TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Ča ke tudu kaptoly: 36 mut Cíl Po potudováí tohoto odtavce budete: zát základí pojmy a pcpy tetováí hypotéz zát kocepc klackého tetu umět ozhodovat pomocí čtého tetu výzamot umět pooudt chybu př ozhodováí umět zkotuovat opeatví chaaktetku umět pouţívat základí jedovýběové a dvouvýběové paametcké tety po omálí ozděleí (z-tet, t-tet, tet elatví četotí, tet ozptylu + totéţ po dva výběy) umět ozhodovat podle páového tetu umět pouţívat vybaé epaamecké tety (jedovýběové a dvouvýběové tety o medáu (zamékový, Wlcooův), tety o hodě (χ -tet dobé hody, jedovýběový a dvouvýběový Kolmogoovův a Smovův tet), tet závlot v kombačí tabulce) - 69 -
Výklad:. Úvod Jţ víme, ţe pomocí tattcké dukce můţeme učt závěy o populac a základě výběového oubou z této populace. V předcházející kaptole jme e zabýval poblémem, jak odhadout potředctvím bodového, popř. tevalového odhadu ezámý paamet populace. V této kaptole budeme kotuovat tety, jejchţ pomocí potvdíme ebo vyvátíme ějakou hypotézu o populac. Stattcké hypotézy (hypotézy o základím oubou (populac)) můţeme ozdělt do dvou kup a to a hypotézy paametcké a hypotézy epaametcké. Paametcké hypotézy jou hypotézy o paametech ozděleí (populace). Můţeme e etkat e třem typy těchto hypotéz: a) Hypotézy o paametu jedé populace (o tředí hodotě, medáu, ozptylu, elatví četot ) b) Hypotézy o paametech dvou populací (ovávací tety) c) Hypotézy o paametech více eţ dvou populací (ANOVA ) Paametcké hypotézy můţeme zapat jako ovot (ep. eovot) mez tetovaým paametem a jeho předpokládaou hodotou (apř.,, 8 ) ebo jako ovot (ep. eovot) mez tetovaým paamety (apř. 3, ). Stattckým hypotézám o jých vlatotech populace (tva ozděleí, závlot poměých ) e říká epaametcké hypotézy. POZOR!!! Paametcké tety e říká tetům, k jejchţ odvozeí je uté po daý výbě pecfkovat typ ozděleí (v ěkteých případech ěkteé paamety tohoto ozděleí). (Nejde tedy obecě o lbovolé tety paametckých hypotéz.) Nepaametcké tety e říká tetům, k jejchţ odvozeí eí uté po daý výbě pecfkovat typ ozděleí.. Nulová a alteatví hypotéza Tetováím tattckých hypotéz e tattc začal zabývat kátce před vypukutím duhé větové války. Jeho kocepc vytvořl Jezy Neyma a E. S. Peao a dále j pak ozvul Abaham Wald. Tetováí hypotéz pojal jako ozhodovací poce, v ěmţ pot obě tojí dvě tvzeí (hypotézy). Pví z ch ulová hypotéza H předtavuje učtý ovováţý tav a bývá vyjádřea ovot = (apř., 3 ). Jde o takové tvzeí o populac, - 7 -
kteé je báo jak předpoklad př tetováí. Opot í tavíme tzv. alteatví hypotézu H A. Alteatví hypotéza přetavuje poušeí ovováţého tavu a zapujeme j tedy jedím ze tří moţých zápů eovot (, <, >). Zvolíme-l alteatví hypotézu ve tvau < ebo >, mluvíme o jedotaé alteatví hypotéze (apř., ), zvolíme-l alteatví hypotézu ve tvau, mluvíme o oboutaé alteatví hypotéze... Výbě vhodé alteatví hypotézy Př tetováí hypotéz muíme vţdy taovt jak ulovou, tak alteatví hypotézu. Nulová hypotéza bývá taovea jedozačě (pomocí ovot, apř. ). Po taoveí alteatví hypotézy máme tř moţot. (apř.,, ). Obahuje-l zadáí poblému vedoucího a tetováí hypotéz vztah jedotaé eovot, volí e jako alteatví hypotéza přílušá jedotaá hypotéza. V otatích případech volíme oboutaou alteatví hypotézu. Alteatví hypotéza by měla být v ouladu výběovým ouboem. Pokud tomu tak eí, přzpůobujeme alteatví hypotézu závěům zíkaým z výběového oubou. Původce tudem: Náledující příklady tattckých hypotéz by Vám měly pomoc ujat pobaou temolog používaou př tetováí hypotéz:. Půměý plat v ČR je.,- Kč. Hypotéza: paametcká, o tředí hodotě Populace (základí oubo): všch pacující občaé ČR jejch platy H :. H A :. (zadáí poblému eobahuje jedotaou eovot) Výběový oubo: Na půměý plat zjštěý z výběového oubou emáme zvláští požadavky. Podpoa ODS je vyšší ež podpoa ČSSD (ltopad 6) Hypotéza: paametcká, ováí elatvích četotí dvou populací Populace : všch volč v ČR elatví četot volčů ODS Populace : všch volč v ČR elatví četot volčů ČSSD H : ODS ( ČSSD ) H A : ODS ( ČSSD ) (zadáí poblému obahuje eovot v tomto tvau) Výběový oubo: Pocetuálí zatoupeí volčů ODS ve výběu by mělo být větší ež pocetuálí zatoupeí volčů ČSSD ve výběu. Pokud tomu tak eí, měl bychom použít oboutaou alteatví hypotézu. 3. Mzdy ve tojíetví jou žší ež mzdy v bakovctví Hypotéza: paametcká, ováí tředích hodot dvou populací Populace : všch zamětac ve tojíetví jejch platy Populace : všch zamětac v bakovctví jejch platy H : ( ) tojíetví bakovct ví - 7 -
Skutečot H A : tojíe tví bakovct ví ( ) (zadáí poblému obahuje eovot v tomto tvau) Výběový oubo: Půměý plat zjštěý z výběu zamětaců ve tojíetví by měl být meší ež půměý plat zjštěý z výběu zamětaců v bakovctví. Pokud tomu tak eí, měl bychom použít oboutaou alteatví hypotézu. 4. a) Použtí bezpečotích páů ovlvňuje úmtot př dopavích ehodách b) Použtí bezpečotích páů žuje úmtot př dopavích ehodách Hypotéza: paametcká, ováí elatvích četotí dvou populací Populace : účatíc dopavích ehod edící a mítech, a chž je možo používat bezpečotí páy t, kteří byl přpoutá úmtot (v pocetech) Populace : účatíc dopavích ehod edící a mítech, a chž je možo používat bezpečotí páy t, kteří ebyl přpoutá úmtot (v pocetech) H : ada) H A : (zadáí poblému eobahuje eovot) adb) H A : (zadáí poblému obahuje eovot v tomto tvau) Výběový oubo: Úmtot těch co používají bezpečotí páy by měla být meší ež úmtot těch, co bezpečotí páy epoužívají (ve výběu z účatíku dopavích ehod). Pokud tomu tak eí, měl bychom použít oboutaou alteatví hypotézu. 5. Doažeé vzděláí záví a doažeém vzděláí otce Hypotéza: epaametcká, tetováí závlot poměých Kategoálí poměá : všch žjící ldé ukočeým vzděláím jejch doažeé vzděláí Kategoálí poměá : všch žjící ldé ukočeým vzděláím doažeé vzděláí jejch otců H : Doažeé vzděláí ezáví a doažeém vzděláí otce ( závlot je ulová ) H A : Doažeé vzděláí záví a doažeém vzděláí otce Výklad:.3 Chyba I. a II. duhu Jelkoţ př ozhodováí o ulové hypotéze vycházíme z výběového oubou, kteý emuí dotatečě přeě odpovídat vlatotem základího oubou, můţeme e př ozhodováí doputt chyby. Př ozhodováí mohou atat tuace, kteé popuje áledující tabulka: Výledek tetu Platí H Platí H A Nezamítáme H Zamítáme H Spávé ozhodutí Chyba I. duhu Pavděpodobot ozhodutí: Pavděpodobot ozhodutí: (polehlvot) (hlada výzamot) Chyba II. duhu Spávé ozhodutí Pavděpodobot ozhodutí: Pavděpodobot ozhodutí: (íla tetu) - 7 -
Jetlţe ulová hypotéza je ve kutečot platá a my j přeto zamíteme, dopouštíme e chyby I. duhu. Pavděpodobot, ţe k takovému pochybeí dojde azýváme hlada výzamot a ozačujeme j α. Platí-l ulová hypotéza a my jme j ezamítl, ozhodl jme pávě. Pavděpodobot tohoto ozhodutí ozačujeme (-α) a azýváme j polehlvot. Spávým ozhodutím je ověţ zamítutí ulové hypotézy v případě, ţe je platá hypotéza alteatví. Tohoto ozhodutí e dopouštíme pavděpodobotí (-β), coţ bývá ozačováo jako íla tetu. Chybou II. duhu je ezamítutí ulové hypotézy v případě, ţe je platá hypotéza alteatví. Pavděpodobot této chyby je β. Př tetováí hypotéz e amozřejmě aţíme mmalzovat obě chyby, tj. doáhout vyoké íly tetu (ízkého β) př co ejţší hladě výzamot α. To však eí moţé, eboť íţeím β e zvýší hlada výzamot α a aopak. (Můţeme obě chyby předtavt jako a houpačce.) Poto je třeba ajít kompom mez poţadavky a α a β. Ve tattce e volí jako ozhodující vtupí paamet tetu pavděpodobot chyby I. duhu hlada výzamot α. V techckých oblatech volíme obvykle 5%-í ebo %-í hladu výzamot, pouze ve pecálích případech (lékařké účely) poţadavek a pavděpodobot chyby I. duhu ještě zvyšujeme (volíme ještě ţší α). Chybu II. duhu ţujeme volbou vhodého tetu (pokud máme moţot výběu) popřípadě zvětšeím ozahu výběového oubou (coţ je jedý způob jak íţt β, aţ bychom tím zvýšl α)..4 Opeatví chaaktetka Pavděpodobot chyby II. duhu (β, tj. pavděpodobot, ţe ezamíteme ulovou hypotézu, přetoţe je alteatví hypotéza pavdvá) záví a přeé hodotě alteatví hypotézy. Dokáţeme tedy učt β po případ, ţe alteatví hypotéza je přeě pecfkovaá. (apř. tetujeme-l hypotézu, ţe půměý plat v ČR je.,- Kč, umíme učt β po případ, ţe alteatva je defováa ve fomě: půměý plat v ČR je.35,- Kč, apod.) V ţeýkých aplkacích e mohdy etkáváme tzv. opeatví chaaktetkou, coţ je závlot pavděpodobot chyby II. duhu a přeé pecfkac alteatví hypotézy. Schématcké zázoěí opeatví chaaktetky přáší áledující obázek: Z obázku je zřejmé, ţe vzdaluje-l e alteatva od ulové hypotézy, pavděpodobot chyby II. duhu (β) kleá. - 73 -
Míto opeatví chaaktetky e mohdy zázoňuje křvka íly tetu, tj. závlot íly tetu (-β) a přeé pecfkac alteatví hypotézy (zkáceě e mohdy ozačuje pouze jako íla tetu (powe cuve). Původce tudem: V tomto původc e pokuíme o odpověd a čato pokládaé otázky. Poč epoužíváme pojem přjímáme ulovou hypotézu Tetováí hypotéz e může povádět ůzým způoby. Př každém z ch může být tetováa hypotéza zamítuta. Nezamíteme-l j, zameá to, že pováděým tetem jme j emohl zamítout, kolv to, že je pává. Je možé, že ějakým tetem e j zamítout podaří. Pokud používáme tále přeější tety a tále docházíme ke tejému závěu o ezamítutí ulové hypotézy, můžeme jedat tak, jako by ulová hypotéza byla pává. Nkdy to však evíme jtě. Je ouvlot mez tetováím paametckých hypotéz a tevalovým odhady? Ao, pokume e tuto ouvlot objat: Spolehlvot tetu (-α), tj. pavděpodobot, že ezamíteme ulovou hypotézu v případě, že je kutečě platá ozačuje ověž pavděpodobot, že paamet populace leží v přílušém tevalu polehlvot. Je tedy zřejmé, že pokud tetovaá hodota paametu leží uvtř (-α) tevalu polehlvot, můžeme přílušou ulovou hypotézu ezamítout a hladě výzamot α. Iteval polehlvot lze považovat za možu všech možých (ezamítutelých) hypotéz. Příklad: Vzpomíáte a řešeý příklad o kvaltě dket Sok a 5M? Zjtl jme v ěm, že ozdíl mez pocetem vadých dket Sok a 5M leží v tevalu (-,%;,4%) 95%-í polehlvot. Chtěl-l bychom tetovat, zda dkety Sok jou kvaltější ež dkety 5M, mohl bychom ( využtím tevalového odhadu) potupovat takto:. Staovíme ulovou a alteatví hypotézu: H : Sok 5M Sok 5M H A : Sok 5M Sok 5M. Učíme 95%-í teval polehlvot po P, % 5,4 %, 95 Sok M Sok 5M 3. Učíme, zda tetovaá hodota paametu (v ašem případě tetovaá hodota ozdílu paametů ) leží v přílušém tevalu polehlvot., %;,4 % - 74 -
4. Závě: S 95%-í polehlvot můžeme tvdt, že kvalta dket Sok a 5M je tejá (ezamítáme ulovou hypotézu). Poč je chyba I. duhu výzamější ež chyba II. duhu? V áledujícím tetu budeme přovávat tetováí hypotéz k pcpu peumpce evy. V USA je v oudí pa př poceech vahy pavdlem, že poota ozhoduje o vě obžalovaého. Jde v podtatě o ozhodutí mez ulovou hypotézou (eve) a alteatví hypotézou (ve). Chybou I. duhu by bylo uzáí obžalovaého vým, přetože by byl eve došlo by k jutčímu omylu, byl by odouze evý člověk. Chybou II. duhu by pak bylo ovobozeí kutečého vaha. Poota e př vém vedktu muí řídt pcpem peumpce evy va muí být pokázáa ade vší pochybot, tz. mmalzuje chybu I. duhu. Stejě přtupuje k tetováí hypotéz tattka. Výklad:.5 Pcp tetováí hypotéz Pcp tetováí hypotéz e dá přovat k pcpu peumpce evy v oudctví [Fedch: Stattka, ZČU, Plzeň]. Pokud výběový oubo (X) eukáţe a (tattcky výzamý) ozpo ulovou hypotézou, pak emíme ulovou hypotézu zamítout podobě jako pcp peumpce evy poţaduje, abychom a obţalovaého pohlíţel jako a evého do té doby, dokud epředloţíme převědčvé důkazy o jeho vě. Stattcky tet pak můţeme přovat k oudc. Základí oubo (populace) Hypotéza o populac Výběový oubo Jou data koztetí hypotézou o populac? Stattcký tet ozhode, zda data z výběového oubou (X) odpovídají ulové hypotéze. Převedeo do jazyku oudctví: Soudce ozhode, zda vědc podal výpověď ve popěch obhajoby. Př tetováí hypotéz e běţě můţeme etkat e dvěma přítupy klackým tetem a čtým tetem výzamot. My e ezámíme obecě oběma potupy a v dalším tetu e pak zaměříme a čtý tet výzamot. - 75 -
.5. Klacký tet Klacký tet e kládá z ěkolka koků:. Fomulace ulové a alteatví hypotézy. Volba tetové tattky (tetového ktéa) T(X) jde o fukc výběu, kteá vyjadřuje ílu platot ulové hypotézy ve ováí hypotézou alteatví. Po další kok tetu muíme zát ověţ ozděleí tetové tattky př platot H (ulové ozděleí) F () - F ) P( T( X ) ) ( H 3. Setojeí ktckého obou a obou přjetí jde o ozděleí potou všech moţých hodot tetové tattky (S) a dva podpotoy: obo přjetí (A) obahující hodoty tetové tattky vědčící po přjetí ulové hypotézy a ktcký obo (C) obahující hodoty vědčící po zamítutí ulové hypotézy. Je zřejmé, ţe A C S; AC Ø. Hace mez ktckým oboem a oboem přjetí e azývá ktcká hodota tetu. Kotukce ktckého obou: Ktcký obo bude tak velký, aby pavděpodobot, ţe tetová tattka leţí v ktckém obou za předpokladu platot ulové hypotézy, byla ova hladě výzamot α. P T X C H Jým lovy: Pavděpodobot, ţe hodota tetové tattky bude leţet v oblat vědčící po zamítutí ulové hypotézy, přetoţe je ulová hypotéza platá, má být ova předem zvoleé hodotě α. Jazykem oudctví: Svědc (výbě) podají falešé vědectví v epopěch obhajoby (ulové hypotézy) pavděpodobotí α (tady e pojevuje ozpo mez pcpem tetováí hypotéz a pcpem peumpce evy oudce emůţe α taovt a a jej po kokétí případ ezá). Záme-l ulové ozděleí tetové tattky T(X), eí obtíţé po daé α taovt ktcký obo: a) Je-l alteatví hypotéza ve tvau < (ve popěch alteatvy vědčí ízké hodoty tetové tattky), pak je ktcký obo vymeze jako: C T α b) Je-l alteatví hypotéza ve tvau > (ve popěch alteatvy vědčí vyoké hodoty tetové tattky), pak je ktcký obo vymeze jako: C T -α c) Je-l alteatví hypotéza ve tvau (ve popěch alteatvy vědčí etémě ízké ebo etémě vyoké hodoty tetové tattky), pak je ktcký obo vymeze jako: C T C T - 76 -
4. Výpočet pozoovaé hodoty tetové tattky T(X) - OBS Předcházející koky jme mohl podkout v ámc přípavy tetu, yí jţ muíme mít k dpozc výběový oubo a pomocí ěj učt kokétí hodotu tetové tattky T(X) ( OBS ). Př tomto výpočtu předpokládáme platot ulové hypotézy. 5. Fomulace závěu tetu kaţdý tet vede ke dvěma moţým výledkům: a) Leţí-l tetová tattka v ktckém obou ( OBS C ), pak zamítáme ulovou hypotézu ve popěch alteatví hypotézy b) Leţí-l tetová tattka v obou přjetí (tz. eleţí v ktckém obou - OBS C ), pak ulovou hypotézu ezamítáme..5. Čtý tet výzamot Čtý tet výzamot zodpovídá otázku, zda zíkaý áhodý výbě X je č eí etémí ohledem a ějakou tetovaou hypotézu o populac (zda zjštěé údaje podpoují ulovou hypotézu). Opot klackému tetu epotřebuje čtý tet výzamot zát hladu výzamot jako vtupí údaj. Jeho výledek ám umoţňuje ozhodout a jakých hladách výzamot můţeme ulovou hypotézu zamítout (ep. ezamítout). Čtý tet výzamot e kládá z áledujících koků (pví dva koky e hodují klackým tetem):. Fomulace ulové a alteatví hypotézy. Volba tetové tattky (tetového ktéa) T(X) jde o fukc výběu, kteá vyjadřuje ílu platot ulové hypotézy ve ováí hypotézou alteatví. Po další kok tetu muíme zát ověţ ozděleí tetové tattky př platot H (ulové ozděleí) F () - F ) P( T( X ) ) ( H 3. Výpočet pozoovaé hodoty tetové tattky OBS a výpočet tattky p-value (p-hodota) Výpočet pozoovaé hodoty tetové tattky t je tejý jako v případě klackého tetu. Je zřejmé, ţe čím ţší hladu výzamot α (čím vyšší polehlvot) zvolíme, tím šší obo přjetí dotaeme a opačě - čím vyšší hladu výzamot α (čím ţší polehlvot) zvolíme, tím uţší obo přjetí dotaeme. Př učté hladě výzamot tedy ktcká hodota (hace mez oboem přjetí a ktckým oboem) plye hodotou tetového tattky. Tato hodota hlady výzamot e azývá p-value. P-value je tedy ejţší hlada výzamot a íţ můţeme ulovou hypotézu zamítout a záoveň ejvyšší hlady výzamot a íţ e jţ ulová hypotéza ezamítá. Pozoovaou hodotu tattky p-value vypočteme podle jedé ze tří moţých defc v závlot a tvau alteatví hypotézy (je uté aby alteatví hypotéza koepodovala výběovým ouboem). - 77 -
. H A ve tvau < : p value F ( ) OBS Tuto defc pouţjeme v případech, kdy pozoovaá data vědčí o tom, ţe tetová tattka by mohla abývat meších hodot eţl jou hodoty odpovídající ulovému ozděleí. P-value je pak pavděpodobot, ţe tetovaý paamet populace bude aejvýš tak velký jako kutečě zjštěý přílušý paamet výběu, bude-l H pavdvá.. H A ve tvau > : p value F ( ) OBS Tuto defc pouţjeme v případech, kdy pozoovaá data vědčí o tom, ţe tetová tattka by mohla abývat vyšších hodot eţl jou hodoty odpovídající ulovému ozděleí. P-value je pak pavděpodobot, ţe tetovaý paamet populace bude alepoň tak velký jako kutečě zjštěý přílušý paamet výběu, bude-l H pavdvá. 3. H A ve tvau : p value m F ( );- F ( ) OBS OBS Tuto defc pouţjeme v případech, kdy pozoovaá data vědčí o tom, ţe tetová tattka by mohla abývat buď větších ebo meších hodot eţl jou hodoty odpovídající ulovému ozděleí. Tuto defc však můžeme používat pouze v případech, kdy ulové ozděleí je ymetcké (tz. elze pouţít apř. př tetováí ozptylu). P-value je pak dvojáobá vzhledem k jedotaým tetům. Náledující obázek zázoňuje p-value po tuto defc pomocí plochy pod křvkou hutoty ulového ozděleí. Na základě zámé geometcké tepetace dtbučí fukce je zřejmé, ţe po pví defc by e dalo p-value lutovat jako levá vyšafovaá plocha v tomto obázku a po duhou defc lze p-value chematcky zázot jako pavou vyšafovaou plochu. 4. Rozhodutí a základě p-value P-value ám říká jaká je mmálí hlada výzamot a íž bychom př daém výběovém oubou mohl ulovou hypotézu zamítout. (apř. Je-l p-value =,6 pak to zameá, ţe ulovou hypotézu můţeme zamítout a hladách výzamot,6 a vyšších, jak řečeo: ulovou hypotézu můţeme zamítout e polehlvotí - 78 -
ejvýše,994. Zvolíme-l polehlvot tetu vyšší eţ,994, p-value evědčí po zamítutí ulové hypotézy.) Je zřejmé, ţe čím meší je p-value, tím lější je výpověď áhodého výběu pot ulové hypotéze. Ale jak malé muí být p-value, aby empcká výpověď byla dotatečě lá k zamítutí ulové hypotézy? Výledek tetu obecě záví a zvoleé hladě výzamot α: Rozhodutí: p value Zamítáme H ve popěch H A p value Nezamítáme H Obecě ozhodujeme o zamítutí ulové hypotézy a základě áledujícího chématu, kteé je zaloţeo a ejběţěj pouţívaých hladách výzamot (, a,5). p value, Zamítáme H, p value,5 Nedokáţeme ozhodout a většou dopoučujeme opakovat tet větším ozahem výběu (to vede ke zpřeěí) p value,5 Nezamítáme H Neozhodá Zamítáme H oblat Nezamítáme H,,5 p-value V áledujících tetech budeme pouţívat výhadě čtý tet výzamot..6 Tet hypotézy o tředí hodotě Teto typ tetu můţeme pouţít v případě, ţe populace má omálí ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : ) ) 3) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme tř moţot. Volba vhodé alteatvy je př čtém tetu výzamot dáa hodotou přílušé výběové tattky, tj. půměu. Je-l - 79 -
půmě jedozačě ţší eţ tetováa hodota μ, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l půmě jedozačě vyšší eţ tetováa hodota μ, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybujel e půmě v blízkot μ, volíme alteatvu ve tvau 3). ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme č ezáme měodatou odchylku σ. (Sovejte potupem př učováí tevalového odhadu po tředí hodotu.) Záoveň učíme přílušé ulové ozděleí. X Záme σ: TX Z N; T X T X t Nezáme σ: Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot. Řešeý příklad: Byly aměřey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) po vybaých účatíků telgečího tetu (účatíky byl tudet poledího očíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Předpokládejme, ţe áhodý výbě pochází z omálího ozděleí e měodatou odchylkou σ = 5. Ověřte čtým tetem výzamot hypotézu, ţe tředí hodota IQ tudetů závěečého očíku ZŠ je ova. Řešeí: Chceme tetovat tředí hodotu přčemţ záme měodatou odchylku. Předpoklad omalty základího oubou byl plě, můţeme tedy přtoupt k tetu: Vtupí data: 5 65 98 94 Výbě: X 9, 7 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : H A : (potoţe výbě ukazuje a to, ţe tředí hodota by mohla být ţší eţ (9,7 < )) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: - 8 -
T X X Z N; Výpočet hodoty tetové tattky OBS : OBS Z H X 9,7,54 5 Výpočet p-value: H A : p value F ( ) OBS p value,54,54,938, 6 (tz. ulovou hypotézu můţeme zamítou a hladě výzamot,6 a ţších) Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteatvu, tj. elze tvdt, ţe IQ tudetů závěečého očíku ZŠ je ţší eţ. Řešeý příklad: Výobce gaatuje, ţe jím vyobeé ţáovky mají ţvotot v půměu. hod. Aby útva kotoly zjtl, zda tomuto kotatováí odpovídá v daém období vyobeá a epedovaá čát podukce, vybal z přpaveé dodávky áhodě 5 ţáovek a došel k závěu, ţe půměá doba ţvotot je 5 hod a měodatá odchylka doby ţvotot pak hod. Ověřte čtým tetem výzamot, zda edošlo ke zlepšeí kvalty ţáovek. Řešeí: Měřítkem kvalty ţáovek je jejch tředí ţvotot. Chceme tedy tetovat tředí hodotu přčemţ měodatou odchylku ezáme. Předpokládejme, ţe ţvotot ţáovek podléhá omálímu ozděleí. Vtupí data: Výbě: X 5 hod hod 5 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : (ovováţý tav, tředí ţvotot e ezměla) H A : (výbě ukazuje a to, ţe tředí ţvotot by mohla být vyšší eţ (5 > )) - 8 -
Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X X T t Výpočet hodoty tetové tattky OBS : OBS X 5 T 5 3,54 H Výpočet p-value: H A : p value F ( ) Rozhodutí: p value, OBS p value F(3,54) F (3,54),9995 vz.tabulka (Studetovo ozděleí, 49 tupňů volot) p value,5 Zamítáme ulovou hypotézu ve popěch alteatví, tj. lze tvdt, ţe kvalta ţáovek e zlepšla. Původce tudem: Po zájemce o ováí klackého tetu a čtého tetu výzamot uvádíme řešeí jedoho z výše uvedeých příkladů pomocí klackého tetu: Byly aměřey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) po vybaých účatíků telgečího tetu (účatíky byl tudet poledího očíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Předpokládejme, ţe áhodý výbě pochází z omálího ozděleí e měodatou odchylkou σ = 5. Ověřte čtým tetem výzamot hypotézu, ţe tředí hodota IQ tudetů závěečého očíku ZŠ je ova. Řešeí: Chceme tetovat tředí hodotu přčemţ záme měodatou odchylku. Předpoklad omalty základího oubou byl plě, můţeme tedy přtoupt k tetu: Vtupí data: 5-8 -
65 98 94 Výbě: X 9, 7 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : H A : (potoţe výbě ukazuje a to, ţe tředí hodota by mohla být ţší eţ (9,7 < )) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X X Z N; Výpočet hodoty tetové tattky OBS : OBS Z H X 9,7,54 5 Aţ do této chvíle e potupy obou typů tetu elší. V klackém tetu však míto p-value učujeme ktcký obo. Staoveí ktckého obou C: H A : C T α Tz. v tuto chvíl e muíme ozhodou a jaké hladě výzamot ( jakou polehlvot) budeme tet povádět. Po hladu výzamot 5%: Rozhodutí: C T,5 C z,5 C z,5 C -z,95 C -,645 (vz. Tabulka ) OBS C,54 -,645 OBS eleţí v ktckém obou, tz. ţe leţí v obou přjetí ( OBS A ) Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteatvu, tj. elze tvdt, ţe IQ tudetů závěečého očíku ZŠ je ţší eţ. - 83 -
Řešeý příklad: Učtý duh lle doůtá půměé výšky 85 cm e měodatou odchylkou cm. Skupa těchto llí byla pětováa za ových, přízvějších podmíek, aby e zjtlo, zda e výška zvýší. a) Učete mezí hodotu půměé výšky tohoto vzoku, za íţ bude moţo ulovou hypotézu zamítout a 5%-í hladě výzamot. b) Bude-l kutečá půměá výška těchto otl 88cm, jak ozhodeme o ulové hypotéze? c) Načtěte opeatví chaaktetku. Řešeí: Ze zadáí úlohy uuzujeme, ţe máme ozhodovat o tředí hodotě výšky otly, přčemţ záme měodatou odchylku populace. ada) V této čát úlohy máme zadáu ktckou hodotu chyby I. duhu, tj. p-value a máme učt přílušý ktcký půmě. Abychom věděl, jakým způobem učujeme p-value (máme a výbě ze tří moţotí), muíme ejdříve taovt ulovou a alteatví hypotézu. H : 85 H A : 85 p - value - F(OBS) Volba tetové tattky a ulového ozděleí: T X X Z N; Výpočet: p OBS,5,95,645 X X kt 85 ZH X kt 85 value - F( ) - OBS kt X X X kt kt 86,645 kt 85 85 85 Tz. překočí-l půměá výška otl 86,6 cm, můţeme ulovou hypotézu a 5%- í (a vyšší) hladě výzamot zamítout. - 84 -
adb) O této otázce můţeme ozhodout buď a základě výledku z bodu a) 88 cm je více eţ 86,6 cm a poto po teto půmě můţeme ulovou hypotézu a 5%-í (a vyšší) hladě výzamot zamítout ebo můţeme klackým způobem povét čtý tet výzamot: Volba ulové a alteatví hypotézy: H : 85 H A : 85 Volba tetové tattky a ulového ozděleí: T X X Z N; Výpočet pozoovaé hodoty: OBS Z H 88 85 3, Výpočet p-value: H A : 85 p - value - (3,),3 Rozhodutí: p - value, Zamítáme ulovou hypotézu ve popěch alteatvy, tj. můţeme tvdt, ţe lepší podmíky př pětováí tohoto duhu llí vedly k vyšší výšce otl. adc) Opeatví chaaktetka je závlot β a kokétích hodotách alteatvy (př pevě zvoleé hodotě α). Staovíme poto hodoty pavděpodobot chyby II. duhu (β) a ěkolka ůzých hodotách alteatvy (apř. 85,5; 86; 87; 88 cm). Zvolíme-l α ovo 5%, pak k ezamítutí ulové hypotézy dojde tehdy, epřekočí-l půmě hodotu 86,6 cm (vz. úloha a) pokud bychom teto výledek eměl k dpozc, muel bychom ktckou hodotu půměu učt). P X 86, 645 H A H : 85 : ) 85,5 H A ) 3) 4) 87, 86, 88, - 85 -
Volba tetové tattky: Z X N ; 86,645-85,5 A 86,6-86, P X 86,6 H A PZ P Z,6,6, 86,6-87, P X 86,6 H A PZ P Z,4,4, 86,6-88, P X 86,6 H A PZ P Z,4,4, ad.) PX 86,6 H P Z PZ,5,5, 875 ad.) 76 ad3.) 345 ad4.) 8 Opeatví chaaktetka β,9,8,7,6,5,4,3,, 84,5 85 85,5 86 86,5 87 87,5 88 88,5 μ Výklad:.7 Tet hypotézy o ozptylu Také teto typ tetu můţeme pouţít pouze v případě, ţe populace má omálí ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : ) ) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme dvě moţot. Oboutaou alteatvu emůţeme př čtém tetu výzamot volt, eboť ozděleí pouţívaé tetové tattky (chí-kvadát) eí ymetcké, coţ zemoţňuje výpočet přílušého p-value. Volba vhodé - 86 -
alteatvy záví tetokát a hodotě výběového ozptylu ( ) Je-l výběový ozptyl ţší eţ tetováa hodota ( ), volíme alteatvu ve tvau ). Je-l výběový ozptyl vyšší eţ tetováa hodota ( ), volíme alteatvu ve tvau ). ad.) Volba tetové tattky T X Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot..8 Tet hypotézy o měodaté odchylce Chceme-l tetovat měodatou odchylku, převedeme daý poblém a tet ozptylu. Řešeý příklad: Př aalýze dfeecace mezd ve velkém podku bylo zjštěo, ţe půměá měíčí mzda čla 9.386,-Kč a měodatá odchylka mezd.56,- Kč. Po ozáhlých ogazačích změách bylo uté ychle pooudt, zda došlo ke změám v dfeecac mezd. Náhodě bylo vybáo 3 pacovíků a byla zjštěa měodatá odchylka mezd.78,-kč. Je moţé tvdt, ţe ogazačí změy pohloubly dfeecac mezd? Řešeí: Měřítkem dfeecace (ozloţeí) mezd je jejch měodatá odchylka (ep. ozptyl). Chceme tedy tetovat měodatou odchylku. Předpokládejme omálí ozděleí mezd v podku. Vtupí data: Výbě: 78 Kč 3 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : 56 (ovováţý tav, v ašem případě počátečí tav) H A : 56 (výbě ukazuje a to, ţe měodatá odchylka by mohla být vyšší eţ 56 (78 > 56)) Převedeí poblému a tet ozptylu: H : H A : 56 56-87 -
Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X Výpočet hodoty tetové tattky OBS : OBS H 9 78 56 34,7 Výpočet p-value: H A : 56 p value F ( OBS ) p value F(34,7),75 F (34,7),9 vz.tabulka 3, p value,5 Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdt, ţe dfeecace mezd e ezvýšla. Výklad:.9 Tet hypotézy o elatví četot Také teto typ tetu můţeme pouţít pouze v případě, ţe populace má omálí ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : ) H A : ) 3) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme opět tř moţot. Volba vhodé alteatvy je v tomto případě dáa hodotou výběové elatví četot p. Je-l p jedozačě ţší eţ tetováa hodota π, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l p jedozačě vyšší eţ tetováa hodota π, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybuje-l e p v blízkot π, volíme alteatvu ve tvau 3). - 88 -
ad.) Volba tetové tattky T p X P ; N ( ) Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot. Řešeý příklad: Př volbách do polaecké ěmovy v čevu 6 doáhla ČSSD podpoy 3%. Agetua STAT udává, ţe př půzkumu v poc 6 (6 epodetů) zjtl pouze 5% podpou této tay. Lze z těchto výledků uuzovat a kleající podpou ČSSD? Ověřte čtým tetem výzamot. Řešeí: Chceme tetovat elatví četot. Předpokládejme, ţe elatví četot podléhá omálímu ozděleí. Vtupí data: Výbě: p 5%,5 6 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H :, 3 (ovováţý tav, podpoa ČSSD e ezměla) H A :,3 (výbě ukazuje a to, ţe podpoa ČSSD by mohla být ţší eţ 3% (,3 <,5)) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T p X P ; N ( ) Výpočet hodoty tetové tattky OBS : OBS p,5,3 P 6 4,4 H ( ),3,3 Výpočet p-value: H A :,3 p value F ( ) OBS p value p value 4,4 4,4-89 -
Rozhodutí: p value, Zamítáme ulovou hypotézu, tz. lze tvdt, ţe pokle podpoy ČSSD je tattcky výzamý. Výklad:. Tet hypotézy o medáu V ámc tohoto kuzu e ezámíte dvěm epaametckým tety o medáu (u těchto tetů eí uté dělat ţádé předpoklady o ozděleí základího oubou)... Zamékový tet po medá Zamékový tet pouţíváme zejméa v případech, kdy populace, z íţ byl výbě povede má výazě zeškmeé ozděleí. Jelkoţ teto tet má malou ílu (pavděpodobot chyby II. duhu je velká ve ováí jým tety), je vhodé mít k dpozc výbě o větším ozahu. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H :,5,5 H A : ),5,5 ),5,5 3),5,5 Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme opět tř moţot. Volba vhodé alteatvy je v tomto případě dáa hodotou výběového medáu ~. Je-l ~ jedozačě ţší eţ tetováa hodota, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l ~ jedozačě vyšší eţ tetováa hodota,5 volíme alteatvu ve tvau 3). ad.) Volba tetové tattky Pokud medá je,5, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybuje-l e ~ v blízkot,5, potom pavděpodobot ţe ějaká pozoovaá hodota překočí,5, je ova,5. Poto také počet pozoováí v áhodém výběu o ozahu, kteé překočí hypotetcký medá, bude mít ozděleí bomcké paamety a,5. Za tetovou tattku volíme tedy v tomto případě: T X Y B;,5,,5-9 -
Y počet pozoováí v áhodém výběu o ozahu, kteé překočí Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot.,5.. Wlcoův tet po medá ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy Volba ulové a alteatví hypotézy podléhá tejým pavdlům jako u zamékového tetu. ad.) Volba tetové tattky Wlcoův tet po tetováí hypotézy o medáu je zaloţe a Wlcooově tattce, kteá eí závlá a odlehlých pozoováích: T X W N; kde y,5, aky (=pořadí (y ), ejţší hodotě y je přřazea hodota, ejvyšší hodotě y je přřazea hodota, pokud oubo obahuje ěkolk tejých hodot, je těmto hodotám přřazeo tzv. půměé pořadí), g,5 ( je doplěo zamékem + ebo podle toho, zda původí pozoováí je větší ebo meší eţl hypotetcký medá ),, Dále jţ opět potupujeme zámým způobem.,5, Řešeý příklad: Byly aměřey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) po vybaých účatíků telgečího tetu (účatíky byl tudet poledího očíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Ověřte čtým tetem výzamot hypotézu, ţe medá IQ tudetů závěečého očíku ZŠ je ove. - 9 -
Řešeí: Ukáţeme řešeí pomocí obou výše zmíěých tetů hypotéz o medáu. Pví kok, tj. taoveí ulové a alteatví hypotézy, je v obou případech tejý. Vtupí data: Výbě: ~ 94 98 96 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H :,5,5 H A : (výbě ukazuje a to, ţe medá IQ by mohl být ţší eţ ) Zamékový tet Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X Y B;,5, Y počet pozoováí v áhodém výběu o ozahu, kteé překočí Výpočet hodoty tetové tattky OBS : 65 98 3 77 93 3 8 94 Y 4 H (ve výběu jou 4 hodoty vyšší eţ ) OBS Výpočet p-value: H A : p value F ( ),5 Rozhodutí: p value,5 Y B(;,5) p value F OBS p value,7,5 3 ( 4) P( Y 4) 5 k k Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdt, ţe IQ tudetů má medá. k k,5, - 9 -
Wlcoův tet Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: Výpočet hodoty tetové tattky OBS : T X W N; Vtupí data potupě tafomujeme a poměou * a z í vypočteme hodotu tetové tattky :,5, IQ Seřazeé hodoty IQ y,5 ak g,5 y 93 65 35-94 77 3 9-9 77 8 8-8 8 93 7 6-6 3 94 6 5-5 3 98-98 65 3 3 4 4 3 3 7 7 Nejţší hodota y je. e vykytuje a.,. a 3. pořadí, poto bude všem těmto 3 hodotám y přřazeo pořadí ( ). 3 g 65 g Např.:,5, 9 6, OBS W H,5,3 6, H Výpočet p-value: H A : p value F ( ),5 OBS p value (,3) (,3),97,93-93 -
Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdt, ţe IQ tudetů má medá. Výklad: Náledující kupa tetů patří mez tety o hodě úově ve dvou ouboech. Výbě tetů bude závet eje a ovávaém paametu, ale také a tom, zda výběy z jedotlvých ouboů jou závlé č ezávlé. Jako ezávlé povaţujeme takové výběy, kdy přílušé dvojce ejou fyzcky pjaty, tj. etýkají e tejých pvků (tlak kve u muţů a u ţe ). Jako závlé ozačujeme aopak ty výběy, kdy přílušé dvojce jou fyzcky pjaty, tj. týkají e tejých pvků pozoovaých za ůzých podmíek (tlak kve u kupy oob před zátěţí a po zátěţí ). Tety o hodě úově ve dvou ouboech po závlé výběy e azývají páové tety. (Tetováí vlvu ějakého epemetálího faktou ebo ováváí vlvu dvou ůzých faktoů a jedom měřeém empckém objektu).. Tet hypotézy o hodě dvou tředích hodot Jde o jede z ejpouţívaějších tetů, kteý a základě poováí dvou ezávlých výběů umoţňuje poovat dvě populace. Nezávlot výběů bývá v pa zaučea tím, ţe kaţdý výbě obahuje jé pvky. Také teto tet patří mez paametcké, tj. je zaloţe a předpokladu, ţe máme výběy z omálího ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : ) ) 3) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme opět tř moţot. Volba vhodé alteatvy je v tomto případě dáa vztahem mez půměy jedotlvých výběů. Je-l jedozačě ţší eţ, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l jedozačě vyšší eţ, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybuje-l e v blízkot, volíme alteatvu ve tvau 3). - 94 -
ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme č ezáme měodaté odchylky σ a σ. (Sovejte potupem př učováí tevalového odhadu po ozdíl tředích hodot.) Záoveň učíme přílušé ulové ozděleí. Záme σ, σ : X X T X Z N Nezáme σ, σ : X X T X T ; p t, kde p Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot. Řešeý příklad: Tabáková fma TAB pohlašuje, ţe jejch cgaety mají ţší obah kotu eţ cgaety NIK. Po ověřeí tohoto pohlášeí bylo áhodě vybáo z podukce TAB kabček cgaet (po -t kuech) a v ch bylo zjštěo (4,6 3,7) mg kotu (v jedé cgaetě). Ve 5-t kabčkách cgaet NIK (po -t kuech) bylo zjštěo (48,9 4,3) mg kotu a cgaetu. Ověřte tvzeí fmy TAB čtým tetem výzamot. Řešeí: Chceme poovávat tředí obah kotu v cgaetách TAB a NIK, měodatou odchylku obahu kotu v cgaetách ezáme. Volíme tedy tet po poováí tředích hodot dvou populací (př ezámých σ) za předpokladu, ţe obah kotu v cgaetách podléhá omálímu ozděleí. Vtupí data: Výbě fma TAB: X 4, 6 mg 3, 7 mg. 4 Výbě fma NIK: X 48, 9 mg 4, 3 mg 5. 5-95 -
Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : H A : (ovováţý tav) (výběy ukazují a to, ţe obah kotu v cgaetách TAB je ţší eţ obah kotu v cgaetách NIK) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X X X T p t, kde p Výpočet hodoty tetové tattky OBS : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, ţe:, poto: p 399 3,7 499 4,3 4 5 4, OBS T H X X H 4,6 48,9 p 4, 4 5 3, Výpočet p-value: p value F ( ) H A : Rozhodutí: p value, OBS ( p value F 3,) p value,5 vz.tabulka (Studetovo ozděleí 898 (=4+5-) tup volot) Zamítáme ulovou hypotézu, tj. tvzeí fmy TAB lze povaţovat za pavdvé. - 96 -
Výklad:. Tet hypotézy o hodě dvou ozptylů Opět předpokládejme, ţe máme dva ezávlé výběy z omálího ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : ) ) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme tetokát pouze dvě moţot. Oboutaou alteatvu emůţeme v tomto případě pouţít, potoţe výpočet p-value po oboutaou alteatvu je podmíě tím, ţe ulové ozděleí tetové tattky je ymetcké. Potoţe tetová tattka pouţívaá po tet hody dvou ozptylů má Fche- Sedecoovo ozděleí, eí tato podmíka plěa. Volba vhodé alteatvy je dáa vztahem mez výběovým ozptyly jedotlvých výběů. Je-l jedozačě ţší eţ, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l jedozačě vyšší eţ, volíme alteatvu ve tvau ). ad.) Volba tetové tattky T X F Fm,, kde F má Fche-Sedecoovo ozděleí m tup volot po čtatele a tup volot po jmeovatele. Dále pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot..3 Tet hypotézy o hodě dvou elatvích četotí Také teto tet bývá čato vyuţívá. Opět je zde uté mít k dpozc dva ezávlé výběy z omálího ozděleí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : ) ) 3) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme opět tř moţot. Volba vhodé alteatvy je v tomto případě dáa vztahem mez výběovým elatvím četotm - 97 -
jedotlvých výběů. Je-l p jedozačě ţší eţ p, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l p jedozačě vyšší eţ p, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybuje-l e p v blízkot p, volíme alteatvu ve tvau 3). ad.) Volba tetové tattky T X P p p N p p ;, kde p Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot. Řešeý příklad: Byly tetováy magetofoy od dvou výobců SONIE a PHILL. SONIE pohlašuje, ţe jejch magetofoy mají ţší poceto eklamací. Po ověřeí tohoto pohlášeí bylo dotazováo ěkolk podejců magetofoů a bylo zjštěo, ţe ze 5 podaých magetofoů fmy SONIE bylo v půběhu záučí doby eklamováo 5 výobků a ze podaých magetofoů PHILL bylo v záučí době eklamováo 9 výobků. Otetujte pavdvot pohlášeí fmy SONIE čtým tetem výzamot. Řešeí: Chceme poovávat poceto (elatví četot) eklamovaých výobků u obou fem. Volíme tedy tet hypotézy a ozdílu mez podíly (elatvím četotm). Vtupí data: Výbě fma SONIE: 5 5 5 p 5 Výbě fma PHILL: 9 9 p Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : H A : (ovováţý tav),33,4-98 -
(výběy ukazují a to, ţe poceto eklamovaých výobků fmy SONIE je ţší eţ poceto eklamovaých výobků fmy PHILL) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X P p p N p p ;, kde p Výpočet hodoty tetové tattky OBS : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, ţe: p 5 9 4 5 37,38, poto: OBS P H p p p p H,33,4,38,38 5,4 Výpočet p-value: p value F ( ) H A : Rozhodutí: p value,5 OBS p value (,4),4 p value,345 vz.tabulka Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. tvzeí fmy SONIE eí opávěé. Výklad:.4 Tet hypotézy o hodě dvou medáů Maův Whteův tet Jde o další tet, kteý a základě poováí dvou ezávlých výběů umoţňuje poovat dvě populace. Teto tet patří k epaametckým emuíme tedy zát ozděleí populací. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H :,5,5,5, 5 H A :,5,5,5, 5 ) - 99 -
,5,5,5, 5,5,5,5, 5 ) 3) Volba ulové hypotézy je zřejmá, u alteatvy máme opět tř moţot. Volba vhodé alteatvy je v tomto případě dáa vztahem mez medáy jedotlvých výběů. Je-l ~ jedozačě ţší eţ ~, volíme alteatvu ve tvau ). Je-l ~ jedozačě vyšší eţ ~, volíme alteatvu ve tvau ). Pohybuje-l e ~ v blízkot ~, volíme alteatvu ve tvau 3). ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme č ezáme měodaté odchylky σ a σ. (Sovejte potupem př učováí tevalového odhadu po ozdíl tředích hodot.) Záoveň učíme přílušé ulové ozděleí. T X W N;, kde k ak k k, k (=pořadí ( ), ejţší hodotě (z obou výběových ouboů) je přřazea hodota, ejvyšší hodotě je přřazea hodota, pokud oubo obahuje ěkolk tejých hodot, je těmto hodotám přřazeo tzv. půměé pořadí), k k k (k=,) Dále pak pokačujeme podle obecého chématu čtého tetu výzamot. Řešeý příklad: Máme dvě kupy tudetů. Pví (kotolí), v íţ jou tudet vyučová tadčím metodam, a duhá, v íţ jou tudet vyučová epemetálím metodam. V áledujících tabulkách je uvedeo bodové hodoceí vybaých tudetů u zkoušky. Na základě ováí medáu ozhoděte, zda tudet vyučová epemetálím metodam doahují lepších výledků eţ tudet klackým vyučováím. - 3 -
Výbě z pví kupy (klacká výuka) 6 49 5 68 68 45 57 5 3 4 33 3 8 3 48 Výbě z duhé kupy (epemetálí výuka) 38 8 68 84 7 48 36 9 6 54 Řešeí: Volba ulové a alteatví hypotézy H :,5,5,5, 5 H A : ( ~ 48; ~ 5),5,5,5, 5 Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X W N; Výpočet hodoty tetové tattky OBS : 6 49 5 68 68 45 57 5 3 4 33 3 8 3 48 9 4 5,5 8 5,5 7 5,5 4 5,5,5 38 8 68 84 7 48 36 9 6 54 9 3 4 3,5 8 5 7, ; 4,4 ; 6,3 ; 8,9 4 6,3 9 8,9 5 7,4-3 -
OBS W H,-4,4 7,4 5,76 Výpočet p-value: H A : p F,5,5,5, 5 value.m F ( OBS ); F ( OBS ) OBS -,76,76,776, 4 F -,76,76, 776 OBS p value.,4,448 Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. ebyl potvze vlv typu výuky a výledky tudetů zkoušky. Výklad:.5 Páové výběové tety Zopakujme, ţe k páovým tetům přtupujeme v případech, kdy chceme ovat úoveň dvou závlých ouboů, tj. pokud tetujeme vlv ějakého epemetálího faktou ebo ováváme vlvy dvou ůzých faktoů a jedom měřeém empckém objektu. Předpokládejme měřeých jedotek (č objektů), a chţ jou povedea dvě pozoováí, daá ůzým epemetálím podmíkam (apř. půobí č epůobí ějaký fakto, jehoţ účky jou předmětem šetřeí). Příkladem můţe být tepová fekvece dce před a po ějakém cvčeí. Nechť X je počátečí pozoovaá hodota -tého měřeého objektu (tepová fekvece před cvčeím) a X áledující pozoovaá hodota (tepová fekvece po cvčeí) po tejý měřeý objekt. Nyí můţeme aalyzovat tato data a tetovat hypotézu, zda etuje ozdíl mez oběm pozoováím a báz výše uvedeých dvouvýběových tetů. Avšak teto potup by elmoval moţot pooudt ozdíly pozoovaých hodot a týchţ měřeých objektech. Mohem efektvějším potupem ze tattckého hledka je vyuţít páového chaakteu takto zíkaých dat a vytvořt jedu datovou hodotu po kaţdý měřeý objekt. V ejjedodušším datovém modelu bude touto hodotou ozdíl zíkaých dvou pozoováí po daý -tý měřeý objekt. Tímto ovým pozoováím je: - 3 -
d X X Rozdíly d pak mohou být pouţty po jedovýběové tety o tom, zda ledovaý paamet d (tředí hodota, medá) je ula, coţ je ekvvaletí tím, ţe eetují ţádé ozdíly mez epemetálím podmíkam (ebo ţe zkoumaý fakto je eúčý). Řešeý příklad: Máme k dpozc údaje o tepové fekvec pacetů v kldu a po mutách cvčeí. Rozhoděte a základě poováí tředích hodot a medáů tepových fekvecí, zda e mutové cvčeí pojeví a tepové fekvec pacetů. Kldová fekvece X 4 73 3 5 69 94 93 67 4 76 Fekvece po cvčeí 5 75 47 83 3 9 69 3 8 57 89 X Řešeí: Zcela zřejmě e jedá o závlé výběy, poto pouţjeme páové tety. Kldová fekvece 4 73 3 5 69 94 93 67 4 76 Fekvece po cvčeí 5 75 47 83 3 9 69 3 8 57 89 d = 34-3 54 8-5 3-3 - -4 3 Páový tet tředí hodoty: Vtupí data: Výbě: d 5, d 6,9 Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : (ovováţý tav, cvčeí tepovou fekvec eovlvlo) H A : (výbě ukazuje a to, ţe cvčeí tepovou fekvec zvýšlo (5 > )) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X X T t Výpočet hodoty tetové tattky OBS : - 33 -
OBS d 5, T,64 H 6,9 d Výpočet p-value: H A : p value F ( ) Rozhodutí: p value,5 OBS p value F(,64) F (3,54),75 vz.tabulka (Studetovo ozděleí, tupňů volot) p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledka tředí hodoty můţeme vlv mutového cvčeí povaţovat za evýzamý. Páový tet medáu: Vtupí data: Výbě: ~ 6, Staoveí ulové a alteatví hypotézy: H : (ovováţý tav, cvčeí tepovou fekvec eovlvlo),5,5 H A : (výbě ukazuje a to, ţe cvčeí tepovou fekvec zvýšlo Zamékový tet: (6 > )) Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: T X Y B;,5, Y počet pozoováí v áhodém výběu o ozahu, kteé překočí Výpočet hodoty tetové tattky OBS :,5 (=) d = 34-3 54 8-5 3-3 - -4 3 Y 7 H (ve výběu je 7 hodot vyšších eţ ) OBS Výpočet p-value: H A :,5 p value F ( OBS ) - 34 -
Y B(;,5) p value F p value,387 (7) P( Y 7) P( Y 7) 5 k 7 k k k,5, Wlcooův tet Volba tetového ktéa a taoveí jeho ulového ozděleí: Výpočet hodoty tetové tattky OBS : T X W N; Vtupí data potupě tafomujeme a poměou * a z í vypočteme hodotu tetové tattky: y,,5 y ak, g,5 d,5 Seřazeé hodoty d y d ak, y g,5-3 3 - -3 3 8,5-8,5 34-5 5 7-7 -3-3,5-3,5 54-4 4-8 -5 3,5 3,5 3 3 3 5 5-3 8 8 6 6-3 3 8,5 8,5-4 34 34,5,5 3 54 34,5,5,3, 7,6-35 -
OBS W H,3,59 7,6 H Výpočet p-value: H A : p value F ( ),5 Rozhodutí: OBS Jak po zamékový tet, tak po Wlcooův tet je p value,5 p value (,59) (,3),7,78 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledka medáu můţeme vlv mutového cvčeí povaţovat za evýzamý. Blízkot p-value po t tet a po tety medáu ukazuje a epřítomot odlehlých pozoováí. Výklad: V áledujícím tetu e zaměříme a ěkteé z tzv. tetů dobé hody. V ěkteých případech e můţeme domívat, ţe tudovaá data (výbě) pocházejí z učtého teoetckého ozděleí. Tato doměka bývá podloţea buď fomacem o ledovaém jevu ebo odhadem teoetckého ozděleí a základě gafckého zobazeí výběového ozděleí. Náš odhad však emuí být pávý, a poto jej v pa ověřujeme tetem dobé hody (tj. hody mez výběovým a teoetckým ozděleím (χ tet dobé hody, Kolmogoovův Smovův tet po jede výbě, ). Obdobě můţeme ověřt, zda dva ezávlé výběy pocházejí z ozděleí e tejým dtbučím fukcem (Kolmogoovův Smovův tet po dva výběy). Z fomulace poblémů vyplývá, ţe eí třeba ozlšovat jedotaé a oboutaé alteatví hypotézy. Alteatva potě popíá platot ulové hypotézy, tj. tvdí, ţe ozděleí je jé eţ udává ulová hypotéza. Poto je uté po jedotlvé tety učt způob výpočtu p-value..6 χ tet dobé hody ad.) Volba ulové hypotézy Tet dobé hody e pouţívá ejčatěj po ověřováí těchto hypotéz: - 36 -
a) H : Výbě pochází z populace, v íţ jou elatví četot jedotlvých vaat ovy čílům ; ; (populace muí být oztřídtelá podle ějakého zaku do k kup),, ;, k b) H : Výbě pochází z ozděleí učtého typu (apř. omálí), jehoţ paamety jou dáy (úplě pecfkovaý model) c) H : Výběový oubo pochází z ozděleí učtého typu (apř. omálí) (eúplě pecfkovaý model eověřujeme fomace o paametech ozděleí, paamety modelu odhadujeme) ad.) Volba tetové tattky Jako tetovou tattku volíme tattku G, kteá má po dotatečý ozah výběu aymptotcky ozděleí: k h T X G k,, kh, kde je ozah výběu, k je počet vaat, h je počet odhadovaých paametů modelu, jou kutečé četot jedotlvých vaat a π, jou očekávaé elatví četot (tj. elatví četot, jchţ by měly abýt jedotlvé vaaty v případě, ţe je plěa ulová hypotéza)..π, jou tedy očekávaé četot jedotlvých vaat (tj. četot, jchţ by měly abýt jedotlvé vaaty v případě, ţe je plěa ulová hypotéza) a ( -.π, ) pak jou odchylky očekávaých četotí od četotí kutečých. ad3) Předpoklad tetu Za výbě dotatečého ozahu povaţujeme výbě, po ějţ platí, ţe všechy očekávaé četot jou vyšší eţ 5 ( 5 ( =,,, k)), Dále potupujeme opět podle obecého potupu př čtém tetu výzamot. ad4) Výpočet p-value Př tomto tetu učujeme p-value jako: p value F ( ) OBS Řešeý příklad: Hodlo e 6 kát hací kotkou a zazamealy e počty padlých ok... (čílo kteé padlo) 3 4 5 6 (četot jeho výkytu) 979 5 98 4 984-37 -
Je moţé a základě přílušého tetu a hladě výzamot 5% polehlvě tvdt, ţe kotka je "falešá", tj. ţe pavděpodobot všech číel a kotce ejou tejé? Řešeí: Muíme tetovat, zda ozděleí počtu ok padlých a kotce je takové, ţe pavděpodobot všech moţých hodot jou /6. Po teto tet dobé hody dopoučujeme pouţít χ tet dobé hody (H je ve tvau a) ): Volba ulové a alteatví hypotézy H : Pavděpodobot počtu ok a kotce je dáa áledující tabulkou: (čílo kteé může padout) 3 4 5 6 π, (ulová pavděpodobot jeho výkytu) /6 /6 /6 /6 /6 /6 H A : H, tj. pavděpodobot počtu ok a kotce je já eţ je uvedeo ve výše uvedeé tabulce Volba tetové tattky Rozah výběu: = 6 Počet vaat: k = 6 Počet odhadovaých paametů: h =,,,6,,, 6 6 5 Rozah výběu je dotatečý poto, abychom mohl pouţít tetovou tattku G T X G k,, kh Výpočet pozoovaé hodoty OBS: OBS T X H G H k,, 979 6 6 6 6 6 6 6 6 984 6 6 6 6,93 Výpočet p-value: p value F ( OBS ) F OBS,93,93, 5 F,5 F (vz. Tabulka 3, počet tupňů volot je 5 (6-)) - 38 -
,93, 75,5 F,5 p value,75 Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. elze tvdt, ţe kotka je falešá. Řešeý příklad: Výobí fma odhaduje počet pouch učtého zařízeí během hod pomocí Pooova ozděleí paametem,. Zamětac zazameal po kotolu kutečé počty pouch celkem ve 5-t hodových tevalech (výledky jou uvedey v tabulce). Ověřte čtým tetem výzamot, zda má počet pouch daého zařízeí během hod kutečě Pooovo ozděleí paametem λ=,. počet pouch během hod povozu 3 4 - počet pozoováí 5 48 36 4 Řešeí: Muíme tetovat, zda počet pouch daého zařízeí během hod má kutečě Pooovo ozděleí paametem,. Po teto tet dobé hody dopoučujeme pouţít χ tet dobé hody (H je ve tvau b) tj. jde o úplě pecfkovaý model (víme jaký má být paamet ozděleí)): Defujme áhodou velču X jako počet pouch daého zařízeí během hod povozu. Volba ulové a alteatví hypotézy H : Počet pouch daého zařízeí během hod (áhodá velča X) má Pooovo ozděleí paametem, H A : H, tj. počet pouch daého zařízeí během hod (áhodá velča X) emá Pooovo ozděleí paametem λ=, Volba tetové tattky Rozah výběu: = 5 Počet vaat: k = 5 Počet odhadovaých paametů: h = Pokud platí H, pak X (počet pouch během hod) má Poooovo ozděleí e tředí hodotou, (= λt). Na základě této fomace můţeme učt ulové pavděpodobot π,. - 39 -
, P X Záoveň učíme očekávaé četot. t t,,! počet pouch během hod povozu 3 4 počet pozoováí 5 48 36 4 π,,3,36,7,87,34.π, - očekávaé četot 45, 54, 3,6 3, 5, Všechy očekávaé četot jou větší eţ 5, tudíţ ozah výběu je dotatečý poto, abychom mohl pouţít tetovou tattku G e! e T X G k,, kh Výpočet pozoovaé hodoty OBS: OBS T X H G Výpočet p-value: H k, 54 45, 48 54, 4 5, 45,, 54, 5, 3,3 H A : p value F ( ) OBS 3,3 3,3, 5 F,93, 75 F OBS Rozhodutí: F,5 F (vz. Tabulka 3, počet tupňů volot = 5-- = 4),5,5 p value,75 p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. emáme ámtek pot pouţtí Pooova ozděleí paametem, po odhad počtu pouch daého zařízeí během hod povozu (toto ozděleí je vhodým modelem po počet pouch). Řešeý příklad: Na dálc byly v půběhu ěkolka mut měřey čaové odtupy [] mez půjezdy jedotlvých vozdel. Zjštěé hodoty těchto odtupů jou v další tabulce:,5 6,8 5, 9,8 4,,3 4,,9 8,7 7,7 5,9 5,3 8,4 3,6 9, - 3 -
4,3,6 3, 5,4 8,6 4,,9,5,8,6 5,9 8,3 5, 6,9 5,,3 6,4 6,5 5,7 3,6 4,8 4, 7,3 4,9,6 5, 5,3 4, 3,3 6, 4,6,6,9,5, 4,3 5,5,,9 3, 3,8,,5 8,6 4,4 6,8 5, 3, 8, 4, 4,7 7,3,3,9,9 4,6 6,4 5,3 3,9,4, 6, 4,3,6,7,,8 3,7 6,9,8 4,3 4,9 4, 4,5 4,4,9 9, 5,6 4,8,8, 4,3,,6,5,,3,8,6 3,8 3,,6 4,9,8 3,9 3,4,6 4,5 5,8 6,9,8,6 6,8,5,9 3,,8,6, 4,9,,6, 3,8,,8,4 Otetujte čtým tetem výzamot, zda lze čaové odtupy mez vozdly povaţovat za áhodou velču omálím ozděleím. Řešeí: Nechť: áhodá velča X je defováa jako čaový odtup mez půjezdy jedotlvých vozdel. Volba ulové a alteatví hypotézy: H : H A : Čaové odtupy mez půjezdy jedotlvých vozdel mají omálí ozděleí. Čaové odtupy mez půjezdy jedotlvých vozdel emají omálí ozděleí. Volba tetové tattky: Pokud e ám podaří plt předpoklady po χ tet dobé hody ( 5), můţeme řešt, daý poblém pomocí tohoto tetu (H bude vyjádřeá ve vez c) eúplě pecfkovaý model). Nejdříve odhademe paamety ozděleí (μ odhademe půměem, σ odhademe výběovou měodatou odchylkou (ejlepší etaé bodové odhady)): Rozah výběu: = 3 ˆ 3 3 4,6 ˆ 3,3 V dalším koku muíme ozdělt data do ozumého počtu tevalů a ajít očekávaé četot po přílušé tevaly. Na jejch základě ozhodeme, zda můţeme po řešeí daého poblému pouţít χ tet dobé hody. Itevaly e volí většou pouze a základě vlatí úvahy. Saţíme e však dodţovat ěkolk pavdel: Pokud je to moţé, dodţujeme kotatí šířku tevalu (třídy) - 3 -
Počet tevalů v ozumých mezích. Obvykle e povaţuje za vhodé volt 5 aţ 5 tevalů. Počet tevalů emá být a přílš malý (vede k hubému, zjedodušeému pohledu a ozděleí pavděpodobot), a přílš velký (kteý dělá ozděleí pavděpodobot epřehledým). Itevaly emuí mít tejou šířku, avšak poto, abychom mohl pouţít χ tet dobé hody, muí být očekávaé četot po přílušé tevaly větší eţ 5. Pokuíme e tedy ozdělt data do ozumého počtu tevalů, ajdeme očekávaé četot po přílušé tevaly a pak data přeozdělíme tak, aby byla plěa podmíka po pouţtí χ tetu dobé hody. Jak počítat očekávaé četot? Očekávaé četot: Očekávaé elatví četot:,, učíme jako pavděpodobot výkytu áhodé velčy X a přílušém tevalu (předpokládáme-l platot H, záme ozděleí X (paamety tohoto ozděleí jme odhadl). Pavděpodobot, ţe áhodá velča omálím ozděleím ( N ˆ ; ˆ ) leţí v -tém tevalu je: F F,, kde je hoí hace tevalu a. Rozděleí do tevalů, přílušé očekávaé elatví četot a očekávaé četot Čaový teval [] Počet pozoováí v čaovém tevalu Očekávaé elatví četot, Očekávaé četot. (;,5,74,9 (,5;,8 3,4 3, 3 (,8;, 7,7,3 4 (,;, 5,47 6, 5 (,5;,9 8,4 5,4 6 (,9; 3,6 8,78,3 7 ( 3,6; 4,,47 6, 8 ( 4,; 4,4,48 6,3 9 ( 4,4; 4,9,6 8, ( 4,9; 5,8,6 4,, - 3 -
( 5,8; 6, 8,6 3,9 ( 6,8; 8,7,45 9, 8,7 4, Součet 3, 3,7; Potoţe omálí áhodá velča můţe abývat lbovolé hodoty z moţy eálých číel, volíme jou dva kají tevaly po potřeby tetu ozšířey a: ;,5 8,7;. Platí-l H : X N 4,6; 3,3, P (, X - ;,5 PX,5 F,5 -,94 -,94 -,86,74,5 4,6 3,3 8,7 4,6,3 PX 8,7; PX 8,7 F8,7,4 3,3 -,893,7 Pohledem a očekávaé četot zjtíme, ţe jme tevaly zvoll poměě dobře pouze. a 3. tevalu příluší očekávaé četot ţší eţ 5 (to odpouje pouţtelot χ tetu dobé hody). Teto edotatek ado apavíme tím, ţe tyto tevaly loučíme. Čaový teval [] Počet pozoováí v čaovém tevalu Očekávaé elatví četot, Očekávaé četot. (;,5,74,9 (,5;,,4 5,4 3 (,;, 5,47 6, 4 (,5;,9 8,4 5,4 5 (,9; 3,6 8,78,3 6 ( 3,6; 4,,47 6, 7 ( 4,; 4,4,48 6,3 8 ( 4,4; 4,9,6 8, 9 ( 4,9; 5,8,6 4, ( 5,8; 6, 8,6 3,9 ( 6,8; 8,7,45 9, 8,7;,7 4, Součet X 3,, - 33 -
Nyí jou plěy předpoklady po pouţtí χ tetu dobé hody. Jako tetovou tattku tedy volíme: k, TX G kh, Výpočet pozoovaé hodoty OBS : OBS T X H G H k,,9 5,4 4,,9, 5,4 4, 59,7 Výpočet p-value: Počet vaat: k = Počet odhadovaých paametů: h = p value F ( OBS ) F OBS 59,7 59,7, 999 59,7, F F (vz. Tabulka 3, počet tupňů volot = -- = F p - value, Rozhodutí: p value, Zamítáme ulovou hypotézu, tz. ţe aměřeé čaové odtupy elze povaţovat za výbě z omálího ozděleí. Výklad:.7 Kolmogoovův Smovův tet po výbě Kolmogoovův Smovův tet e pouţívá k ověřeí hypotézy, ţe pořízeý výbě pochází z ozděleí e pojtou dtbučí fukcí F(). F() muí být úplě pecfkovaá. Máme-l př ověřováí dobé hody mez empckým a teoetckým ozděleím k dpozc pouze výbě malého ozahu, dáváme tomuto tetu předot před χ tetem dobé hody. Výhody Kolmogoovova - Smovova tet opot χ tetu dobé hody: větší íla tetu emá omezující podmíky - 34 -
F(), Fo() vychází z jedotlvých pozoováí a kolv u údajů etříděých do kup (edochází ke ztátě fomace obaţeé ve výběu) ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : F H A : H F kde F() je dtbučí fukce ozděleí, z ěhoţ áhodý výbě pochází (teoetcká dtbučí fukce) ad.) Volba tetové tattky T X (včetě ulového ozděleí) Uvaţujme vzetupě upořádaý áhodý výbě ze pojtého ozděleí:,,, Pak výběová (empcká) dtbučí fukce F () je dáa jako: () F,,,,,, Jako tetové ktéum pouţjeme tattku D, jejíţ výzačé kvatly jou tabelováy. Tetová tattka D je defováa jako mamálí odchylka teoetcké a empcké dtbučí fukce. T * * * X D up F F ma D, D, D, ma, * kde D F, F po,,, Staoveí D,,,8,6,4 D,, 6 7 8 9 3 -, - 35 -
Dále potupujeme tadadě podle čtého tetu výzamot. ad4) Výpočet p-value Př tomto tetu učujeme p-value jako: p value F ( ) OBS Řešeý příklad: V tabulce je číel geeovaých jako hodoty ozděleí N (9;,7 ). Ověřte Kolmogoovovým Smovovým tetem, zda geeovaé hodoty pocházejí z předpokládaého ozděleí. Geeovaé hodoty 9,73 9,8 9,34 9,38 9,7 9,5 9,473 7,66,9 8,77 Řešeí: Volba ulové a alteatví hypotézy: H : F F, kde F () je dtbučí fukce omálího ozděleí o paametech μ = 9, σ =,7. (ebol: data pocházejí z N (9;,7 )) H A : Data epocházejí z N (9;,7 ) Volba tetové tattky: T * * * X D up F F ma D, D, D ma, * kde D F, F po,,, Výpočet pozoovaé hodoty OBS : Seřazeé (-)/ / F ( () ) D po D po hodoty () Pořadí () / (-)/ 7,66,,,3,7,3,7 8,77,,,35,5,5,5 9,38 3,,3,5,,3,3 9,5 4,3,4,56,6,6,6 9,8 5,4,5,56,6,6,6 9,34 6,5,6,63,3,3,3 9,7 7,6,7,65,5,5,5 9,473 8,7,8,75,5,5,5 9,73 9,8,9,85,5,5,5,9,9,,96,4,6,6 D * - 36 -
Výpočet p-value: OBS =,3 value F,3,3, 9,3, p F OBS F OBS F (vz. Tabulka 5, = ) F p value, Rozhodutí: p value, Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. lze tvdt, ţe zíkaá data podléhají omálímu ozděleí paamety μ = 9, σ =,7. Výklad:.8 Kolmogoovův Smovův tet po výběy Teto tet e pouţívá k ověřeí hypotézy, zda dva ezávlé výběy jou z učtého pojtého ozděleí e tejou dtbučí fukcí. ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy I II H : F F I II H A : F F, kde F I (), F II () jou předpokládaé (teoetcké) dtbučí fukce pvího, ep. duhého výběu. ad.) Volba tetové tattky T X (včetě ulového ozděleí) Jako tetové ktéum pouţjeme tattku d,, jejíţ výzačé kvatly jou tabelováy. I II T( X ) d F F,, kde F I (), F II () jou empcké (výběové) dtbučí fukce jedotlvých výběu. F I (), F II () kotuujeme tejým způobem jako př Kolmogoově Smovově tetu po jede výbě (tz. tačí kdyţ ledujeme ozdíly mez empckým dtbučím fukcem v bodech jejch epojtot). Dále potupujeme opět podle tadadího potupu čtého tetu výzamot. - 37 -
ad4) Výpočet p-value Př tomto tetu učujeme p-value jako: p value F ( ) OBS.9 Tety v kotgečí (kombačí) tabulce Tety ezávlot v kotgečí tabulce (Cotgecy Table, Cotable) řadíme mez tzv. aalýzu kategoálích dat (Categoal Data Aaly). Setkáváme e m v ekoom, peoaltce, pycholog, ocolog, maketgu Abychom e tímto tetem mohl ezámt, ezámíme e ejdříve e základím pojmy v této oblat..9. Základí pojmy Kotgečí tabulka vzká etříděím pvků populace podle vaat dvou kategoálích zaků, apř. zaku X a zaku Y. Nechť zak X má m vaat a zak Y má vaat. Názvy jedotlvých vaat zaků X a Y jou pak uvedey v hlavčce tabulky a uvtř tabulky uvádíme četot j, kde ozačuje -tou vaatu zaku X ;m a j ozačuje j-tou vaatu zaku Y začeí: j ;. Př pác kotgečí tabulkou budeme dále pouţívat toto. oučet všech četotí v -té řádce.j oučet všech četotí v j-tém loupc Schéma kotgečí tabulky X Y Y Y Y j X. X. X m m m m m.... Gafckou obdobou kotgečí tabulky je mozakový gaf. Teto gaf e kládá z obdélíků, jejchţ tay jou úměé přílušým magálím elatvím četotem. Statgaphc Plu kotuuje mozakový gaf tak, ţe a vlou ou vyáší ezávle poměou (příča) a a vodoovou ou závle poměou (důledek). Pokud by byl mozakový gaf v tomto případě tvoře vlým puhy (jedotlvé obdélíky tejých baev by měly tejé vodoové ozměy), zamealo by to, ţe ledovaé poměé jou ezávlé. Obdobé vyhodoceí povedeme v případě, kdy tattcký oftwae vyáší ezávle poměou a vodoovou ou (apř. JMP-IN). Pak je v případě ezávlot poměých mozakový gaf tvoře vodoovým páy. Náledující ukázka mozakového gafu odpovídá datům popujícím jak jou zamětac pokoje v pác v závlot a umítěí podku. - 38 -
Obdobou mozakového gafu je % kládaý puhový gaf (apř. MS Ecel). Od mozakového gafu e teto gaf lší tím, ţe šířky obou řádků jou tejé, tz. ţe ezohledňuje řádkové magálí elatví četot. Vekov Paha 3 4 5 5 5 % % 4% 6% 8% % Velm epokoje Spíše epokoje Spíše pokoje Velm pokoje Komě mozakového gafu e po pezetac dat zapaých v kotgečí tabulce pouţívají hlukový, popř. kumulatví loupcový gaf..9. Tety v kotgečí tabulce Po ověřeí ezávlot áhodých velč X a Y (ezávlot v kombačí tabulce) pouţíváme tet, kteý je zaloţe a poováváí empckých (pozoovaých) četotí četotm teoetckým, tj. takovým, kteé bychom očekával v případě ezávlot. Teoetcké četot ozačujeme j a učujeme je jako četot odpovídající ouču přílušých magálích elatvích četotí (přpomeňme, ţe v případě, ţe jou dvě dkétí áhodé velčy ezávlé, pak jejch duţeé pavděpodobot jou ovy ouču přílušých magálích pavděpodobot). - 39 -
j.. j.. j.9.3 Χ tet ezávlot v kotgečí tabulce ad.) Volba ulové a alteatví hypotézy H : H A : Náhodé velčy v kombačí tabulce jou ezávlé. Náhodé velčy v kombačí tabulce jou závlé. ad.) Volba tetové tattky T X (včetě ulového ozděleí) m j j G m T ( X ) j j Tetová tattka G má ozděleí χ (m-).(-) tup volot. Je zřejmé, ţe čím bude hodota tetové tattky G vzdáleější od uly, tím lěj budou data vypovídat po zamítutí ulové hypotézy. Předpoklad tetu:. Ţádá z očekávaých četotí emí kleout pod hodotu.. Alepoň 8% očekávaých četotí muí být větších eţ 5. Další potup je tadadí. ad4) Výpočet p-value Př tomto tetu učujeme p-value jako: p value F ( ) OBS Řešeý příklad: Po dfeecovaý přítup v peoálí poltce potřebuje vedeí podku vědět, zda pokojeot v pác záví a tom, jedá-l e o paţký závod č závody mmopaţké. Výledky šetřeí jou v áledující tabulce. Zobazte data pomocí mozakového gafu a a základě tetu ezávlot v kombačí tabulce ozhoděte o závlot pokojeot v zamětáí a umítěí podku. Stupeň pokojeot Míto Paha Vekov Velm pokoje 5 4 Spíše pokoje 5 3 Spíše epokoje 5 Velm epokoje - 3 -
Řešeí: Nejdříve data zázoíme pomocí mozakového gafu, k čemuţ potřebujeme zát magálí elatví četot: Nyí můţeme etojt mozakový gaf. Na vlou ou budeme vyášet ezávle poměou tj. umítěí podku. Mozakový gaf poto bude tvoře dvěma řadam obdélíků (Paha, Mmo Pahu), přčemţ řada odpovídající hodotě Paha bude mít šířku odpovídající 33,33% a řada odpovídající hodotě Mmo Pahu bude mít šířku odpovídající 66,67%. (Tz., z celkové výšky mozakového gafu bude řada odpovídající hodotě Paha zabíat 33,33%, ). Závle poměá (Stupeň pokojeot) abývá 4 hodot, poto bude kaţdý řádek mozakového gafu tvoře čtyřm obdélíky přílušých délek (apř. obdélík odpovídající řádku Paha a tup pokojeot velm pokoje bude mít délku odpovídající 5% celkové délky mozakového gafu). Všměte, ţe čletot gafu je způobea zejméa odlšý pocetem píše epokojeých zamětaců. Rozhodutí o závlot povedeme a základě tetu ezávlot v kombačí tabulce. Volba ulové a alteatví hypotézy: H : H A : Spokojeot v pác ezáví a umítěí závodu. Spokojeot v pác záví a umítěí závodu. Volba tetové tattky: T m j j G m ( X ) j j - 3 -