Prednášk 7 Derivái unkie Deiníi Ne unki je deinovná v istom okolí ľvom okolí, prvom okolí čísl Hovoríme, že unki má v bode deriváiu deriváiu zľv, deriváiu sprv, keď eistuje it unkie resp derivái zľv lebo derivái sprv Ak oznčíme rozdiel, potom ekvivlentný tvr deriváie unkie v bode je Limitu nzývme deriváiou [derivái zľv, derivái sprv] unkie v bode Oznčujeme ju znkom, resp, Deriváiu unkie v čísle oznčujeme nieked j d lebo d Ak použijeme oznčenie, potom deriváiu oznčujeme Deriváiu unkie d d n množine M budeme oznčovť npríkld j tkto: ; ;, d d Ak unki má v čísle nevlstnú itu resp nevlstnú itu zľv, nevlstnú itu sprv, potom budeme ovoriť, že unki má v čísle nevlstnú deriváiu, resp nevlstnú deriváiu zľv, nevlstnú deriváiu sprv Vet Funki má v čísle deriváiu vted len vted, k má v čísle deriváiu zľv deriváiu sprv pltí, že Vet Ak unki má v čísle deriváiu deriváiu zľv, deriváiu sprv, potom je v bode spojitá spojitá zľv, spojitá sprv Treb dokázť, že pltí: Pltí: ; z too Potom
Niektoré vet pre počítnie deriváií Vet Ne unkie mjú n množine M deriváiu ne je ľubovoľné je číslo Potom j unkie,,, mjú n M deriváiu pltí: b b Vet Ne unkie mjú n množine M deriváiu ne n množine M Potom unki má n M deriváiu pltí: '
Deriváiu podielu unkií vpočítme ko deriváiu súčinu unkií Máme ted:, u uv uv vo ormálnej smbolike v v Podobne s ormálne použív pre deriváiu súčinu vzť: uv uv uv Vet Derivái zloženej unkie Ne unki u má n množine M deriváiu Ne H je obor odnôt unkie u deinovnej n M Ne unki u má n množine H deriváiu Potom zložená unki má n M deriváiu pltí: u u d, čo s čsto zpisuje j tkto: d d du du d Vet Derivái inverznej unkie Ne unki je deinovná n intervle, b Ne unki je n intervle, b rýdzo monotónn ne má n intervle tomto intervle deriváiu ne pre kždé, b je Potom inverzná unki u u u u má n svojom deiničnom obore deriváiu pltí Príkld Odvoďte vzť pre výpočet deriváie unkie rt Riešenie: Funki u t je rýdzo monotónn n intervle, Má ted inverznú unkiu u rtu Pre jej deriváiu pltí: rtu rtu t rtu rtu t rtu rtu u
Deriváie elementárn unkií Pre kždé z deiničnéo oboru elementárn unkií pltí:, kde je ľubovolná konštnt, ted ;, n n 3 n, kde n je ľubovolné číslo, n n n ln n ln n n n e e nln n Poznámk Vužili sme skutočnosť, že derivái ln 4 e e 5 ln, kde ; ; ln ln e e ln ln 6 ln poznáme e e ; podľ vzťu pre deriváiu inverznej unkie máme: ln ln e e e ln 7 lo, kde ; ln ln lo ln ln ln 8 9
] [ t t ot ot r pre r r
Zákldné vzore n derivovnie elementárn unkií 3 5 7, kde je konštnt n n n, kde n je reálne 4 e e číslo ln 6 ln ln ln 9 t ot r, pre 3 r, pre rt 5 rot 8 4