Kapitola 10: Dvojný a trojný integrál

Transkript

1 Sbírka příkladů atematika II pro strukturované studium Kapitola : Dvojný a trojný integrál Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p./5

2 Dvojný a trojný integrál Výpočet dvojného integrálu Substituční metodaprodvojnýintegrál Nevlastní integrál Výpočet trojného integrálu Substituční metoda pro trojný integrál Aplikace dvojného integrálu. p./5

3 Výpočet dvojného integrálu Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x f(x, y)dy dx. Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. xydx dy, kde R je množina. p.3/5

4 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x f(x, y)dy dx.?. p.4/5

5 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu Výsledek: x f(x, y)dy dx = y f(x, y)dx dy. x f(x, y)dy dx.. p.4/5

6 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu Návod: Převed te nejdříve na dvojný integral G x f(x, y)dy dx. f(x, y)dx dy. Nakreslete si obrázek množiny G anapište integrál pomocí dvojnásobného integrálu se záměnou integrace.. p.4/5

7 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu Řešení: Za předpokladu, že funkce f je na množině G určené nerovnicemi x f(x, y)dy dx. x, y x (viz obrázek) spojitá, daný integrál se rovná dvojnému integrálu G f(x, y)dx dy. y G x nožinu G můžeme však popsat i nerovnicemi y, y x, platítedy x f(x, y)dy dx = dy. y f(x, y)dx. p.4/5

8 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu aple: x f(x, y)dy dx. Vtomtopříkladěsimůžeme pouze zakreslit množinu přes kterou integrujeme, zaměnu integrace si musíme udělat sami. Nejdříve si nakreslíme množinu přes kterou integrujeme > plot([,sqrt(x)],x=..,filled=true,color=[white,grey]); x Vyjádříme si hranici množiny jako x vzávislosti na y > solve(y=sqrt(x),x); Nyní zaměníme pořadí integrace y > Int(Int(f(x,y),y=..sqrt(x)),x=..)=Int(Int(f(x,y),x=yˆ..),y=..) ; x f(x, y) dy dx = y f(x, y) dx dy. p.4/5

9 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu athematica: x f(x, y)dy dx. V tomto příkladě si můžeme pouze zakreslit množinu přes kterou integrujeme, zaměnu integrace si musíme udělat sami. Nejdříve si nakreslíme množinu přes kterou integrujeme << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[Sqrt[x], {x,, },Fills {{{Axis, }, GrayLevel[.7]}}]; Vyjádříme si hranici množiny jako x vzávislosti na y Solve[y == Sqrt[x],x] {{ x y }} Nyní zaměníme pořadí integrace Integrate[f[x, y], {x,, }, {y,, Sqrt[x]}]==Integrate[f[x, y], {y,, }, {x, y, }] x f[x, y]dydx == y f[x, y]dxdy. p.4/5

10 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx.?. p.5/5

11 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. Výsledek: x f(x, y)dy dx + x f(x, y)dy dx = y f(x, y)dx dy. y. p.5/5

12 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. Návod: Převed te nejdříve na dvojný integral f(x, y)dx dy. Nakreslete si obrázek množiny G anapište integrál pomocí dvojnásobného integrálu se záměnou integrace. G. p.5/5

13 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. Řešení: Předpokladejme, že funkce f je na množině G spojitá. G = G G,kdeG je určená nerovnicemi x, y x a G je určená nerovnicemi x, y x (viz obrázek). y G G x Součet daných dvojnásobných integrálů serovnádvojnému integrálu f(x, y)dx dy. nožinu G můžeme však popsat i nerovnicemi y, y x y, platítedy x x y f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. y G. p.5/5

14 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. aple: V tomto příkladě si můžeme pouze zakreslit množinu přes kterou integrujeme, zaměnu integrace si musíme udělat sami. Nejdříve si nakreslíme množinu G potom G,množina přes kterou integrujeme je G = G G. > G:=plot([,-x],x=..,filled=true,color=[white,grey]): > plots[display](g,g); x Nynízaměníme pořadí intagrace > Int(Int(f(x,y),y=..x),x=..)+Int(Int(f(x,y),y=..-x),x=..)=Int(I nt(f(x,y),x=y..-y),y=..); x f(x, y) dy dx + x f(x, y) dy dx = y y f(x, y) dx dy. p.5/5

15 Příklad.. Zaměňte pořadí integrace dvojnásobného integrálu x x f(x, y)dy dx + f(x, y)dy dx. athematica: Vtomtopříkladěsimůžeme pouze zakreslit množinu přes kterou integrujeme, zaměnu integrace si musíme udělat sami. Nejdříve si nakreslíme množinu G potom G,množina přes kterou integrujeme je G = G G. << Graphics`FilledPlot` G = FilledPlot[x, {x,, }, Fills {{{Axis, }, GrayLevel[.7]}},DisplayFunction Identity]; G = FilledPlot[ x, {x,, }, Fills {{{Axis, }, GrayLevel[.7]}},DisplayFunction Identity]; Show[{G, G}, DisplayFunction $DisplayFunction]; Nynízaměníme pořadí intagrace Integrate[f[x, y], {x,, }, {y,,x}]+integrate[f[x, y], {x,, }, {y,, x}]== Integrate[f[x, y], {y,, }, {x, y, y}] x f[x, y]dydx + x f[x, y]dydx == y f[x, y]dxdy y. p.5/5

16 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí?. p.6/5

17 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. Výsledek: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí p.6/5

18 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. Návod: Nakreslete si obrázek množiny. Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu.. p.6/5

19 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. Řešení: Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x.rovnice x = x mářešení x = a x =.Nynínakreslíme množinu, = {[x, y] R ;= x, x y x } (viz obrázek). y - x Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. x [ ] xy x xydxdy = xy dy dx = dx = = ( x x 5 ) x3 + x5 dx = [ x x 5 ] x4 8 + x6 = ( ) 3 4 = p.6/5

20 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. aple: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x. > solve(-x=-xˆ,x);, Nakreslíme grafy funkcí y = x a y = x pro x,. > plot([-x,-xˆ],x=-..); x Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. > Int(Int(x*y,y=-x..-xˆ),x=-..)=int(int(x*y,y=-x..-xˆ),x=-..); x x x y dy dx = 9 8. p.6/5

21 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. athematica: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x. Solve[ x == x,x] {{x }, {x }} Nakreslíme si množinu. << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{ x, x }, {x,, }, Fills {{{, }, GrayLevel[.7]}}]; Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. Integrate[xy, {x,, }, {y, x, x }] 9 8. p.6/5

22 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí?. p.7/5

23 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. Výsledek: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí. p.7/5

24 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. Návod: Nakreslete si obrázek množiny. Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. Integrál musíme rozdělit na dva integrály, přes množinu apřes množinu,kde =.. p.7/5

25 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. Řešení: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x.rovnice x = x mářešení x = a x =.Nynínakreslíme množinu, = {[x, y] R ;= x, x y x } (viz obrázek). y - x Protože funkce f(x, y) =xy je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. Integrál musíme nejdřív rozdělit na dva integrály, přes množinu apřes množinu,kde =. = {[x, y] R ;= x, x y x } a = {[x, y] R ;= x, x y x } Další. p.7/5

26 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. Řešení: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí (x +y)dx dy = = (x +y)dxdy + (x +y)dxdy = x x x +y dy dx + x +y dy dx = x x = [xy + y ] x x dx + [xy + y ] x x dx = = ( 4+x 4x x 3 + x 4) dx + ( 4+x 6x x 3 + x 4) dx = = [ 4x + x 4x3 3 x4 4 + x5 5 = = ] + [ 4x + x x 3 x4 4 + x5 5 ] =. p.7/5

27 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí y = x a y = x. aple: Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x. > solve(abs(x)=-xˆ,x); Nakreslíme si množinu. > plot([abs(x),-xˆ],x=-..);, x Protože funkce f(x, y) =x +y je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. > Int(Int(x+*y,y=abs(x)..-xˆ),x=-..)=int(int(x+*y,y=abs(x)..-xˆ ),x=-..); x x x +ydydx= p.7/5

28 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál y = x a y = x. athematica: xydx dy, kde R je množina ohraničená grafy funkcí Vypočteme si společné body funkcí y = x a y = x. Solve[ x ==Abs[x],x] {{x }, {x }} Nakreslíme si množinu. << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{Abs[x], x }, {x,, },Fills {{{, }, GrayLevel[.7]}}]; Protože funkce f(x, y) =x +y je spojitá namnožině, můžeme napsat integrál pomocí dvojnásobného integrálu. Integrate[x +y, {x,, }, {y, Abs[x], x }] p.7/5

29 Substituční metoda pro dvojný integrál Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál = {[x, R y] ; x + y 4}. Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál e x +y dx dy, kde xydx dy, kde = R {[x, y] ; x + y 4, x, y }. ln(x + y ) Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál dx dy, kde x + y = {[x, y] R ; x + y e }. Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }.. p.8/5

30 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}.?. p.9/5

31 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál Výsledek: π(e 4 ). e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}.. p.9/5

32 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál Návod: e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}. Použijte substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π.. p.9/5

33 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál Řešení: e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}. Použijte substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π. e x +y dx dy = r e r dr dt, kde = {[r, t] R ; r,, t, π }. Nyní vypočteme integrál po substituci. r e r dr dt = = π π ( r e r dr)dt = π [ er ] dt = ( e4 dt =π (e4 ) = π(e 4 ).. p.9/5

34 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál aple: e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}. Substituci musíme provést sami, aple nám spočítá integrál až po substituci. > int(int(r*exp(rˆ),r=..),t=..*pi); e 4 π π. p.9/5

35 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál athematica: e x +y dx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4}. Substituci musíme provést sami, athematica nám spočítá integrál až po substituci. Integrate[rExp[r ], {t,, Pi}, {r,, }] ( +e 4 ) π. p.9/5

36 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }.?. p./5

37 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }. Výsledek: p./5

38 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }. Návod: Použijte substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π.. p./5

39 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }. Řešení: Použijte substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π. xydx dy = r 3 cos t sin t dr dt, kde = {[r, t] R ; r,, t, π }. Nyní vypočteme integrál po substituci. r 3 cos t sin t dr dt = r 3 sin t dr dt = π ( r 3 sin t dr)dt = = π = 5 8 [ r 4 4 [ sin t cos t ] ] π dt = = 5 8 π 5 4 sin t ( cos π dt = + cos π ) 5 sin t dt = 8 = 5 8 ( + ) = p./5

40 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }. aple: Substituci musíme provést sami, aple nám spočítá integrál až po substituci. > int(int(rˆ3*cos(t)*sin(t),r=..),t=..pi/); 5 8. p./5

41 Příklad.. Vypočtěte dvojný integrál xydx dy, kde = {[x, y] R ; x + y 4, x, y }. athematica: Substituci musíme provést sami, athematica nám spočítá integrál až po substituci. Integrate[r 3Sin[t]Cos[t], {t,, Pi/}, {r,, }] 5 8. p./5

42 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál ln(x + y ) = {[x, y] R ; x + y e }. x + y dx dy, kde?. p./5

43 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál ln(x + y ) = {[x, y] R ; x + y e }. Výsledek: π. x + y dx dy, kde. p./5

44 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál ln(x + y ) = {[x, y] R ; x + y e }. Návod: x + y Použijte substituci do polárních souřadnic. dx dy, kde x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π.. p./5

45 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál ln(x + y ) = {[x, y] R ; x + y e }. Řešení: x + y Použijte substituci do polárních souřadnic. dx dy, kde x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π. ln(x + y ) x + y dx dy = ln(r ) r dr dt, kde = {[r, t] R ; r, e, t, π }. Nyní vypočteme integrál po substituci. ln(r ) r dr dt = = π e π ( ln(r ) r u du)dt = dr dt = π [u ] substituce u =lnr du = r dr α = β = dt = π dt =π. =. p./5

46 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál = {[x, y] R ; x + y e }. aple: ln(x + y ) x + y dx dy, kde Substituci musíme provést sami, aple nám spočítá integrál až po substituci. > Int(Int(ln(rˆ)/r,r=..exp()),t=..*Pi)=int(int(ln(rˆ)/r,r=..exp( )),t=..*pi); π e ln(r ) r dr dt =π. p./5

47 Příklad..3 Vypočtěte dvojný integrál = {[x, y] R ; x + y e }. athematica: ln(x + y ) x + y dx dy, kde Substituci musíme provést sami, athematica nám spočítá integrál až po substituci. Integrate[Log[r ]/r, {t,, Pi}, {r,,e}] π. p./5

48 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }.?. p./5

49 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. Výsledek: 8 ( π 3 3 ).. p./5

50 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. Návod: Použijte substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π. Hranice množiny je částečně popsána kružnicí (x ) + y =,tatokružnice má v polárních souřadnicích tvar r =cost.. p./5

51 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. Řešení: Nakreslíme si množinu : y x Použijeme substituci do polárních souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π. 4 x y dx dy = r 4 r dr dt. Hranice množiny je částečně popsána kružnicí (x ) + y =.Nežurčíme množinu, vyjádříme si kružnici (x ) + y =vpolárních souřadnicích. Další. p./5

52 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. Řešení: (x ) + y = (r cos t ) + y = r cos t r cos t ++r sin t = r r cos t = vydělíme r r = cost. nožina = {[r, t] R ; r, cost pro t, π }. Nyní vypočteme integrál po substituci. r 4 r dr dt = = = π π π 4 ( cost 4sin t 4 r 4 r dr dt = ( 8 3 ( sin3 t)dt = π ) u du)dt = [ t + 3cos(t) 4 substituce u =4 r du = r dr α =4 β =4sin t u 3 3 4sin t 4 dt ] π cos(3t) = 8 3 ( π 3 = ).. p./5

53 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. aple: Substituci musíme provést sami, aple nám spočítá integrál až po substituci. > Int(Int(r*sqrt(4-rˆ),r=..*cos(t)),t=..Pi/)=int(int(r*sqrt(4-rˆ),r=..*cos(t)),t=..Pi/); π cos(t) r 4 r dr dt = 4 π p./5

54 Příklad..4 Vypočtěte dvojný integrál 4 x y dx dy, kde je polovina kruhu, = {(x, y) R ; (x ) + y, x, y }. athematica: Substituci musíme provést sami, athematica nám spočítá integrál až po substituci. Integrate[rSqrt[4 r ], {t,, Pi/}, {r,, Cos[t]}] 4 9 ( 4 +3π). p./5

55 Nevlastní integrál Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál D =, ), ). Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál D R dx dy, kde (x + y +4) dx dy. +x + y. p.3/5

56 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál dx dy, kded =, ), ). (x + y +4) D?. p.4/5

57 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Výsledek: π 6. D dx dy, kded =, ), ). (x + y +4). p.4/5

58 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Návod: D dx dy, kded =, ), ). (x + y +4) D dx dy = lim (x + y +4) n Dn dx dy, (x + y +4) kde D n = {[x, y] R ; x + y n,x, y }. Provýpočet integrálu pod limitou použijte substituci do polárních souřadnic.. p.4/5

59 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Řešení: Pro nevlastní integrál platí D D dx dy, kded =, ), ). (x + y +4) dx dy = lim (x + y +4) n Dn dx dy, (x + y +4) kde D n = {[x, y] R ; x + y n,x, y }. Vypočteme nejdříve integrál pod limitou. Použijeme substituci do polárních souřadnic. Dn dx dy = (x + y +4) Dn r dr dt, (r +4) kde D n = {[r, t] R ; r,n, t, π }. Platí Dn r dr dt = (r +4) = π π ( n r ( ) (r +4) dr n +4 4 ) dt = dt = π 4 π [ r +4 ] n ( n +4 ). 4 dt Platí tedy D dx dy = lim (x + y +4) π n 4 ( n +4 4 ) = π 6.. p.4/5

60 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál aple: D dx dy, kded =, ), ). (x + y +4) aple nám tento nevlastní integrál spočte přímo: > Int(Int(/(xˆ+yˆ+4)ˆ,y=..infinity),x=..infinity)=int(int(/(xˆ+ yˆ+4)ˆ,y=..infinity),x=..infinity); (x + y +4) dy dx = π 6. p.4/5

61 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál athematica: D dx dy, kded =, ), ). (x + y +4) athematica nám tento nevlastní integrál spočte přímo: Integrate[/(x +y +4), {x,, Infinity}, {y,, Infinity}] π 6. p.4/5

62 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál dx dy. +x + y? R. p.5/5

63 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Výsledek: R dx dy. +x + y, dvojný integrál nekonverguje.. p.5/5

64 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Návod: R dx dy. +x + y R (x + y +) dx dy = lim n Dn (x + y +) dx dy, kde D n = {[x, y] R ; x + y n }.Provýpočet integrálu pod limitou použijte substituci do polárních souřadnic.. p.5/5

65 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál Řešení: Pro nevlastní integrál platí R R dx dy. +x + y (x + y +) dx dy = lim n Dn (x + y +) kde D n = {[x, y] R ; x + y n }.Vypočteme nejdříve integrál pod limitou. Použijeme substituci do polárních souřadnic. Dn (x + y +) dx dy = Dn r (r +) dr dt, dx dy, kde D n = {[r, t] R ; r,n, t, π }. Platí Dn r (r +) dr dt = = π π ( n r ) (r +) dr ( ) ln(n +) dt = π dt = π ( ) ln(n +). [ ] n ln(r +) dt Platí tedy R (x + y +) dx dy = lim n π ln(n +)=. Integrál nekonveruje.. p.5/5

66 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál dx dy. +x + y aple: R > Int(Int(/(xˆ+yˆ+),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity)=i nt(int(/(ˆ+yˆ+),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity); dy dx = x + y + Výsledek je, integrál tedy nekonverguje.. p.5/5

67 Příklad.3. Vypočtěte dvojný integrál athematica: R dx dy. +x + y Integrate[/(x +y +), {x, Infinity, Infinity},{y, Infinity, Infinity}] Integrate::idiv : Integral of does not converge on {, }. ore... +x π +x dx athematica nám sdělí, že integrál nekonverguje.. p.5/5

68 Výpočet trojného integrálu Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál I =,,, Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál I x yz 3 dx dy dz, kde y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }.. p.6/5

69 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál x yz 3 dx dy dz, kdei =,,, I?. p.7/5

70 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál Výsledek: 3. I x yz 3 dx dy dz, kdei =,,,. p.7/5

71 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál x yz 3 dx dy dz, kdei =,,, Návod: I Použijte Fubiniovu větu a vypočtěte trojnásonýintegral ( ( x yz 3 dz)dy)dx.. p.7/5

72 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál x yz 3 dx dy dz, kdei =,,, Řešení: I Použijeme Fubiniovu větu a vypočteme trojnásoný integral ( ( x yz 3 dz)dy)dx. ( ( x yz 3 dz)dy)dx = ( z 3 dz) ( x y dy)dx = ( z 3 dz)( y dy)( x dx) = [ z 4 4 ] [ y ] [ x 3 3 ] = = 3.. p.7/5

73 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál x yz 3 dx dy dz, kdei =,,, aple: I > Int(Int(Int(xˆ*y*zˆ3,z=..),y=..),x=..)=int(int(int(xˆ*y*zˆ3,z =..),y=..),x=..); x yz 3 dz dy dx = 3. p.7/5

74 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál x yz 3 dx dy dz, kdei =,,, athematica: Integrate[x yz 3, {x,, }, {y,, }, {z,, }] 3 I. p.7/5

75 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }.?. p.8/5

76 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }. Výsledek: p.8/5

77 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }. Návod: Použijte Fubiniovu větu a vypočtěte trojnásoný integral ( 4 x ( y dz)dy)dx. x +y. p.8/5

78 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }. Řešení: Nejdříve popíšeme množinu nerovnicemi tak, abychom mohli použít Fubiniovu větu. Nakreslíme si množinu. nožina se dá vyjádřit nerovnicemi x y 4 x x + y z. Nyní platí y dx dy dz = = = ( 4 x ( 4 x y [ y ( = = 4 3. x +y y dz ) ) [ ] z dy x+y dy ) dx = ] (x + y ) 3 4 x dx = 3 dx ( 4 x y ( ) x + y )dy 4 3 x + x3 3 dx = dx [ ] 4 3 x x3 3 + x4. p.8/5

79 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }. aple: > Int(Int(Int(y,z=sqrt(xˆ+yˆ)..),y=..sqrt(4-xˆ)),x=..)=int(int(i nt(y,z=sqrt(xˆ+yˆ)..),y=..sqrt(4-xˆ)),x=..); 4 x x +y ydzdydx= 4 3. p.8/5

80 Příklad.4. Vypočtěte trojný integrál y dx dy dz, kde = {[x, y, z] R 3 ; x ; y ; x + y z }. athematica: Těleso přes které počítáme integrál je čtvrt kužele. Těleso si nakreslíme. << Graphics`Shapes` Show[{TranslateShape[Graphics3D[Helix[,.,, 4]], {,, }], TranslateShape[Graphics3D[Cone[4,, 4]], {,, }]}, PlotRange {{, }, {, }, {, }}, ViewPoint->{3.36,.4,.977}, Axes True]; Integrate[y, {x,, }, {y,, Sqrt[4 x ]}, {z, Sqrt[x +y ], }] 4 3. p.8/5

81 Substituční metoda pro trojný integrál Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál = z dx dy dz, kde {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dxdydz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }... p.9/5

82 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál z dx dy dz, kde = {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y.?. p./5

83 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál = z dx dy dz, kde {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y Výsledek: 8 6 π... p./5

84 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál z dx dy dz, kde = Návod: {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y Použijte substituci do cylindrických souřadnic.. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π z = z.. p./5

85 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál z dx dy dz, kde = Řešení: {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y Nakreslíme si těleso přes které integrujeme.. 3 x y z Pro výpočet integralu použijeme substituci do cylindrických souřadnic. x = r cos t, r, ) y = r sin t, t, π z = z. Zobrazení z kartézských do cylindrických souřadnic je regulární a jeho jakobián je cos t sin t J(r, t, z) = r sin t r cos t = r cos t + r sin t = r. Další. p./5

86 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál = Řešení: z dx dy dz, kde {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y Platí tedy: z dx dy dz = zr dr dt dz, } kde = {[r, t, R z] 3, <r<3, <t< π, <z< 9 r. Nyní vypočteme integrál po substituci zr dr dt dz = = π π = 8 6 π ( ( 3 ) 9 r zr dz ( 3 r 9 r dr ) dt = dr ) π dt =. π 3 [ 8 (9 r ) ] 3 [ ] z 9 r r dt = π dr dt 8 (9) dt. p./5

87 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál z dx dy dz, kde = {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y. aple: nožina přes kterou počítáme trojný integrál je osmina koule. Nakreslíme si ji. > c := plottools[sphere]([,,], 3): plots[display](c,view=[..3,..3,..3], axes=boxed); Nyní vypočteme trojný integrál bez substituce nebo se substitucí do sférických souřadnic. > Int(Int(Int(z,z=..sqrt(9-xˆ-yˆ)),y=..sqrt(9-xˆ)),x=..3)=int(int (int(z,z=..sqrt(9-xˆ-yˆ)),y=..sqrt(9-xˆ)),x=..3); Další 3 9 x 9 x y zdzdydx= 8 π 6. p./5

88 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál = aple: z dx dy dz, kde {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y > Int(Int(Int(r*z,z=..sqrt(9-rˆ)),r=..3),t=..Pi/)=int(int(int(r*z, z=..sqrt(9-rˆ)),r=..3),t=..pi/);. π 3 9 r r z dz dr dt = 8 π 6. p./5

89 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál = z dx dy dz, kde {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y athematica: nožina přes kterou počítáme trojný integrál je osmina koule. Nakreslíme si ji. << Graphics`Shapes` Show[Graphics3D[Sphere[3, 4, 4]], PlotRange {{, 3}, {, 3}, {, 3}}, ViewPoint->{3.36,.4,.977}, Axes True]; Nyní vypočteme trojný integrál bez substituce nebo se substitucí do sférických souřadnic. Integrate[z, {x,, 3}, {y,, Sqrt[9 x ]}, {z,, Sqrt[9 x y ]}] 8π 6 Další. p./5

90 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál z dx dy dz, kde = {[x, y, R z] 3 ; x, y, z } 9 x y. athematica: Integrate[rz, {t,, Pi/}, {r,, 3}, {z,, Sqrt[9 r ]}] 8π 6. p./5

91 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }.?. p./5

92 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. Výsledek: π.. p./5

93 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. Návod: Protože těleso přes které integrujeme je osmina koule, použijte substituci do sférických souřadnic. x = r sin u cos t, r, ) y = r sin u sin t, t, π z = r cos u, u,π.. p./5

94 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. Řešení: Nakreslíme si těleso přes které integrujeme. x y z Protože těleso přes které integrujeme je osmina koule, použijeme substituci do sférických souřadnic. x = r sin u cos t, r, ) y = r sin u sin t, t, π z = r cos u, u,π. Zobrazení dosférických souřadnic je regulární, jeho jakobián je J(r, t, u) =r sin u. Další. p./5

95 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. Řešení: Platí tedy: (x + y + z )dxdydz = r r sin u dr dt du, kde = { [r, t, u] R 3, <r<, <t< π, <u< π }. Nyní vypočteme integrál po substituci r 4 sin u dr dt du = = = = π ( π ( ) r 4 sin u dr ( π [ ] π r 5 sin u 5 π [ sin u t ] π du = 5 π [ cos u] π = π. dt ) π ) dt du du = π π sin u du ( π 5 sin u dt ) du. p./5

96 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. aple: nožina přes kterou počítáme trojný integrál je osmina koule. Obrázek viz předchozí příklad, jen poloměr koule je. Vypočteme integrál bez substituce i se substitucí dosférických souřadnic. > Int(Int(Int((xˆ+yˆ+zˆ),z=..sqrt(-xˆ-yˆ)),y=..sqrt(-xˆ)),x=..)=int(int(int((xˆ+yˆ+zˆ),z=..sqrt(-xˆ-yˆ)),y=..sqrt(-xˆ)),x=..); x x y x + y + z dz dy dx = π > Int(Int(Int(rˆ4*cos(u),r=..),t=..Pi/),u=..Pi/)=int(int(int(rˆ4* cos(u),r=..),t=..pi/),u=..pi/); π π r 4 cos(u) dr dt du = π. p./5

97 Příklad.5. Vypočtěte trojný integrál (x + y + z )dx dy dz, kde = { [x, y, z] R 3 ; x>, y >, z >, x + y + z < }. athematica: nožina přes kterou počítáme trojný integrál je osmina koule. Obrázek viz předchozí příklad, jen poloměr koule je. Vypočteme integrál bez substituce i se substitucí do sférických souřadnic. Integrate[x +y +z, {x,, }, {y,, Sqrt[ x ]},{z,, Sqrt[ x y ]}] π Integrate[r 4Sin[u], {u,, Pi/}, {t,, Pi/}, {r,, }] π. p./5

98 Aplikace dvojného integrálu Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinami y =, y + z =. Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochy z =e x y.. p./5

99 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4.?. p.3/5

100 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. Výsledek: V = p.3/5

101 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. Návod: V = G (4 x y)dx dy, kdeg = G G, G = {[x, y] R ; x, y 3} a G = {[x, y] R ; x, y 4 x}. p.3/5

102 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. Řešení: Nakreslíme si obrázek uvažovaného tělesa a množinu G = G G přes kterou budeme integrovat. 4 V = (4 x y)dx dy = (4 x y)dx dy + (4 x y)dx dy G G G G G 3 G = {[x, y] R ; x, y 3} G = {[x, y] R ; x, y 4 x} (4 x y)dx dy = (4 x y)dx dy = ( 3 ( 4 x ) (4 x y)dy ) (4 x y)dy dx =6 4 y 3 G G x y 4 4 x dx = 9 6, V =6+9 6 = p.3/5

103 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. aple: Abychom měli představu o tělese jehož objem počítáme, nakreslíme si roviny x + y + z =4a z =na obdelníku x,, 3. > plot3d([4-x-y,],x=..,y=..3,axes=boxed); y x.5 Nyní sinakreslíme množinu G = G G přes kterou integrujeme. > G := plottools[polygon]([[,], [,3],[,],[,],[,]], color=green): G :=plottools[polygon]([[,], [,3], [,3],[,],[,]],color=green): plots[display](g,g); Další.5.5. p.3/5

104 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. aple: Nakonec vypočteme objem daného tělesa. > V:=Int(Int(4-x-y,y=..3),x=..)+Int(Int(4-x-y,y=..4-x),x=..)=int( int(4-x-y,y=..3),x=..)+int(int(4-x-y,y=..4-x),x=..); 3 4 x V := 4 x ydydx+ 4 x ydydx= p.3/5

105 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. athematica: Abychom měli představu o tělese jehož objem počítáme, nakreslíme si roviny x + y + z =4a z =na obdelníku x,, 3. r = Plot3D[4 x y, {x,, }, {y,, 3}, PlotPoints,DisplayFunction Identity]; r = Plot3D[, {x,, }, {y,, 3}, PlotPoints, DisplayFunction Identity]; Show[{r, r}, DisplayFunction $DisplayFunction, AxesLabel {x, y, z}, BoxRatios {,, }, ViewPoint->{.78,.56,.3}]; x z y 3 Nyní sinakreslíme množinu G = G G přes kterou integrujeme. G = Graphics[{GrayLevel[.7], Polygon[{{, }, {, 3}, {, 3}, {, }, {, }}], Polygon[{{, }, {, 3}, {, }, {, }, {, }}]}]; L = Graphics[{Line[{{, }, {, 3}, {, 3}, {, }, {, }}], Line[{{, }, {, 3}, {, }, {, }, {, }}]}]; Další. p.3/5

106 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinami x =, y =, z =, x =, y =3, x + y + z =4. athematica: Show[{G, L}, Axes True]; V = Integrate[4 x y, {x,, }, {y,, 3}]+Integrate[4 x y, {x,, }, {y,, 4 x}] p.3/5

107 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =.?. p.4/5

108 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. Výsledek: p.4/5

109 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. Návod: V = ( y)dxdy, kdeg =, G = {[x, R y] ; x, x y }. G. p.4/5

110 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. Řešení: Nakreslíme si obrázek uvažovaného tělesa a množinu G přes kterou budeme integrovat. y V = G G x ( y)dx dy G = {[x, y] R ; x, x y } V = G ( y)dx dy = ( ) ( y)dy x dx = [ y y ] x dx ( ) [ = x + x4 ) dx = x ] 3 x3 + x5 ( = 4 ) + = p.4/5

111 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. aple: Abychom měli představu o tělese jehož objem počítáme, nakreslíme si roviny y + z =a z =aplochuy = x na obdelníku x,,. > g:=plot3d(-y,x=-sqrt()..sqrt(),y=..,axes=boxed): > g:=plot3d([x,xˆ,z],x=-sqrt()..sqrt(),z=..): > g3:=plot3d(,x=-sqrt()..sqrt(),y=..,axes=boxed): > plots[display](g,g,g3); y x Další. p.4/5

112 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. aple: Nyní sinakreslíme množinu G přes kterou integrujeme. > plot([xˆ,],x=-sqrt()..sqrt(),thickness=3); x Nakonec vypočteme objem daného tělesa. > V:=Int(Int(-y,y=xˆ..),x=-sqrt()..sqrt())=int(int(-y,y=xˆ..),x =-sqrt()..sqrt()); V := ydydx= 3 x 5. p.4/5

113 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. athematica: Abychom měli představu o tělese jehož objempočítáme, nakreslíme si roviny y + z =a z =aplochuy = x na obdelníku x,,. r = Plot3D[ y, {x, Sqrt[], Sqrt[]}, {y,, }, PlotPoints,DisplayFunction Identity]; r = Plot3D[, {x, Sqrt[], Sqrt[]}, {y,, }, PlotPoints,DisplayFunction Identity]; r3 = ParametricPlot3D[{x, x,z}, {x, Sqrt[], Sqrt[]}, {z,, },PlotPoints, DisplayFunction Show[{r, r, r3}, DisplayFunction $DisplayFunction, AxesLabel {x, y, z}, BoxRatios {,, }, ViewPoint->{.78,.56,.3}]; x -.5 z y Další. p.4/5

114 Příklad.6. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou y = x, arovinamiy =, y + z =. athematica: Nyní sinakreslíme množinu G přes kterou integrujeme. FilledPlot[{,x }, {x, Sqrt[], Sqrt[]}, Fills {{{, }, {{ GrayLevel[.7]}}, Ticks, } }], {} ; Nakonec vypočteme objem daného tělesa. V = Integrate[ y, {x, Sqrt[], Sqrt[]}, {y, x, }] 3 5. p.4/5

115 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y.?. p.5/5

116 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. Výsledek: V = π.. p.5/5

117 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. Návod: V = e x y dx dy, R kdeg =. Jedná seonevlastníintegrál. G. p.5/5

118 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. Řešení: Nakreslíme si obrázek uvažovaného tělesa nožina přes kterou integrujeme je G = R. Nyní vypočteme objem tělesa: V = G e x y dx dy. Integrál je nevlastní. V = lim n Gn e x y dx dy,. kde D n = {[x, y] R ; x + y n }. Další. p.5/5

119 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. Řešení: Při výpočtu integrálu pod limitou použijeme substituci do polárních souřadnic. V n = e x y dx dy = re r dr dt. Gn Ḡn V n = = Ḡn π re r dr dt = π ( n ) re r dr dt = ( ) ( e n dt = ) e n [t] π = π [ e r ] n dt ( ) e n π. Objem uvažovaného tělesa je V = ( lim n ) e n π = π.. p.5/5

120 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. aple: Abychom měli představu o tělese jehož objempočítáme, nakreslíme si plochu z =e x y > plot3d(exp(-xˆ-yˆ),x=-3..3,y=-3..3,axes=boxed); y 3 3 x 3 aple nám nevlastní integrál spočte přímo: > V:=Int(Int(exp(-xˆ-yˆ),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity )=int(int(exp(-xˆ-yˆ),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity); V := e ( x y ) dy dx = π. p.5/5

121 Příklad.6.3 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného rovinou z =ačástí plochyz =e x y. athematica: Abychom měli představu o tělese jehož objem počítáme, nakreslíme si plochu z =e x y Plot3D[Exp[ x y ], {x, 3, 3}, {y, 3, 3}, PlotRange {,.},BoxRatios {,,.8}]; athematica nám nevlastní integrál spočte přímo: V = Integrate[Exp[ x y ], {x, Infinity, Infinity},{y, Infinity, Infinity}] π. p.5/5