LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími techikami, které vedou ke správým výsledkům. Co je potřeba umět: Bez zalostí elemetárích fukcí se v této kapitole eobejdete. Poslouposti záme, posloupost je fukce, jejíž defiičí obor je možia přirozeých čísel. a a a,5 a3,3 a4, 5 3 4 Můžeme určit libovolý čle. Stý čle poslouposti je a, Nyí ás ale zajímá, jak vypadají čley poslouposti, když (ozačující -tý čle) roste ade všechy meze, tedy do ekoeča. Naše posloupost je klesající, každý čle je meší ež te předchozí, vidíme tak, že čley se eustále zmešují. []
Blíží se k ule. a, a, Řekeme, že ita aší poslouposti je ula; zapisujeme a DEFINICE Přesá defiice vypadá takto: Řekeme, že posloupost a má itu A, jestliže: ε > > a A < ε ; Vysvětlující douška (a ašem příkladu) a A Takže ε > ; > a < ε Česky: pro libovolě malé číslo ε (které je větší ež ula) existuje idex (ějaké číslo) takové, že všechy čley poslouposti s vyšším idexem jsou od hodoty ula vzdáley méě ež daé ε. []
Někdo ám dá apř. ε Hledám idex takový, že všechy ásledující prvky poslouposti budou v itervalu ; Zajímá mě, kdy a < ε < To platí pro > Pro ε je zřejmě Tedy obecě ε Ať je teď ε libovolé, vždy ajdu. Proto [3]
a + a,5 a 3 4,6 a3,75 a4,8 3 4 5 a 99 999,99 a,999 99 999 Vidíme, že hodoty se blíží eustále k jedičce. + Důkaz apř. ε, Hledám, aby a < ε a (,9;,) 9 > 9 + ε, Tak chceme, aby a (,99;,) 99 > 99 + Obecě ε chceme a ( ε;+ ε ) > ε > ( + )( ε ) > + ε ε + [4]
ε ε > ε > ε Proto ε ε Ať je ε libovolé, vždy ajdu. Proto + V obou předchozích případech byla ita ějaké reálé číslo. Říkáme, že ita je vlastí. a a a a 3 a a 3 Vidíme, že hodoty aší poslouposti se eustále zvětšují. Říkáme, že a DEFINICE a je posloupost, a Pokud K > ; a > K Vysvětlující douška Hodoty poslouposti mají růst do ekoeča, ade všechy meze. Takže když mi ěkdo dá libovolě [5]
velké číslo K. Tak od určitého idexu musí hodoty poslouposti být větší ež K. Pokud dokážu takový idex ajít pro každé K, pak ita je. a Pro K je zřejmě protože a pro > je a > K Pro K je K a a a 4 a 9 a 6 3 4 a Protože K stačí, protože a K je, protože a Takže K [6]
a + a + a a a 8 a a 3 Zřejmě a DEFINICE a pokud K ; a < K Pokud je ita poslouposti ebo, říkáme, že ita je evlastí. Limita poslouposti ale emusí existovat. a ( ) a a a a 3 4 Hodoty poslouposti oscilují. K žádé hodotě se v ekoeču eblíží - pořád skáčou. a eexistuje Mějme dvě poslouposti a a b. Pak platí: [7]
Věta ( ) a ± b a ± b Pokud se ovšem ejedá o výraz + + + + + + + ( ) Zde elze větu použít. ( ) evíme! Obdobá věta platí i pro souči a podíl it. Věta ( ) a b a b Pokud výraz vpravo má smysl. [8]
Věta a a b b Pokud výraz vpravo má smysl. Pozámka V předchozích větách se objevila věta: Pokud výraz vpravo má smysl. Co to přesě zameá? Věty platí pokud se ejedá a tzv. eurčité výrazy. Neurčitý výraz je apř. Neurčitý výraz je to proto, že výsledkem může být cokoliv. Nelze určit (bez podrobějšího zkoumáí) výsledek. Situaci objasím a ásledujících příkladech. ( ) přitom ale ( ) ( ) ( ) ( ) přitom ale ( ) ale ( ) Všechy tři ity byly typu elze použít, protože, ale výsledky jsou růzé. Proto říkáme, že výraz je eurčitý a věty může být skutečě cokoliv. Další eurčité výrazy jsou:,, číslo,,,, Oproti tomu ásledující výrazy smysl mají: číslo +,,, kladé číslo, záporé číslo Nyí si projdeme jedotlivé ity podle typů, podobě jako je to v kapitole O fukcích. [9]
I. MOCNINNÉ LIMITY Jedá se o ity, kde se vyskytují je mocié poslouposti (fukce), tj. ity, kde ezámá je je v základech posloupostí (fukcí), ale v mociě jsou je čísla! Nikdy e ezámá! Rada ad zlato: Rozhodující je ejrychleji rostoucí čle-v případě mociých it je to čle s ejvyšší mociou! Proto jej vždy vytkeme. Jak toto pravidlo fuguje, uvidíme v ásledujících příkladech. Pravidlo o itě rozdílu elze použít. Odečítáme od sebe dvě ekoeča. Které ekoečo je ale větší? Vzpomee si a radu. Nejdůležitější je čle s ejvyšší mociou! Protože: a a b b a b 9 a b a b 99 proto převáží čle, Použití rady pak vypadá takto: roste rychleji ež. []
4 + 5 3 6 + 68 4 + 5 3 6 + 68 4 5 4 + 4 6 68 3 3 + 3 + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) V případě, že máme itu rozdílu, kde se vyskytuje odmocia, pak většiou výraz rozšíříme stejým výrazem, je te druhý bude s opačým zamékem. Využijeme tak vzorce ( )( ) A B A + B A B + 3 + 3 + + 3 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 + ( ) ( ) ( + 3 + ) []