Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc.
Evropský polytechnický institut, s.r.o. Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc.
Název: Matematika I.. aktualizované vydání Autor: RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Vydavatel: Evropský polytechnický institut, s.r.o. Kunovice, Neprošlo jazykovou úpravou ISBN: 978-8-74-55-
Obsah ÚVOD... 7 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE... 9. Základní vlastnosti unkcí... 9. Přehled elementárních unkcí..... Konstantní unkce..... Lineární unkce..... Kvadratická unkce.....4 Mocninná unkce... 4..5 Lineární lomená unkce... 5..6 Eponenciální unkce... 7..7 Logaritmická unkce... 8..8 Goniometrické unkce... 9. Kontrolní otázky....4 Shrnutí... SPOJITOST FUNKCE... 5. Okolí bodu... 5. Spojitost unkce v bodě... 6. Spojitost unkce v intervalu... 7.4 Kontrolní otázky... 9.5 Shrnutí... 9 LIMITA FUNKCE... 4. Limita unkce v bodě... 4. Nevlastní ita unkce, ita unkce v nevlastním bodě... 47.. Věty o nevlastních itách... 49. Kontrolní otázky... 5.4 Shrnutí... 5 4 DERIVACE FUNKCE... 55 4. Derivace unkce v bodě... 55 4. Derivace elementárních unkcí... 56 4.. Derivace vyšších řádů... 6 4.. L Hospitalovo pravidlo... 6 4. Průběh unkce... 64 4.. Monotónnost unkce... 64 4.. Etrémy unkce... 66 4.. Konvenost a konkávnost unkce. Inlení body... 68 4..4 Asymptoty unkce... 7 4.4 Kontrolní otázky... 8 4.5 Shrnutí... 8 ZÁVĚR... 85 LITERATURA... 87
ÚVOD Matematika je jedním z nejméně oblíbených vyučovaných předmětů pro většinu populace. Přesto je tento předmět, který řadíme mezi přírodní vědy, jedním z hlavních pilířů veškerého studia a eistence světa. Je základem každého technického směru. Logika, která je rovněž součástí matematiky, je důležitá pro všechny humanitní obory. I když se to nechce věřit, matematika nás provází od útlého věku, ve škole, při studiu na střední škole, na vysokých školách a také v praktickém životě. Jednoznačně se dá říct, že matematika s námi jde celým životem. Někomu stačí základní počty, které se učí na základních školách. Při studiu na střední škole se tyto základy rozšiřují o další poznatky. V dnešní době se matematika vyučuje na většině vysokých škol. Vysokoškolská matematika již žádá od studentů velké znalosti a klade velký důraz na pochopení mnohdy složitých situací. Ve studijním materiálu se snažíme na základě zkušeností jednoduchým způsobem, bez množství složitých deinic a vět, vysvětlit danou látku na příkladech a graech. Současně uvádíme také u každé kapitoly příklady na procvičení včetně výsledků, aby si studenti mohli vyzkoušet, zda danou látku pochopili. Chceme, aby tento studijní tet byl praktickou pomůckou při studiu, a pomohl studentům překonat strach a obavy při zkouškách. Studijní tet je rozdělen do 4 kapitol. V kapitole první se čtenář seznámí s elementárními unkcemi a jejich základními vlastnostmi. Je zde vysvětleno určování deiničního oboru, sudost a lichost unkce, monotónnost unkce, omezenost unkce, určování oboru hodnot pomocí inverzní unkce. Jsou zde popsány vlastnosti elementárních unkcí konstantní, lineární, kvadratická, mocninná, lineární lomená, eponenciální, logaritmická a všechny unkce goniometrické. V kapitole druhé je deinována a vysvětlena spojitost unkce. Základní pojmem je okolí bodu. Dále pak je deinována spojitost unkce v bodě a na intervalu. V kapitole třetí je deinována ita unkce a její aplikace. Je zde deinována vlastní i nevlastní ita ve vlastním i nevlastním bodě. V kapitole čtvrté je deinována derivace unkce v bodě, derivace elementárních unkcí, derivace vyšších řádů a jejich využití. Větší část kapitoly je věnována určování průběhu unkce, v němž se využijí všechny vlastnosti unkcí, spojitost, ita i derivace. Průběh unkce je vyvrcholením dierenciálního počtu. U všech deinovaných pojmů jsou uvedeny vyřešené příklady a dále příklady na procvičení. Cílové znalosti: Studenti tohoto předmětu získávají znalosti a dovednosti v oblasti základního kurzu matematiky. Náplň studia umožňuje rozšíření si matematických znalostí ze střední školy především o dierenciální počet, který je základem integrální počtu a matematické analýzy důležité pro technické obory. 7
Cílové dovednosti: Student po absolvování tohoto předmětu získá schopnost eektivně využívat inormace a znalosti. Dokáže využít vlastností unkce, it, derivací pří průběhu unkce. Cílové kompetence: Matematika všeobecně rozvíjí logické myšlení a nachází uplatnění v mnoha oblastech lidské činnosti. Matematické znalosti lze uplatnit v oblasti logistiky, technické prae, statistického zpracování dat a inančnictví či v oblasti matematické ormulace reálných problémů. V prai se mohou matematické znalosti uplatnit v podnicích při řešení manažerských problémů a technických úkolů s matematickým popisem, ve spedičních a dopravních irmách, v bankách, inančních institucích, úřadech a dalších místech, kde je potřebné zpracování dat a práce s PC. Řešení prakticky jakéhokoliv technického problému se neobejde bez výpočtů. Výpočtová řešení se většinou vedou s využitím aparátu vyšší matematiky, základním předpokladem jsou však spolehlivé znalosti základních matematických operací (algebra, trigonometrie, analytická geometrie, řešení soustavy rovnic) a mezi nezbytné znalosti potom patří postupy vyšší matematiky (matematická analýza, dierenciální a integrální kalkulace, řešení dierenciálních rovnic, statistická analýza, teorie pravděpodobnosti aj.). Zvláštní skupinu potom tvoří numerické matematické metody: jejich význam je zejména ve spojení se složitými a technicky náročnými výpočty pomocí moderní výpočetní techniky. Za dodržení cílových znalostí, dovedností a kompetencí odpovídá student, za kontrolu odpovídá vysoká škola. Součástí technologie jsou také cvičení v následujících tematických okruzích: Součástí technologie jsou také cvičení, která navazují na probíranou látku procvičováním na praktických příkladech. 8
Elementární unkce Elementární unkce Nejdůležitějším pojmem matematické analýzy je pojem unkce. Tento pojem vznikl abstrakcí zákonitostí studovaných v přírodních vědách. Např. víme, že při pohybu hmotného bodu závisí dráha na čase, stručně říkáme, že dráha je unkcí času. Obdobně říkáme, že obsah čtverce je unkcí velikosti jeho strany apod. V této části se seznámíme se základními elementárními unkcemi, s nimiž budeme pracovat. Cílové znalosti a dovednosti Cílem. kapitoly je zopakovat a rozšířit učivo o unkcích ze střední školy. Jedná se o základní vlastnosti unkcí a jejich gray. Klíčová slova Funkce jedné proměnné, deiniční obor unkce, obor hodnot unkce, unkční hodnota, nezávisle a závisle proměnná, uzavřený, otevřený, polouzavřený a nekonečný interval, krajní a vnitřní body intervalu, gra unkce, sudá a lichá unkce, složená unkce, periodická unkce, monotónnost unkce, rostoucí, klesající, nerostoucí a neklesající unkce, shora ohraničená, zdola ohraničená a ohraničená unkce, prostá unkce, inverzní unkce, konstantní unkce, lineární unkce, kvadratická unkce, mocninná unkce, lineární lomená unkce, eponenciální unkce, logaritmická unkce, goniometrické unkce.. Základní vlastnosti unkcí Deinice Říkáme, že na množině je-li dán předpis, podle kterého je každému číslu číslo y. Množinu D reálných čísel je deinována unkce jedné proměnné, D přiřazeno právě jedno reálné D nazýváme deiničním oborem unkce. Množinu H všech čísel y, která dostaneme pro všechna D, nazýváme oborem hodnot dané unkce. Číslo se nazývá nezávisle proměnná (argument), číslo y nazýváme unkční hodnotou nebo závisle proměnnou. Deiniční obor unkce Obor hodnot unkce Funkce zpravidla označujeme, g, h,... Funkční hodnoty v bodě označujeme, g, h. Zápis y znamená, že unkce přiřazuje číslu D číslo y H. Deiničním oborem unkce i oborem hodnot bývá obvykle interval nebo sjednocení konečného počtu intervalů. Typy intervalů: Uzavřený interval a; b - množina všech reálných čísel, pro která platí a b Otevřený interval a; b - množina všech reálných čísel, pro která platí a b Polozavřený interval a; b - množina všech reálných čísel, pro která platí a b a; b - množina všech reálných čísel, pro která platí a b Nekonečný interval ;b - množina všech reálných čísel, pro která platí b Typy intervalů unkce 9
; b - množina všech reálných čísel, pro která platí b a ; - množina všech reálných čísel, pro která platí a a ; - množina všech reálných čísel, pro která platí a Ve všech případech nazýváme čísla a, b krajními body intervalu, každý jiný bod intervalu nazýváme vnitřním bodem intervalu. Deiniční obor tedy určujeme jako množinu těch reálných čísel, kterým unkční předpis umožňuje přiřazení reálného čísla y nebo pro něž má unkce smysl. Při určování deiničního oboru používáme tento postup: Je-li ve unkčním předpisu zlomek, jmenovatel musí být různý od nuly. Je-li ve unkčním předpisu odmocnina se sudým odmocnitele, výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule (nezáporný). Je-li ve unkčním předpisu logaritmus, jeho argument musí být větší než nula (kladný). Řešené příklady Deiniční obor unkce Příklad Určete deiniční obor unkce y. Řešení: Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, proto. Tomuto číslu nemůžeme tedy přiřadit reálné číslo y. Deiniční obor je proto množina reálných čísel D ; ;. Příklad Určete deiniční obor unkce y. Řešení: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tzn. D ; Příklad Určete deiniční obor unkce y log 5 Řešení: Logaritmus se deinovaný pro kladná čísla, tzn. D 5 ; 5 5
Deinice Graem unkce y, D, rozumíme množinu bodů nabývá všech hodnot deiničního oboru. Někdy používáme pojem křivka., v rovině, kde Gra unkce Rovnost unkcí. Funkce g. a g jsou si rovny, jestliže D Dg platí Součet unkcí. Funkci h nazveme součtem unkcí a D h, jestliže je h g Dh. g na deiničním oboru Obdobně se deinuje rozdíl, součin a podíl unkcí g. přičemž o podílu mluvíme jen tehdy, je-li a g na deiničním oboru, Příklad Určete deiniční obor unkce y Řešení: y D ; D D D D ; D ; Řešené příklady Deiniční obor složených unkcí Příklad Určete deiniční obor unkce Řešení: y D D D D ; ; D ; D y ; ;
Příklad Rozhodněte, zda se rovnají na množině R unkce : y, g : y. Řešení: Protože D R a R D g, je D D R. Dále je H g H g R. Přestože obě unkce mají řadu dalších společných vlastností (intervaly monotónnosti, omezenost zdola, minimum v bodě, obě unkce jsou sudé), bylo by chybné vyslovit závěr, že se dané unkce rovnají. Ze znalostí graů unkcí, g resp. řešením rovnice nastane jen pro hodnoty,,. Proto se unkce a g na množině R nerovnají. zjistíme, že rovnost g Příklad 4 4 Jsou dány unkce : y a g : y. Zjistěte, zda se dané unkce rovnají na množině R, popř. určete množinu M, na níž se unkce a g rovnají. Sestrojte gray obou unkcí. Řešení: Určíme Protože D R a D g R. Protože D R, unkce se na množině R nerovnají. D D R, budeme případnou rovnost unkcí vyšetřovat na množině g 4 M R. Vidíme, že M je. Tedy M R, ale také pro každou podmnožinu množiny M se unkce a g rovnají. Obr. č. : Gray k příkladu č. 4 Zdroj: [6]
Příklady na procvičení: Určete D unkce: [ ; 5 ; a : y log b : y log5 D ] [ ;5 D ] Příklady na procvičení Deiniční obor unkce c : y log 5 [ R ;5 D ] d 4 : y [ D 4; ] Vyšetřete, zda se rovnají unkce: a b : y, g : y [ g, : y, g : y ale pro R je g ] [ g, D H R ] c : y, g : y [ g, ale pro R je g ] d : y [ g, D H R ] e : y, g : y [ g, D H R ] : y, g : y [ g, ale pro ; je g ] Deinice Nechť je dána unkce y u, jejíž deiniční obor je N a unkce u g, jejíž deiniční obor je. Nechť M je g N. Pak M je přiřazeno právě jedno u g, a tomuto u N je přiřazeno právě jedno y u. Označujeme y g a nazýváme tuto unkci jako složená unkce. Složená unkce
Sudá unkce Deinice Funkce se nazývá sudá na D, jestliže platí: D. Gra sudé unkce je symetrický podle osy y. Obr. č. : Gra sudé unkce Zdroj: [8] Lichá unkce Deinice Funkce se nazývá lichá na D, jestliže platí: D. Gra liché unkce je symetrický podle počátku. Obr. č. : Gra liché unkce Zdroj: [8] 4
Poznámka: Je potřeba dávat pozor, posunutím souřadných os se může zdát, že je unkce sudá nebo lichá, ale nemusí to být pravda. Funkce nemusí mít ani jednu z výše uvedených vlastností!!!!! Pak uvádíme, že unkce není ani sudá ani lichá. Obr. č. 4: Gra unkce, která není ani sudá ani lichá Zdroj: [8] Příklady na procvičení: Rozhodněte, zda dané unkce jsou sudé nebo liché, a sestrojte jejich gray: a : y Příklady na procvičení Sudost a lichost unkce b : y Obr. č. 5: Gra k příkladu a Zdroj: [6] sudá Obr. č. 6: Gra k příkladu b Zdroj: [6] sudá 5
c : y d : y Obr. č. 7: Gra k příkladu c Zdroj: [6] lichá e : y Obr. č. 8: Gray k příkladu d Zdroj: [6] sudá y : Obr. č. 9: Gra k příkladu e Zdroj: [6] ani sudá ani lichá Obr. č. : Gra k příkladu Zdroj: [6] ani sudá ani lichá 6
Deinice Funkci p D a platí p p nazýváme periodickou, eistuje-li takové číslo p, že D je i. Nejmenší kladné číslo p, které splňuje, nazýváme periodickou unkce. Periodická unkce Obr. č. : Gray periodické unkce Zdroj: [8] Příkladem periodických unkcí jsou goniometrické unkce sin,cos, tg, cot g. Deinice Nechť je dána unkce Říkáme, že unkce v intervalu I a čísla, je v intervalu I rostoucí, jestliže z intervalu I taková, že. klesající, jestliže neklesající, jestliže nerostoucí, jestliže Všem čtyřem typům říkáme monotónní unkce. Rostoucí a klesající unkce jsou ryze monotónní. Monotónnost unkce 7
Rostoucí unkce Obr. č. : Gra rostoucí unkce Zdroj: [8] Klesající unkce Obr. č. : Gra klesající unkce Zdroj: [8] 8
Deinice Funkce že D se nazývá shora ohraničená v oboru D, jestliže eistuje takové číslo K, platí K. se nazývá zdola ohraničená v oboru D, jestliže eistuje takové číslo K, Funkce že D platí K. Funkce ohraničená shora i zdola se nazývá ohraničená. Deinice je prostá na intervalu I právě tehdy, když různým hodnotám z intervalu I odpovídají různé hodnoty. Říkáme, že unkce Ohraničenost unkce Prostá unkce Obr. č. 4: Gra prosté unkce Zdroj: [8] Deinice Nechť je dána prostá unkce y nazveme unkci y je unkčním předpisem y Funkce y, D, y, y H H. Pak inverzní unkcí k unkci na oboru H tak, že y H které platí y. y s deiničním oborem D. Označme obor hodnot, deinovanou přiřazeno D, pro se nazývají vzájemně inverzní. Inverzní unkce Deiniční obor původní unkce se rovná oboru hodnot unkce inverzní. Deiniční obor unkce inverzní se rovná oboru hodnot unkce původní. Této vlastnosti se často využívá u složitějších unkcí, u nichž máme určit obor hodnot. Určíme deiniční obor unkce, provedeme záměnu neznámých, vyjádříme y, tím jsme dostali inverzní unkci a u této unkce určíme deiniční obor, který se rovná oboru hodnot původní unkce. 9
Gra inverzní unkce Gra inverzní unkce je s graem původní unkce osově souměrný podle přímky y. Obr. č. 5: Gra vzájemně inverzních unkcí Zdroj: [8] Obr. č. 6: Gra vzájemně inverzních unkcí Zdroj: [8] Příklady na procvičení Deiniční obor a obor hodnot Příklady na procvičení: Určete D, H unkce: a : y sin [ D R, H ; 5 ] 5 b : y cos5 [ D R, H ; ] c : y tg 6 [ D R k, H R kz 6 ]
d : y cot g 7 [ D R k, H R ] 5 6 kz Určete D, H, vyšetřete monotónnost a omezenost unkce: a : y 4 [ D R H ;, klesající v ;, rostoucí v ;, omezená zdola ], b : y [ D R, H ;, rostoucí v ;, klesající v ; omezená shora ] c : y [ D R H ;, klesající v ;, rostoucí v ;, omezená zdola ], d : y [ D R, H ;, rostoucí v ;, klesající v ;, omezená shora ] e [ D : y 5 5 5 5 R, H R, rostoucí v intervalech ;, ; ] : y 5 5 5 [ D R, H ;, rostoucí v intervalech ;, ; 5 ;, omezená zdola ] klesající v
Elementární unkce. Přehled elementárních unkcí Většina unkcí, se kterými se v prai setkáváme, vznikne z jednodušších unkcí konečným počtem aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení) a skládáním. Uvedeme si nyní unkce, které se nazývají základní... Konstantní unkce Konstantní unkce Konstantní unkcí nazýváme unkci danou předpisem y c, c R, D R Graem je přímka rovnoběžná s osou její vzdálenost od osy je rovna absolutní hodnotě této konstanty... Lineární unkce Obr. č. 7: Gra konstantní unkce Zdroj: [9] Lineární unkce Lineární unkcí nazýváme unkci danou předpisem y a b, kde a, b R, a D R Obr. č. 8: Gra lineární unkce Zdroj: [9] Graem je přímka, a se nazývá směrnice přímky, přičemž přímka s osou, b je posunutí přímky po ose y. a tg, je úhel, který svírá
.. Kvadratická unkce Kvadratickou unkcí nazýváme unkci danou předpisem y a b c, kde a, b, c R, a D R Kvadratická unkce Obr. č. 9: Gra kvadratické unkce Zdroj: [8] Graem je parabola. Úpravou dostaneme rovnici paraboly y n a m Pokud je a, je parabola otevřená ve směru kladné poloosy y. Pokud je a, je parabola otevřená ve směru záporné poloosy y. Je-li a, pak se parabola zúží vzhledem k parabole Je-li a, pak se parabola rozšíří vzhledem k parabole y. y. Tyto skutečnosti můžeme pozorovat na následujícím ilustračním obrázku. Obr. č. : Gray kvadratických unkcí Zdroj: [8]
..4 Mocninná unkce Mocninná unkce Mocninnou unkcí nazýváme unkci danou předpisem a y, a Z, a, Pokud je a, pak D R. a je sudé číslo a je liché číslo Obr. č. : Gra mocninné unkce Obr. č. : Gra mocninné unkce Zdroj: [8] Zdroj: [8] Pokud je a, pak R D a je sudé číslo a je liché číslo 4
Obr. č. : Gra mocninné unkce Obr. č. 4: Gra mocninné unkce Zdroj: [8] Zdroj: [8]..5 Lineární lomená unkce Dříve, než se začneme zabývat lineární lomenou unkcí v obecném tvaru, zmíníme se krátce o unkci, která je jejím speciálním případem nepřímou úměrností. Nepřímou úměrností nazýváme unkci danou předpisem y k, k R Nepřímá úměra Obr. č. 5: Gra nepřímé úměrnosti Zdroj: [8] Graem je rovnoosá hyperbola, osy souřadnicového systému jsou její asymptoty (hyperbola se k těmto přímkám přibližuje, ale neprotne je ani se jich nedotkne). 5
Jak se mění průběh grau unkce v závislosti na konstantě k, je zachycen na následujícím obrázku. Zvolíme pro k postupně hodnoty:,,, a odpovídající 4 gray znázorníme do jednoho souřadnicového systému. Obr. č. 6: Gra nepřímé úměrnosti v závislosti na konstantě k. Zdroj: [8] Lineární lomená unkce Lineární lomenou unkcí nazýváme unkci danou předpisem a b y, a, b, c, d R, c, ad bc. c d Graem je rovnoosá hyperbola. Asymptoty jsou d, y c a c 6
..6 Eponenciální unkce Eponenciální unkcí nazýváme unkci danou přepisem y a, a D R a a Eponenciální unkce Obr. č. 7: Gra eponenciální unkce Obr. č. 8: Gra eponenciální unkce Zdroj: [8] Zdroj: [8] Na dalším obrázku jsou různé druhy eponenciálních unkcí. Obr. č. 9: Gray eponenciálních unkcí Zdroj: [8] Důležitou eponenciální unkcí je unkce, která má základ tzv. Eulerovo číslo e,788... Funkci pak označujeme y e. Tvar grau je stejný jako je unkce na obrázku č. 7. 7
..7 Logaritmická unkce Logaritmická unkce Logaritmickou unkcí nazýváme unkci danou přepisem log, a y a D ; a a Obr. č. : Gra logaritmické unkce Obr. č. : Gra logaritmické unkce Zdroj: [8] Zdroj: [8] Logaritmická unkce a eponenciální unkce jsou navzájem inverzní unkce a platí pro ně vztah: log a y a y Obr. č. : Gray inverzních unkcí Obr. č. : Gray inverzních unkcí Zdroj: [8] Zdroj: [8] 8
..8 Goniometrické unkce Funkce y sin D R, H ; Funkce sinus Obr. č. 4: Gra unkce sinus Zdroj: [8] Funkce y cos Funkce kosinus D R, H ; Obr. č. 5: Gra unkce kosinus Zdroj: [8] 9
Funkce tangens Funkce y tg D k, k Z H R R, Obr. č. 6: Gra unkce tangens Zdroj: [8] Funkce kotangens Funkce y cot g D R, k, k Z H R Obr. č. 7: Gra unkce kotangens Zdroj: [8]
Dále jsou uvedeny gray goniometrických unkcí v závislosti na konstantách v těchto uncích obsažených. Gray goniometrických unkcí
Obr. č. 8: Gray goniometrických unkcí v zavislosti na konstantách Zdroj: [8]
Důležité vzorce pro goniometrické unkce: sin cos sin cos tg,cot g cos sin sin sin cos cos cos sin Vzorce pro goniometrické unkce. Kontrolní otázky. Deinujte pojem deiniční obor a obor hodnot.. Jaký je rozdíl mezi otevřeným, uzavřeným, polouzavřeným a nekonečným intervalem?. Uveďte příklad sudé a liché unkce. 4. Uveďte příklad periodické unkce. 5. Co je to monotónnost unkce? 6. Uveďte příklady elementárních unkcí a jejich vlastností..4 Shrnutí V. kapitole jsme zopakovali učivo o unkcích ze střední školy. Jedná se o základní vlastnosti unkcí a jejich gray.
4
Spojitost unkce Spojitost unkce Spojité unkce patří v matematice a v jejích aplikacích k nejdůležitějším typům unkcí. Představa spojité unkce se vytvořila při pozorování různých situací, např. dráha je spojitou unkcí času při pohybu hmotného bodu, objem je spojitou unkcí teploty. Cílové znalosti a dovednosti Cílem. kapitoly je seznámit se se spojitostí unkce, která je jedním z výchozích bodů pro určování dalších vlastností unkce, důležitých pro dierenciální i integrální počet. Klíčová slova Okolí bodu, levé a pravé okolí bodu, unkce nespojitá v bodě, bod nespojitosti unkce, unkce spojitá zleva a zprava, unkce spojitá na uzavřeném intervalu.. Okolí bodu Ve výkladu často použijeme pojmu okolí bodu (čísla) a. Rozumíme tím každý otevřený interval a, a,, R. Je to tedy množina všech reálných čísel, která vyhovují nerovnostem a a čili nerovnosti a. Číslo a nazýváme středem okolí, poloměrem okolí. Okolí bodu a značíme U a a někdy čteme - okolí bodu a. Levým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval a ; a, pravým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval a; a. Geometricky je okolí bodu úsečka délky, do které krajní body nepatří. Levé a pravé okolí je úsečka délky, do které patří bod a, ale druhý krajní bod nepatří. Okolí bodu Obr. č. 9: Gray okolí bodu, levého okolí bodu a pravého okolí bodu Zdroj: [] Příklad Charakterizujte interval (,4) jako okolí bodu. Řešené příklady Okolí bodu Řešení: Interval (,4) chápeme jako okolí bodu. Poloměr tohoto okolí je a střed a Příklad Charakterizujte intervaly ; 4 a ; jako okolí bodu. Řešení: Interval. ; 4 lze chápat jako pravé okolí bodu a interval ; jako levé okolí bodu 5
. Spojitost unkce v bodě Spojitost unkce Deinice je deinována v některé okolí bodu a. Říkáme, že unkce Nechť unkce je spojitá v bodě a, jestliže ke každému kladnému číslu eistuje kladné číslo tak, že pro všechna z okolí a, a bodu a patří unkční hodnoty do okolí a a a., bodu Obr. č. 4: Gra spojité unkce v bodě a Zdroj: [] Nespojitost unkce Funkce spojitá zleva Říkáme, že unkce y je spojitá v bodě a, jestliže ke každému eistuje takové číslo, že pro všechna, která je a, je a. O unkce, která není spojitá v bodě a, říkáme, že je nespojitá v bodě a. Bod a je tzv. bod nespojitosti unkce. Deinice je deinována v levém okolí bodu a. Říkáme, že unkce Nechť unkce je spojitá zleva v bodě a, jestliže ke každému eistuje číslo tak, že pro všechna z levého okolí a, a bodu a patří unkční hodnoty do okolí a, a bodu a. Funkce spojitá zprava Deinice Nechť unkce je deinována v pravém okolí bodu a. Říkáme, že unkce je spojitá zprava v bodě a, jestliže ke každému eistuje číslo tak, že pro všechna z pravého okolí a do okolí a, bodu a patří unkční hodnoty a, a bodu a. Funkce je spojitá v bodě a, když je v tomto spojitá jak zleva tak zprava. Funkce je spojitá v otevřeném intervalu a, b, je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je spojitá, je-li spojitá v každém bodě deiničního oboru. 6
. Spojitost unkce v intervalu Deinice Funkci nazýváme spojitou na uzavřeném intervalu a, b, je-li spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu a je-li kromě toho v bodě a spojitá zprava a v bodě b spojitá zleva. Spojitost unkce v intervalu Vlastnosti spojité unkce v uzavřeném intervalu a, b : Věta Je-li unkce ohraničená. spojitá na uzavřeném intervalu a, b, pak je v tomto intervalu Obr. č. 4: Gra spojité ohraničené unkce na uzavřeném intervalu Zdroj: [] Věta Je-li unkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b, pak eistuje aspoň jeden bod a, b tak, že a, b platí a aspoň jeden bod a, b tak, že a, b platí. Obr. č. 4: Gray k větě.. Zdroj: [] 7
Věta Je-li unkce unkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b a je-li a b nabývá všech hodnot mezi a a b., potom Obr. č. 4: Gray k větě.. Zdroj: [] Věta Je-li unkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b, a mají-li čísla a a b různá znaménka, eistuje aspoň jeden bod c a; b, ve kterém platí c. Velmi důležité při numerickém řešení rovnic řešíme-li rovnici a najdeme-li čísla a, b tak, že a b, pak leží v intervalu a, b aspoň jeden kořen. Obr. č. 44: Gray k větě..4 Zdroj: [] 8
Věta spojitá na uzavřeném intervalu a, b, pak jeho unkční hodnota je Je-li unkce opět interval. Interval se zobrazí opět na interval. Věta Obr. č. 45: Gray k větě..5 Zdroj: [] Je-li unkce y ryze monotónní a spojitá v uzavřeném intervalu a; b, potom k ní inverzní unkce y je spojitá v odpovídajícím intervalu..4 Kontrolní otázky. Deinujte levé a pravé okolí bodu.. Kdy je unkce spojitá v bodě?. Deinujte spojitost na uzavřeném intervalu. 4. Uveďte vlastnosti unkce spojité na uzavřeném intervalu..5 Shrnutí Ve. kapitole jsme se seznámili se spojitostí unkce, která je jedním z výchozích bodů pro určování dalších vlastností unkce, důležitých pro dierenciální i integrální počet. 9
4
Limita unkce Limita unkce Zavedení pojmu ita unkce je stěžejní pro další studium matematiky. Díky jemu se naučíme počítat s tzv. nevlastními prvky, které budeme označovat,. Cílové znalosti a dovednosti Cílem. kapitoly je seznámit se s itou unkce v návaznosti na předešlou kapitolu. Klíčová slova Limita unkce, jednostranná ita, ita zprava a zleva, oboustranná ita, nespojitost prvního druhu, unkce po částech spojitá v intervalu, nevlastní ita, nevlastní bod, vlastní ita.. Limita unkce v bodě Deinice Nechť unkce je deinována a, z některého okolí bodu a. Říkáme, že unkce má v bodě a itu A, jestliže ke každému kladnému číslu eistuje takové kladné číslo, že a z okolí a ; a bodu a patří unkční hodnoty do okolí A ; A bodu A. Zapisujeme A a Z deinice plyne, že ita unkce nezávisí na tom, zda je unkce v bodě a deinována, což je zásadní rozdíl proti spojitosti. Geometricky můžeme itu unkce interpretovat: Sestrojíme pás ohraničený rovnoběžkami y A, y A. Má-li unkce v bodě a itu rovnou číslu A, eistuje vždy - okolí bodu a tak, že všechny body ; grau leží v tomto pásu, pokud leží v U a a a. Funkční hodnota v bodě a může být mimo pás nebo unkce v bodě a nemusí být deinována. Obr. č. 46: Gra geometrické interpretace ity Zdroj: [] 4
Věta Funkce a je spojitá v bodě a právě tehdy, je-li v tomto bodě deinována a platí a Věta Funkce má v bodě a nejvýše jednu itu. Jednostranné ity Jednostranné ity Deinice Nechť unkce je deinována v otevřeném intervalu a ; a,. Říkáme, že má v bodě a itu zprava rovnu číslu A, jestliže ke každému číslu eistuje takové číslo tak, že pro všechna a; a platí A. Označení A. a Deinice Nechť unkce je deinována v otevřeném intervalu a ; a,. Říkáme, že má v bodě a itu zleva rovnu číslu A, jestliže ke každému číslu eistuje takové číslo tak, že pro všechna a ; a platí A. Označení A. a Obr. č. 47: Gray jednostranných it Zdroj: [] Je zřejmé, že unkce, která má v bodě a itu zprava (zleva), nemusí být v bodě a deinována. Limity zleva a zprava nazýváme jednostrannými itami, itu unkce v bodě nazýváme někdy oboustrannou itou. 4
Funkce má v bodě a itu právě tehdy, má-li v tomto bodě itu zprava a itu zleva a jsou-li si tyto ity rovny. Označení A A A a a a Deinice Říkáme, že unkce má v bodě nespojitost prvního druhu, není-li v bodě a spojitá a eistují-li jednostranné ity A, B, A B, A, B jsou konečná čísla. Číslo Deinice a a A B se nazývá konečný skok v bodě a. nazýváme po částech spojitou v intervalu a; b, je-li spojitá v a; b Funkci s výjimkou konečného počtu bodů, ve kterých má nespojitost prvního druhu. Nespojitost prvního druhu Funkce po částech spojitá na intervalu Věty o itách unkcí Věta Jestliže pro unkci bodu a a má-li unkce A. Věta Mají-li unkce a g platí g pro všechna a g v bodě a itu A, má také unkce a g v bodě a itu A, B a a bodě itu i jejich součet, rozdíl, součin a pro B i podíl a platí: a a a a g g A B a a g g A B a a g g A B a a A g a g B z určitého okolí v bodě a itu, má v tomto Příklad Vypočtěte itu unkce: 4 Řešené příklady Limita unkce Řešení: 4 Racionální unkce : y je spojitá v R, proto a R je 4 4 6 4 unkční hodnotě a. Tedy 5 4 a rovna 4
Příklad Vypočtěte itu unkce: Řešení: Funkce sin 6 : y sin je spojitá v R, proto R je sin sin a. Tedy platí sin sin 6 6. a Příklad Vypočtěte itu unkce: Řešení: Funkce : y není v bodě deinována, tedy nemůže být v tomto bodě ani spojitá. V tomto případě itu v bodě nelze počítat jako předcházející ity na základě věty o itě spojité unkce. Můžeme však v R provést následující úpravu: g. Máme tedy dvě unkce. s deiničním oborem D R a g s deiničním oborem D g R. Funkce g je spojitá R, tedy i v bodě. Dále platí: M D Dg R je g. Rovnost g musí tedy platit i v okolí bodu, tj. v intervalu ; ;. Tím jsou splněny všechny předpoklady o itě dvou unkcí a proto platí:. Příklad 4 4 Vypočtěte itu unkce: Řešení: Postupujeme jako u předešlého příkladu 4. V R 4 platí:. 4 Využili jsme tedy skutečnosti, že unkce a g se v R rovnají a unkce g má v bodě itu, protože je v tomto bodě spojitá. 44
Příklad 5 Vypočtěte itu unkce: sin Řešení: sin sin cos sin cos cos Příklad 6 cos sin Vypočtěte itu unkce: Řešení: cos sin sin cos cos Příklad 7 Vypočtěte itu unkce: 4 sin Řešení: 4 4 4, protože sin sin ; je. Platí sin sin sin sin sin Příklad 8 tg Vypočtěte itu unkce: Řešení: tg sin cos cos sin cos Příklady na procvičení: Vypočtěte ity unkcí Příklady na procvičení Limita unkce a [] b ln [] c 9 [ ] 45
d [] 5 6 e [-7] g h 8 5 5 5 [ 4 ] [ ] [ 5 ] Vypočtěte ity unkcí a 9 [ ] 6 b [ ] c [ ] d e 6 4 9 [] [-] [] g 6 6 [ 6 6 ] Vypočtěte ity unkcí a tg sin [ ] cos b [ ] 46
c 5cos [-5] d e sin cos sin [ ] [] cot g g sin cos tg 4 [] [ ] h sin [ 4 ] tg sin i [ ] j cos tg sin []. Nevlastní ita unkce, ita unkce v nevlastním bodě Nevlastní ita v bodě a znamená, že gra unkce neustále roste nad jakoukoliv hodnotu k. pro čísla z - okolí bodu a Deinice je deinována pro všechna a z nějakého okolí bodu a. Říkáme, Nechť unkce že má v bodě a nevlastní (nekonečnou) itu, jestliže ke každému libovolně velkému k eistuje - okolí bodu a tak, že pro všechna z tohoto okolí platí k. Značíme. a Limita unkce v nevlastním bodě Deinice je deinována pro všechna a z nějakého okolí bodu a. Říkáme, Nechť unkce že má v bodě a nevlastní (nekonečnou) itu, jestliže ke každému libovolně velkému k eistuje - okolí bodu a tak, že pro všechna z tohoto okolí platí k. Značíme. a Limita unkce v nevlastním bodě 47
Obr. č. 48: Gra nevlastní ity Zdroj: [] Má-li unkce v bodě b konečnou itu, říkáme, že má vlastní itu. Vlastní ita v nevlastním bodě Deinice Nechť unkce je deinována v levém okolí bodu (tedy deinována v intervalu b ;, kde b je určité reálné číslo). Říkáme, že unkce má v nevlastním bodě vlastní itu A, jestliže ke každému eistuje číslo k tak, že pro všechna k je A. Značíme A Obr. č. 49: Gra ity v nevlastním bodě Zdroj: [] Vlastní ita v nevlastním bodě Deinice Nechť unkce je deinována v pravém okolí bodu (tedy deinována v intervalu b ;, kde b je určité reálné číslo). Říkáme, že unkce má v nevlastním bodě vlastní itu A, jestliže ke každému eistuje číslo k tak, že pro všechna k je A. Značíme A 48
Deinice je deinována v levém okolí bodu Nechť unkce má v nevlastním bodě nevlastní itu A, jestliže k libovolnému K eistuje číslo N tak, že pro všechna N je K. Značíme. Říkáme, že unkce Nevlastní ita v nevlastním bodě Obr. č. 5: Gra nevlastní ity v nevlastním bodě. Zdroj: [].. Věty o nevlastních itách Věty platící pro vlastní ity lze často použít i pro nevlastní ity, nevede-li výpočet k výrazům typu,,. Věty o nevlastních itách Věta Je-li g g a a a g g a a a g g a a a g g a a a g A g a a a g A g a a a 49
5 Příklad Vypočtěte itu unkce: 5 Řešení: 5 5 5 Příklad Vypočtěte itu unkce: 4 Řešení: 4 4 4 4 4 4 Příklad Vypočtěte itu unkce: 4 5 Řešení: 4 5 4 5 4 5 Příklad 4 Vypočtěte itu unkce: 6 Řešení: 6 6 6 Řešené příklady Limita unkce v nevlastním bodě
Některé důležité ity: n, n N Je-li ; a : neeistuje Vzorce pro výpočet it n a a log a Je-li ; a : log a a a log a log a ln ln sin neeistuje sin neeistuje cos neeistuje cos neeistuje tg tg cot g cot g sin tg e k a... b l... k a... b l... jestliže k l jestliže k l ln k a... a l b... jestliže k l b 5
Příklady na procvičení Limita unkce Příklady na procvičení: Vypočtěte ity: a b [ ] [] c d 5 5 e 4 7 9 [-] [ ] [ ] 5 7 [] Vypočtěte itu: a b [] [] c [] d [] e [ ] 4 [ ] 5
. Kontrolní otázky. Deinujte itu unkce v bodě.. Jaký je rozdíl mezi jednostrannou a oboustrannou itou?. Deinujte pojem nespojitost. druhu. 4. Uveďte věty o itách unkce. 5. Vysvětlete pojmy ita v nevlastním bodě a nevlastní ita. 6. Uveďte věty o nevlastních itách..4 Shrnutí Ve. kapitole jsme se seznámili s itou unkce v návaznosti na předešlou kapitolu. 5
54
4 Derivace unkce Derivace unkce Derivace unkce je pojem, který je důležitý nejen v matematice, ale ve všech technických disciplínách. Cílové znalosti a dovednosti Cílem 4. kapitoly je seznámit se s derivací unkce, vysvětlit derivaci elementárních unkcí, derivaci operací s unkcemi, derivaci vyšších řádů. Výpočet ity unkce pomocí L Hospitalova pravidla. Nejdůležitějším bodem celé kapitoly je vyšetřování průběhu unkce, v němž se využijí znalosti předešlých kapitol. Vyšetřování průběhu unkce je vyvrcholením celého dierenciálního počtu. Klíčová slova Derivace unkce v bodě, směrnice tečny, derivace vyšších řádů, L Hospitalovo pravidlo, průběh unkce, monotónnost unkce, lokální etrémy, lokální maimum a minimum, ostré lokální maimum a minimum, stacionární bod, absolutní etrémy, globální etrémy, konvenost a konkávnost unkce, inlení bod, asymptoty unkce, asymptoty se směrnicí a bez směrnice. 4. Derivace unkce v bodě Deinice Deinujme unkci Eistuje-li vlastní ita pro D má v bodě derivaci., říkáme, že unkce Derivace unkce v bodě Poznámka: Funkce vyjadřuje směrnici přímky, která prochází body ;, ;., (Obr. č. 5). Z toho plyne, že je směrnice tečny ke grau unkce v bodě, (Obr. č. 5). Rovnice této tečny je y y tg tj. y y. 55
Obr. č. 5: Gra směrnice přímky Obr. č. 5: Gra směrnice tečny Zdroj: [9] Zdroj: [9] 4. Derivace elementárních unkcí Vzorce pro výpočet derivací Vzorce pro výpočet derivací Funkce Podmínka Derivace : y c c R y n : y R, n R y n n : y sin R y cos : y cos R y sin : y tg k, k Z y cos : y cot g k, k Z y sin : y e R y e : y a : y ln R R, a R : y log a R, a R Tab. č. : Vzorce pro výpočet derivací Zdroj: Vlastní zdroj y a ln a c y y ln a Vzorce pro výpočet derivací operací Vzorce pro výpočet derivací operací s unkcemi Operace Funkce Derivace v u v Součet u Rozdíl u v u v Součin u v u v uv 56
57 Podíl v u v v u v u Součin konstanty a unkce u c u c Složená unkce g g g Tab. č. : Vzorce pro výpočet derivací operací s unkcemi Zdroj: Vlastní zdroj Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: 7 5 y Řešení: 7 7 5 7 5 : R Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: 7 cos 5 y Řešení: R sin cos 5 sin cos 5 7 cos 5 7 cos 5 : Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: : R Příklad 4 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y cos sin Řešení: cos cos cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin :, Z k k Řešené příklady Derivace unkce
58 Příklad 5 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: 4 : R Příklad 6 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: 4 4 : R Příklad 7 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: Funkci upravíme jako mocninnou unkci a pak derivujeme. Je to jednodušší než derivovat podíl. 6 5 6 5 6 6 6 6 6 : R Příklad 8 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: Funkci upravíme jako součet zlomků. : R
59 Příklad 9 Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: Derivujeme podle vzorce pro součin unkcí. Derivace eistuje pro, tedy pro ; Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y Řešení: Derivujeme podle vzorce pro podíl unkcí: 4 4 4 4 : R Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: 7 5 y Řešení: Derivujeme podle vzorce pro derivaci složené unkce. Funkce 7 5 y je složena z unkcí, 5 7 z z y. Postupně mají tyto unkce derivace v každém bodě R R z,. Tedy, 5 7 5 7 4 6 5 4 6 5 6 z d d dz z d d dy y, což se někdy píše 5 7 5 7 4 6 5 4 6 5 7 z z y. Příklad Vypočtěte derivaci unkce v libovolném bodě jejího deiničního oboru: y sin Řešení: Derivujeme podle vzorce pro derivaci složené unkce. Funkce y sin je složena z unkcí z z u u y, sin,. Postupně mají tyto unkce derivace v každém bodě R R z R u,,. Tedy
y u sin z u cos z sin z cos sin cos sin Poslední krok je podle vzorce pro úpravu goniometrických unkcí sin cos sin Příklady na procvičení Derivace unkce Příklady na procvičení: Vypočtěte derivace unkce: a y 4 7 [ y 4 ] b 4 8 y 4 [ y c 5 y 7 [ y 7 4 6 ] 4 5 6 ] d y 4 7sin cos e [ y 4 7cos sin e ] e y ln [ y ] y tg [ y tg ] g y tg cot g [ y 4 ] sin Upravte výraz a vypočtěte derivaci unkce: a 4 y [ y 5 8 ] 6 [ y 4 b y 4 c y ] 4 [ y ] d 6 5 6 9 y [ y ] 6 e y [ y ] y [ y 6 Vypočtěte podle vzorce pro derivaci složené unkce derivaci unkce: ] a y [ y 6 ] 6
4 b y sin [ y 4sin cos ] c y sin [ y 6 cos ] d y tg [ y 6sin ] 4 cos e y e [ e y ] 6 ln y ln [ g y ] y e [ y e ] h 5 y [ y 5 ln 5 ] i y 4 4 [ y ] 4 4 Vypočtěte derivaci unkce: a y [ y ] b y sin cos [ y cos ] c d e g h i y sin [ y y 6sin cos ] [ y e ln e ln ] y [ y ] y [ y ] y [ y ] y e [ e y y ] [ y ] 6
Derivace unkce vyšších řádů Řešené příklady Derivace vyšších řádů 4.. Derivace vyšších řádů Pokud máme unkci derivaci unkce y y y, umíme vypočítat podle výše uvedených vzorců tzv... V dalších výpočtech se setkáme s. derivací, kterou vypočítáme tak, že derivovanou unkci ještě jednou derivujeme. Stejně tak bychom mohli vypočítat. derivaci, 4. derivaci atd. Příklad Vypočítejte všechny derivace unkce 4 Řešení: 6 4 7 5 6... 7 Příklady na procvičení Derivace vyšších řádů Příklady na procvičení: Vypočtěte, a y 5 7 [ y 7, y ] b y 4 7 [ 4 4 6, y 68 4 5 y ] c y [ y, y ] d y [ y, y ] e y sin cos [ y cos sin, y sin cos ] y sin [ y sin 6, y 8cos6 ] g y cos [ y sin, y 4cos ] h y sin [ y cos, y 4sin ] L Hospitalovo pravidlo 4.. L Hospitalovo pravidlo V kapitole o itách je uvedeno několik vět, podle kterých jsme počítali ity různých unkcí. Na některé případy však tyto věty nelze aplikovat. 6
Věta (L Hospitalovo pravidlo) Nechť, g a pak eistuje a g a A. Tedy nebo, g a g a a g a A. a A, a g Toto pravidlo lze použít i v případě, když a. Pomocí této věty tedy počítáme ity, které při nesprávném použití vět o itách vedou k výrazům typu,. Tyto ty it je možno převést vhodnými úpravami na ity: g, g, g, které při nesprávném použití vět o itách a a vedou k výrazům a,,,,. Příklad ln Vypočtěte: Řešené příklady L Hospitalovo pravidlo Řešení: ln a ln 4 Příklad Vypočtěte: cos Řešení: cos a cos sin sin cos V tomto příkladu jsme si ukázali, že L Hospitalovo pravidlo lze použít i několikrát po sobě (pokud to situace vyžaduje). Příklady na procvičení: Pomocí L Hospitalova pravidla vypočítejte ity: 4 a 4 8 8 [ ] Příklady na procvičení L Hospitalovo pravidlo b sin sin [ ] 6
c d e g h i j cos e e e e ln ln sin cos sin tg 4 tg e cos tg [ ] ln [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k [ ] e e l m cos tg cos [ ] [ ] cos n [ ] Průběh unkce 4. Průběh unkce Vyšetřit průběh unkce patří k základním úlohám dierenciálního počtu. Jedná se o zjištění základních vlastností unkce, pomocí nichž můžeme sestrojit gra unkce. Dříve než přistoupíme k vlastnímu vyšetřování průběhu unkcí, uvedeme některé důležité věty, které jsou teoretickým základem pro zkoumání průběhu unkce. Monotónnost unkce 4.. Monotónnost unkce 64
Věta Je-li, potom je unkce Je-li, potom je unkce Věta (Rolleova) Nechť unkce má tato vlastnosti: a je spojitá na uzavřeném intervalu a; b, rostoucí v bodě. klesající v bodě. b má v každém bodě otevřeného intervalu a; b derivaci c platí a b. Potom eistuje v otevřeném intervalu a; b aspoň jeden bod c, ve kterém platí c. V tomto bodě c pak může nastat minimum nebo maimum. Obr. č. 5: Gray k větě 4... Zdroj: [] Příklady na procvičení: Určete intervaly monotónnosti unkcí: [rostoucí v ; a y, ;, klesající v ; ] Příklady na procvičení Monotónnost unkce b y [rostoucí v R ] c y 4 8 48 [rostoucí v ;, 4;, klesající v ;, ;4 ] [rostoucí v, ;, 4; d y 5 4 ;, ; ] e y 4 4 6 [rostoucí v ;, ; ;, klesající v, klesající v ;, ; ] y 6 5 4 5 6 5 [rostoucí v ;, ;, klesající v ;, ; ] 65
g y [rostoucí v ;, klesající v, ; ; ] h y 5 [rostoucí v 5 5 ;, ;, klesající v 5 5 5 5 ; ] 5 5 i j k y [rostoucí v ;, klesající v, ; y ; ] [rostoucí v ;, ;, klesající v ;, ; ] y [rostoucí v ;, klesající v ; ] l y [rostoucí v, ;, ; ; ] m y e [rostoucí v ;, klesající v ; ] n y sin [rostoucí v R ] o p y e [rostoucí v ; ln y [rostoucí v ;, klesající v ; ] e, klesající v ; e ] Etrémy unkce 4.. Etrémy unkce Etrémem unkce rozumíme minimum nebo maimum (nejnižší a nejvyšší bod na grau unkce). Lokální maimum Ostré lokální maimum Lokální minimum Ostré lokální minimum Deinice Říkáme, že unkce bodu, že říkáme, že unkce Deinice Říkáme, že unkce má v bodě lokální maimum, eistuje-li takové okolí z tohoto okolí platí. Platí-li vztah, má v bodě ostré lokální maimum. má v bodě lokální minimum, eistuje-li takové okolí bodu z tohoto okolí platí. Platí-li vztah, říkáme, má v bodě ostré lokální minimum., že že unkce Pro lokální maimum a lokální minimum používáme souhrnného názvu lokální etrémy resp. Ostré lokální etrémy. Věta (nutná podmínka eistence lokálního etrému) 66
v bodě lokální etrém a eistuje-li v tomto bodě derivace, potom platí. Má-li unkce Deinice Stacionárním bodem unkce unkce, ve kterých je nebo nazýváme všechna čísla z deiničního oboru neeistuje. Stacionární bod Lokální etrém tedy unkce může mír jen ve stacionárních bodech. Má-li unkce více stacionárních bodů, může mít etrém jen v některém z nich. O tom, ve kterém ze stacionárních bodů má unkce etrém, mluví věta: Věta (postačující podmínka eistence lokálního etrému), má Nechť a nechť v bodě eistuje druhá derivace. Je-li unkce v bodě ostré lokální maimum. Je-li, má unkce v bodě ostré lokální minimum. Podle této věty nelze rozhodnout o eistenci etrému v případě, že Postup při určování etrémů unkce: Určíme Kořeny rovnice a body, ve kterých,,... Vypočteme. Jeli je v bodě postupujeme obdobně. Je-li případě můžeme použít přímo deinici etrému. neeistuje, jsou stacionární body, je v bodě ostré lokální minimum. Je-li ostré lokální maimum. V ostatních stacionárních bodech nelze o etrému v bodě Absolutní etrémy unkce (globální etrémy). rozhodnout. V tomto Velmi často se setkáváme s případem, že je třeba najít největší nebo nejmenší hodnotu unkce. Absolutním (globálním) etrémem unkce je pak největší hodnota u maima a nejmenší hodnota u minima ze všech lokálních etrémů unkce. Postup pro určování etrémů unkce Absolutní etrémy unkce Obr. č. 54: Gra unkce s lokálními i globálními etrémy Zdroj: [] 67
Příklady na procvičení Etrémy unkce Příklady na procvičení: Určete intervaly monotónnosti a lokální etrémy unkcí: y [rostoucí v ;, klesající v ; a maimum 4] b y ; minimum, v bodě lokální maimum ] [rostoucí v, klesající v, ; c y, ; maimum, v bodě lokální minimum -] [rostoucí v ;, klesající v ;, v bodě lokální ;, v bodě lokální, v bodě lokální d y [rostoucí v R, nemá etrémy] e y [rostoucí v R, nemá etrémy] Konvenost a konkávnost unkce Inlení body 4.. Konvenost a konkávnost unkce. Inlení body Tyto pojmy pomáhají výstižnější charakteristice unkce a jejího grau. Deinice, která má v bodě derivaci, je v bodě ;, že U Říkáme, že unkce ryze konvení resp. ryze konkávní, eistuje-li takové okolí bodu leží body grau unkce nad resp. pod tečnou sestrojenou v bodě ;. Obr. č. 55: Gra ryze konvení unkce Obr. č. 56: Gra ryze konkávní unkce Zdroj: [] Zdroj: [] Konvenost a konkávnost unkce na intervalu Deinice Jestliže v každém bodě intervalu I je unkce že je konvení resp. konkávní v intervalu I. konvení resp. konkávní, říkáme, v bodě druhou derivaci různou od nuly, rozhodneme o Má-li unkce konvenosti a konkávnosti velmi snadno. 68
Věta Je-li, je unkce Je-li, je unkce Věta v bodě konvení. v bodě konkávní. Je-li v intervalu, je unkce Je-li v intervalu, je unkce v intervalu konvení. v intervalu konkávní. Deinice má v bodě derivaci. Přechází-li gra unkce v bodě Nechť unkce ; z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou nebo naopak, nazýváme bod inlením bodem unkce. Inlení bod unkce Má-li unkce druhou derivaci, usnadní nám určení inleního bodu tato věta. Věta Je-li inlením bodem unkce. a má-li v tomto bodě druhou derivaci, pak Inlení body unkce hledáme mezi těmi body, v nichž je druhá derivace rovna, Avšak každý bod, ve kterém platí, nemusí být inlením bodem. Věta Je-li a, pak je bod inlením bodem unkce. Počítat třetí derivaci je u mnohých unkcí velmi pracné, proto inlení bod určíme pomocí následující věty. Věta Má-li unkce I, a v bodě spojitou derivaci a má-li se mění znaménko v intervalu I, různá znaménka (v bodě ), pak je inlením bodem unkce. Nemění-li v bodě znaménko, není inlením bodem. Je zřejmé, že při zjišťování znaménka druhé derivace unkce souvisí s určování intervalů, kde je unkce konvení nebo konkávní. Proto při hledání inleních bodů a určování a konvenosti a konkávnosti unkce postupujeme takto: Určíme druhou derivaci unkce. Najdeme body, kde je tato derivace rovná nule nebo neeistuje. Určíme znaménko druhé derivace v intervalech s krajními body získanými v bodě. Kde je, je unkce konvení, kde je, je unkce konkávní. Inlení body jsou ty body unkce, kde druhá derivace mění znaménko, tedy unkce přechází z konvení na konkávní nebo naopak. 69
Řešené příklady Konvenost a konkávnost unkce Inlení bod unkce Příklad Určete kde je unkce ln, ; inlení body. konvení nebo konkávní a najděte její Řešení: Určíme nejprve první a druhou derivaci: 8 8 4, pro a 4 Zlomek je kladný, pokud je čitatel kladný, tedy 4. Tedy pro ;je unkce konvení (v intervalu ;není deinována). Pro ; Je. V intervalu ;je unkce konkávní. Druhá derivace v bodě mění znaménko, proto je inlení bod. Příklady na procvičení Konvenost a konkávnost unkce Inlení bod unkce Příklady na procvičení: Určete intervaly, ve kterých je daná unkce konvení, konkávní a určete inlení body, pokud eistují: a y [konvení v R ] b y 5 5 [konkávní v R ] c y [konvení v ;, konkávní v ;, inlení bod ] d y 4 [konvení v R ] e y, ] 4 [konvení v, ; y 6 [konvení v ;, ] ;, konkávní v ;, inlení body konkávní v ;, inlení bod g y [konvení v ;, konkávní v ; ] h y [konvení v, ; ; ] i y [konvení v ;, konkávní v ; ] 7
j 5 y [konvení v ;, konkávní v ; k y inlení body,, ] ] [konvení v ;, ;, konkávní v ;, ;, l y [konvení v ;, konkávní v ; ] m y ln [konkávní v ; ] n o y e [konvení v R ] y ln [konvení v e e;, konkávní v ;e e, inlení bod e e ] p y e [konvení v inlení body, ] ;, ;, konkávní v ;, 4..4 Asymptoty unkce. Asymptoty se směrnicí Asymptoty unkce Věta Přímka y k q k resp. k je asymptota unkce k q resp. k q právě tehdy, eistují-li konečné ity Pokud ity neeistují, unkce nemá směrnicovou asymptotu.. Asymptota bez směrnice Asymptota bez směrnice je přímka, která je rovnoběžná s osou y. (jsou to hodnoty bodů, v nichž unkce není deinována. Příklad Určete asymptoty unkce. Asymptota se směrnicí: 5 4 7
5 4 5 k 4 Stejně vyjde: k 5 5 q k 4 9 9 Asymptota má tedy rovnici: y. 9. Asymptota bez směrnice: 4 Funkce není deinována v bodě. Proto asymptota má rovnici 4. Postup při vyšetřování průběhu unkce Postup při vyšetřování průběhu unkce: Deiniční obor, unkce sudá, lichá, periodická Body, ve kterých není unkce deinována, ale má v nich jednostranné ity, výpočet těchto it, ity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti. Průsečíky s osami a y, znaménka unkčních hodnot Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých není deinována. derivace Lokální etrémy, intervaly monotónnosti Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých není deinována. derivace Inlení body, intervaly konvenosti a konkávnosti Asymptoty Obor hodnot Gra unkce. Řešené příklady Průběh unkce Příklad Vyšetřete průběh unkce: : y 6 9 Řešení: D R, D,, je,,. Funkce není sudá ani lichá.. Body, kde není unkce deinována, nejsou. Průsečík s osou y je O,, průsečíky s osou získáme řešením rovnice 6 9. Po úpravách dostáváme. V intervalu ; je a v množině ; ; je. 9. Dále je 9. Stacionární body jsou,. Body, kde není deinována derivace, nejsou. Body, určují intervaly ;, ;, ;. Pro znaménka v těchto ; je ; je ; je intervalech platí: a a. Z toho vyplývá, že unkce je rostoucí v ; a v ; ;, lokální maimum má v bodě, 4,. 7, klesající pak v, a lokální minimum v bodě
6,6. Bod je nulový bod. derivace. Body, kde není deinována. derivace, nejsou. Bod určuje intervaly ;, ;. Pro znaménka v těchto intervalech zjistíme, že ; je a ; je. Z toho plyne, že unkce je konkávní v ; a konvení v ; a bod je inlením bodem. 6 9 a 6 9. Asymptoty se směrnicí gra unkce nemá, asymptoty bez směrnice také neeistují, protože D R a unkce je všude spojitá. H R Gra unkce je na obrázku č. 57. Obr. č. 57: Gra unkce k příkladu č. Zdroj: [6] Příklad Vyšetřete průběh unkce: : y Řešení: D R. Funkce není sudá ani lichá, protože je v bodě - deinována, ale v bodě nikoliv.,,,. Průsečík s osou y je O,, průsečíky s osou získáme řešením rovnice. Tato rovnice má kořen. Pro ; ; je a pro ; je.,. Stacionární body jsou,. Body, a bod, kde není deinována unkce ani derivace, určují intervaly ;, ;, ;, ;. Pro znaménka v těchto intervalech platí: ; ; je ; je ; je je a a a. Z toho vyplývá, že unkce je rostoucí v ; a v ; ; a v ;. Lokální maimum má v bodě, 7, klesající, pak v, a lokální minimum v bodě
4,., D platí:. Nulové body. derivace nemá, bod je bod, kde není deinována. derivace, ale ani unkce. Bod, ; v těchto intervalech určuje intervaly ;. Pro znaménka pak platí: ; je a ; je je konkávní v ; a konvení v ;. Z toho plyne, že unkce. Inlení bod unkce nemá. a,. Dále je b a. Podobně je a. To znamená, že gra unkce má asymptotu se směrnicí y a b, kde a a b, tedy y. Protože asymptotu bez směrnice. H ; 4;. Gra unkce je na obrázku č. 58 a, má gra unkce také Obr. č. 58: Gra k příkladu č. Zdroj: [6] Příklad Vyšetřete průběh unkce: ln : y Řešení: R D, a proto unkce není sudá ani lichá. ln ln, ln Průsečík s osou y neeistuje, průsečík s osou získáme řešením rovnice. ln Zřejmě je. Pro ; je a pro ; je. ln ln. Dále je ln e. Stacionární bod je e. Bod e ;, e; v těchto intervalech platí: určuje intervaly e. Pro znaménka 74