Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_16 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51 Podnikání Ročník 3. Předmět Cvičení z matematiky Zpracoval(i) Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Kdy II/2013 Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová Tematická oblast Geometrie Téma Analytická geometrie Klíčová slova Geometrie/Analytická geometrie/rovnice přímky, průsečík, vektor, normálový, směrový, parametrické rovnice přímky, úhel, vzdálenost Toto dílo obsahuje citace v souladu s 31 odst. 1 písm. c) zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování. Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma Analytická geometrie. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie_ul.docx VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie_pl.docx Soubor popis obsahu Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu. Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_32_INOVACE_CH29_2_16 Analytická geometrie.
Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy (http://moodle1.ssposbrno.cz/course/view.php?id=40) v kurzu Mgr. Jurtíkové Matematika, heslo je matematika. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali. Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit. 27. 11. 2013]. Dostupný na WWW: http://www.novamaturita.cz/testy-a-zadani-1404035305.html FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001, ISBN 80-7196-095-0. SÝKORA, Václav a kol. Matematika sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 2001, ISBN 978-80-87337-12. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2007, ISBN 978-80-903861-1-2. HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-165-5.
16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1) Parametrické vyjádření přímky p: x 2y 7 = 0 je: A) x = 1 + 2t, y = 3 + t, t R B) x = 1 2t, y = 3 t, t R C) x = 3 + 2t, y = 1 + t, t R D) x = 1 2t, y = 3 + t, t R 2) Je dána přímka q: x = 3t, y = 12 4t, t R. Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímky p procházející počátkem soustavy souřadnicového systému. 3) Je dám pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Označte vektory u = AB ; v = BC. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). a) AC = u + v b) SB = u v c) AE = 2v u d) FD = 2u v
4) Přímka p je určena parametrickými rovnicemi: p: x = 3t; y = 4 2t, t R a) Určete směrový vektor v přímky p b) Určete obě souřadnice průsečíku p přímky p se souřadnicovou osou x 5) Uveďte rovnici přímky p (směrnicový nebo obecný tvar) umístěné v systému souřadnic Oxy 6) Orientovaná úsečka s počátečním bodem P[4; 1] je umístěním vektoru v = (2; 7). Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky? A) A[ 2; 6] B) B[ 2; 8] C) C[2; 6] D) D[6; 8] E) E[6; 6] 7) V rovině je umístěn bod A. Dále platí AB = v = ( 3; 4) a) zakreslete vektor v b) popište souřadnicemi koncový bod B[x; y] orientované úsečky AB
8) V kartézské soustavě souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která rovnice určuje přímku p: A) 2x y + 2 = 0 B) x 2y + 4 = 0 C) x 4y 2 = 0 D) x + 2y 4 = 0 E) 2x + y 2 = 0 9) V rovině je umístěn vektor AB = (4; 3) a) Určete velikost vektoru AB. b) Doplňte souřadnice libovolného vektoru n = (x; y), který je k vektoru AB kolmý a má dvojnásobnou velikost. 10) V systému souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která z uvedených přímek a, b, c, d, e je kolmá k přímce p? A) a: 2x 3y + 7 = 0 B) b: 2x + 3y + 7 = 0 C) c: 2x 3y 7 = 0 D) d: 3x 2y 7 = 0 E) e: 3x + 2y + 7 = 0
11) Body A[ 5; 2] a B[0; 5] jsou sousedními vrcholy čtverce ABCD. Vypočtěte obsah čtverce ABCD. 12) Přímka p procházející bodem A[0; 2] má směrový vektor u = (1; 1). Vyberte odpovídající rovnici přímky p. A) x y 2 = 0 B) y 2 = 0 C) 2x y = 0 D) x + y 2 = 0 E) x y + 2 = 0 13) Rovnice přímky p je x y = 0. Rozhodněte o každém tvrzení, zda je pravdivé 3 4 (ANO), nebo nepravdivé (NE): a) Bod B 1 ; 11 leží na přímce p. 4 3 b) Vektor n = (4; 3) je normálový vektor přímky p. c) Vzdálenost přímky p od počátku soustavy souřadnic je menší než 2,5. d) Vzdálenost X, Y průsečíků přímky p s osami soustavy souřadnic je 5.
14) Přímka p prochází body A[12; 3] a B[16; 3]. Jaká je hodnota druhé souřadnice y bodu C[13; y] přímky p? A) 1,5 B) 1 C) 1,2 D) 1,5 E) jiná hodnota 15) Přímka p prochází bodem P[5; 2] a má rovnici x + y = m. Číslo m je prvkem intervalu A) ( ; 1) B) 1; 3 C) (3; 7) D) 7; 20 16) Osa úsečky AB, kde A[3; 5], má parametrické vyjádření x = 2 + 4s, y = 7 + 2s, s R. Druhá souřadnice bodu B je? A) 4 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12 17) V rovině jsou dány body K[2; 3], L[1; 4] a M[ 1; 3]. a) Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. b) Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM.
18) Vypočtěte obvod trojúhelníku KLM o vrcholech K[1; 0], L[1; 6] a M[5; 3]. 19) Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[ 6; 5] vzdálenost d = 10. 20) Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1; 0], B[1; 6] a C[5; 3]. Vypočtěte délku těžnice t a. 21) Vypočtěte úhel, který svírají vektory u = (3; 5) a v = 5 3 ; 1. 22) Zjistěte, zda body A[3; 7], B[10; 2] a C[5; 1] leží na jedné přímce.
23) Zjistěte, zda vektory u = ( 9; 4) a v = ( 1; 2) jsou lineárně závislé. 16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 24) Vypočtěte skalární součin vektorů a, b je-li: a) a = (2; 1), b = ( 1; 3) b) a = 2, b = 3, β = 45 25) Jsou dány body A[0; 5], B[1; 2]. Určete: a) parametrické vyjádření přímky, která jimi prochází b) obecný tvar rovnice přímky AB c) směrnicový tvar rovnice přímky AB
26) Vypočtěte průsečík přímek p: 4x + 3y 3 = 0, q: 3x + 2y 2 = 0. 16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 27) Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[2; 3] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5. 28) V obecné rovnici přímky ax + 8y 5 = 0 určete a tak, aby tato přímka procházela průsečíkem přímek p, q, je-li p: 2x 7y + 21 = 0, q: x = 1 + 2t, y = 14 3t, t R. 29) Vypočtěte vzdálenost rovnoběžek p, q, je-li p: x = 3 + 2t, y = t a q: x = 1 + 2r, y = r, t, r R.
Výsledky: 16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1) A 2) 36 5 3) A, A, A, N 4) a) (3; 2) b) P[6; 0] 5) p: 2x + 3y 6 = 0 6) D 7) b) B[ 2; 3] 8) D 9) a) 5 b) n = (6; 8) nebo n = ( 6; 8) 10) E 11) 74 12) D 13) N, N, A, N 14) D 15) D 16) C 17) a) velikosti stran jsou 50, 45, 5, pak užijeme Pythagorovu větu b) 15 18) o = 16 19) A 1 [0; 3]; A 2 [0; 13] 20) t a = 4,924 21) 90 22) ne 23) ne 24) a) 1 b) 3 2 25) a) x = k, y = 5 7k, k R b) 7x + y 5 = 0 c) y = 7x + 5 26) P[0; 1] 27) y = 3x 9 28) a = 5 29) 1,789 2
16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1) Parametrické vyjádření přímky p: x 2y 7 = 0 je: A) x = 1 + 2t, y = 3 + t, t R B) x = 1 2t, y = 3 t, t R C) x = 3 + 2t, y = 1 + t, t R D) x = 1 2t, y = 3 + t, t R 2) Je dána přímka q: x = 3t, y = 12 4t, t R. Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímky p procházející počátkem soustavy souřadnicového systému. 3) Je dám pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Označte vektory u = AB ; v = BC. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). a) AC = u + v b) SB = u v c) AE = 2v u d) FD = 2u v 4) Přímka p je určena parametrickými rovnicemi: p: x = 3t; y = 4 2t, t R a) Určete směrový vektor v přímky p b) Určete obě souřadnice průsečíku p přímky p se souřadnicovou osou x 5) Uveďte rovnici přímky p (směrnicový nebo obecný tvar) umístěné v systému souřadnic O xy 6) Orientovaná úsečka s počátečním bodem P[4; 1] je umístěním vektoru v = (2; 7). Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky? A) A[ 2; 6] B) B[ 2; 8] C) C[2; 6] D) D[6; 8] E) E[6; 6] 7) V rovině je umístěn bod A. Dále platí AB = v = ( 3; 4) a) zakreslete vektor v b) popište souřadnicemi koncový bod B[x; y] orientované úsečky AB
8) V kartézské soustavě souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která rovnice určuje přímku p: A) 2x y + 2 = 0 B) x 2y + 4 = 0 C) x 4y 2 = 0 D) x + 2y 4 = 0 E) 2x + y 2 = 0 9) V rovině je umístěn vektor AB = (4; 3) a) Určete velikost vektoru AB. b) Doplňte souřadnice libovolného vektoru n = (x; y), který je k vektoru AB kolmý a má dvojnásobnou velikost. 10) V systému souřadnic 0 xy je umístěna přímka p. Která z uvedených přímek a, b, c, d, e je kolmá k přímce p? A) a: 2x 3y + 7 = 0 B) b: 2x + 3y + 7 = 0 C) c: 2x 3y 7 = 0 D) d: 3x 2y 7 = 0 E) e: 3x + 2y + 7 = 0 11) Body A[ 5; 2] a B[0; 5] jsou sousedními vrcholy čtverce ABCD. Vypočtěte obsah čtverce ABCD. 12) Přímka p procházející bodem A[0; 2] má směrový vektor u = (1; 1). Vyberte odpovídající rovnici přímky p. A) x y 2 = 0 B) y 2 = 0 C) 2x y = 0 D) x + y 2 = 0 E) x y + 2 = 0 13) Rovnice přímky p je x y = 0. Rozhodněte o každém tvrzení, zda je pravdivé 3 4 (ANO), nebo nepravdivé (NE): a) Bod B 1 ; 11 leží na přímce p. 4 3 b) Vektor n = (4; 3) je normálový vektor přímky p. c) Vzdálenost přímky p od počátku soustavy souřadnic je menší než 2,5. d) Vzdálenost X, Y průsečíků přímky p s osami soustavy souřadnic je 5.
14) Přímka p prochází body A[12; 3] a B[16; 3]. Jaká je hodnota druhé souřadnice y bodu C[13; y] přímky p? A) 1,5 B) 1 C) 1,2 D) 1,5 E) jiná hodnota 15) Přímka p prochází bodem P[5; 2] a má rovnici x + y = m. Číslo m je prvkem intervalu A) ( ; 1) B) 1; 3 C) (3; 7) D) 7; 20 16) Osa úsečky AB, kde A[3; 5], má parametrické vyjádření x = 2 + 4s, y = 7 + 2s, s R. Druhá souřadnice bodu B je? A) 4 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12 17) V rovině jsou dány body K[2; 3], L[1; 4] a M[ 1; 3]. a) Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. b) Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM. 18) Vypočtěte obvod trojúhelníku KLM o vrcholech K[1; 0], L[1; 6] a M[5; 3]. 19) Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[ 6; 5] vzdálenost d = 10. 20) Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1; 0], B[1; 6] a C[5; 3]. Vypočtěte délku těžnice t a. 21) Vypočtěte úhel, který svírají vektory u = (3; 5) a v = 5 3 ; 1. 22) Zjistěte, zda body A[3; 7], B[10; 2] a C[5; 1] leží na jedné přímce. 23) Zjistěte, zda vektory u = ( 9; 4) a v = ( 1; 2) jsou lineárně závislé. 24) Vypočtěte skalární součin vektorů a, b je-li: a) a = (2; 1), b = ( 1; 3) b) a = 2, b = 3, β = 45 25) Jsou dány body A[0; 5], B[1; 2]. Určete: a) parametrické vyjádření přímky, která jimi prochází b) obecný tvar rovnice přímky AB c) směrnicový tvar rovnice přímky AB 26) Vypočtěte průsečík přímek p: 4x + 3y 3 = 0, q: 3x + 2y 2 = 0. 27) Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[2; 3] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5. 28) V obecné rovnici přímky ax + 8y 5 = 0 určete a tak, aby tato přímka procházela průsečíkem přímek p, q, je-li p: 2x 7y + 21 = 0, q: x = 1 + 2t, y = 14 3t, t R. 29) Vypočtěte vzdálenost rovnoběžek p, q, je-li p: x = 3 + 2t, y = t a q: x = 1 + 2r, y = r, t, r R.
Výsledky: 16. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 1) A 2) 36 5 3) A, A, A, N 4) a) (3; 2) b) P[6; 0] 5) p: 2x + 3y 6 = 0 6) D 7) b) B[ 2; 3] 8) D 9) a) 5 b) n = (6; 8) nebo n = ( 6; 8) 10) E 11) 74 12) D 13) N, N, A, N 14) D 15) D 16) C 17) a) velikosti stran jsou 50, 45, 5, pak užijeme Pythagorovu větu b) 15 18) o = 16 19) A 1 [0; 3]; A 2 [0; 13] 20) t a = 4,924 21) 90 22) ne 23) ne 24) a) 1 b) 3 2 25) a) x = k, y = 5 7k, k R b) 7x + y 5 = 0 c) y = 7x + 5 26) P[0; 1] 27) y = 3x 9 28) a = 5 29) 1,789 2