Obsah 5 obsah obsah... 5 Přehled veliči... 7 Úvodem... 9 Předmluva... 10 1 Úvod do mechaiky... 11 1.1 ozděleí mechaiky... 11 1.2 Základí pojmy... 11 1.2.1 O pohybu a prostoru v mechaice... 11 1.2.2 Hmota... 12 1.2.3 Čas... 12 1.2.4 Síla... 12 1.2.5 Veličiy a jedotky používaé v mechaice... 14 1.2.6 Fyzikálí zákoy... 16 1.2.7 Vytvářeí rovic v mechaice... 16 2 Základí pojmy a zákoy statiky... 18 2.1 Pricip akce a reakce... 18 2.2 Síly a společé ositelce... 18 2.3 Záko rovoběžíka sil... 19 2.4 Momet síly k bodu... 19 2.5 Dvojice sil a její momet... 19 2.6 Mechaická práce... 20 2.7 Výko... 20 2.8 Páka pákové pravidlo... 21 2.9 Vazby těles, metoda uvolňováí těles... 21 2.9.1 Podpora volá... 21 2.9.2 Podpora pevá (rotačí)... 22 2.9.3 Vazba vetkutím... 23 2.9.4 Uvolňováí těles... 23 3 oviá soustava sil.... 25 3.1 Soustava sil působící a jedé ositelce....... 25 3.1.1 Výsledice sil... 25 3.1.2 ovováha sil... 26 3.2 Soustava sil procházející jedím bodem... 26 3.2.1 Výsledice sil... 26 3.2.2 ovováha tří sil se společým působištěm... 27 3.2.3 ozklad sil... 30 3.2.4 Skládáí ěkolika růzoběžých sil se společým působištěm... 31 3.2.5 ovováha více sil procházející jedím bodem... 32 3.3 Momety sil... 33 3.3.1 Statický momet síly k bodu... 33 3.3.2 Silová dvojice... 36 3.3.3 Přeložeí síly... 38 3.4 Obecá roviá soustava sil... 38 3.4.1 Výsledice sil... 38 3.4.2 ovováha sil... 40 3.4.3 ovováha čtyř sil v roviě.... 41 3.5 ovoběžé síly... 42 3.5.1 Dvě rovoběžé síly stejého smyslu, určeí výsledice... 43 3.5.2 Dvě rovoběžé síly opačého smyslu, určeí výsledice... 43 3.5.3 Několik rovoběžých sil.... 44 3.5.4 ozklad daé síly do dvou směrů... 45 3.6 ovováha vázaého tělesa v roviě... 45 3.6.1 Jede pevý podporový bod... 45 3.6.2 Dvě jedoduché podpory, vazbové síly v podporách osíku... 46 3.6.3 ři jedoduché podpory... 52 4 Soustava prostorových sil... 54 4.1 Soustava sil se společým působištěm... 54 4.1.1 Určeí výsledic tří kolmých složek... 54 4.1.2 Výsledice soustavy růzoběžých sil se společým působištěm... 54 4.1.3 ovováha soustavy sil se společým působištěm... 54 4.2 ovoběžé síly v prostoru... 55 4.3 Obecá soustava sil v prostoru.............. 56 4.3.1 ovováha sil... 56 5 Příhradové osíky.... 57 5.1 Styčíková metoda řešeí osových sil v prutech... 58 5.2 Průsečá metoda řešeí osových sil v prutech... 62 6 ěžiště... 65 6.1 ěžiště plochy... 65 6.1.1 ěžiště základích ploch... 66 6.1.2 ěžiště složeých ploch... 67 6.1.3 ěžiště plochy omezeé obecou křivkou... 69 6.2 ěžiště čar... 70 6.2.1 ěžiště složeé rovié čáry... 70 6.2.2 ěžiště obecé rovié křivky... 71 6.3 ěžiště těles... 72 6.3.1 ěžiště základích těles... 72 6.3.2 Zjišťováí těžiště těles pokusem... 74 6.4 uldiovy věty... 74 6.4.1 Výpočet povrchu rotačí plochy............. 74 6.4.2 Výpočet objemu rotačího tělesa... 75 6.5 Stabilita těles... 77 7 řeí... 80 7.1 Výzam třeí v deím životě a v techické praxi.... 80 7.2 Druhy třeí... 80
6 Obsah 7.3 Smykové třeí... 80 7.3.1 Nepohybující se těleso.... 80 7.3.2 řeí za pohybu.... 81 7.3.3 řecí úhel.... 83 7.3.4 řeí v klíové drážce... 85 7.3.5 Vzpříčeí vedeého tělesa... 85 7.3.6 Sevřeí tělesa.... 87 7.4 Čepové třeí... 87 7.4.1 adiálí čepy.... 87 7.4.2 xiálí čepy.... 89 7.5 Vlákové třeí.... 90 7.5.1 Základí vztahy... 90 7.5.2 Silové poměry u otevřeého řemeového převodu.... 92 7.6 Odpory při valeí... 93 7.6.1 Valeí po vodorové roviě.... 93 7.7 Odpory při pomalém pohybu vozidla po vodorové roviě... 95 8 Silové poměry u jedoduchých mechaismů s pasivími odpory 97 8.1 Páka... 97 8.1.1 Úhlová páka... 97 8.1.2 Můstková váha.... 99 8.2 Smykové třeí tělesa a akloěé roviě... 99 8.2.1 Hací (zadržující) síla má obecý směr... 100 8.2.2 Hací (zadržující) síla je rovoběžá se základou... 102 8.2.3 Hací (zadržují síla) je rovoběžá s akloěou roviou... 102 8.3 řeí a šroubu... 103 8.3.1 Silové poměry a šroubu s plochým závitem... 103 8.3.2 Silové poměry a šroubu s ostrým závitem.... 104 8.4 Klíové ústrojí.... 106 8.4.1 Klí jedostraý se zatěžujícími silami kolmými k ose klíu... 106 8.5 Kladky a kladkostroje... 108 8.5.1 Pevá kladka... 108 8.5.2 Volá kladka... 109 8.5.3 Kladkostroje... 110 8.6 Brzdy... 112 8.6.1 Čelisťové brzdy... 112 8.6.2 Pásové brzdy... 114 9 plikace příkladů řešeých v Excelu... 118 Použitá literatura... 123
Úvodem 9 Úvodem echická mechaika patří k ejdůležitějším průpravým odborým předmětům a středí průmyslové škole strojické. Pro studety má ěkolik základích výzamů: poskytuje žákům přehled o základích výpočtových metodách pro bezpečý a hospodárý ávrh strojích součástí, strojů a zařízeí, zdokoaluje studety v rozvoji logického myšleí při účelém využíváí zámého matematického aparátu, poděcuje žáky k tvořivému myšleí a k řešeí praktických problémů, vede žáky k všestraé, účié a otevřeé komuikaci, jedím z důležitých cílů mechaiky je umožit žákům osvojit si strategie učeí, aučit žáky umět se učit, umět získávat a zpracovávat ové pozatky tak, aby byli připravei pro celoživotí vzděláváí. Je uté umět získávat iformace eje z iteretu, ale i z tradičích iformačích zdrojů, z odboré literatury, učebic, firemí literatury, orem, strojických tabulek apod. ato učebice statiky si klade za cíl sezámit žáky se základy středoškolské statiky. Pokud a to studetům stačí matematické zalosti, jsou základí teoretické pozatky odvozováy. Po teoretickém úvodu je vždy uvede metodicky správý a obecě platý algoritmus řešeí úloh. V učebici je uvedeo celkem 102 vyřešeých příkladů. Nejsou zde zadáy eřešeé úlohy, protože velké možství kvalitích eřešeých příkladů pro samostatou práci žáků abízí apř. publikace K. Mičkal: Sbírka úloh z techické mechaiky. Praha, Iformatorium 2008. Na závěr jedotlivých kapitol jsou vždy uvedey kotrolí otázky. echická mechaika řeší úkoly použitím základích pouček a axiomů. Charakteristické pro používaé základí fyzikálí zákoy v mechaice je jejich obecost a poměrá jedoduchost. Zákoy tak umožňují sadé matematické zpracováí řešeé problematiky. V mechaice důsledě počítáme s jedotkami v meziárodí SI soustavě. Pracujeme výhradě s takovými jedotkami, které se dají ásobit a dělit bez převodích součiitelů. Skutečá zalost mechaiky může studetům otevřít bráu k osvojeí látky dalších odborých předmětů a k řešeí úkolů v praxi. K trvalému pochopeí mechaiky estačí se aučit zpaměti axiomy, pravidla a věty, ale je třeba umět využít zalostí mechaiky k řešeí kokrétích praktických příkladů. V předkládaé učebici je představe uceleý soubor řešeých úloh, který vás dovede k solidímu osvojeí základího učiva. Nikdy eřešte příklady bez zalosti teorie, ale také estudujte teorii samostatě bez aplikace praktických příkladů. Oba systémy učeí přiášejí je velmi malý užitek. Pozámka: V důsledku zmešováí obrázků oproti origiálí předloze u většiy z ich esouhlasí uváděá měřítka délek a sil se skutečými měřítky v obrázcích.
2 Základí pojmy a zákoy statiky 21 2.8 Páka pákové pravidlo Nejjedodušší páka je pevá přímá tyč otáčející se kolem osy O. V rovovážé poloze bude mít páka vodorový směr. Na jedom koci páky působí břemeo silou Q, a druhém koci ji vyvažujeme silou F. Vzdáleost O je rameo břemee a, vzdáleost BO je rameo síly b (obr. 2.16). a Q O Jestliže má být páka v rovovážé poloze (eotáčí se), potom algebraický součet mometů k otočému bodu O se rová ule: b Obr. 2.16 B F í. Ve skutečosti je práce odebraá meší o ztráty. oto pravidlo využíváme i u dalších jedoduchých mechaismů, apř. u akloěé roviy, šroubu, klíu, kladkostroji. 2.9 Vazby těles, metoda uvolňováí těles V kap. 1 bylo uvedeo, že poloha bodu v prostoru se určuje ejčastěji třemi ezávislými pravoúhlými souřadicemi x, y, z. Nejmeší počet vzájemě ezávislých souřadic (ezávislých pohybů) se azývá počet stupňů volosti. Hmotý bod má v roviě dva stupě volosti, mohou se měit dvě souřadice x a y. ěleso v roviě má 3 stupě volosti, mohou se měit souřadice x, y a úhel θ. ěleso v roviě (obr. 2.18) se ejprve posue a ásledě otočí. Hmotý bod má v prostoru tři stupě volosti. Mohou se měit souřadice x, y a z. ěleso v prostoru má šest stupňů volosti. Měí se tři souřadice a tři úhly atočeí. Q a F b = 0. (2.10) y x eto výraz azýváme pákovým pravidlem. Je to jede ze základích axiomů mechaiky. Byl zám již v dávověku. Momet břemee se rová mometu síly: y k k θ Q a = F b. (2.10a) Jestliže jsou obě ramea stejě dlouhá, potom je páka rovorameá. Velikost břemee se rová velikosti síly. Všiměme si: pokud máme vyvážeou páku s ramey apř. v poměru délek 1 : 2, zvedeme sice 2krát těžší břemeo o jedu délku, ale zato budeme muset prodloužit delší rameo o dvě jedotky délky. Pohyb závaží je úměrý délce ramea. Zisk síly a páce je vyváže utostí působit silou a delší dráze. Z geometrie podobých trojúhelíků (obr. 2.17) vyplývá: s 1 s a = 2 b $ Δs1 Q a Obr. 2.17 Q Δs 1 = F Δs 2. (2.11) Δs2 b = 2a F 0 ělesa mohou existovat volá ebo vázaá. Vázaé těleso je vazbami spojeo s jiými tělesy. Vazby těleso částečě zehybňují. Jedím z hlavích úkolů statiky je vyšetřováí vazbových sil (reakcí) působících mezi tělesy. Vazbové síly působí v podporách ebo závěsech. Jestliže mezi tělesy eexistují vazby, potom jde o těleso volé. Pohyb volého tělesa eí omeze, může se pohybovat všemi směry. 2.9.1 Podpora volá Spojeí v dotykovém bodě sledovaého tělesa se azývá podpora volá. V této vazbě vziká vazbová síla (reakce), jejíž ositelkou je ormála vazbové plochy (obr. 2.19). ovoceá je vazba vlákem (obr. 2.20) ebo tuhou tyčí (obr. 2.21). Jediou ezámou u této vazby je její velikost. Směr vazbové síly je dá směrem ormály vazbové plochy, resp. směrem tuhé tyče ebo vláka. Obr. 2.18 x Oba výrazy v rovici (2.11) začí mechaickou práci. Zameá to, že práci a páce eušetříme, práce vložeá se rová práci odebraé. o je tzv. zlaté pravidlo mechaiky. ato věta platí teoreticky, jestliže euvažujeme tře- Obr. 2.19
8 Silové poměry u jedoduchých mechaismů s pasivími odpory 101 Podle siové věty platí: si ^ a + { = & h si 6180c - ^ { + 90c - bh@ si ^ a + { h. (8.7) & = cos ^ b - { h Výsledky rovic (8.6) a (8.7) jsou zdálivě formálě rozdílé, po dosazeí výrazu: si { tg { = = cos { do rovice (8.6) aplikací trigoometrických vztahů získáme rovici (8.7). O shodosti se můžeme přesvědčit i umerickým výpočtem (příklad 84). Příklad 84. Je dáo: = 10, = 5, μ = tg = 0,087 5, = 30, = 100 N. Podle rovice (8.6): si 10 c + 0,087 5 $ cos 10 c = 100 N = 28,6 N, cos 30 c + 0,087 5 $ si 30c podle rovice (8.7): v 1 si ^10 c + 5ch = 100 N = 28,6 N. cos ^ 30c - 5ch 90 1 Obr. 8.14 + 90 F id h = = F1 si a cos b si a + $ cos a cos b + $ si b Pohyb tělesa dolů ve smyslu 2 Mohou astat dva případy: si a ^ cos b + $ si bh =. cos b ^ si a + $ cos ah (8.8) 1. Úhel akloěé roviy je meší ež třecí úhel a síla je silou hací a působí ve smyslu 2. 2. Úhel akloěé roviy je větší ež třecí úhel a síla je silou zadržující, působí ve smyslu 1. Výsledá vazbová síla bude od ormály odkloěa a opačou strau oproti předchozímu příkladu a bude stále procházet průsečíkem sil a. rafické řešeí pro prví případ je azačeo a obr. 8.15. řeí působí vždy proti pohybu. si ^ { - ah = si ^ 90 - { - bh Druhý případ pohybu dolů (obr. 8.16): si ^ a - { h 2 = si ^ 9 0 c + b + { h si ^ { - ah & =. cos ^ { + bh 90 90 Obr. 8.15 (8.9) si ^ a - { h & =. cos ^ { + bh (8.10) V obou případech vychází stejý výsledek. Jestliže uvažujeme ideálí akloěou roviu (bez třeí), potom μ = 0, = 0 a = N. yto hodoty dosadíme do rovice (8.6) ebo (8.7) a získáme vztah pro ideálí sílu bez třeí: 2 90 h si a F id =. cos b Účiost akloěé roviy při zvedáí břemee vyjádříme vztahem: Obr. 8.16 90 + + Oba výrazy pro sílu jsou stejé až a zaméko.