OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ MATEMATICKÝ SEMINÁŘ U Č EBNÍ TEXT PRO DISTANČ NÍ FORMU VZDĚ LÁVÁNÍ ALENA Š T Ě RBOVÁ PAVEL KVĚ TOŇ

OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ MATEMATICKÝ SEMINÁŘ U Č EBNÍ TEXT PRO DISTANČ NÍ FORMU VZDĚ LÁVÁNÍ ALENA Š T Ě RBOVÁ PAVEL KVĚ TOŇ ORLOVÁ 6

OBSAH Úvod.... Lieárí lgebr..... Zákldy mticového počtu..... Výpočet determitů..... Iverzí mtice..... Řešeí soustv rovic pomocí mtic determitů... 6. Zákldy difereciálího počtu..... Spojitost fukce, pojem it fukce, výpočet ity fukce..... Výpočty it fukcí v evlstím bodě..... Pojem derivce fukce, derivce zákldích fukcí..... Derivce složeé implicití fukce..... Derivce vyšších řádů....6. Aplikce derivce fukce....6.. Průběh fukce....6.. Nlezeí ejvětší ejmeší hodoty....6.. l Hospitlovo prvidlo.... Zákldy itegrálího počtu... 6.. Primitiví fukce, eurčitý itegrál... 6.. Určitý itegrál... 7.. Aplikce určitého itegrálu... 7... Obsh rovié plochy... 7... Objem rotčího těles... 7. Metody mtemtických důkzů, mtemtická idukce... 79.. Defiice, věty, iómy... 79.. Typy důkzů v mtemtice... 8 Použité symboly... 88 Použité zkrtky... 89 Použitá litertur... 9

ÚVOD Vážeý čteáři, otevřeli jste studijí tet, jehož cílem je rozšířit prohloubit zákldí učivo středoškolské mtemtiky o dlší kpitoly. Předpokldem pro úspěšé zvládutí učebí látky je zlost učiv obsžeého ve studijích oporách Mtemtik I, II, IV V. Studijí opor Mtemtický semiář je rozděle do čtyř smosttých kpitol. Kpitoly.. tvoří smostté, ezávislé celky. Můžete je studovt v libovolém pořdí. Kpitoly.,.je uto studovt v předložeém pořdí (ejdříve prostudujte kpitolu teprve po jejím zvládutí přistupte k prostudováí. kpitoly). Probíré učivo je doplěo podrobě řešeými příkldy dlšími úlohmi s uvedeými výsledky. Pokud si evíte s řešeím rdy, hléděte do přiložeého Klíče k řešeí úloh. Úlohy jsou řzey vždy od ejjedodušších, áročější úkoly jsou ozčey hvězdičkou. Korespodečí úlohy v Klíči k řešeí úloh obsžey ejsou. Jejich řešeí zšlete tutorovi k prověřeí. Hodě úspěchů trpělivosti při řešeí úkolů přeje Ale Štěrbová

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity LINEÁRNÍ ALGEBRA Cílem kpitoly je sezámit se zákldy mticového počtu, s výpočtem determitů s využitím mtic determitů při řešeí soustv rovic. Zopkujte si z mtemtiky I V Vektorový počet Operce s vektory Číselé operce Řešeí soustv rovic Předášející psl tbuli dlouhý sled výpočtů. "No výsledkem toho všeho bude ul. Víte jká?" -Ticho- "No přece čtvercová" Čs potřebý k prostudováí učiv kpitoly: 6 hodi teoretická příprv hodi řešeí úloh. Zákldy mticového počtu Klíčová slov: MATICE, JEDNOTKOVÁ MATICE, NULOVÁ MATICE, SOUČET MATIC, ROZDÍL MATIC, REÁLNÝ NÁSOBEK MATICE, SOUČIN MATIC, ARITMETICKÝ VEKTOR, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST ARITMETICKÝCH VEKTORŮ, LINEÁRNÍ KOMBINACE ARITMETICKÝCH VEKTORŮ, HORNÍ TROJÚHELNÍKOVÝ TVAR MATICE, HODNOST MATICE.. Defiice mtice, rozděleí mtic Mtice je obdélíkové schém, kde jsou čísl uspořádá do řádků sloupců. Mticí A typu (m, ) rozumíme souhr m. čísel uspořádých do m řádků sloupců. Jedotlivá čísl zýváme prvky mtice; i,j je prvek mtice A v i-tém řádku j-tém sloupci. Mtice A( ij ), B(b ij ) se rovjí, jsou-li téhož typu (m,) když ij b ij pro i,, m, j,,. Zápis:...... A( m, )............ m m... m Defiice mtice Prvky kk, kde k mi(m,), tvoří hlví digoálu mtice Mtice, jejíž počet řádků m je stejý jko počet sloupců (m) se zývá čtvercová mtice.

6 Nulová mtice Jedotková mtice Digoálí mtice Trspoová mtice Horí trojúhelíkový tvr mtice Mezi důležité druhy mtic řdíme : mtice ulová mtice jedotková N všechy prvky jsou ulové; čtvercová mtice, v íž jsou všechy prvky hlví digoále rovy osttí jsou rovy ; digoálí mtice A čtvercová mtice, v íž jsou všechy prvky mimo hlví digoálu rovy ; trspoová mtice k dé mtici A ; oz. A T A 7 8 6 9 E T A 6 7 8 9 v trspoové mtici se řádek ste sloupcem sloupec řádkem; Horí trojúhelíkový tvr mtice A mtice, v íž jsou všechy prvky pod hlví digoálou rovy. A 6 9.. Zákldí operce s mticemi Součet mtic Rozdíl mtic Reálý ásobek mtice Souči mtic Sčítáí mtic A, B podmík pro sčítáí mtic obě mtice musí být stejého typu (mjí stejý počet řádků sloupců); C A B > c ij ij b ij.sčítjí se prvky stejých pozicích. Odčítáí mtic A, B podmík pro odčítáí mtic obě mtice musí být stejého typu (mjí stejý počet řádků sloupců); C A B > c ij ij b ij.odčítjí se prvky stejých pozicích. Násobeí mtice A reálým číslem k C k.a > c ij k. ij. Číslem k vyásobíme všechy prvky mtice A. Pozorě čtěte Násobeí dvou mtic A, B podmík pro ásobeí mtic A. B; počet sloupců mt. A počet řádků mt. B (ásobeí mtic eí obecě komuttiví - to zmeá, že A. B B. A, může se stát, že v opčém pořdí elze mtice vyásobit). A (m, p). B (p, ) C (m, ) ; c ij k ik. b kj sklárí souči i-tého řádku mtice A j-tého sloupce mtice B.

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity 7 Příkld. Jsou dáy mtice A, B. Vypočtěte jejich součet S A B, rozdíl D A B mtici X. A Řešeí: obě mtice jsou stejého typu (, ) > splě podmík pro sčítáí odčítáí; součet rozdíl ásobek mtice A Příkld. Vyásobte dé mtice, pokud je splě podmík pro ásobeí mtic.. Řešeí: počet sloupců. mtice je, počet řádků. mtice je > splě podmík pro ásobeí mtic;. C výsledkem součiu dých mtic je mtice C typu (, ). Výpočet prvků mtice C c (,). (, )....sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice c (,). (, )....sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice c (,). (, ).. 9..sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice c (,). (, )...sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice c (,). (, ).. 6.sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice c (,). (, )....sklárí souči. řádku. mtice. sloupce. mtice Výsledá mtice A 6 7 B 7 ) ( 6) ( 7 6 7 S 7 6 9 ) ( 6) ( 7 6 7 D. X 9 6 C

8 Úkol k tetu. V opčém pořdí mtice z příkldu. ásobit elze. Vysvětlete. Úloh. Jsou dáy mtice A, B. Vypočtěte mtice A B, B A,. B, A. B B. A. Rozhoděte, zd je ásobeí mtic komuttiví A 6 8 9 7 B 9.. Aritmetický vektor Kždý řádek i sloupec mtice je ritmetickým vektorem. Úprv mtic předstvuje operce s ritmetickými vektory. Aritmetický vektor u je kždá uspořádá -tice reálých čísel. Operce s ritmetickými vektory, b [... ], b 6 Sčítáí b b, b... b Odečítáí b Reálý ásobek ritmetického vektoru k. Sklárí souči. b [ b b... ], Příkld. Jsou dáy ritmetické vektory [, 6, ] b [-,, ]. Vypočtěte b, b,., sklárí souči.b. Řešeí: b [, 6, ] [-,, ] [-, 6, ] [, 6, ] b [, 6, ] - [-,, ] [, 6-, -] [, 6, -].. [, 6, ] [,, ]. b [, 6, ]. [-,, ].(-) 6.. -6 Lieárí závislost ritmetických vektorů, b. Aritmetické vektory jsou lieárě závislé, pokud jede z ich je reálým ásobkem druhého. b k. ; k je reálé číslo (jik jsou lieárě ezávislé) Lieárí kombice ritmetických vektorů, b. Aritmetický vektor c je lieárí kombicí vektorů, b, pokud se dá vyjádřit jko součet reálých ásobků vektorů, b. Jik: eistují-li reálá čísl k, l tk, by c k. l.b Lieárí závislost ritmetických vektorů, b, c. Aritmetické vektory, b, c jsou lieárě závislé, pokud jede z ich je možo vyjádřit jko lieárí kombici zbývjících dvou vektorů. b [ ] [ k, k.... k. ].. b. b.... b

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity 9 Příkld. Vektor z [, ] zpište jko lieárí kombici vektorů u [, ], v [-, ] Řešeí: z k. u r. v hledáme reálá čísl k,r; dosdíme souřdice jedotlivých vektorů řešíme vziklou soustvu k. r. (-) k. r. k. > k r, z. u,. v.. Hodost mtice Hodost mtice A je mimálí počet lieárě ezávislých řádků či sloupců mtice A. Je-li hodost mtice r, pk eistuje r řádků lieárě ezávislých kždých r řádků je už lieárě závislých. Určeí hodosti mtice použijeme při rozhodováí o lieárí závislosti skupiy ritmetických vektorů. Výpočet hodosti mtice souvisí s úprvou mtice digoálí tvr (horí trojúhelíkový tvr) odstrěí ulových řádků, které při úprvě mtice horí trojúhelíkový tvr vzikou Při úprvě mtice horí trojúhelíkový tvr se využívá ásledující vět V. V: Mějme mtici A typu (m,). Hodost mtice se ezměí, upltíme-li i ěkterou z ásledujících úprv: () výmě libovolých dvou řádků mtice mezi sebou. () výmě libovolých dvou sloupců mtice mezi sebou. () přičteí libovolé lieárí kombice zbývjících řádků k libovolému řádku mtice. () přičteí libovolé lieárí kombice zbývjících sloupců k libovolému sloupci mtice. Příkld. ) Určete hodost dé mtice A. A mtici A uprvíme dle větyv horí trojúhelíkový tvr Řešeí:. krok - ke druhému řádku přičteme prví řádek vyásobeý ( ) ; ke čtvrtému řádku přičteme prví řádek vyásobeý ( ) > vyulujeme. sloupec pod hlví digoálou A Vět o lieárích trsformcích mtice Horí trojúhelíkový tvr mtice

. krok - ke třetímu řádku přičteme druhý řádek vyásobeý ( ) ; ke čtvrtému řádku přičteme druhý řádek vyásobeý ( ) > vyulujeme. sloupec pod hlví digoálou. krok - vyecháme.. řádek obshující je získáme horí trohúhelíhový tvr Protože hodost mtice A je rov, pk tké hodost mtice A je rov : h(a). b) Určete hodost dé mtice B. B mtici B uprvíme dle větyv horí trojúhelíkový tvr Řešeí:. krok vyměíme prví druhý řádek mtice >. sloupec zčíá B. krok - ke druhému řádku přičteme prví řádek vyásobeý ( ) ; ke třetímu řádku přičteme prví řádek vyásobeý ( ) > vyulujeme. sloupec pod hlví digoálou B. krok - ke třetímu řádku přičteme druhý řádek vyásobeý (,) > vyulujeme. sloupec pod hlví digoálou získáme horí trohúhelíhový tvr B Hodost mtice B udává počet řádků; h(b ), proto tké h(b). Příkld 6. Vyšetřete, zd dá skupi ritmetických vektorů je lieárě závislá či ezávislá. [,, ], b [-,, ], c [,, 8] Řešeí:. krok z dých ritmetických vektorů sestvíme mtici M ( vektory jsou její řádky) A 8 M Horí trojúhelíkový tvr mtice Hodost mtice

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity. krok vypočteme hodost mtice M (viz příkld ) M 7 M 7 M 8 7 h(m) h(m ). krok z hodosti mtice M uděláme závěr o závislosti vektorů. Hodost mtice M je > pouze vektory jsou lieárě ezávislé, skupi dých vektorů je lieárě závislá. Úprvy podle V, které eměí hodost mtice, se zývjí ekvivletí úprvy mtice tkto vziklé mtice jsou ekvivletí, což zpíšeme: M ~ M ~ M ~ M. Ekvivletí úprvy mtic Průvodce studiem. Chtělo to soustředěí, že o? Tk si chvíli odpočiňte. V dlší části chceme zvládout určeí iverzí mtice k tomu budeme potřebovt determit mtice. Úloh.. Pomocí hodosti mtice rozhoděte o lieárí závislosti dé skupiy ritmetických vektorů: ) [, -,, ], b [,,, -], c [, -,, -], d [, -,, ] b) [, -, ], b [,, 6], c [-,, ]. Vyjádřete vektor z jko lieárí kombici vektorů, b, c: [,, -], b [,, ], c [,, -], z [, -, -]. Výpočet determitů Klíčová slov: DETERMINANT, SUBDETERMINANT, ALGEBRAICKÝ DOPLNĚK SINGULÁRNÍ MATICE, REGULÁRNÍ MATICE Determit je reálé číslo přiřzeé ke čtvercové mtici podle prvidel pro výpočet determitu. Prvidlo pro výpočet determitu mtice :.. Prvidlo pro výpočet determitu mtice (Srrusovo prvidlo) (...... ) (...... ) Mtice je sigulárí, má-li determit rove. Mtice je regulárí, má-li determit růzý od. Determit mtice

Příkld 7. Vypočti dé determity: cos si cos.cos si.si cos si cos 6 (.( ).( ) 6....( )) (( ).( )..6.( )...) (6 ) ( 7 ) Při výpočtu determitů lze využít ěkterých z jeho vlstostí. Vlstosti determitu Vlstosti determitů:. determit se ezměí trspoováím, tj. záměou řádků sloupců ( ) (6 ) 8 ( ) (6 ) 8. vyměíme-li dv řádky determitu, změí se jeho zméko ( ) (6 ) 8 ( 6) ( ) 8. je-li v determitu řádek ebo sloupec tvořeý smými ulmi, determit se rová ( ) ( ). jsou-li v determitu dv řádky (ebo sloupce) lieárě závislé (stejé ebo jede je ásobkem druhého), je determit rove 6 9 ( ) ( ) Z toho plye, že pokud je determit eulový, jsou všechy řádky lieárě ezávislé!

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity. společý dělitel prvků jedoho řádku ( přípdě sloupce) lze vytkout před determit. 6 6..( )..(( 6) (6 )) ( ).8 Subdetermit, lgebrický doplěk... Mějme determit det( A) ;............. ik... A ik zveme subdetermit det(a), dosteme jko determit mtice A ik, kterou získáme z mtice A vyecháím i-tého řádku k-tého sloupce. Algebrický doplěk k prvku ik je A ik (-) ik. A ik Subdetermit Algebrický doplěk k prvku ik Výpočet determitů vyšších řádů rozvojem podle řádku ebo sloupce: Vypočteme determit A př. rozvojem podle. řádku det( A ). A. A. A Je vhodé vybírt řádek ebo sloupec s mimálím počtem. Příkld 8. Vypočtěte determit det(a) rozvojem podle. řádku.. A det( A) Rozvoj determitu Řešeí:.krok určíme subdetermity příslušé lgebrické doplňky Subdetermit A vyecháme.řádek. sloupec

Algebrický doplěk A ( ) subdetermit A vyásobíme (-) umocěo součet ideů Obdobě určíme subdetermity A, A, A lgebrické doplňky A, A, A.krok vypočteme determit rozvojem podle. řádku. det( A).( )..( ). ( ).( )..( ). ( ).( 6 6 6 ).(9 8 8 8 6).(9 9 6 6 9) Úloh. Vypočtěte dé determity:. cos si si cos... Iverzí mtice Klíčová slov: ADJUNGOVANÁ MATICE, INVERZNÍ MATICE Iverzí mtice k mtici A je mtice A -, pltí-li, že souči mtic A. A - E, kde E je jedotková mtice ( hlví digoále má, jik smé ). Iverzí mtice eistuje pouze ke čtvercové regulárí mtici ( hodost mtice je rov původímu počtu řádků, tj. všechy řádky jsou lieárě ezávislé ). Iverzí mtici určíme pomocí determitu dé mtice mtice djugové (viz ásledující vzorec) Iverzí mtice Adjugová mtice Výpočet iverzí mtice A.à Ã. djugová mtice det(a) Co je djugová mtice? Adjugovou mtici à určíme tk, že mtici A trspoujeme kždý prvek ve výsledé mtici A T hrdíme lgebrickým doplňkem.

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity Příkld 9 Njděte iverzí mtici A - k dé mtici A proveďte zkoušku správosti. A Řešeí:. krok ověříme pltost podmíek pro eisteci iverzí mtice ) mtice A je čtvercová b) výpočtem determitu mtice A zjistíme, zd je mtice A regulárí ) ( ) ( ) det( A A je regulárí.krok jdeme mtici djugovou k A ) trspoová mtice k A T A b) djugová mtice à Ã.krok jdeme iverzí mtici A -. A.krok provedeme zkoušku, že pltí A -. A E E... Závěr: lezeá iverzí mtice je správá. Výpočet iverzí mtice

6 Úloh. Njděte iverzí mtici k dým mticím proveďte zkoušku správosti.. A. A Průvodce studiem. Dovedosti získé studiem předchozích podkpitol můžete využít při řešeí tzv. mticových rovic, v ichž hledáme ezámou mtici X, především k elegtímu řešeí soustv rovic. Pokud vás tto iformce zujl, věujte pozorost ásledujícím podkpitolám.. Řešeí soustv lieárích rovic pomocí mtic determitů Klíčová slov: GAUSSOVA ELIMINAČNÍ METODA, CRAMEROVO PRAVIDLO, ZÁKLADNÍ MATICE SOUSTAVY, ROZŠÍŘENÁ MATICE SOUSTAVY, HOMOGENNÍ SOUSTAVA, FROBENIOVA VĚTA, MATICOVÁ ROVNICE Mějme dáu soustvu m lieárích rovic o ezámých zpsou ve tvru.. b.. b.. m m.. m b m K řešeí této soustvy lze použít ásledující metody využívjící mtic determitů: Gussov eičí metod Crmerovo prvidlo Mticové rovice Gussov eičí metod je použitelá pro řešeí všech soustv lieárích soustv rovic (ť mjí jkýkoli počet řešeí). Při řešeí prcujeme s pojmy: Mtice soustvy A je tvoře koeficiety levých str jedotlivých rovic. Rozšířeá mtice soustvy A b mtice soustvy je doplě o dlší sloupec obshující prvé stry jedotlivých rovic. Frobeiov vět Podmík eistece řešeí soustvy : Hodost mtice soustvy se rová hodosti rozšířeé mtice soustvy h(a) h (A b).

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity 7 Pricip řešeí: Zpíšeme rozšířeou mtici soustvy. Mtici uprvíme horí trojúhelíkový tvr. Ověříme pltost podmíky eistece řešeí. Z jedotlivých řádků mtice v trojúhelíkovém tvru vypočteme jedotlivé ezámé. Gussov eičí metod V podsttě jde o sčítcí metodu. Počet řešeí: Soustv má řešeí, právě když h(a) h (A b) m, kde m je původí počet rovic. Soustv má ekoečě moho řešeí, právě když h(a) h (A b) h < m; řešeí je závislé m h prmetrech. Soustv emá řešeí, právě když h(a) h (A b). Příkld Řešte dé soustvy rovic. Využijte Gussovou eičí metodu. ) b) - - - - Řešeí: Soustv ). krok Zpíšeme rozšířeou mtici soustvy převedeme horí trojúhelíkový tvr (viz Příkld ) : ~ ~ ~ ~ 6 ~ ~. krok Ověříme pltost podmíky řešitelosti soustvy : h(a) h (A b) původí počet rovic > soustv má řešeí.. krok Vypočteme ezámé : - viz. řádek mtice v horím trojúhelíkovém tvru - viz. řádek mtice v horím trojúhelíkovém tvru > - (-) - viz. řádek mtice v horím trojúhelíkovém tvru >. (-) Řešeí soustvy je [,, -].

8 Soustv b). krok Zpíšeme rozšířeou mtici soustvy převedeme horí trojúhelíkový tvr (viz Příkld ):. krok Ověříme pltost podmíky řešitelosti soustvy: h(a) h (A b) h(a) h(a b) > soustv emá řešeí. Řešeí soustvy eeistuje. Příkld. Řešte dou soustvu rovic. Využijte Gussovou eičí metodu. ) b) 8 Řešeí: Obě soustvy mjí všechy prvé stry rovic ulové. Tkové soustvy zýváme homogeí soustvy rovic. Homogeí soustv může mít řešeí, pk jsou to smé, tzv. triviálí řešeí Nekoečě moho řešeí (závislé prmetrech) jko u ehomogeích soustv Nemá řešeí ( esplňuje podmíku řešitelosti) Soustv ). krok Zpíšeme rozšířeou mtici soustvy převedeme horí trojúhelíkový tvr (viz Příkld ): 8. krok Ověříme pltost podmíky řešitelosti soustvy: h(a) h (A b) < původí počet rovic m > soustv má ekoečě moho řešeí Počet prmetrů prmetr. krok Vypočteme ezámé: viz. řádek mtice v horím trojúhelíkovém tvru > t ; - t t je prmetr - viz. řádek mtice v horím trojúhelíkovém tvru Homogeí soustvy rovic ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity 9 >. (-t) t - 6t ; - t Řešeí soustvy je [-t, -t, t], kde t R. Soustv b). krok Zpíšeme rozšířeou mtici soustvy převedeme horí trojúhelíkový tvr (viz Příkld ) : ~ ~ ~. krok Ověříme pltost podmíky řešitelosti soustvy: h(a) h (A b) původí počet rovic > soustv má řešeí Řešeí soustvy je triviálí [,, ]. Úloh. Pomocí Gussovy eičí metody vyřešte dé soustvy lieárích rovic.. y z. 8y 6z - z 7 y - z - y z -6 y z Crmerovo prvidlo je použitelé pouze pro řešeí soustv lieárích soustv rovic, které mjí jedo řešeí. Při řešeí prcujeme s pojmy: Determit soustvy DS je tvoře koeficiety levých str jedotlivých rovic; Determit DX i odvodíme z determitu DS, hrdíme- li prvky i-tého sloupce prvými strmi příslušých rovic. Podmík eistece právě řešeí soustvy : počet rovic soustvy se rová počtu ezámých (m ) ^ DS Crmerovo prvidlo Výpočet jedotlivých ezámých: i DX DS i Příkld Použitím Crmerov prvidl řešte soustvu lieárích rovic. -7 - Řešeí:. krok Vypočteme determit soustvy DS (viz Příkld 7) ověříme, zd lze použít Crmerovo prvidlo :

DS ( 8) ( 8 ) 6 DS eistuje právě řešeí. krok Vypočteme determity DX i jedotlivé ezámé: DX 7 ( ) ( 9 ) prví sloupec jsme hrdili prvými strmi DX 7 ( 8 ) ( 8 ) 8 druhý sloupec jsme hrdili prvými strmi DX 7 ( 8) ( 66 ) 8 třetí sloupec jsme hrdili prvými strmi DX DX 8 8 DX DS 6 DS 6 DS 6 Řešeí soustvy je [,, -]. Úloh 6. Řešte pomocí Crmerov prvidl dou soustvu. 6. y z 6. y z 9 6. y z y z 8 y z 9 y z 6 y z y z y z Část pro zájemce. Zkuste řešit soustvy lieárích rovic pomocí mticových rovic. Mticová rovice Tto metod je rověž použitelá pouze pro řešeí soustv lieárích soustv rovic, které mjí jedo řešeí. Mticová rovice Pricip řešeí :. Soustvu lieárích rovic přepíšeme do tvru mticové rovice A. X B. A je mtice soustvy, jejímiž prvky jsou koeficiety levých str jedotlivých rovic; X je jedosloupcová mtice, jejímiž prvky jsou jedotlivé proměé i ; B je jedosloupcová mtice, jejímiž prvky jsou prvé stry jedotlivých rovic.

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity. Vyřešíme mticovou rovici ( vyjádříme ezámou mtici X). celou rovici vyásobíme iverzí mticí A -, to zlev ( protože ásobeí mtic eí komuttiví). získám rovici A -. A. X A -. B. pltí A -. A E E. X X > získám rovici X A -. B. vypočtu A -. vyásobím A -. B v příslušém pořdí. získá mtice X obshuje hledé řešeí. Podmík použitelosti této metody : eistuje mtice A -. Průvodce studiem. Nyí se chvíli zstvte připomeňte si, jk jdeme iverzí mtici A - k dé mtici A jké podmíky musí mtice A splňovt, by mtice A - eistovl. Příkld. Vyřešte dou soustvu lieárích rovic jko mticovou rovici.(pokud je to možé. ) b) 6 7 9 - - 9-9 - Řešeí: Soustv ). krok Sestvíme mtice A, B X píšeme soustvu v mticovém tvru: A 7 B 9 9 X 7. 9 9 Mticový tvr soustvy. krok Vypočteme determit mtice A z hodoty determitu mtice A zjistíme, zd je mtice A regulárí : det( A ) 7 ( ) ( ) 9 > A je regulárí.. krok Ověříme pltost podmíek pro eisteci iverzí mtice A - : mtice A je čtvercová; A je regulárí > iverzí mtice A - eistuje.

. krok Njdeme iverzí mtice A - (viz příkld 9.): jdeme mtici djugovou k A: ) trspoová mtice k A 7 T A b) djugová mtice à 7 7 7 7 à 6 jdeme iverzí mtici A - : 6. 9 A. krok Vypočteme mtici X jko souči A -. B (viz příkld.): 9 6 8. 9 7 9 9 9 6 9. 9 9 9. 6. 9. B A X > ; ; - ; Řešeí soustvy je [,, -] Soustv b). krok Sestvíme mtice A, B X píšeme soustvu v mticovém tvru: Mticový tvr soustvy. 9 6 9 6 A X B

. kpitol - Lieárí lgebr - Mtice determity. krok Vypočteme determit mtice A z hodoty determitu mtice A zjistíme, zd je mtice A regulárí : 8) ( ) 6 ( 9 6 ) det( A Mtice A je sigulárí > tuto metodu elze použít, uto řešit Gussovou eičí metodou Úloh 7. Zkuste si vyřešit ásledující soustvy s využitím mticového tvru. 7. 7. Korespodečí úkol.. Jsou dáy mtice A, B. Vypočtěte A B E, A.B A, h(a). Vyásobte dé mtice: ). b) 6 9. 7 9 6 8. Rozhoděte, které z ásledujících mtic jsou regulárí které sigulárí. K regulárím mticím určete iverzí mtice ověřte správost výpočtu.. Využitím mtic determitů řešte dé soustvy lieárích rovic. Zvolte ejvhodější metodu... A B A B 9 8 7 6 C D 7 z y z y z y 8 9 z y z y z y 8 6 z y z y z y z y z y z y

Shrutí kpitoly. Kpitol sezmuje se zákldy mticového počtu, výpočtem determitů mtic jejich využití při rozhodováí o lieárí závislosti ritmetických vektorů při řešeí soustv lieárích rovic. Pojmy k zpmtováí: MATICE DANÉHO TYPU HODNOST MATICE JEDNOTKOVÁ MATICE DETERMINANT MATICE REGULÁRNÍ MATICE SINGULÁRNÍ MATICE ADJUNGOVANÁ MATICE INVERZNÍ MATICE GAUSSOVA ELIMINAČNÍ METODA FROBENIOVA VĚTA CRAMEROVO PRAVIDLO MATICOVÁ ROVNICE Ř EŠENÍ ÚLOH. 8 A B 8 ; 6 9 B A 8 ; 8 9 6. B 9 ; 7 8 9 7 77 7 A.B 9 7 ; B.A 6 7 6 6 8.. ) lieárě závislé b) lieárě ezávislé. z.. b c.. cos si. 7. (použijte rozvoj determitu).. A. A 6 6.. 8 y - z. [ t, t, t] ; t R 6. 6. [ ; ; ] 6. [ ; ; ] 6. [ ; ; ] 7. 7. [ ; ; ] 7. [ ; ;]

. kpitol Zákldy difereciálího počtu ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍHO POČ TU Difereciálí počet je jedou z částí mtemtické lýzy. Mtemtická lýz středí škole bezprostředě vzuje poztky učiv o fukcích dále ho prohlubuje. Tvoří ji zákldy difereciálího itegrálího počtu. Zopkujte si z mtemtiky I II Pojem fukce její vlstosti Přehled zákldích fukcí Grfy fukcí Úprvy lgebrických výrzů Vzdělávt se je jko zlézt vrcholy - kždý pohyb tě vyese výš. Čs potřebý k prostudováí učiv kpitoly: hodi teoretická příprv hodi řešeí úloh. Spojitost fukce, pojem it fukce, výpočet ity fukce Klíčová slov: LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE, OKOLÍ BODU Pojem it fukce poté její defiici se budeme sžit pochopit příkldu: Mějme zdáu fukci f : y, která eí defiová pro. Sledujme chováí dé fukce f : y v okolí (v blízkosti) bodu, 9, 9, 99, 999...,,, y, 9, 9, 99, 999..,,,, Z tbulky fukčích hodot je vidět, že když se blíží k zlev i zprv, pk y se blíží k, zdol i shor. Číslo zveme itou fukce f v bodě ; zpíšeme Ituitivě : it je hodot, ke které se eomezeě blíží fukčí hodot, když se eomezeě blíží dé hodotě. Mtemticky : f ( ) L K libovolě mlé "blízkosti" hodoty fukce k itě L lze vždy jít hodoty proměé z "blízkosti čísl, pro které jsou odpovídjící hodoty fukce k L ještě bližší. "Blízkost" čísel budeme mtemticky posuzovt pomocí bsolutí hodoty rozdílu čísel. y f Odvozeí pojmu it

6 Defiice ity <, > - <, Obecě budeme vzdáleost fukčí hodoty f() od ity L ozčovt ε budeme ji vyjdřovt pomocí f() - L < ε > f ( ) ( L ε, L ε ). Vzdáleost od hodoty ozčíme δ vyjádříme < δ > ( δ, δ ). A yí už zkusme přikročit k mtemtické defiici ity : Limit fukce f() v bodě je číslo L, pro které pltí: ke kždému kldému číslu ε eistuje tkové kldé číslo δ, že f() - L < ε pro všech, pro která pltí < - < δ. Zpíšeme: f ( ) L f Výpočet ity Výpočet ity Nejjedodušší výpočet ity je u spojité fukce. Má-li dá fukce v dém bodě vlstí itu t se rová fukčí hodotě v dém bodě, je fukce v tomto bodě spojitá. U fukce y f() spojité v bodě pltí, že f ( ) f ( ), tj. it se rová fukčí hodotě. Spojitost fukce je ptrá i z grfu fukce: ) Grfem spojité fukce je plyulá epřerušová křivk b) Grfem espojité fukce je přerušová křivk (elze kreslit jedím them) Pokud ±, hovoříme o itě v evlstím bodě, resp. -. Pokud L ±, hovoříme o evlstí itě, resp. -. Příkld. Vypočtěte dé ity: ) ( ) b) Řešeí: ) Dá fukce je v bodě spojitá, tkže it se rová fukčí hodotě ( )

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 7 b) Dá fukce je v bodě spojitá, tkže it se rová fukčí hodotě. Při výpočtech it rcioálích lomeých fukcí emusí být fukce v dém bodě defiová. Pro výpočet ity použijeme větu o itě dvou fukcí. V: Vět o itě dvou fukcí Jestliže pro fukce f() g() pltí f() g() pro všech z defiičího oboru (kromě ) má-li fukce g() v bodě itu L, pk má i fukce f() v bodě stejou itu L. Zjedodušeě: Fukci edefiovou v dém bodě hrdíme fukcí, která se jí rová (kromě hodoty v ikrimiovém bodě ) její itu v bodě vypočteme (což bude tké it původí fukce). Vět o itě dvou fukcí Příkld. Vypočtěte ity: Řešeí: Dá fukce je v bodě espojitá, pro výpočet ity použijeme větu V; dou fukci hrdíme jiou fukcí g, která je spojitá v bodě rová se dé fukci pro všech. Obě fukce mjí podle věty V stejou itu. ( )( ) ( ) g( ) Výsledek: ( ) Situci si můžeme ještě ukázt obrázku Obr. Obr. Obrázky ám tké potvrzují, že u obou fukcí pltí: Blíží-li se proměá k číslu, blíží se hodot f() k číslu tudíž ity obou fukcí jsou rovy.

8 S využitím věty o itě dvou fukcí vypočteme tké ity z příkldu. Příkld. Vypočtěte dé ity: 6 ) b) 6 8 c) 7 9 Výpočty it ve vlstím bodě d) g) si cos π tg e) 9 si h) π cos f) si i) π cos Řešeí: Pro úprvu fukcí při výpočtu it ) c) si zopkujte rozkldy kvdrtických trojčleů práci s mohočley z Mtemtiky I, vzorce b, b, b. 6 ( ).( ) ) ( ).( ) 6 ( ).( ) ( ).( ).( ) b) 8 ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ).(( ) ) ( ).( ) 8 c) Pro rozkld kvdrtických trojčleů využiji myšleky, že je-li ulovým bodem mohočleu před je koeficiet, může být jede z čiitelů (). Druhého čiitele získám jko podíl dvou mohočleů; v čitteli ( 7 ) : ( ) ; obdobě ve jmeovteli ( 9 ) : ( ). 7 ( )( ) 9 ( )( ) 7 Pro úprvu dých fukcí v itách d) - f) využijeme k odstrěí odmociy usměrěí zlomku (viz Mtemtik I) potom kráceím odstríme espojitost fukce v dém bodě. ( ).( ) d). ( ) ( ).( ) ( ).( ) 7

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 9 e) 9.( 9 ). 9 9 9 ( 9 ) 9.( 9 ).( 9 ) ( 9 ) 9 6 ( 9) 9 Výpočty it ve vlstím bodě f) Abychom mohli fukci zjedodušit kráceím, je třeb odstrit odmociu eje ze jmeovtele, le i z čittele. ( ) ( ) 9... 9 8 ( )........ 6 Pro úprvu fukcí v itách g) i) si zopkujte z Mtemtiky IV zákldí zlosti o goiometrických fukcích. si cos si cos si cos (si cos).cos g) π tg π si π cos si π cos si cos cos (cos si ).cos π ( cos ) cos π cos si π h) ( cos )( cos ) si cos ( cos ) π cos π cos π cos π cosπ ( ) si si.cos si.cos i) π π π cos (cos si ) ( cos ) si si.cos si.cos cos π cotg cotg π π π π si si si si Průvodce studiem. Pokud se vám počítáí it zlíbilo projděte si tké část pro zájemce. Jik přejděte odstvec věový zákldím větám o itách.

Vět o třech itách Část pro zájemce. Některé ity ám umoží vypočítt vět o třech itách: Jestliže fukce f() g() mjí v bodě tutéž itu L tedy: f ( ) L ; g( ) L ; pro fukci h() pltí: f ( ) h( ) g( ) pro všech, pro která pltí < - < δ (fukce h() je "sevře" fukcemi f() g()), pk tké fukce h() má v bodě tutéž itu L: h ( ) L Větu o třech itách použijeme k odvozeí ity fukce si y pro. Příkld. Vypočtěte si. Řešeí:. Připomeňte si defiici goiometrických fukcí v jedotkové kružici Z vlstostí goiometrických fukcí z obr. lze v I. kvdrtu odvodit, že pro kždé > pltí si > si tedy <. Obsh kruhové výseče STB (viz Mtemtik III) je určitě meší ež obsh trojúhelík STA π. π tg tg. si cos Obr. Tedy < si cos z toho dostáváme cos < si. Spojíme-li poztky z bodů.., získáme vzth mezi třemi fukcemi: si cos < < Obě krjí fukce jsou v bodě spojité it obou krjích fukcí v bodě je číslo : cos Podle věty o třech itách je tudíž i it třetí fukce rov.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu si Výsledek: Tuto itu si zpmtujeme (pro dlší výpočty) jko zákldí goiometrickou itu oz. Z. Z ity Z lze jedoduše odvodit tké obdobé ity : si, si b b tg, pro libovolá čísl, b Úkol k tetu. Pokuste se odvodit uvedeé obdobé ity. Řešeí zšlete svému tutorovi k posouzeí. Věty o itách. Pro ity fukcí dále pltí vět o itě opercí - součtu, rozdílu, součiu podílu fukcí: Jestliže f ( ) A g( ) B potom pltí: [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) A B [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) A B [ f ( ). g( ) ] f ( ). g( ) A. B f ( ) f ( ) g ( ) g( ) A B () () () z předpokldu, že g( ) () Vět o itě opercí Slově: Limit součtu, rozdílu, součiu podílu fukcí je rov součtu, rozdílu, součiu podílu (eulový jmeovtel) it jedotlivých fukcí. Využijte zákldí goiometrické ity Z věty o itě opercí při výpočtu it goiometrických fukcí. Příkld. si tg Vypočtěte ) b), Řešeí: ) Použitím zákldí ity Z věty o itě opercí dostáváme: si si si.. b) Použitím zákldí ity Z věty o itě opercí dostáváme si tg si si si cos... cos cos 7

Úloh. N zákldě zkušeostí získých z příkldů.. vypočtěte ásledující ity: ) b) c) 6 6 d) e) 9 f) cos si si g) h) si i) si cos tg. Výpočty ity fukce v evlstím bodě Výpočet ity v evlstím bodě umožňuje zjistit, jk se chová fukce, rosteli (klesá-li) rgumet de všechy meze. Zásdí výzm má u posloupostí. (Zopkujte si pojem posloupost z Mtemtiky II ). Mtemticky : f ( ) L f ( ) L Mtemtická defiice ity v evlstím bodě Přesá mtemtická defiice: Fukce f() má v evlstím bodě itu L, jestliže ke kždému ε > eistuje tkový bod, že pro všech > ptří fukčí hodoty f() do ε-okolí bodu L (L- ε, L ε) viz Obr.. Fukce f() má v evlstím bodě - itu L, jestliže ke kždému ε > eistuje tkový bod, že pro všech < ptří fukčí hodoty f() do ε-okolí bodu L (L- ε, L ε). Obr. ε - ε y f ( ) Při výpočtu používáme zákldí ity: k Z :, kde k R ; Z :, kde (,) Příkld 6. Vypočtěte ity dých posloupostí pro ) b). c) Řešeí: ( )( ) 8

. kpitol Zákldy difereciálího počtu Při řešeí ásledujících úloh využijeme zákldí itu Z věty o itě opercí. ) -. Výsledek : Limit poslouposti je. b) Výsledek : Limit poslouposti je. c) Výsledek : Limit poslouposti je. Příkld 7. Vypočtěte ity dých posloupostí pro ) b) c) Řešeí: Při řešeí ásledujících úloh využijeme zákldí itu Z věty o itě opercí. ) Výsledek : Limit poslouposti je. 9 7.9.. Zlomek jsme uprvili tk, bychom mohli využít zákldí itu Z. ).(. Výrz jsme ejprve uprvili jede zlomek ásledě opět uprvili tk, bychom mohli využít zákldí itu Z. ( ) ( ). 8 6 8 6 8. 8 6 8 6 ( ) ( ) 8. () (). 7.. 7. 9 9 7 9 9. 9 7.9 9 7.9 9 9 9 7.9 Výpočet ity posloupostí

.. () b). Výsledek : Limit poslouposti je. c)........ Výsledek : Limit poslouposti je.. () Úloh. N zákldě zkušeostí získých z příkldů 6. 7. vypočtěte ásledující ity: (). ) 6 b) c) Část pro zájemce.. Důležitou itou v evlstím bodě je e, která umožňuje přiblížit hodotu ircioálího čísl e. Zkuste si přiblížit hodotu e doszováím přirozeých čísel z. Dosďte,,,.. V Mtemtice II jste se sezámili s geometrickou posloupostí odvodili jste si vzorec pro součet jejích prvích čleů. Pomocí ity jsme schopi odvodit vzorec pro součet ekoečě moh čleů, tj. když. Při výpočtu použijeme věty o itách opercí, skutečost, že it kostty je kostt zákldí itu Z. Součet -čleů geometrické poslouposti :. q s q q q s.. q < q ( q ) q q Výsledá it je součet tzv. ekoečé geometrické řdy q s kvocietem q, pro který pltí q <. S číslem e jste se sezámili v Mtemtice II jko zákld přirozeého logritmu.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu. Pojem derivce fukce, derivce zákldích fukcí Derivce fukce Limit fukce umožňuje jít teču grfu fukce, defiovt derivci itegrál. Ptří k ejzákldějším pojmům mtemtiky. Ukžme si, jk pomůže lézt rovici tečy grfu fukce f: y f() v bodě T [ o,y o ]. Odvozeí derivce fukce Obr. N obrázku máme zkresleu seču TX teču t v bodě T. Prví souřdice bodu X se liší od prví souřdice bodu T o přírůstek (změu). Pokud bychom postupě bod X "přibližovli" k bodu T, tkže polohou sečy TX pro., seč TX by se "přibližovl" k tečě t. Říkáme, že teč t je ití Směrici sečy TX vypočteme ze vzthu pro směrici přímky určeé dvěm body: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) y k TX ( ) Směrici tečy t tedy vypočteme podle předchozí úvhy jko itu směrice sečy pro :. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) y kt ( ) Máme-li směrici tečy, pk už eí problém pst rovici tečy t v bodě T. Využijeme směricovou rovici přímky dé bodem T směricí k t. Můžeme tudíž shrout: Je-li křivk grfem fukce y f() eistuje-li v bodě vlstí it: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) y kt tg α ( ) pk teč křivky v bodě T[, y ] je přímk, která má rovici : y - y k t ( - ) () Zopkujte si směricový tvr přímky z Mtemtiky V

6 Limitu ( ) f ( ) f ozčujeme f' ( ) zýváme derivcí fukce f v bodě. Eistuje-li it ( ) f ( ) f, říkáme, že fukce f má derivci v bodě, ebo-li že je diferecovtelá v bodě. Geometrická iterpretce derivce: udává směrici tečy k t ke grfu fukce f v bodě T[ o,y o ]. Část pro zájemce. Podobou úvhou, jkou jsme provedli pro teču grfu, lze plikovt i pohyb hmotého bodu. Těleso urzilo v čse t o dráhu s(t o ). Zvětší-li se čs o t, bude dráh těles v tomto čse rov s(t o t). Přírůstek dráhy odpovídjící přírůstku čsu t tedy bude s(t o t) - s(t o ). Průměrá rychlost (při rovoměrém pohybu) by pk byl v čsovém itervlu t, t t : s( t t) s( t ) v t Čím bude meší t, tím bude získá rychlost přesější pro meší čsový úsek. s( t t) s( t ) Pro t dostáváme vlstě rychlost okmžitou: v t t Fyzikálí iterpretce derivce: udává okmžitou rychlost pohybu v čse t o. Příkld 8. Npište rovici tečy k prbole y v bodě T[,]. Řešeí:. krok Hledou teču můžeme zpst ve směricovém tvru - dle (). y - y k t. ( - ) ; y..souřdice tečého bodu. krok Dále podle () zjistíme ejprve eisteci poždové ity. f f ( ) ( ) k směrice tečy t. krok yí už je dosdíme do rovice tečy: y -.( - ) uprvíme: - y - ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledek: Prbol y má v bodě T teču o rovici: - y -.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 7 Poz. Pokud jste směrici správě vypočítli, tk už vlstě umíte počítt derivci fukce Úloh. Npište rovici tečy k prbole y v bodě T[-,]. Výpočet derivce fukce Derivce fukce f v bodě o je tedy určité číslo, které má popsou geometrickou či fyzikálí iterpretci. Jk toto číslo vypočítáme?. Prví způsob je vyjít z defiice derivce: Příkld 9. Vypočtěte derivci fukce f: y v bodě o. Řešeí: Podle () zjistíme eisteci poždové ity. f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Výsledek: f ' ( o ) o Pokud má fukce f derivci v kždém bodě určitého itervlu (,b), pk říkáme, že fukce f má derivci v itervlu (, b). Tím je tedy v itervlu (,b) defiová ová fukce f'(), které říkáme derivce dy fukce f v itervlu. Kromě ozčeí f '() používáme tké y' ebo. d Určete derivci fukce f: y v itervlu (, ) Podle předchozího příkldu víme, že tto fukce má v kždém bodě o itervlu (, ) derivci f '( o ). o. Tedy f '(). pro, itervlu ( ) Výsledek: f '() [ ]'. pro R Tímto způsobem si můžeme ukázt odvozeí derivce i ěkterých dlších elemetárích fukcí.

8 Příkld. ) Určete derivci kosttí fukce f: y c. Řešeí: Podle defiice ity v kždém bodě o itervlu ( ) f ( ) f ( ) c c f ( ) Výsledek: [c]', pltí: b) Určete derivci fukce f: y si. Řešeí: Podle defiice ity v kždém bodě o itervlu ( ) Při úprvě zlomku využijeme vzorec si α si β cos, pltí: α β si α β f ( ).cos f ( ) f ( ) si( ) ( ) ( ) si.cos.si cos si..cos si Použijeme zákldí itu Z Výsledek: [si ]' cos. Už bez odvozováí dokočíme přehled derivcí elemetárích fukcí: [c]' [ ]'. -, reálé číslo [si ]' cos [cos ]' - si [e ]' e [ ]'.l [tg ]' cos [cotg ]' si [l ]' [log ]'. l

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 9 Podobě by bylo možo odvodit věty o derivci součtu, rozdílu, součiu podílu fukcí: Jestliže fukce u(), v() mjí v bodě o derivci, potom mjí v tomto bodě derivci i jejich součet, rozdíl, souči podíl (v( o ) eulové) pltí (c je kostt): [c.u]' c.[u]' () [u v]' u' v' () [u - v]' u' - v' (6) [u. v]' u'v u.v' (7) u u v uv v v Hledáí derivcí dle defiice derivce je zčě komplikový pro složitější fukce epoužitelý.. Druhý způsob spočívá v plikci odvozeých prvidel vět, které výpočet derivcí zčě zjedodušují. Příkld. Vypočtěte derivci dých fukcí v libovolém bodě jejich defiičího oboru. ) f: y Řešeí: Nejprve převedeme mociu: yí použijeme prvidlo [ ]'. -, reálé číslo.... Výsledek: (8) b) f: y - - Řešeí: použijeme prvidl [ ]'. -, reálé číslo, [c]' věty o derivci součtu, rozdílu součiu () (6) Nejprve použijeme prvidl () (6) - u součtu rozdílu derivujeme kždý čle zvlášť: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Dále použijeme () - v součiu kosttu při derivováí opíšeme: [ ] [ ] [] []

Nyí použijeme přehledu derivcí elemetárích fukcí. Nejprve derivce smoté kostty [c]' : : [ ] [ ] [] Derivce [ ]'. - :.... 6 Výsledek: [ ] 6 Derivce součiu fukcí. Příkld. Vypočtěte derivci fukce f: y.l - v libovolém bodě defiičího oboru. Řešeí: Nejprve použijeme prvidl () (6) - u součtu rozdílu derivujeme kždý čle zvlášť:.l.l [ ] [ ] [ ] Dále použijeme () - v součiu kosttu při derivováí opíšeme:..l [ ] [] Nyí použijeme přehledu derivcí elemetárích fukcí. Nejprve derivce smoté kostty [c]' : :..l [ ] A yí derivujeme souči podle [u. v]' u'v u.v': prví čle derivujeme druhý opíšeme obráceě, prví opíšeme druhý derivujeme: ([ ]..l.[ l ] ) Vypočteme jedotlivé derivce podle [ ]'. - [l ]' :...l.. (..l ). ( l ) Výsledek: [ ].l (l ) Derivce podílu fukcí. Příkld. Vypočtěte derivci fukce Řešeí: f : y v libovolém bodě defiičího oboru. u u v uv Použijeme prvidlo pro derivci podílu - jmeovtele umocíme druhou v v v čitteli bude: souči derivce čittele ederivového jmeovtele - obráceě, souči ederivového čittele derivce jmeovtele: [ ].( ).[ ] ( )

. kpitol Zákldy difereciálího počtu Nyí vypočteme jedotlivé derivce získý výrz uprvíme:.( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledek: ( ) ( -) Průvodce studiem. Pokud vás uvil přemír teorie, odpočiňte si, pk si zovu projděte zákldí prvidl řešeé úlohy. Důsledou plikcí odvozeých vět prvidel jste schopi úspěšě derivovt i poměrě složité fukce. Procvičte prověřte si získé dovedosti derivováím ásledujících fukcí: Úloh. Vypočtěte derivci dých fukcí v libovolém bodě jejich defiičího oboru. ) y b) y si c) cos d) y e) y f) y l si. Derivce složeé implicití fukce y e Při výpočtu derivcí se velmi čsto setkáváme se složeými fukcemi, př. y cos ( -); y ( l ) pod. Pltí pro ě ásledující vět: Má-li fukce z g() derivci v bodě o fukce y f(z) derivci v bodě z o g( o ), potom má složeá fukce y f(g()) derivci v bodě o pltí: [f(g( o ))]' f'(z o ).g'( o ) Derivce složeé fukce je souči derivce "vější" fukce f(z) podle z derivce "vitří" fukce g() podle. (9) f' f' z. z'

Příkld. ) Vypočtěte derivci fukce f: y ( - ) v libovolém bodě defiičího oboru. Řešeí:. krok Fukci f si můžeme rozložit fukci y z ("vější" fukce) z - ("vitří" fukce).. krok Vypočteme derivci "vější" fukce s proměou z : f ' z. z, derivci "vitří" fukce s proměou je z'. Derivce složeé fukce (dle (9)) je souči derivce "vější" fukce derivce "vitří" fukce: [( - ) ]'.z. ( ) Po doszeí z z dostáváme:.( - ). ( ) Výsledek: [( - ) ]'.( - ). ( ) b) Vypočtěte derivci fukce f: y si ( - ) v libovolém bodě defiičího oboru.. krok Fukci f si můžeme rozložit fukci y si z ("vější" fukce) z - ("vitří" fukce).. krok Vypočteme derivci "vější" fukce s proměou z : f ' z cos z, derivci "vitří" fukce s proměou je z'. Derivce složeé fukce (dle (9)) je souči derivce "vější" fukce derivce "vitří" fukce: [si ( - )]' cos z. ( ) Po doszeí z z dostáváme: cos ( - ). ( ) Výsledek: [si ( - )]' cos ( - ). ( ) Někdy se je fukce f slože i z více fukcí Příkld. Vypočtěte derivci fukce f: y si ( - ) v libovolém bodě defiičího oboru.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu Řešeí:. krok Fukci f si můžeme rozložit fukci y z ("vější" fukce) z si u (". vitří" fukce) u (". vitří" fukce). krok Vypočteme derivci "vější" fukce s proměou z : f ' z z, derivci ". vitří" fukce s proměou u je z' u cos u derivci ". vitří" fukce s proměou je u' -. Derivce složeé fukce (dle (9)) je souči derivce "vější" fukce, derivce ".vitří" fukce derivce ".vitří" fukce: f' f' z. z' u. u' [si ( - )]'. z.cos u. ( ) Po doszeí z z dostáváme. si u.cos u. ( ) Dále po doszeí z u dosteme. si ( ).cos ( ). ( ) Výsledek: [si ( - )]'. si ( ). cos ( - ). ( ) Průvodce studiem. Zopkujte si skládáí fukcí z Mtemtiky II s podporou příkldů.. si dobře ujsěte si pojmy vější vitří fukce. Zd jste to zvládli si ověřte vyřešeím ásledující cvičé úlohy. Úloh. Vypočtěte derivci dých fukcí v libovolém bodě jejich defiičího oboru. ) y ( - 6 7) b) y l si c) tg y e d) y e) y 6 f) ( ) y l

Derivce implicití fukce: V lytické geometrii čsto hledáme tečy ke křivce, která eí grfem fukce (kružice, elips, hyperbol..) je dá implicitě - eí přímo vyjádřeé y. Npř. elips: 6 y. Z této rovice emusíme vyjdřovt y potom derivovt, le můžeme derivovt hed tkto: čley s proměou y derivujeme jko složeou fukci (y je fukcí ), tedy [y ]' [y ]' y.[y]' y. y', osttí čley běžým způsobem. Příkld 6. Určete rovici tečy elipsy 9 y - 9 - y v bodě T [,]. Řešeí:. krok Hledou teču můžeme zpst ve směricovém tvru - dle (). (viz Příkld 8.) y - y k t. ( - ) ; y..souřdice tečého bodu. krok Směrici tečy v bodě T určíme jko derivci implicití fukce; čley s y derivujeme jko složeou fukci: 9. y.y' 9...y' Nyí z této rovice vyjádříme y': y.y' -.y' 9-8 y'(y - ) 9-8 9 8 y y Zjistíme hodotu derivce v bodě T ; získá hodot je hledá směrice tečy: 9 8. 9 9 k y' T. Teď již stčí dosdit do směricové rovice přímky: 9 y.( ) Rovici přímky uprvíme : y 9 9 > 9 y 9 Výsledek: t: 9 y 9

. kpitol Zákldy difereciálího počtu Úloh 6. Určete rovici tečy k dé křivce v dém tečém bodě T : ) y y T [-, -] ; b) y 6 y 8y 9 T [-, ].. Derivce vyšších řádů Má-li fukce f'() (tj.derivce fukce f()) v kždém bodě itervlu (,b) derivci, dosteme v itervlu (,b) ovou fukci, které říkáme druhá derivce eboli derivce druhého řádu fukce f() v itervlu (,b). Ozčíme ji f''(). Pltí pro i: f''() [f'()]'. Užívá se tké ozčeí: y''. Podobě můžeme defiovt třetí derivci f '''(), čtvrtou derivci f () () derivce vyšších řádů f () (). Příkld 7. Určete derivce fukce f: y. Řešeí: Prví derivce: f'() [ ]' 8 Druhá derivce: f''() [8 ]' Třetí derivce: f'''() [ ]' 8 Čtvrtá derivce: f () () [8]' 8 Pátá derivce všechy vyšší derivce jsou již ul: f () () [8]'.6 Aplikce derivce fukce Derivce fukce má široké upltěí při řešeí řdy prktických úloh; při výpočtu it především při sledováí průběhu fukce..6. Průběh fukce Pro kresleí grfu fukce y f() estčí je sestvit tbulku pro, y, protože doszeím áhodě vybrého do předpisu fukce by ám mohly uikout ěkteré vlstosti fukce grf by mohl být kresle chybě. Abychom si mohli být jisti správostí grfu fukce, je třeb se podroběji zbývt ěkterými vlstostmi fukce. Průvodce studiem. Sledováí průběhu fukce je zjímvá, le zdlouhvější úloh. Přeji vám moho trpělivosti. Vydržte.

6 Itervly, ve kterých je fukce rostoucí ebo klesjící, se zývjí itervly mootóosti. Jejich určeí ptří k zákldím poždvkům při zjišťováí průběhu fukce. Itervly mootóosti fukce y Derivce fukce v bodě o defiová jko f ( ) ám vlstě udává okmžitou změu fukce f v tomto bodě. Zvětší-li se hodot proměé ( > ) hodot fukce y se tké zvětší ( y > ), je derivce v tomto bodě kldá fukce je rostoucí. Zvětší-li se hodot proměé ( > ) hodot fukce y se zmeší ( y < ), je derivce v tomto bodě záporá fukce je klesjící. Pokud se hodot fukce se změou hodoty proměé eměí ( y ), je derivce v tomto bodě rov ule fukce je kosttí. Z toho vyplývá ásledující souvislost derivce mootóosti fukce: Má-li fukce f v kždém bodě itervlu (,b) kldou derivci, je v tomto itervlu rostoucí. Má-li fukce f v kždém bodě itervlu (,b) záporou derivci, je v tomto itervlu klesjící. Má-li fukce f v kždém bodě itervlu (,b) ulovou derivci, je v tomto itervlu kosttí. () Příkld 8. Určete itervly mootóosti fukce f: y -. Řešeí: Derivujeme fukci f: f'() - 6. Nyí chceme zjistit itervly, ve kterých je tto derivce kldá ve kterých je záporá, což zmeá řešit erovice - 6 > ebo - 6 <. Nerovice řešíme pomocí metody ulových bodů (jedá se o spojitou fukci). Zjistíme kořey rovice - 6 Vytkeme : ( - ) Nulové body jsou. Defiičí obor dé fukce - R rozdělíme pomocí ulových bodů; získáme tři itervly (-,), (,), (, ). Z Mtemtiky I si připomeňte řešeí erovic v součiovém tvru.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 7 V itervlu (-,) je derivce kldá (ověříme doszeím př. -, y'(-) 9) ; fukce f je zde tedy rostoucí. V itervlu (,) je derivce záporá (y'() -) fukce f je zde klesjící. V itervlu (, ) je derivce kldá (y'() 9) tedy fukce f je zde rostoucí. Výsledek: (-, ) rostoucí, (, ) klesjící, (, ) rostoucí. Etrémy fukce Lokálí etrémy fukce souhrě ozčují mim miim dé fukce v určitém itervlu ("místě") - lokálí mimum, lokálí miimum. Fukce f má v bodě o lokálí mimum [ostré], jestliže eistuje itervl (,b) tk, že pro všech z tohoto itervlu pltí: f() f( o ) [f() < f( o )]. Fukce f má v bodě o lokálí miimum [ostré], jestliže eistuje itervl (,b) tk, že pro všech z tohoto itervlu pltí: f() f( o ) [f() > f( o )]. N obrázku Obr. vidíme, že fukce f má lokálí ostré mimum v bodě v bodě, lokálí ostré miimum v bodě. Z obrázku je zřejmé, že v lokálích etrémech buď teč ( tedy i derivce) eeistuje (bod ) ebo je teč rovoběžá s osou (,, ) derivce je tedy rov ule. Proto můžeme vyslovit utou podmíku eistece etrému: Obr. Má-li fukce f v bodě o lokálí etrém eistuje-li v tomto bodě derivce f '( o ), pk pltí: f'( o ). () Proto při hledáí lokálích etrémů fukce f() hledáme body, pro které pltí: f '(). Tyto body jsou "podezřelé z etrému" zýváme je stcioárí body. Zd má fukce v těchto bodech skutečě lokálí etrém, rozhode chováí prví derivce ve stcioárím bodě. Obr. ) b) c) d)

8 ) V bodě o má fukce lokálí mimum - Jestliže se přibližuje k o zlev, je fukce rostoucí derivce kldá, v bodě o je rov ule vprvo, z bodem o je fukce klesjící derivce záporá. Zméko derivce se měí z plus mius. b) V bodě o má fukce lokálí miimum - Jestliže se přibližuje k o zlev, je fukce klesjící derivce záporá, v bodě o je rov ule vprvo, z bodem o je fukce rostoucí derivce kldá. Zméko derivce se měí z mius plus. c) V bodě o emá fukce lokálí etrém - Jestliže se přibližuje k o zlev, je fukce rostoucí derivce kldá, v bodě o je rov ule vprvo, z bodem o je fukce opět rostoucí derivce kldá. Zméko derivce se eměí. d) V bodě o emá fukce lokálí etrém - Jestliže se přibližuje k o zlev, je fukce klesjící derivce záporá, v bodě o je rov ule vprvo, z bodem o je fukce opět klesjící derivce záporá. Zméko derivce se eměí. Měí-li se zméko derivce ve stcioárím bodě z plus mius, má fukce v tomto bodě lokálí mimum, měí-li se z mius plus, má fukce v tomto bodě lokálí miimum. () Příkld 9. Vyšetřete lokálí etrémy fukce f: y -. Řešeí: Nejprve určíme stcioárí body. Derivujeme fukci f : f '() - 6. Zjistíme kořey rovice f '() tedy - 6 Vytkeme : ( - ) Stcioárí body jsou. V itervlu (-,) je derivce kldá (ověříme doszeím př. -, y'(-)9) fukce f je zde rostoucí. V itervlu (,) je derivce záporá (y'() -) fukce f je zde klesjící. V bodě dochází ke změě zmék derivce z - (fukce se měí z rostoucí klesjící), v tomto bodě je lokálí mimum. V itervlu (, ) je derivce kldá (y'()9), fukce f je zde rostoucí. V bodě dochází ke změě zmék derivce z - (fukce se měí z klesjící rostoucí), je v tomto bodě lokálí miimum.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu 9 Výsledek: Fukce má v bodě (ostré) lokálí mimum v bodě (ostré) lokálí miimum. V ěkterých přípdech lze rozhodout o eisteci etrému ve stcioárím bodě o pomocí.derivce ; (podmíkou je sdý výpočet.derivce eistece eulové.derivce v tomto bodě). Je-li f ''( o ) <, má fukce v bodě o ostré lokálí mimum. Je-li f ''( o ) >, má fukce v bodě o ostré lokálí miimum. Je-li f ''( o ), pk pomocí.derivce elze rozhodout o eisteci etrému. Globálí etrémy (bsolutí etrémy) fukce v ějkém itervlu předstvují body, ve kterých bývá fukce své ejvětší resp. ejmeší hodoty. Zmeá to lézt lokálí etrémy porovt odpovídjící fukčí hodoty i s hodotmi v hričích bodech itervlu. Největší hodot přísluší globálímu mimu ejmeší globálímu miimu. Obr. 6 Tk příkld fukce f Obr. 6 má v uzvřeém itervlu, b globálí mimum v bodě (hodot f() je ejvětší hodotou fukce v tomto itervlu) globálí miimum v bodě (hodot y je ejmeší hodotou fukce v tomto itervlu). V otevřeém itervlu (,b) všk globálí mimum emá (eeistuje bod, ve kterém má fukce ejvětší hodotu - bod tm eptří) globálí miimum je opět. Obr. 7 ) b) V přípdě, kdy fukce má v dém itervlu (,b) pouze jediý stcioárí bod, je lokálí etrém zároveň i globálím etrémem. Názorě to demostrují horí dv obrázky Obr. 7 ), b).

Příkld 9. Vyšetřete globálí etrémy fukce f: y v itervlu, 9. Řešeí: Nejprve určíme stcioárí body. Derivce fukce je: f '() - - ( )( - ). Stcioárí body jsou -. V itervlu (-, -) je derivce kldá, tedy fukce f je zde rostoucí. V itervlu (-,) je derivce záporá fukce f je zde klesjící. V bodě - lokálí mimum. V itervlu (, ) je derivce kldá tedy fukce f je zde rostoucí. V bodě je lokálí miimum. Vypočteme fukčí hodoty v lokálích etrémech hričích bodech : -, -,, 9. f (-) -, f (-), f () - 9, f (9) Porováím těchto fukčích hodot dostáváme, že globálí mimum je v bodě 9 globálí miimum -9 je v bodě. Výsledek: Fukce f má v bodě globálí miimum v bodě 9 globálí mimum. Koveost kokávost fukce K přesějšímu kresleí popisu grfu fukce pomůže zjištěí, zd je fukce koveí ebo kokáví. Obr. 8 Názorě: Grf fukce f leží d tečou v bodě o - fukci zýváme koveí; grf fukce f leží pod tečou v bodě o - fukci zýváme kokáví. Nyí přesěji,mtemticky. Říkáme, že fukce f je v bodě o koveí (kokáví), eistuje-li itervl obshující bod o tkový, že pro všechy body z tohoto itervlu leží body grfu fukce f d (pod) tečou sestrojeou v bodě o. Je-li fukce koveí (kokáví) v kždém bodě itervlu, říkáme, že je koveí (kokáví) v tomto itervlu. Zd je fukce v itervlu koveí či kokáví, rozhodeme podle.derivce fukce.

. kpitol Zákldy difereciálího počtu Jestliže v kždém bodě itervlu (,b) pltí f''() >, pk je v tomto itervlu fukce f koveí. Jestliže v kždém bodě itervlu (,b) pltí f''() <, pk je v tomto itervlu fukce f kokáví. () Příkld. Určete itervly, v ichž je fukce f: y - koveí, kokáví. Řešeí: Prví derivce fukce je: f'() - 6. Druhá derivce fukce je: f''() 6-6. Zjistíme kořey rovice f''() > 6-6 Kořeem je. V itervlu (-,) je f''() < (ověříme doszeím př. -.. y''(-)-) tedy fukce f je zde kokáví. V itervlu (, ) je f''() > (y''() ) tedy fukce f je zde koveí. Výsledek: Fukce f je v itervlu (-, ) kokáví v itervlu (, ) koveí. Je fukce f obrázku v bodě o koveí ebo kokáví? Obr. 9 Vlevo od bodu o je fukce kokáví vprvo je koveí. V bodě o fukce měí svůj průběh. Grf přechází z polohy "pod tečou" do polohy "d tečou". Teto bod se zývá ifleí bod fukce f. Smozřejmě, že to může být i obráceě - grf přechází z polohy "d tečou" do polohy "pod tečou". Při hledáí ifleích bodů fukce (obdobý postup jko při hledáí etrémů) musíme ejprve lézt body, ve kterých se měí fukce koveí (f''() > ) kokáví (f''() < ) ebo opk (body "podezřelé iflei"). V ich zřejmě musí být f''() to je podmík utá pro eisteci ifleího bodu. Je-li bod o ifleím bodem fukce f má-li fukce f v tomto bodě druhou derivci, pk f''( ). () O tom, zd teto "podezřelý" bod je skutečě ifleí bod, rozhoduje opět zméková změ tetokrát druhé derivce. Měí-li se zméko.derivce v bodě o, je teto bod ifleím bodem fukce f. ()