Středí růmyslová šol eletrotecicá Vyšší odorá šol rduice, Krl IV. 3 esritiví geometrie I. Ig. Rudolf Rožec = = = = rduice 00
Srit jsou urče ro ředmět desritiví geometrie II. ročíu tecicéo lyce jo dolě výldu ro oováí roré láty. Osuje Mogeovo romítáí v rozsu osovy ředmětu je roto možé jejic využití všec šolác se zvedeým tecicým lyceem. udou též dorou omůcou ro zoováí desritiví geometrie u žáů, teří mjí mturití zoušu z tecicé grfiy. Receze: Mgr. vel Vordí Ig. Rudolf Rožec Tto ulice erošl redčí i jzyovou úrvou.
Úvod zůso učeí výzm desritiví geometrie esritiví geometrie - dále G - se zývá roviým zorzeím rostorovýc útvrů. Historicy se G v součsé formě zčl vytvářet ž v drué oloviě 8. století. Rovié zorzeí je vždy áročé rostorovou ředstvivost. U člově se tto ředstvivost zčíá rozvíjet si v tácti letec. Kždý člově je le jiý ždý má jié scoosti učeí cááí. Jým zůsoem ycom se měli tomuto ředmětu učit: ejotimálější zůso učeí je důldě zát záldí ojmy, s terými se rcuje, ředstvit si to, co mám vytvářet. Srit jsou tímto zůsoem sá, roto vedle zorzeí v Mogeově romítáí jsou resley ázoré orázy, z terýc vidíte rováděou ostruci ázorě. Kdo si tto doáže vycvičit ředstvivost, ro too eí G rolém ude z ěo dorý teci, terý doáže vrovt ové výroy. ruý možý zůso je rcovt záldě doré zlosti záldíc ojmů mtemticou metodou se zlostí cíle, e terému se cci dostt. Je utá dorá zlost záldíc úlo jejic ostuéo využíváí. Teci tooto tyu le doáže ouze doře reroduovt to, co se již oužívá. Zcel cyý zůso je učit se orázům, j jsou resley ve sritec, eo j si je ři odiác reslíte do sešitu. Kdo tto myslí učí se jedt, eude dorým teciem v životě ude mít zčé rolémy, rotože se učí řešit úoly ouze ituicí, terá je mody cyá. Toto je ouze oecý řeled, le v rxi to t je. rotože ccete ýti teciy, t si musíte vždy ředstvit, j ostruce, terou vrujete, ude vydt j se ude v určitém rostředí covt. Teci y měl referovt ejjedodušší řešeí, ejřeledější ejřesější ejrcioálější. Výu tooto ředmětu roto celově ředstvivost cvičí rozvíjí, což je důležité ro ždéo člově. I te musí mít určitou ředstvivost. esritiví geometrie té umožňuje rozvíjeí životí filozofie. Ke srávému řešeí úlo v G vede vždy ěoli řešeí te, terý je řeší, y se měl covt efetivě. T je to i v ormálím životě, vždy můžete vše řešit růzými zůsoy metodmi, le měli yste si ředstvit, čemu to ovede. esritiví geometrie roto rozvíjí duševí scoosti eje teci, le i ždéo člově, ť už se zývá jouoliv čiostí. Zůsoy zorzeí - rici romítáí romítáí si můžeme ředstvit jo oled ějý ředmět - odélí jeo zorzeí v romítcí roviě π - tule, ír td. še oo je v tomto řídě střed romítáí S. Sojice o jedotlivýc odů odélí jsou romítcí rsy. Můžeme si ředstvit dv řídy:. Jsme ve velé vzdáleosti od odélí, tže romítcí rsy jsou rticy rovoěžé - eereme-li to zcel mtemticy řesě. Tovéto romítáí roto zýváme romítáím rovoěžým. Jestliže jsou rsy roviě romítáí olmé, t romítáím rovoěžě rvoúlým. růmět do romítcí roviy π má stejou veliost jo romítý odélí. S S romítáí rovoěžé rvoúlé romítáí středové 3
. Jsme v mlé vzdáleosti od odélí. Čím je vzdáleost o - středu S - od odélí meší, tím růmět odélí větší o. Tovéto romítáí zýváme romítáím středovým. Toto si můžete vyzoušet smi, dyž si vezmete do ruy sešit romítete si jeo orz ř. do roviy stěy, řed terou sedíte. V tecice se ultňuje ředevším rovoěžé romítáí, teré je záldem tecicéo resleí. romítáí středové se ultňuje v rcitetuře, de reslíme zorzeí ojetů t, j je ve sutečosti vidíme.. Souřdicové systémy rovoěžéo rvoúléo romítáí ceme-li zorzit ředmět určitýc rozměrů, musíme oužít souřdicový systém. ro zorzováí oužíváme odle zůsou zorzeí tři rvoúlé souřdicové systémy: - xoometricé romítáí Mogeovo romítáí ótové romítáí. Souřdicový systém ro ázoré romítáí, terý využívá tři růměty xoometricé romítáí. Je to oecě ostveý rvoúlý souřdicový systém, terý oužíváme ro ázoré zorzeí těles.. Souřdicový systém ro romítáí dvě růměty Mogeovo romítáí. Toto romítáí je záldem ro tecicé resleí součástí ve strojíreství ro stveí resleí. 3. Souřdicový systém ro romítáí jedu růmětu ótové romítáí. Kótové romítáí odovídá resleí očítči ve, dy reslíme těles v loše jede růmět. V G, terou se udeme zývt, udeme oužívt ředevším Mogeovo romítáí. Je oměrě jedoducé důležité ro využití v tecicém resleí. xoometricé romítáí ude oužito ro ázoré zorzeí ěterýc rvů. S xoometricým romítáím se sezámíte ve sritec esritiví geometrie II. ejméě řeledé, le ro očítčové resleí důležité ótové romítáí se roírá ž vysoýc šolác. II. III. z + - 0 y + x IV. I. Orietce v rvoúlém souřdicovém systému ři romítáí dvě růměty: ůdorys π rvá růmět árys π - druá růmět dělí rostor čtyři vdrty. Souřdice v jedotlivýc vdrtec: Kvdrt osy: y z I + + II - + III - - IV + - 4
K zázorěí jsme oužili xoometricý souřdicový systém. Jestliže sloíme π do roviy π (ři resleí ír eo tuli), dosteme souřdicový systém Mogeov romítáí. V tomto systému si už musíme doázt ředstvit jedotlivé vdrty osy. Zčeme s vdrty. Zorze je rvý vdrt osy y z jsou ldé. Osu x ozčujeme jo x je to růsečice rvé drué růměty. Osy z y jsou totožé oisujeme jejic ldou část. esmíme le zomeout, že od očátu 0 se smysl os měí, jestliže máme ějý rve v jiém vdrtu, ež rvém. Úol: Určete, j udou rozložey růměty Mogeov romítáí, dyž udete zorzovt těleso ležící v druém, třetím čtvrtém vdrtu. Mogeovo romítáí. Zorzeí odu Zorzeí odu je rví úlo, teré si můžete ověřit, zd jste si vytvořili srávou ředstvu o vziu souřdicovéo systému Mogeov romítáí. ceme-li zorzit od, musíme mít zdé souřdice odu. Zdáme oecé souřdice odu (x, y, z). Číselě udáváme odoty souřdic zrvidl v cm. rovedeme zorzeí odu v ázorém zorzeí v Mogeově romítáí: z z 3 z ( x, y, z) z y 0 0 x x x y y ázoré zorzeí Mogeovo romítáí y x ázoré zorzeí: od leží v rvém vdrtu souřdice jsou ldé. Jedotlivé souřdice odu vyášíme ve směru os ostuě x, y, z. T zorzíme v ázorém romítáí od. V rvé růmětě π ři tomto vyášeí dosteme rvý růmět odu -. Jestliže vedeme z odu romítcí rse olmý drué růmětě π, dosteme druý růmět odu -. Mogeovo romítáí: rvou růmětu π jsme otočili o 90. Tím jsme řevedli π π do jedé roviy. Vyášíme souřdice x, y, z. Zorzíme rvý růmět odu druý růmět odu. V Mogeově romítáí se ezorzí sutečý od. efiice: Sojice je olmá ose x (záldici) zývá se ordiál. Úlo: Zorzte ody (, -3, 5), (6, 4, -3), (4, -5, -) Rozor: Uvědomte si z ředcozío, v terýc vdrtec ody leží. reslete si ázorý souřdicový systém ody zorzte též v ázorém souřdicovém systému. orovejte ázoré romítáí s Mogeovým. 5
ody ležící v ěteré z růměte: F =F E F x Jestliže od E(3, 5, 0) leží v rví růmětě, leží jeo druý růmět ose x (záldici). Odoě od F(6, 0, 3), terý leží v drué růmětě, má rvý růmět záldici. Úlo: Zorzte ody v Mogeově romítáí orovejte s ázorým zorzeím. E =E. Zorzeí římy Ze stereometrie víte, že římu určují dv ody. Můžeme ji le též určit odem směrem (ř. řím rovoěžá s jiou římou eo olmá ěteré roviě). Zorzíme římy, teré jsou zdáy dvěm ody. Zorzeí rovedeme ro: oecou olou říme zvláští olou říme od římce vět o icideci (oloze) Jestliže od leží římce, růměty odu leží růmětec římy. Oecá olo římy: Zorzte římu, terá je zdá ody (,, 6) (6, 6, ). Zůso zorzeí je velmi jedoducý zorzíme o ody růměty odů vedeme římu. Zůso resleí, terý udeme oužívt i dále, se ude trocu lišit od zůsou, terý yl oužívá ři zorzováí odů. V Mogeově romítáí udeme ordiálu reslit zeleou čárovou črou, terá ude mezi růměty odu řerušeá. V ázorém romítáí udeme oět souřdice odu reslit revě y modře, z filově z růmětů odů udou vedey romítcí rsy zeleou čárovou črou do sutečéo odu. rvé růměty udou revě odlišey od druéo růmětu červeě. rvy může le využít ouze te, terý ude rcovt s očítčovou oií, eo si vytise srit revé tisárě. ázorý růmět římy růmět římy v Mogeově romítáí. 6
Zvláští oloy říme vzledem souřdicovému systému ozám dooručeí: vytvořte si ze sešitu ázorý souřdicový out olou římy si modelujte.. řím rovoěžá s růmětou řím rovoěžá s rví růmětou π rocází ody ve stejé výšce d růmětou, roto se romítá jo řím rovoěžá s osou x. řím rovoěžá s druou růmětou - π. řím rocází ody ve stejé vzdáleosti od π, roto rvý růmět je rovoěžý s osou x.. řím rovoěžá s osou x Jestliže je řím rovoěžá s osou x, růměty jsou též rovoěžé s osou x. řím je olmá π 3. 7
3. řím olmá růmětě = = = = = = = = řím, terá je olmá růmětě, musí ýt rovoěžá s osou y eo z do říslušé růměty se romítá jo od. Zývjící růmět této římy je řím olmá ose x..3 Stoíy římy efiice: Stoí je od, v terém řím rotíá růmětu. rotože řím může rotít dvě růměty ůdorysu árysu, máme ůdorysý stoí árysý stoí. Ozčeí ísmey je stdrdí tto ísme esmí ýt oužit ro ozčeí jiýc odů. K odlišeí stoíů růzýc říme oužijeme idex, terý ozčuje římu ř., td. Jestliže máme stoíy ouze jedé římy, idex se euvádí. ůdorysý stoí leží v rvé růmětě, jeo souřdice z = 0 druý růmět tooto stoíu leží ose x. árysý stoí leží v árysě, roto jeo souřdice y = 0 rvý růmět leží ose x. Lée je le vycázet z ředstvy, ež ostruovt stoíy mecicy. Zázorěí stoíů: = = = = říld : Sestrojte stoíy římy =. (4,, 6), (, 6, ) Rozor: V ázorém zorzeí vidíme o stoíy. Vrátíme se do Mogeov romítáí. Kde řím rotíá ůdorysu? Vidíme v druém růmětu v místě, de rotíá osu x. Tm je ůdorysý stoí. omocí ordiály zostruujeme. Odoá je i ostruce áryséo stoíu. Oět se musíme zmyslet d tím, de vidíme růsečí římy árysy. Te vidíme v rvém růmětu, de rotíá záldici x. omocí ordiály sestrojíme. Z crteru Mogeov romítáí si musíme též uvědomit, že ody v růmětác ejsou je růměty, le jsou sutečé ody. Že tomu t je, vidíte v ázorém zorzeí. Uvědomte si, že ůdorysý růmět Mogeov romítáí vzil sloeím ůdorysy ázoréo romítáí. árys zůstl stejá. 8
říld: Sestrojte stoíy římy =. (3,, 5), (3, 5, ) Rozor: řím je rovoěžá s π 3 oorysou v Mogeově romítáí =. Zorzeí eurčuje, já je olo římy. y ylo možé určit, jou má řím olou, můžeme zorzit římu v π 3 oorysě. Zde můžeme té určit árysý ůdorysý stoí. 3 = 3 = 3 3 3 3 3 = 3 = 3 3 3 3 = = Řešeí: V Mogeově romítáí zorzíme ody, římu. V ázorém romítáí vidíme zorzeí třetío růmětu v π 3. V Mogeově romítáí musíme rovést romítutí (zčeo šimi) otočeí (zčeo olouem). V ázorém romítáí vidíme třetí růmět římo otočeí růměte jsme již v ředcozím rováděli. Zísáme třetí růmět římy 3. V třetím růmětu určíme árysý i ůdorysý stoí. Stoíy zětě řevedeme do rvéo druéo růmětu. oz. Sestrojeí stoíů můžeme rovést i dlšími zůsoy. Je možé třetí růmětu vázt i rvý růmět. Kostruce y yl odoá zorzeé. Výodou těcto ostrucí je oměrě dorá ázorost srozumitelost. Otáčeí do třetío růmětu ycom le měli oužívt ředostě ro uiverzálější oužití. Otáčeí udeme využívt ři ozdějšíc ostrucíc, de se oužívá rovi rovoěžá s osou x. lší možost je sloeí římy do rvé drué růměty t, j ude roráo v itole.5 - Sutečá veliost úsečy. Teto zůso je ejméě áročý rostor zorzeí..4 Vzájemá olo říme vě římy v rostoru moou ýt vzájem rovoěžé, růzoěžé eo mimoěžé. římy rovoěžé růzé růzoěžé určují roviu. Zorzeí těcto možostí v Mogeově romítáí: 9
římy rovoěžé římy růzoěžé římy mimoěžé římy rovoěžé romítjí se ve všec růmětec rovoěžě. Můžete si rticy vyzoušet, jestliže si vezmete odélí (ř. učeici) ve všec oledec se ry odélí romítjí rovoěžě. římy růzoěžé mjí solečý od růsečí (v říldu od ). růměty odu leží ordiále. římy mimoěžé emjí solečý od. růměty říme se rotíjí ouze zdálivě růsečíy eleží ordiále. Zvláští oloy dvojice říme = = = =.Rovoěžé římy Jedá se: o dvě římy, teré jsou olmé růmětě. orázu jsou dvě římy olmé π. Odoě y ylo možé vést dvě rovoěžé římy olmé π. o dvě římy, teré jsou vzájem rovoěžé rovoěžé s oorysou π 3. Ze zorzeí ve dvou růmětec le eí jedozčě určeá rovoěžost jedozčosti y yl utý třetí růmět. římy y moly ýt (dyy rovoěžost eyl ozče) i mimoěžé. Zuste modelovt o řídy. 0
.Růzoěžé římy = = = = = v rvém řídě se jedá o římy, teré leží v tzv. romítcí roviě (v teré se zde romítjí do π jo jed řím). římy určují roviu olmou rvé růmětě. Odoě moou ýt římy v oloze, terá určuje roviu olmou drué růmětě reslete. v druém řídě je olmá drué růmětě druý růmět římy je od. řím má oecou olou. reslete si říd, že jed řím je olmá rvé růmětě druá má oět oecou olou. v třetím řídě římy jsou rovoěžé s třetí růmětou mjí solečý od (růsečí). K určeí oloy říme je le utý třetí růmět. 3.Mimoěžé římy v rvém řídě jsou rvé růměty říme rovoěžé. Že jsou ve sutečosti mimoěžé, vidíme z druéo růmětu. v druém řídě řím má oecou olou řím je olmá drué růmětě. Úol: Zostruujte mimoěžé římy, o icž ltí, že je olmá rvé růmětě je olmá drué růmětě.
.5 Sutečá veliost úsečy Velmi čsto otřeujeme zjistit sutečou veliost úsečy. J víme z oztů o romítáí, sutečá veliost se zorzí v Mogeově romítáí v růmětác π eo π. To zmeá, že musíme úseču do růměte sloit. ejlée je vidět toto sláěí modelu. oře je vidět též v ázorém romítáí. ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Sloeí úsečy do růměte v ázorém romítáí Sloeí v Mogeově romítáí ři sláěí do π se od otáčí o ružici. Tto ružice se v ázorém romítáí jeví jo elis. V rvoúlém růmětu Mogeov romítáí se jeví jo řím, olmá. ři sláěí do π je oloměr ružice souřdice z odu (můžeme říci i ji výš odu d π ). Odoě se sláí do rvé růměty i od. Sutečá dél úsečy je zorzeá ()(). Sláět můžeme i v oráceém směru, ež je rovedeo. Směr sláěí závisí volém rostoru. ři sláěí do π se od otáčí o ružici. Tto ružice se oět jeví jo řím, terá je olmá růmětu úsečy. oloměr ružice je souřdice y odu (oět možo říci ji vzdáleost odu od π. Sutečá dél úsečy je zorzeá jo ()(). o teré růměty sláíme, závisí oět možostec locy v souřdicovém systému..6 Zorzeí rovi Ze stereometrie víme, že rovi je urče:. omocí třec růzýc odů, teré eleží jedé římce.. omocí římy odu, terý dé římce eleží. 3. omocí dvou říme rovoěžýc růzýc eo růzoěžýc. ále je uté zoovt věty o icideci oloze:. řím leží v roviě rávě tedy, rocází-li dvěm růzými ody roviy.. od leží v roviě, leží-li římce roviy. 3. Leží-li od v roviě, růmět odu je odem růmětu roviy. Roviu můžeme zorzit zůsoy určeí. Ovyle le volíme zorzeí omocí dvou růzoěžýc říme, terým říáme stoy. efiice: Sto je růsečice roviy růměty. Sto je oět ůdorysá - ozčujeme árysá ozčujeme. Idex ozčuje roviu.
Ozčeí esmíme oužít ro jié římy. = = = = Zorzeí roviy omocí sto Rovi ω.je zorze ázorě v Mogeově romítáí. V ázorém zorzeí vidíme část roviy v rvém vdrtu. Rovi je ro ázorost vyšrfová. Rovi je le eoečá, roto stoy, jo římy, orčují z roviu třetí růměty oorysy. Jejic orčováí y molo ýt i směrem dorv. V Mogeově romítáí je rovi zázorěá ouze růměty sto dvěm růzoěžými římmi. Stoy leží v růmětác, roto cyějící růměty sto leží ose x árysá sto s ůdorysou se i rotíjí. Sestrojeí sto roviy zdé omocí souřdic: Stoy roviy zdáváme omocí úseů osác viz. oráze. Zdáí je formálě odoé jo zdáí odu - τ(x, y, z). Souřdice roviy moou ýt zdáy i záorě. Zdáí roviy je možé rovést i jiým zůsoem, viz. určeí. Zdáí omocí souřdic zorzeí omocí sto je zůso ejjedodušší ejčstější. Zvláští oloy rovi udou uvedey ouze zvláští oloy rví růmětě. Odoá olo y mol ýt i růmětě drué. ři studiu si zuste rovést modelováí. Rovi rovoěžá s árysou Sestrojte roviu ϕ rovoěžou s druou růmětou. Rovi má ouze ůdorysou stou, rotože s druou růmětou se rotíá v. Rovi je zároveň olmá ůdorysě. 3
= = Úol: modelujte si roviu rovoěžou s ůdorysou reslete stou. Rovi olmá ůdorysě Sestrojte roviu σ olmou ůdorysě, terá eí rovoěžá s druou růmětou. Ze stereometrie víme, že rovi olmá drué roviě musí osovt římu olmou drué roviě. Tto řím je árysá sto (eo řím s í rovoěžá). V Mogeově romítáí je olmá ose x. Úol: modelujte roviu olmou drué růmětě reslete stoy 4
Rovi rovoěžá s osou x Sestrojte roviu rovoěžou se záldicí, terá eí rovoěžá s růmětou. Stoy roviy udou rovoěžé se záldicí. = = = =.7 řím v roviě řím v oecé oloze Ze stereometrie víme, že řím ležící v roviě rocází dvěm ody roviy. U římy ás zjímjí stoíy, teré musí ležet v roviě otom tedy ltí - efiice: řím v roviě má stoíy stoác roviy. Zorzeí oecé římy v roviě: = = = = = = ω ůdorysý stoí římy leží v rvém růmětu, druý růmět - ose x. Odoě árysý stoí v druém růmětu leží ω, rvý růmět ose x. Hlví řím efiice: Hlví řím je řím rovoěžá s jedou stoou roviy leží v roviě. Z defiice lye, že lví řím může ýt rovoěžá uď s ůdorysou eo árysou stoou. Hlví římy jsou tedy: rovoěžé s ůdorysou stoou - římy I. osovy. rovoěžé s árysou stoou - římy II. osovy. I ω Hlví římy se zčí ísmeem s idexy osovy, růmětu ozčeí roviy říld -. Jedá se o lví římu roviy ω, rví osovy, rví růmět. ísmeo se esmí oužít ro ozčeí jiýc říme. 5
V ázorém Mogeově romítáí je zorze lví řím rví osovy roviy σ. oz. Hlví římy můžeme zorzovt vysvětlovt i jiými zůsoy jo růsečice roviy rovoěžé s růmětou dé roviy viz. [], []. Sádová řím Sádová řím je řím roviy, terá určuje odcylu roviy od růměty svírá s růmětou ejvětší úel. efiice: Sádová řím leží v roviě v jedom růmětu je olmá stoě roviy. Oět může ýt sádová řím olmá ůdorysé eo árysé stoě. Máme odoě jo lví římy i sádové římy rví drué osovy. Zčeí je též odoé. Zčíme je ísmeem I τ s jo u lvíc říme říslušými idexy - s - sádová řím rví osovy roviy τ druý růmět. Rověž ísmeo s se esmí oužívt ro ozčeí jiýc říme. I s I s I s I s = = I s Všecy římy roviy můžeme využít určeí růmětu odu, terý leží v roviě. Z ledis řeledosti le využíváme ouze lví římy. ři oužití oecýc říme y se ostruce stl eřeledou ři oužití sádovýc říme eřesou. Sádové římy oužíváme sestrojeí úlu, terý svírá rovi s růmětou, rotože sádová řím má v roviě ejvětší sád odtud její ojmeováí. Sestrojeí úlu mezi roviou růmětou ude roráo v itole.3. 6
Oecé římy využíváme růzým ostrucím, dy otřeujeme zorzit v roviě římu. od v roviě Vzájemá olo odu roviy od uď v roviě leží, eo je mimo i. Ze stereometrie víme, že od leží v roviě tedy, leží-li římce roviy. Too využíváme zorzeí odu. Máme-li zdáí odu, terý leží v roviě, je od zdá ouze jedím růmětem. yějící růmět musíme sestrojit omocí římy ležící v roviě oužijeme lví římu. Úlo: od σ. Je zdá: (,?,.5) - eí urče souřdice y. Sestrojte. Rovi σ (0, 7, 6). Řešeí: ruým růmětem odu vedeme lví římu roviy. oužili jsme druý růmět lví římy rvé osovy I σ. omocí áryséo stoíu sestrojíme I σ. Ordiál určí cyějící růmět. eí uté využívt ouze lví římy. Můžeme oužít oecou římu v roviě, eo sádovou římu. oužití lvíc říme je le řeledější, j uvidíte v úloác, de se určuje olo více odů..8 Orzec v roviě Orzec v roviě je zdá ovyle jedím růmětem. Úloou je sestrojit cyějící růmět. Úlo: Sestrojte zorzeí čtyřúelí, terý leží v roviě τ (0, 8, 6) romítá se v rvém růmětu jo čtverec. Čtyřúelí je zdá jedím vrcolem odem (5, 3.5,?) středem čtyřúelí S(3,.5,?). Sestrojte druý růmět. Rozor: Sestrojíme rvý růmět čtyřúelí. řevedeí orzu do druéo růmětu je možé rovést dvěm zůsoy: Jedotlivé vrcoly čtyřúelí řevedeme omocí lvíc říme. Teto zůso oužíváme ejčstěji ro jeo řeledost, velmi dorou řesost uiverzálost. řevedeme ostuě jedotlivé ry záldě zlostí o oloze římy v roviě. Zůso emůžeme oužít ve všec řídec, rotože ři určité oloze r se řím řevádí otížě (ostruce stoíů áročá rostor výresu), eo řešeí eí řesé. uázce si ředvedeme o zůsoy ostruce. 7
I I I S I Řešeí:. oužití lví římy od jsme řevedli do druéo růmětu omocí lvíc říme. Z ostruce vidíte, že oužití těcto říme je řesé jedoducé.. oužití oecé římy: ody řevádíme omocí oecé římy =. Sestrojíme její stoíy řevedeme je do druéo růmětu. Tím je urče růmět. ody řevedeme omocí ordiál. Kostruce je le áročá řesost resleí ordiál odů. Jestliže ycom ctěli oužít tuto ostruci ro římu rocázející odem, árysý stoí y mol ýt íru edosžitelý (zde y vyšel do textu). oz. Kotrol srávosti ostruce v druém růmětu musí ýt stry čtyřúelí rovoěžé..9 Vzájemá olo rovi vě roviy moou ýt viz. stereometrie vzájem růzoěžé eo rovoěžé. Roviy růzoěžé = = = = Roviy růzoěžé mjí jedu solečou římu tuto římu - růsečici máme zostruovt. Kostruce je velmi jedoducá jsou otřeé dv ody. Jestliže jsou roviy zdáy omocí sto, jsou tyto ody dáy růsečíy těcto sto, rotože stoy leží v růmětác roto se rotíjí v odec. Solečá řím růsečice je řím =. 8
Úlo: Sestrojte růsečici rovi ω(, 5, 7) ϕ(, -4, 3). Sestrojte též úel těcto rovi. 3 m 3 3 m 3 m 3 m 3 ( ) Rozor: Ze zdáí souřdic rovi je vidět, že se jedá o roviy rovoěžé s osou x. V Mogeově romítáí v rvém druém růmětu ude zorzeí eurčité. roto musíme řevést roviy do třetí růměty π 3. Řešeí: Otočeí rovi φ ω do π 3 oorysy - rovedeme odoým zůsoem, jo jsme rováděli otočeí římy v.3 ři ostruci stoíů. Otočíme od, v terém ůdorysé stoy rovi rotou osu y, sloeou osu (y). Střed ružic otáčeí je očáte souřdicovéo systému 0. U všec odů musíme zcovt stejý smysl otáčeí týá se to ředevším ůdorysé stoy roviy ϕ, terá je v druém vdrtu. růsečíy árysýc sto s osou z se eotáčejí. Můžeme sestrojit oorysé stoy rovi ϕ ω, teré se ozčují m. odem, v terém se v π 3 tyto stoy rotíjí, rocází růsečice oou rovi. o π můžeme řevést růsečici římo, do π musíme rovést zěté otočeí. orovejte si zorzeí v ázorém Mogeově romítáí. V π 3 vidíme též úel α rovi ω φ je urče úlem oorysýc sto. Rovoěžé roviy Ze stereometrie víme, že dvě roviy, ř. ω σ jsou rovoěžé, jestliže v roviě ω existují dvě růzoěžé římy, teré jsou rovoěžé s římmi v roviě σ. Z tovéto římy můžeme ovžovt i stoy rovi. Z uvedeéo otom vylývá, že dvě roviy rovoěžé, jestliže jsou rovoěžé stoy oou rovi. 9
Z too též lye, že rovoěžé roviy mjí rovoěžé lví římy. Z tooto oztu můžeme vycázet ři řešeí úloy, dy máme sestrojit rovoěžou roviu, terá rocází dým odem. Úlo: Sestrojte roviu ρ, terá rocází odem (3, 3, ) je rovoěžá s roviou φ(4, 4, 3). Rozor: Rovoěžé roviy mjí rovoěžé stoy. rotože od leží v roviě ρ, můžeme sestrojit lví římu roviy ρ. Řešeí: odem roložíme lví římu roviy ρ. oužili jsme lví římu rvé osovy rovoěžé s ůdorysou stoou roviy φ. Sestrojíme její árysý stoí tím máme urče od árysé stoy roviy ρ. ásledě můžeme sestrojit i ůdorysou stou roviy.. 0 řím rovi Mezi římou roviou moou stt tyto vzty:. řím v dé roviě leží.. řím může roviu rotít má s roviou solečý od růsečí. Zvláštím řídem je řím roviě olmá. 3. řím je s roviou rovoěžá. roereme ostuě jedotlivé řídy. Já je olo římy roviy ϕ zjistíme, dyž roložíme římou roviu λ zjistíme růsečici rovi ϕ λ. ejvodější rovi ro roložeí je rovi olmá ěteré z růměte. růsečici říáme rycí řím ozčujeme ji ovyle. Moou stt tři řídy: = - řím leží v roviě má s rycí římou solečý od. V tom řídě řím v odě rotíá roviu ϕ. je rovoěžá s. V tom řídě je řím rovoěžá i s roviou ϕ. 0
= = = = = = = = řím = leží v roviě řím je růzoěžá s má řím ϕ s roviou solečý od Zjímá ás ředevším druý říd zjištěí růsečíu římy s roviou..0. růsečí římy s roviou J je vidět z ředcozío, určeí růsečíu římy s roviou oužijeme rycí římu. roládáí roviy dou římou eí říliš výodé. Výodější je římé oužití rycí římy. roto ji defiujeme: efiice: Krycí řím je řím, terá je v jedom růmětu sodá s dou římou, le leží v dé roviě. Využití tto defiové rycí římy ude využitelé i v řídě ostruce růsečíu římy roviéo orzce. Úlo: Sestrojte růsečí římy = s roviou ω (0, 5, 4). (8, 5, 5), (0,, ) = = Řešeí: K zjištěí růsečíu římy využijeme rycí římu. Krycí řím yl zvole =. ic le eráí tomu, ycom volili rycí římu sodou s druým růmětem římy. rotože rycí řím leží v roviě, má stoíy stoác roviy ω. Sestrojíme cyějící růmět rycí římy růsečí s určí od růsečí římy s ω - jejic solečý od.
ro rocvičeí dlší říld: Úlo: Sestrojte růsečí římy = s roviou ψ(, 4, 6). (8, 4.5, 5), (0,, ) = = Rozor: růsečí je možé sestrojit omocí rycí římy. Je le též možé rovést otočeí do π 3 odoě, jo jsme oužívli u rovi rovoěžýc s osou x v ředcozíc řídec. Toto řešeí je ostručě áročější, le jistě si jej doážete ředstvit. Řešeí: Je odoé jo v ředcozím řídě. Volíme =, určíme stoíy rycí římy sestrojíme cyějící růmět. růsečí římy s roviou ψ - od je urče růsečíem..0. růsečí římy s roviým orzcem růsečí římy roviéo orzce je stejá úlo, jo růsečí římy s roviou. Orzec je část roviy oričeá úsečmi. růsečí ostruujeme oět omocí rycí římy. Jede růmět rycí římy je oět sodý s ěterým růmětem římy, u teré ledáme růsečí, le leží v roviě orzce. Krycí řím tedy rotíá ry orzce, roto můžeme sestrojit cyějící růmět rycí římy. růsečí římy s orzcem je dá růsečíem římy rycí římy. Úlo: Sestrojte růsečí H trojúelí římy = E. (,, 6), (8,, ), (3, 6, ), (0,.5,.5), E (8, 5, 7). Řešeí: E ruým růmětem římy jsme roložili rycí římu. Hry orzce rotíá v odec G F omocí ordiály sestrojíme rvé růměty těcto odů. Sestrojíme H F = rvý orz rycí římy. růsečí římy G s trojúelíem je od H. Viditelost: ředoládáme, že dá rovi eí růledá. K zvýšeí větší ázorosti zvádíme ojem viditelosti. Viditelost se řídí odle too, terý ojet je ám líže terý je F vzdáleější ve směru oledu ( rvý eo druý růmět). Řídíme se veliostí souřdic. ř. v rvém růmětu H G ody úsečy EH mjí souřdice z větší ež ody úsečy E, roto tto část úsečy ude viditelá. V odě H se viditelost měí růsečí s roviou trojúelí. Odoě rovádíme úvu o viditelosti v druém růmětu.
.0.3 růsey orzců růsey orzců jsou jiým zůsoem vyjádřeé růsey rovi ledáí jejic růsečice. Rozdíl je je v zorzeí roviy, terá je v řídě orzců omeze jejic rmi. růsečice je le řím se všemi vlstostmi římy. Kreslíme ji jo viditelou v části, de je solečá oěm orzcům. Z ledis druu růseu máme dv tyy: úlý růse, de jede orzec úlě rotíá druý záse, de růse orzců je částečý O růsey ostruujeme stejým zůsoem, že ledáme dv ody růsečice. odle too, j růsečice orzci rocází, určíme rví eo druý ty růseu. Jestliže vitří ody růsečice leží ouze jedom orzci jedá se o úlý růse. Jestliže vitří ody růsečice c jsou oou orzcíc jedá se o záse. c růse Záse Úlo: Sestrojte růse dvou trojúelíů EF. (, 7, ), (6,.5, 7), (0, 7, 0), (,, 6), E(4, 9, ), F(,, 5) F H R K L S O F E E K L F S H R O E 3
Rozor: ři resleí zdáí je možé oddout, j si ude růse vydt odle too volit rycí římy. Řešeí: Je ředold, že trojúelí lě roie trojúelí EF. roto volíme rycí římu =. Tto rycí řím le leží v trojúelíu EF rotíá ru E v odě H, ru F v odě K. Sestrojíme drué růměty těcto odů tím druý růmět rycí římy. Kde se rycí řím rotíá s rou je růsečí trojúelíů od R. odoě ostuujeme i u ry. Zde le yl vole rycí řím v druém růmětu =. ostu ostruce je odoý jo u rycí římy. Úlo: Sestrojte růse trojúelíů EF. (, 7, ), (0, 5, 0), (6,, 6.5), (,, ), I E(0, 7, ), F(9,, 7). J G O G=J H L H L O K K F I F E E Rozor: Zůso ostruce růseu je stejý jo v ředcozíc úloác. roto eudeme vyírt rycí římu s oledem růse, le vyereme ji áodě. Jedié, co musíme resetovt, je růsečí rycí římy ry terý musíme mít reslící loše. Řešeí: Jo rví rycí římu volíme =. Krycí řím leží v roviě trojúelí EF rotíá jeo ry v odec G H. Tyto ody řevedeme ry trojúelí EF do druéo růmětu sestrojíme druý růmět rycí římy. ycom dostli od růsečice I, musíme rodloužit ru. ruou rycí římu volíme rozuměji - = E, terá leží v roviě trojúelí. Hru rotíá v odě J, ru v odě K. ody J K řevedeme do druéo růmětu sestrojíme. růsečí ry E s je od růsečice L, terý řevedeme do rvéo růmětu. Můžeme zostruovt růsečici rovi trojúelíů = IL. T má vitří ody oou orzcíc od L rě E od O rě. Jedá se tedy o záse. Viditelost musíme si vždy uvědomit, terá řím je výše d π terá je vzdáleější od π..0.4 růsečí římy s roviou zdou římmi Roviy můžeme mít též zdé je omocí růzoěžýc, eo rovoěžýc říme otřeujeme zjistit růsečí s dou římou. Je možé sice ostruovt stoy roviy, le tím se ostruce stává zčě eřeledou. Můžeme rovést ostruci římo omocí rycí římy. Krycí římu zdáváme stejým zůsoem. Zjišťujeme le růsečíy rycí římy s římmi, teré určují roviu. říld: Sestrojte růsečí roviy τ = s římou c. řím = M, = M, c =, (4.5, 0, 7.5), M(5.5,, 4.5), (8.5, 0, 8), (, 3, 5), (8, 4, -0.5) 4
c c = F F M H M H E E Rozor: Rovi τ je urče růzoěžými římmi. Řešeí: Krycí římu jsme si zvolili c =. Krycí řím rotíá římu v odě E římu v odě F. Sestrojíme omocí ordiál rvý růmět odů E F. Tím je urče rvý růmět rycí římy. od H = c je růsečí římy c s roviou τ. ruý růmět sestrojíme omocí ordiály. Odoě ycom řešili úlou v řídě, že rovi y yl urče rovoěžými římmi.. 0.5 řím rovoěžá s roviou Ze stereometrie záme, že: efiice: řím je rovoěžá s roviou tedy, jestliže je rovoěžá s římou, terá v roviě leží. Úlo: Sestrojte římu =, terá je rovoěžá s roviou ρ(00, 60, 60). (8, 4, 6.5), (-,?, 0) = = Rozor: řím v roviě, terá je s dým růmětem římy rovoěžá, může ýt liovolě zvoleá řím v dém růmětu roviy. Můžeme le oužít též rycí římu. oužijeme-li rycí římu, úlo se zčě zjedoduší. Krycí římu le elze vždy oužít, ř. dyž stoíy vycází mimo reslící locu. Řešeí: řím je urče druým růmětem úolem je sestrojit rvý růmět. Volíme rycí římu =. Sestrojíme rvý růmět rycí římy. S tímto růmětem vedeme rovoěžou římu rvým růmětem odu zísáme rvý růmět římy. rvý růmět odu je mimo locu zorzeí. Odoým zůsoem y ylo možé řešit úlou v řídě, že rovi je zdá dvěmi římmi. 5
. řím olmá roviě římu olmou dé roviě sestrojíme záldě defiice. efiice: řím olmá roviě se jeví jo olmá e stoám roviy. Úlo: Sestrojte z odu římu olmou roviě ω. Roviu od si volte. Řešeí: Z odu sestrojíme římu olmou e stoám roviy ω viz. defiice. Odoým zůsoem sestrojíme olmici i tedy, jestliže rovi ude zdá omocí dvou rovoěžýc eo růzoěžýc říme. Kostruce y yl rovede omocí lvíc říme roviy. Úlo: Rovi τ =. Sestrojte olmici d roviě τ z odu. Zdáí: =, (3, 0.5, 4.5), (0, 6.5,-), =, (, 0, 8), (4.5, 5.5, 5.5). Rozor: Jestliže řím olmá roviě je olmá stoám roviy, musí ýt též olmá růmětu lví římy. ři ostruci lví římy volíme růmět, terý je rovoěžý d II s osou x. Sestrojíme cyějící růmět římy můžeme sestrojit E v tomto růmětu též olmici dé H I roviě. G F Řešeí: V rvém růmětu zostruujeme E H II lví římu II τ, terá rotíá F římu v odě E římu v odě G F. Sestrojíme drué růměty těcto I odů zísáme druý růmět lví d římy II τ. Z druéo růmětu odu můžeme zostruovt olmici roviě τ c. Odoě ostruujeme rvý růmět olmice. Zvolíme si zostruujeme lví římu rvé osovy I τ sestrojíme rvý růmět I τ omocí odů H G. Vedeme z rvý růmět olmice τ - c. 6
. Rovi olmá římce Kostruce roviy olmé římce je oráceá úlo ředcozí. Oět stoy roviy jsou olmé dé římce. Úlo le musí ýt uřesě rovi musí rocázet určitým odem římy. Ke ostruci využijeme lví římy roviy. Úlo: Sestrojte roviu ϕ olmou římce v odě. Zorzte stoy. olou římy od si volte. Řešeí: Kostruce je jedoducá. V odě sestrojíme lví římu roviy ϕ - volili jsme římu drué osovy - II Sestrojíme ůdorysý stoí, terým v rvém růmětu vedeme ůdorysou stou. odle defiice je sto olmá dé římce. Sestrojíme árysou stou. Je oět velmi čstou úloou, že máme sestrojit roviu olmou římce, le z ějéo důvodu emůžeme sestrojit stoy. V tomto řídě využijeme určeí roviy lví římy oou osov, teré vedeme dým odem římce..3 Úel mezi roviou růmětou Úel mezi roviou růmětou sestrojíme omocí sádové římy roviy, terou sloíme do růměty, u teré ledáme říslušý úel. Úlo: Sestrojte úel α, terý svírá rovi ϕ s π. ϕ(0, 7, 5). s ( ) ( s ) Řešeí: V rvém růmětu si liovolě zostruujeme sádovou římu rvé osovy - I s ϕ. Sádovou římu sloíme do π. Sloeím určíme eje sutečou délu sádové římy mezi stoíy, le i úel, terý svírá s růmětou. To je též úel roviy růměty. s 7