahy. Najděte obsah následujících útvarů: () mezikruží s poloměry kružnic a < b. () elipsy x + y =. a b (3) kruhová výseč, určená úhly α, β a poloměrem r. (4) plocha určená křivkami y = x a y = x n, x 3.8. Objemy těles. Vypočtěte objem následujících těles: () pětistěn určený plochami x =, y =, z =, z = + x + y a x + y =, () tlustostěnná koule - fotbalový míč = {(x, y, z) : a x + y + z b }, (3) tlustostěnný válec - prstýnek = {(x, y, z) : a x + y b, z c}, (4) válec s kulovými čepičkami = {(x, y, z) : x + y, x + y + z 4}, 3.9. Násobné integrály a WA. Zkuste si např. integrate x^+x*y^3 dx dy, x=.., y=.. integrate x*y^ dx dy, x=..y, y=.. integrate x*y^ dy dx, y=-x-5..3+x, x=-.. integrate x*y^*z^3 dx dy dz, x=.., y=-.., z=..3
3.. Výsledky () je obdélník. 3 3 () je trojúhelník x y (3) je čtyřúhelník x 3 f(x, y)dydx+ 8 x f(x, y)dydx+ 4 8 x x x 3 3x
y+ 3 f(x, y)dxdy + 4 4 y 3 y y (4) je oko mezi křivkami x a x : x x y f(x, y)dxdy + y y y (5) je oblast omezená křivkami y = e x, y = x a x = : ex x e f(x, y)dxdy + y ln y
(6) je kružnice se středem v bodě [, ] a poloměrem r = 3. 4 + 9 (x ) 9 (x ) 5 + 9 (y ) 9 (y ) (7) Pravá horní čtvrtka elipsy se středem v počátku a poloosami a = a b = : 4 x y
(8) Horní polovina mezikruží s poloměry r = a r = : 4 x f(x, y)dydx+ 4 x f(x, y)dydx+ 4 x x y f(x, y)dxdy + 4 y 4 y y f(x, y)dxdy + 4 y 4 y (9) Pravý půlkruh z kruhu o středu v bodě [, ] a poloměru r = : x x x x
+ y 3.. () Kvádr 3 4 f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dzdydx. () Čtyřstěn procházející body [,, ], [,, ], [,, ] a [,, ]. x x f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dzdydx. y (3) Kladná osminka koule f(x, y, z)dxdydz = x x y f(x, y, z)dzdydx.
(4) Přesýpací hodiny-oříznutý kužel, x x +y f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz + x x +y f(x, y, z)dz dydx. (5) Válec s kulovou úsečí na každém konci, 3.3. f(x, y, z)dxdydz = 4 5 64 x 4 64 5 x x y x y f(x, y, z)dzdydx.
() kruh 3 π f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr () mezikruží se středem v bodě [, ] a poloměry r =, r =. π (3) čtvrtkruh ve 3.kvadrantu: f( + r cos ϕ, + r sin ϕ)rdϕdr 3 π f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr π (4) kruh se středem v [, ] a poloměrem r = π f( + r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr, polární souřadnice se středem v počátku π π 4 cos ϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ, (5) Ze vztahu = x = r cos ϕ dostáváme r = cos ϕ. π 4 cos ϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ, 3.4. () Válec x f(x, y, z)dzdydx = π f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdzdϕdr. x
() Osmina koule v prvním oktantu x x y f(x, y, z)dzdydx = π π f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r cos θdθdϕdr. (3) Čtvrtina koule ve dvou oktantech, kde x a z 4 x 4 x z 4 x z f(x, y, z)dydzdx = π π π (zcela korektně bychom měli uvažovat ϕ (, π ) ( 3π, π), výsledek s rozdělenými integrály by byl ale stejný) (4) Polovina koule, kde x. x x x y f(x, y, z)dzdydx = x y π π π f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r cos θdθdϕdr f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r cos θdθdϕd 3.5. () 5, () (b a )(d c ), 4 (3) π, (4) 3, (5) 6π (polární s.), 3 (6) π (polární s.). (7), (8) 4π (cylindrické s.), 3 (9) π (sférické s.), () 4 5 π(b5 a 5 ) (sférické s.). 3.6. () n =, () n lichá, (3) pro všechna n.
3.7. () π (b a ), () πab (eliptické polární souřadnice. Nebo obyčejné porární + substituce x = a sin t u jednoduchého integrálu), (3) r β α, (4). n+ 3.8. () 5 6, () 4 3 π (b3 a 3 ) (sférické s.), (3) πc (b a ) (cylindrické s.), (4) 4 3 π ( 8 7 ) (cylindrické s.).