. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé číselé (kvattatví) údaje. Časové řad jsou urče především: ke sledováí a vhodocováí změ, k mž dochází ve vývoj zkoumaých jevů v závslost a čase, pro aalýzu příč, které a tto jev působl a ovlvňoval jejch chováí v mulost, pro předvídáí jejch budoucího vývoje. Hodot časové řad ozačujeme smbolem Y t, kde t představuje čas. Odhadutou hodotu časové řad ozačujeme Y. Možu hodot časové řad až do časového ˆt bodu t začíme Y, Y,, Y t-, Y t. Pracujeme-l s více časovým řadam ajedou, používáme pro jejch ozačeí další písmea z koce abeced Z, X atd. V matematckém vjádřeí časová řada je časovou posloupostí pozorovaých hodot číselého statstckého zaku,,..., t,...,, pro t, t,,...,, kde je délka časové řad. Rozdíl - t se azývá věk pozorováí vjádřeý v růzých požadovaých časových jedotkách. Časové řad mohou být spojté a espojté. Moho řad, které mají espojtý charakter často převádíme a řad spojté sčítáím, průměrováím apod. Často tak číme u ekoomckých časových řad. Například výroba v podku (zajímá ás výroba za měsíc, čtvrtletí, kolv však výroba za de č po hodách - ta však může být zajímavá pro samotého výrobce), průměrá deí teplota, tlak apod. Problém časových řad Př zpracováí dat ve formě časové řad se potýkáme s možstvím problémů. Jedá se především o: problém s volbou časových bodů pozorováí, problém s kaledářem, růzá délka měsíců, růzý počet víkedů v měsíc, růzý počet pracovích dů v měsíc, pohblvé svátk, problém s délkou časových řad, problém esrovatelostí dat,
.. Klasfkace časových řad... Časové řad absolutích velč Základí děleí časových řad absolutích velč posktuje ásledující schéma: řad okamžkové esčtatelé hodot řad úsekové (tervalové) sčtatelé hodot řad běžých hodot řad odvozeé řad součtové kumulatví řad klouzavých úhrů řad klouzavých průměrů Údaje okamžkových časových řad se vztahují vžd k určtému časovému okamžku apř. počet pracovíků k prvímu d v jedotlvých měsících, stav zásob materálu k.. v jedotlvých letech, údaje o teplotě vzduchu. Jde o esčtatelé hodot.. Údaje úsekových časových řad se vztahují vžd k určtému časovému úseku. Velkost údajů je v přímé závslost s délkou časových úseků, apř. počt výrobků v jedotlvých měsících roku, počet arozeých dětí v jedotlvých letech. Tpcké je sčítáí (kumulováí) údajů. Jde o sčtatelé hodot. Úsekové řad můžeme podroběj dělt a: řad běžých hodot, řad odvozeé, řad součtové kumulatví, umožňují sledovat postupé arůstáí ukazatele od prvího časového úseku až po posledí řad klouzavých úhrů - hodot ukazatele za období sestávající z určtého počtu dílčích úseků, přčemž každý další úhr v řadě přbírá údaj dalšího úseku a vpouští údaj ejstaršího úseku řad klouzavých průměrů - řad klouzavých úhrů děleé počtem úseků, za které jsou klouzavé úhr počítá Př grafckém zázorňováí úsekových časových řad se používají zejméa sloupcové graf, stupňovté čár a spojcové graf (vášeí hodot ad střed úseků). Z kombace řad běžých hodot, kumulovaé řad a řad klouzavých úhrů se sestavuje tzv. Z dagram V ekoomcké oblast jsou tpcké apř. úsekové a okamžkové časové řad deích, týdeích, měsíčích, čtvrtletích, ročích údajů.
Objem obchodu [ts. Kč] Kurz akce [Čk] Objem obchodu [ts.čk]... Časové řad odvozeých velč časové řad poměrých velč - apř. plěí pláu v jedotlvých měsících, produktvta práce dosažeá v jedotlvých letech, časové řad průměrých velč - apř. průměrá mzda pracovíků v jedotlvých letech, průměrá spotřeba masa a jedoho obvatele v jedotlvých letech Příklad úsekové a okamžkové řad: 60 300 Objem obchodu (úseková řada) Kurz akce (okamžková řada) 50 50 40 00 30 50 0 00 0 50 50 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Obchodí de Obr. 0.. Kurz akcí a objem obchodu ve 0 obchodích dech Příklad odvozeých řad Z dagram pro objem obchodováí akcí: řada klouzavých úhrů (za posledích měsíců) 600 íců) 00 řada kumulovaých hodot (od počátku roku) 800 400 řada běžých hodot (měsíčích) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Obchodí měsíc Obr. 0.. Z dagram pro objem obchodováí akcí 3
.3. Měřeí úrově časových řad Úsekové řad k měřeí úrově se vužívá prostý artmetcký průměr (vzhledem ke sčtatelost údajů lze apř. z měsíčích údajů určt ročí úhr a jeho vděleím počtem měsíců staovt průměrou hodotu přpadající a jede měsíc). Okamžkové řad vzhledem k esčtatelost údajů se okamžková řada o délce převádí a úsekovou řadu o délce, jejíž jedotlvé hodot jsou dá jako průměr sousedích hodot původí řad t t. Prostý ebo vážeý artmetcký průměr z těchto hodot se azývá chroologcký průměr. prostý chroologcký průměr př stálé vzdáleost mez okamžk zjšťováí t t (... ch ), t vážeý chroologcký průměr, jsou-l vzdáleost mez okamžk zjšťováí pohblvé a rové w t (pro vzdáleost mez t tým a (t ) okamžkem) ch t w t t t t w t absolutí přírůstek.4. Mír damk časových řad průměrý absolutí přírůstek relatví přírůstek průměrý koefcet růstu 4
.5. Aalýza časových řad Cílem aalýz je většou kostrukce vhodého modelu. Pokud budeme schop sestrojt dobrý model, umoží ám to porozumět mechasmu, a jehož základě vzkají hodot časové řad, a porozumět podmíkám, které vzk těchto hodot ovlvňují. To ám umoží tto podmík ovlvňovat a v ěkterých případech ovlvt vývoj časové řad. Dalším velm častým cílem je kostrukce předpovědí. Př klascké aalýze časových řad se vchází z předpokladu, že každá časová řada může obsahovat čtř složk: tred, sezóí složku, cklckou složku, áhodou složku. Tred je obecá tedece vývoje zkoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a stálých procesů. Tred může být rostoucí, klesající ebo může exstovat řada bez tredu. Sezóí složka je pravdelě se opakující odchlka od tredové složk. Peroda této složk je meší ež celková velkost sledovaého období. Cklcká složka udává kolísáí okolo tredu v důsledku dlouhodobého cklckého vývoje (používáo spíše v makroekoomckých úvahách). Náhodá (stochastcká) složka se edá popsat žádou fukcí času. "Zbývá" po vloučeí tredu, sezóí a cklcké složk. Nejčastěj se př aalýze časové řad předpokládá adtví model popsu chováí řad. Předpokládá se, že jedotlvé složk vývoje se sčítají, takže platí: = T t + S t + C t + ε t, kde a pravé straě po řadě vstupují složk tredová T t, sezóí S t, cklcká C t a áhodá ε t. Růzé modfkace modelů vzkou, kdž ěkterou složku z úvah vpustíme. Aalýza složk kteréhokolv tpu se provádí v podstatě klasckou regresí aalýzou. Podstatý rozdíl je je v tom, že ezávsle proměá, je v tomto případě proměá časová a můžeme j vcelku lbovolě vjádřt v jakýchkolv časových jedotkách s lbovolým počátkem. 5
.5.. Aalýza tredové složk Aalýza tredové složk je zřejmě ejdůležtější částí aalýz časových řad. V průběhu let se potvrdlo, že př výběru tredových fukcí většou vstačíme s úzkou abídkou fukcí. Nejčastěj používaé tredové fukce jsou: leárí tred Parametr a představuje přírůstek hodot přpadající a jedotkovou změu časové proměé. polomcký tred Umožňuje ajít tredovou fukcí, která má extrém. expoecálí tred Parametr a představuje průměrý přírůstek hodot t. (T se chovají jako čle geometrcké posloupost. modfkovaý expoecálí tred Fukce má vodorovou asmptotu a dá se pomocí í sáze modelovat vývoj jevů, které vcházejí z omezeých zdrojů růstu a u kterých exstuje určtá mez asceí, daá apř. zájmem ebo potřebou určtého výrobku. logstcký tred, logstka ebo, Křvka má tř úsek, prví je charakterzová pozvolým vzestupem, druhá v okolí flexího bodu prudkým růstem a třetí určtou vrcholovou stagací (asceím). Uvedeý tvar je jede z moha růzých fukčích předpsů popsujících křvku s charakterstckým průběhem ve tvaru písmea S. Gompertzova křvka Křvka s podobým esovtým průběhem jako logstka, ale a rozdíl od í je asmetrcká. Těžště hodot je až za flexím bodem. Prví tř jmeovaé jsou v regresí aalýze běžě užívaé, př čemž u expoecál se stadardě přstupuje k learzac logartmováím fukčího předpsu, což poěkud získaou expoecálu degraduje. V ostatích případech už learzace eí možá. K odhadu koefcetů tredových fukcí se používá růzých chtrých algortmů, které většou bl vmšle v předpočítačové éře, kd představoval jedou šac aspoň ějakého odhadu dosáhout. Des se dají tto metod vužít pro určeí kvalfkovaých výchozích hodot pro ejrůzější umercké metod. 6
.5.. Aalýza sezóí složk Aalýza sezóí složk se často provádí až po očštěí dat od tredové složk. Jde o určeí časového úseku, po jehož uplutí mají data zase stejou hodotu, příp. ovlvěou tredovou a áhodou složkou. Pro studum sezóí složk se používá ěkolka tpů modelů. V ekoomckých modelech bývá zpravdla zřejmá velkost perod (čtvrtletí, měsíc), v jých případech je uto tuto délku odhadovat (v hdrogeolog apř. u výšk hlad spodích vod). Používá se tu harmocké aalýz, která modeluje průběh dat pomocí ěkolka čleů Fourerov řad. Parametr se určují použtím umerckých metod..5.3. Iterpolace a extrapolace Výsledků aalýz časových řad a obecě regresí aalýz vůbec se vužívá k alezeí údajů, pro které eí k dspozc výsledek měřeí ebo pozorováí. Pokud jde o chbějící údaj závslé velč pro ěkterou hodotu x uvtř tervalu zámých hodot x, jde o terpolac. Ta zpravdla vede k dobrým výsledkům a epřáší velká rzka chb odhadovaé velč. Pokud však je uto odhadout výsledek pro údaj x vě tervalu expermetálě udaých hodot x, jde o extrapolac. V tomto případě je uto být opatrý, eboť matematcké prostředk použté pro určeí charakteru regresí závslost emohou zpravdla zodpovědě odhadout budoucí ebo mulý vývoj. Uvědomte s apř., že třeba rostoucí oblouk křvk třetího stupě může velm dobře popsovat ějakou závslost, za uvažovaým tervalem hodot x však může dojít k ežádoucímu propadu této kubcké křvk do lokálího mma (pozor a polomu v Excel). extrapolace osa Y terpolace terval měřeých hodot ezávslé proměé osa ezávslé proměé X 7
.5.4. Schematcké příklad k aalýze časových řad Příklad a absolutí úroveň okamžkové časové řad Počet pracovíků k.d měsíce v podku A v roce 999 Datum..999..999.3.999.4.999.7.999..000 Počet 48 53 4 38 33 54 pracovíků Výpočet průměrého počtu pracovíků - chroologcký průměr: a) v prvím čtvrtletí: ch 3 48 53 4 4 38 46 b) v prvím pololetí: ch v I v 3 v II 48 53 53 4 4 38 38 3 33 3 45,75 33 54 c) ve druhém pololetí: ch 43, 5 d) v celém roce: ch 48 53 53 4 4 38 38 33 33 3 3 6 54 6 4, 5 8
Příklad a absolutí úroveň úsekové časové řad Výroba určtého produktu v podku A v roce 999: Čas.úsek lede úor březe dube - červe červeec - prosec Výroba 5 35 90 98 Výpočet průměré výrob přpadající a měsíc - artmetcký průměr: a) v prvím čtvrtletí: 5 35 3 7 b) v prvím pololetí: 5 35 90 3 8, 5 c) ve druhém pololetí: 98 6 33 d) v celém roce: 5 35 90 98 3 6 30,75 Příklad a damku časových řad Výroba ve frmě A v letech 993-999 Rok Výroba Absolutí přírůstek Koefcet růstu k k, Koefcet růstu k (%) k, (%) 993 0 40 - - - - - 994 35-5 0,8750-0,50 87,50 -,50 995 43 8,86 0,86,86,86 996 3 4-0,9767-0,033 97,67 -,33 997 4 50 8,904 0,904 9,04 9,04 998 5 5,0400 0,0400 04,00 4,00 999 6 48-4 0,93-0,0769 9,3-7,69 Průměrý absolutí přírůstek: 8 6,33 Průměrý koefcet růstu: k 0 6 48 40,030853 9
Objem výrob Příklad a tred (celkový směr vývoje) Výroba podku A v letech 993-999 R o k Objem výrob Časová proměá t Pomocé výpočt t t 993 40-3 - 0 9 994 35 - - 70 4 995 43 - - 43 996 4 0 0 0 997 50 50 998 5 04 4 999 48 3 44 9 30 0 65 8 Tredová fukce (přímka):, = a + b. t a b 30 7 t 65 t 8 44, 8, 3, = 44,8 +,3 t 55 odhad pro rok 00 odhad pro rok 000, 50 45 40 35 993 994 995 996 997 998 999 000 00-3 - - 0 3 4 5 r o k časová proměá 0
Příklad a sezóost (sezóí dex ) Úrazovost v regou A v letech 998-000 Počet pracovích úrazů Časová proměá Pomocé výpočt Vrovaé Rok Čtvrtletí t hodot t t I 9-5,5-506,0 30,5 66,5 998 II 48-4,5-566,0 0,5 57,7 III 50-3,5-585,0,5 48,9 IV 5 -,5-767,5 6,5 40, I 00 -,5-65,0,5 3.3 999 II 4-0.5-6,0 0,5.5 III 3 0,5 656,0 0,5 3.7 IV 966,5 449,0,5 04.9 I 895,5 37,5 5,5 096. 000 II 0 3,5 3 857,0,5 087.3 III 03 4,5 5 43,5 0,5 078.5 IV 00 5,5 5 60,0 30,5 069.7 3 47 0-58,5 43,00 - a 3 47 t 585, 8, 083 b 8, 8007 t 43 Tredová fukce (přímka): Sezóí dex I S, = 8, + 8,8. t skutečá hodota vrovaáhodota S e z ó í d e x 998-000 Čtvrtletí 998 999 000 eopraveé opraveé I 78,8 89,65 8,65 83,04 83,04 II 99,6 09,04 0,35 03,8 03,8 III 3,43 7,8,54 0,6 0,5 IV 97,80 87,43 95,35 93,53 93,53 C e l k e m 400,0 400,00 P r ů m ě r 00,00 600 400 00 000 800 I II III IV I II III IV I II III IV 998 999 000