..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí dostit). Proto průěhu přemýšlení o příkldu postrkuji třídu pomocí náodných otázek. Př. : V kružnici o poloměru r cm urči zdálenost dou ronoěžných těti o délkách cm 8 cm. cm 8 cm r cm V orázku není nic, co y umožňolo spočítt jkoukoli zdálenost. Musíme dostt známé zdálenosti k soě, neo ytořit trojúhelníky, je tře yužít lstnosti kružnice dokreslíme do orázku dlší poloměry tk, y končily u krjních odů oou těti. cm 8 cm r cm r cm r cm Vzdálenost oou těti získáme jko rozdíl délek oděsen e yznčených proúhlých trojúhelnících s přeponou r cm. Zelený trojúhelník (krtší těti): Modrý trojúhelník (delší těti): c 6 6 8 c 9 Vzdálenost oou těti? d 8 9 cm, 6 cm Př. : V proúhlém trojúhelníku ( 9 ) je dáno: t, t 9 délky strn trojúhelník. Nkreslíme orázek:. Urči
t t Hledáme trojúhelníky, u kterých známe d údje ( třetí můžeme zjistit), těžnice ycházejí ze středů strn t c,5 t,5 Dkrát můžeme yužít Pythgorou ětu: trojúhelník : t + trojúhelník : t + získli jsme soustu dou ronic o dou neznámých ( 9 ) + + Sustituce: x, y y y x + 9 x + 9 y x 5 + y 6 y 5 Dosdíme do prní ronice ypočteme x: x + 9 x 6 Nárt k půodní proměnné: x 6 6
y Určíme strnu c: c ( ) + + 8 7 Trojúhelník má strny o délkách cm, cm, c 7 cm. Pedgogická poznámk: U předchozího příkldu studenti ětšinou nejdříe zkouší spočítt příkld dělením těžnic n části. Hlním prolém při řešení příkldu je pro studenty fkt, že sestení jedné ronice pro jeden z proúhlých trojúhelníků jim neumožní cokoli dopočítt. Musí mít oě ronice njednou, le ětšin z nich příkld zdá e chíli, kdy zjistí, že použít jeden z trojúhelníků k yřešení příkldu nestčí. Př. : Je dán ronostrnný trojúhelník se strnou délky. Urči: ) ýšku ) poloměr kružnice opsné c) poloměr kružnice epsné ) ýšku,5 Výšk je ronostrnném trojúhelníku zároeň těžnicí rozdělí trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku pltí: + ) poloměr kružnice opsné střed kružnice opsné leží n průsečíku os strn
r S osy strn jsou u ronostrnného trojúhelníku zároeň ýškmi i těžnicemi střed kružnice je těžišti trojúhelník jeho poloměr je roen zdálenosti S, tedy děm třetinám ýšky r 6 c) poloměr kružnice epsné střed kružnice epsné leží n průsečíku os úhlů S osy úhlů jsou u ronostrnného trojúhelníku zároeň ýškmi i těžnicemi střed kružnice epsné je těžišti trojúhelník jeho poloměr je roen zdálenosti S, tedy třetině ýšky r 6 Př. : Do ronostrnného trojúhelník o strně je epsán čterec. Urči délku strny čterce. Nkreslíme si orázek:
,5x -x x,5 V orázku můžeme njít d podoné trojúhelníky. Z poměru yznčených strn yplýá: x x x x x x x + x x + Dosdíme : x + + + + Vepsný čterec musí mít délku strny x +. Př. 5: V ostroúhlém trojúhelníku je eden kolmice z odu n strnu s ptou kolmice z odu n strnu s ptou. Dokž, že pltí. Orázek: c Trojúhelníky se shodují úhlu γ. Dlší úhel nemůžeme njít. Zkusíme postupot jiným způsoem. Ještě jsme neyužili prých úhlů u rcholů : 5
c Podle ěty uu jsou podoné trojúhelníky (prý úhel úhel γ ) musí pltit i ronosti poměrů strn:. Druhý třetí zlomek ronosti oshují strny trojúhelníků upríme s zth: poměr odpoídjících strn u trojúhelníků je stejný pltí podle ěty sus. Pedgogická poznámk: Smozřejmě, že předchozí příkld smosttně neudělá. Těm lepším troch zkoušení neuškodí. Jk je zmíněno i textu příkldu, důležité je, y si studenti uědomili, že ezndějných situcích je možné postupot i nslepo tk, že se snžíme yužít informcí o speciálních lstnostech ze zdání. Př. 6: Petákoá: strn 87/cičení c) e) strn 88/cičení strn 88/cičení 5 Shrnutí: 6