rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad s komentáem Je dána funkce f : y 6 9. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení zadané úlohy budeme postupovat podle doporueného postupu a pitom využívat poznatky diferenciálního potu. Je vhodné postupovat v uvedeném poadí a postupn urit:. defininí obor funkce. sudost, lichost, periodinost funkce - má-li totiž funkce jednu z uvedených vlastností, zjednoduší to vyšetování jejího prbhu. prseíky s osami kartézského systému souadnic. limity v krajních bodech defininího oboru 5. první derivaci funkce, stacionární body a body, v nichž není první derivace definována 6. intervaly monotónnosti a lokální etrémy 7. druhou derivaci funkce, nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace funkce definována. intervaly konvenosti a konkávnosti a inflení body 9. asymptoty funkce.obor hodnot.graf funkce.. Defininí obor Zadaná funkce je polynomická, a proto je jejím defininím oborem množina všech reálných ísel, tj. D f... Sudost nebo lichost funkce Defininí obor je symetrický vzhledem k nule, a proto zadaná funkce mže být jak lichá, tak i sudá (a nebo nemusí mít žádnou z uvedených vlastností). Je nutné ješt ovit, jaká je funkní hodnota funkce f v bod pitom patí do defininího oboru zadané funkce. ro funkní hodnotu v bod f 6 9 6 9 ve srovnání s funkní hodnotou v bod. Bod i dostáváme:. Tento výraz pitom není shodný ani se zadaným pedpisem funkce f, ani k nmu není opaný. ro zadaná funkce f není ani sudá ani lichá. okud by nastala jedna z možností, další ešení úlohy by se zjednodušilo. Bylo by možné vyšetit prbh funkce nap. na podmnožin kladných ísel a potom získané výsledky zobrazit i na podmnožinu záporných ísel:. u sudé funkce pomocí osové soumrnosti, jejíž osa soumrnosti je osa y. u liché funkce pomocí stedové soumrnosti, jejíž sted soumrnosti je bod ;.. rseíky s osami kartézského systému souadnic Znalost prseík s osami kartézského systému je jednou z pomcek pro snadnjší sestrojení grafu zadané funkce. Nicmén jejich znalost není nezbytná. V pípad, že rovnice, jejíž sestavení je nutné pro hledání prseík s osou, není jednoduše ešitelná (tj. jedná-li se nap. o polynomickou funkci stupn vyššího než ti, složitou logaritmickou rovnici, ), prseíky s osou neurujeme. Na správné vyešení úlohy nebude mít absence prseík významný vliv.
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 -ovou souadnici prseík s osou získáme ešením rovnice ; f, což v pípad zadané funkce vede na kubickou rovnici 6 9. ešení této rovnice není možné snadno urit, proto prseíky s osou urovat nebudeme. ; y s osou y je výrazn jednodušší. latí: y Urit y-ovou souadnici prseíku y f. V pípad zadané funkce dostáváme y f 6. 9.... Limity v krajních bodech defininího oboru Limity v krajních bodech defininího oboru pomáhají urit chování funkce v blízkosti bod, v nichž není možné zjistit funkní hodnotu pímým dosazením. itom je pro správné vykreslení grafu funkce dležité vdt, jak v okolí tchto bod vyšetovaná funkce vypadá. V pípad zadané funkce jsou krajními body defininího oboru dva body: a. 6 9 lim 6 9 lim 6 9 lim 6 9 lim.5. rvní derivace funkce rvní derivace f zadané funkce f je mocným nástrojem pro urení:. stacionárních bod - body podezelé z etrému ; stacionární body jsou koeny rovnice f, z nichž lze urit ty, které jsou lokálními etrémy, pomocí druhé derivace funkce (viz odstavec.7) nebo pomocí interval monotónnosti (viz odstavec.6). bod, v nichž není derivace definovaná - tyto body uríme na základ defininího oboru funkce f (tj. funkce, která je první derivací zadané funkce f) Stacionární body hledáme tak, že ešíme rovnici f, tj. hledáme body, v nichž je tena ke grafu funkce rovnobžná s osou. Derivace funkce totiž udává smrnici teny v daném bod. Je-li tena sestrojená v daném bod rovnobžná s osou, má nulovou smrnici. V T A K O V É M B O D A L E N E M U S Í B Ý T E X T R É M!!! (Viz graf funkce y v bod : první derivace je v nm nulová, ale pitom v nm není etrém!!!) Urit ale platí, že smrnice teny sestrojená v bod etrému je nulová! ro zadanou funkci je: f 9 Stacionární body uríme ešením rovnice: f 9, Body, v nichž by mohl být etrém jsou tedy body,. Vzhledem k tomu, že defininí obor derivace je množina všech reálných ísel, je derivace funkce definovaná ve všech bodech defininího oboru funkce..6. Intervaly monotónnosti a lokální etrémy Urení interval, na nichž je funkce rostoucí nebo klesající, lze provést na základ první derivace funkce. latí totiž:. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu rostoucí. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu klesající
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Je-li zadaná funkce spojitá, lze urit pouze interval, na kterém je funkce rostoucí. Interval, na kterém je funkce klesající, je doplkem vypoteného intervalu v defininím oboru funkce. oznámka: edchozí vta není formulována zcela pesn, protože z interval jsou vynechány jejich krajní body, v nichž funkce pechází z klesající na rostoucí i naopak. Interval, na kterém je zadaná funkce rostoucí uríme (s využitím výpot v odstavci.5) takto: f Nejrychleji lze tuto nerovnici vyešit graficky s využitím obr.. Z nj je patrné, že funkce f je rostoucí na intervalu ; a na intervalu ;. Vzhledem k tomu, že funkce f je spojitá ve svém defininím oboru, plyne z pedchozího, že:. f je klesající na intervalu ;. f má v bod ; 6 lokální maimum a v bod ; lokální minimum obr..7. Druhá derivace funkce omocí druhé derivace f funkce f lze urit:. body, v nichž je druhá derivace nulová - body, které by mohly být infleními, tj. body, které by mohly vymezovat intervaly, na kterých je funkce konvení resp. konkávní (viz odstavec.). body, v nichž není druhá derivace funkce definovaná - tyto body uríme na základ defininího oboru funkce f, tj. funkce, která je druhou derivací zadané funkce f Body, které by mohly být infleními body, najdeme ešením rovnice f. I zde (stejn jako v odstavci.5) je nutné postupovat opatrn. B O D, V NM Ž J E D R U H Á D E R I V A C E F U N K C E N U L O V Á, N E M U S Í B Ý T I N F L E X N Í M B O D E M!!! (Viz nap. funkce y v bod : druhá derivace je v tomto bod nulová, ale tento bod není rozhodn inflením - jedná se pouze o lokální minimum!) Urit ale platí, že druhá derivace v inflením bod je nulová! Druhá derivace zadané funkce (tj. první derivace první derivace funkce) je: f 6. Defininím oborem druhé derivace jsou všechna reálná ísla, a proto druhá derivace zadané funkce eistuje ve všech bodech svého defininího oboru. Nulové body druhé derivace uríme ešením rovnice: f 6 V bod by tedy mohl být inflení bod. Jestli tam skuten je nebo není, zjistíme v odstavci.... Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Urit intervaly, na kterých je funkce konkávní resp. konvení, lze pomocí druhé derivace funkce. latí totiž:
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu konvení. je-li f pro všechna z uritého intervalu, je funkce f na tomto intervalu konkávní Je-li funkce f spojitá ve svém defininím oboru, lze urit pouze interval, na nmž je funkce konvení. Interval, na nmž je funkce konkávní, tvoí doplnk vypoteného intervalu v množin reálných ísel. oznámka: edchozí vta není formulována zcela pesn, protože z interval jsou vynechány jejich krajní body, v nichž funkce pechází z konvení na konkávní i naopak. Interval, na kterém je zadaná funkce konvení, lze urit (s využitím výpotu z odstavce.7) takto: f 6 Funkce f je tedy konvení na intervalu ;. Vzhledem k tomu, že funkce f je spojitá na svém defininím oboru, je na intervalu ; konkávní. roto je v bod inflení bod a funkce v nm pechází z konkávní na konvení..9. Asymptoty grafu funkce Asymptoty funkce jsou pímky, k nimž se funkce pimyká nebo které ji v okolí daného bodu nejlépe nahrazují. Eistují dva typy asymptot:. asymptoty se smrnicí - jsou pímky, které mají rovnici y a b ( a \, b ); jedná se o asymptoty funkce v nevlastních bodech (tj. pro a ). asymptoty bez smrnice - jsou pímky ve tvaru c ( c ); jde o asymptoty funkce v takových vlastních bodech c, v nichž není funkce definována (nap. body, v nichž je jmenovatel zlomku z definice funkce nulový, ); pi hledání rovnic tchto asymptot je nutné vyšetit jednostranné limity v bodech, v nichž není daná funkce definována A S Y M T O T Y S E S MRN I C Í N E S U L U J Í V Ý OET L I M I T V K R A J N Í C H B O D E C H D E F I N I N Í H O O B O R U!!! Limita v krajních bodech defininího oboru urí, K J A K É hodnot se blíží funkní hodnoty v tchto bodech, zatímco asymptota uruje J A K se k této hodnot funkce blíží. Koeficienty a a b v rovnici asymptoty se smrnicí se urí pomocí vlastních limit takto: f a lim a b lim f a. Náznak odvození lze provést pomocí intuitivní pedstavy, že asymptota má nahradit v blízkosti nevlastních bod graf funkce f. roto musí platit limf a b. okud platí tento vztah, tím spíše pak platí f a b lim. Tento vztah lze dále upravit: f a b f b f lim lim a lim a a odtud
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 f a lim. odobnými úpravami lze získat ze vztahu limf a b vztah pro výpoet koeficientu b: b f a. lim Analogicky lze postupovat v pípad asymptoty pro. ro koeficient a asymptoty zadané funkce f v bod lze tedy psát: 6 9 6 9 6 9 a lim lim lim. Asymptota funkce f pro neeistuje. Stejný výsledek získáme pro druhý nevlastní bod, tj. pro... Obor hodnot Obor hodnot získáme na základ znalostí:. limit v krajních bodech defininího oboru. lokálních etrém funkce. asymptot funkce ro zadanou funkci je H f... Graf funkce Na základ postupných výpot v odstavcích. až. lze nakreslit graf funkce. i jeho sestrojování je nutné vzít v úvahu tyto vlastnosti funkce:. intervaly, na nichž je funkce rostoucí resp. klesající. intervaly, na nichž je funkce konvení resp. konkávní. prseíky grafu funkce s osami kartézského systému souadnic. body, v nichž má funkce lokální etrémy a jejich funkní hodnoty 5. asymptoty grafu funkce Graf zadané funkce je na obr.. obr. 5
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6. ešené píklady bez komentáe.. g : y ln Je dána funkce g : y ln. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení budeme vycházet z postupu uvedeného v odstavci., ale už omezíme komentá k jednotlivým krokm ešení. ed samotným ešením zadanou funkci upravíme na tvar, který bude pro následné výpoty pijatelnjší: Defininí obor a zárove D g; ; Sudost nebo lichost y ln ln ln ; výsledná podmínka proto je., z níž vyplývá g ln ln ln ln ln g - funkce g je tedy lichá (defininí obor je symetrický podle bodu ); staí tedy vyšetovat funkci jen na intervalu ; rseíky s osami s osou : ln rseík s osou tedy není. s osou y: neeistuje, protože za nelze dosadit - nepatí do defininího oboru funkce g Limity v krajních bodech defininího oboru lim ln lim ln lim ln ln rvní derivace a stacionární body g derivace není definovaná v bodech - a, které ale stejn nepatí do defininího oboru stacionární body neeistují ( g nemže být nikdy rovna nule) - neeistují tedy ani lokální etrémy funkce Intervaly monotónnosti 6
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 g, tj. pro všechna z defininího obou je vždy záporná (jmenovatel zlomku je vždy kladný) - funkce g je tedy na celém svém defininím oboru klesající roto neeistují ani lokální etrémy funkce. Druhá derivace nejdíve si upravíme první derivaci: g g... g pro, ale tento bod nepatí do defininího oboru funkce; inflení body tedy neeistují Intervaly konvenosti a konkávnosti g pro ; vzhledem k defininímu oboru funkce g je funkce g konvení na intervalu ; Asymptoty funkce asymptota bez smrnice eistuje v bod - a : a ln ln a lim lim asymptota se smrnicí: b lim ln. lim ln pro získáme tutéž asymptotu Obor hodnot H g \ Graf funkce Vyšetení vlastností funkce bylo provedeno pouze na intervalu ;, na celý defininí obor rozšííme vlastnosti funkce tak, že ást grafu z intervalu ; zobrazíme soumrn podle poátku kartézské soustavy souadnic (funkce g je lichá). Graf je zobrazen na obr.. y obr. 7
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6.. h : y Je dána funkce h : y. Vyšetete její prbh a nakreslete pkn její graf. i ešení budeme vycházet z postupu uvedeného v odstavci., ale už omezíme komentá k jednotlivým krokm ešení. Defininí obor Dh \ Sudost nebo lichost h rseíky s osami s osou : - funkce h není ani sudá ani lichá s osou y: neeistuje, protože za nelze dosadit - nepatí do defininího oboru funkce h Limity v krajních bodech defininího oboru lim lim lim lim lim lim rvní derivace a stacionární body.. 6 h derivace není definovaná v bod, který nepatí do defininího oboru funkce h stacionární body: V bod Intervaly monotónnosti funkce je rostoucí: h by tedy mohl být lokální etrém. h! " # "
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Funkce h je tedy rostoucí pro všechna z intervalu ; a pro všechna z intervalu ;. Klesající je na intervalu ; (protože je na svém defininím oboru spojitá). V bod Druhá derivace je podle výše uvedeného lokální minimum; ;.. 6 h Druhá derivace funkce je definovaná pro všechna z defininího oboru funkce h a je pro n kladná. Inflení body proto neeistují. Intervaly konvenosti a konkávnosti Vzhledem k tomu, že je pro všechna z defininího oboru, je funkce h na h celém defininím oboru konvení. Asymptoty funkce asymptota bez smrnice eistuje v bod : asymptota se smrnicí: pro získáme tutéž asymptotu Obor hodnot Hh Graf funkce Graf funkce je zobrazen na obr.. lim a lim lim b lim. lim lim y obr. 9