5. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Stanslav Olvík POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU NA POVRCHU ELIPSOIDU Abstrakt Úlohou GPS altmetre je nalezení odrazného bodu sgnálu vyslaného z jednoho sateltu a přjatého druhým sateltem. Příspěvek porovnává dvě terační metody hledání odrazného bodu GPS altmetre na povrchu elpsodu. Klíčová slova Altmetre, GPS, GPS altmetre, rotační elpsod. Pops problému Jsou dány pravoúhlé geocentrcké souřadnce dvou družc na oběžných drahách kolem Země a parametry referenčního elpsodu nahrazujícího zemské těleso. Naším úkolem je nalezení bodu na ploše referenčního elpsodu, kde se odrazí paprsek vyslaný jednou družcí a přjatý druhou družcí. Referenční elpsod nahrazuje skutečné zemské těleso. V tomto případě používáme rotační zploštělý elpsod WGS84, jehož parametry jsou následující: hlavní poloosa a = 637837 m numercká výstřednost (první excentrcta) e = 0,0899. S P Q S O Obrázek : Schematcké znázornění poloh družc a elpsodu a přblžné polohy odrazného bodu.
Stanslav Olvík Hledání odrazného bodu Řešení, která jsou zde prezentována jsou geometrcká a numercká. Předpokládáme přímočaré šíření sgnálu př zanedbání fyzkálních podmínek reálného prostředí. Tedy zanedbání vlvu družcové aberace, zakřvení dráhy paprsku vlvem jeho průchodu atmosférou a další vlvy. Dále předpokládáme platnost zákona odrazu. Jelkož jsme zanedbal všechny fyzkální vlvy na dráhu sgnálu, můžeme výslednou dráhu odraženého sgnálu popsat jako lomenou čáru. Je to lomená čára defnovaná poloham obou družc a odrazným bodem. Tato dráha leží v jedné rovně společně s normálou referenčního elpsodu v odrazném bodě. Př hledání odrazného bodu tedy můžeme volt body ze spojnce pozc družc S a S, tyto body kolmo promítnout na povrch elpsodu a poté testovat, zda je promítnutý bod bodem odrazným. Elpsod uvažujeme jako pevné těleso, jímž nepronká radový sgnál. V tomto případě se sgnál může odrážet pouze od té část povrchu elpsodu, která leží uvntř dotykové kuželové plochy elpsodu blíže jejímu vrcholu. Tímto vrcholem je satelt vysílající sgnál. Stejnou část elpsodu budeme uvažovat pro určování normál k povrchu elpsodu, které prochází mezlehlým body Q na spojnc vysílače a přjímače. Vzhledem k tomu exstuje jedná normála elpsodu procházející bodem Q. Souřadnce průnku této normály a povrchu elpsodu můžeme získat tak, že určíme zeměpsnou šířku a délku mezlehlého bodu Q. Pro tyto zeměpsné souřadnce vypočteme příčný poloměr křvost N pro použtý referenční elpsod a tuto trojc souřadnc převedeme zpět do výchozí kartézské soustavy souřadnc. Tím získáme souřadnce bodu P Příčný poloměr křvost je zde poloměr křvost normálového řezu elpsodu, ve směru poledníku, v bodě určeném vypočteným zeměpsným souřadncem.. Převodní vztahy mez soustavam souřadnc Pro odvození převodních vztahů z kartézských souřadnc [X, Y, Z] do geodetckých zeměpsných souřadnc [ϕ, λ] a příčného poloměru křvost N vycházíme ze vztahů v [] X = N cosϕ cosλ Y = N cosϕ sn λ Z = N ( e ) snϕ
POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU Pro zpětný převod do kartézské soustavy souřadnc jsem v [5] a [6] použl vztahy λ = arctany X Z sn λ ϕ = arctan Y N = ( e ) a, e sn ϕ čímž bych dostal úhly ϕ a λ pouze v ntervalu ( π ) Pro zeměpsnou, π šířku ϕ je toto rozmezí dostačující. V případě zeměpsné délky λ jsem př konkrétní mplementac algortmu v programu Matlab využl jeho nterní funkce atan, která určuje úhly v plném rozsahu. Jnak bych musel úhel λ určovat z rovností cos λ = sn λ = Další postup se lší podle metody.. Metoda půlení úsečky a a X e ( e ) Y e ( e ) Mezlehlé body počítáme ze vztahů Q = S + q ( S S ) Z Z q = q ±, =,..., n. Podle vztahů ve. jsou body Q promítnuty na povrch elpsodu a je vypočítán příčný poloměr křvost. Zpětným převodem do kartézských souřadnc je získán bod P. Dále počítáme rozdíl úhlů S P Q a S P Q. Pokud je úhel S P Q větší než úhel S P Q, volíme q = q +, jnak volíme q = q. Pokud je rozdíl rozdíl úhlů S P Q a S P Q menší než 0-9 rad, prohlásíme bod P za odrazný bod..
Stanslav Olvík S Q + P Q Q + Q Obrázek : Schematcké znázornění metody půlení úsečky..3 Metoda postupného přblžování Mezlehlé body se počítají ze vztahů Q = S + q S S q = q ± dq ( ) hq sn dα, dq = SS snτ kde hq je výška bodu Q nad povrchem, dα je rozdíl úhlů S P Q a S P Q a τ je úhel mez vektory S S a P Q +. Pro první mezlehlý bod Q je q =, h h kde h, h jsou výšky družc S, S nad povrchem elpsodu. Podle vztahů ve. promítneme bod Q na povrch elpsodu a vypočítáme příčný poloměr křvost N. Zpětným převodem do kartézských souřadnc získáme bod P. V dalším kroku vypočítáme rozdíl úhlů S P Q a S P Q. Pokud je úhel S P Q větší než úhel S P Q, volíme jnak volíme q + dq q = q = q dq. Pokud je rozdíl úhlů S P Q a S P Q menší než 0-9 rad, prohlásíme bod P za odrazný bod.,
POROVNÁNÍ DVOU METOD HLEDÁNÍ ODRAZNÉHO BODU n Q + τ dq Q v dα hq P Obrázek 3: Poloha bodů Q a Q +. Vektor v na obrázku odpovídá vektoru S S v textu. 3 Příklad numercké ověření Číselné zadání je převzato z [] souřadnce družc o S = [70470,88; 037760,88; -65309,43] m o S = [34387,08; 705,; -7747,43] m parametry referenčního elpsodu o a = 637837 m o e = 0,0899 Pro tato zadaná data vychází odrazný bod o zeměpsných souřadncích ϕ = -7 34 58,378 λ = 30 50 8,08 Po přepočtu do kartézské soustavy souřadnc jsme dostal bod o souřadncích X = 7357,845 Y = 0368,6 Z = -609484,08 Početně bylo ověřeno, že tento bod leží na ploše elpsodu.
Stanslav Olvík Metoda popsaná v oddílu., nazvaná Metoda půlení úsečky, dokonvergovala k výsledku po 33 krocích, rozdíl mez úhly S P 33 Q 33 a S P 33 Q 33 ční,46 0-0 rad. Metoda popsaná v oddílu.3, nazvaná Metoda postupného přblžování, dokonvergovala k výsledku po 9 krocích, rozdíl mez úhly S P 9 Q 9 a S P 9 Q 9 ční -5,8 0-0 rad. Poděkování Tento článek vznkl za podpory grantu FRVŠ G 39 Lteratura [] Techmann J.: GPS Altmetre: Bstatcká GPS altmetre projektu CHAMP, semestrální práce z předmětu Geodynamka, Technsche Unverstaet Dresden, Insttut fuer Planetare Geodese, 000 [] Baranová M.: Multmedální texty k předmětu Matematcká kartografe [onlne], URL: http://hobbes.fav.zcu.cz/gs/studum/mk/multmedaln_texty/ [3] Kočandrlová, M.: Geometrcký model úlohy GPS-altmetre, Sborník 7. konference VŠTEZ, JČMF, 00, str. 0-3 [4] Wagner, C., Klokočník, J.: Reflecton Altmetry for oceanography and geodesy, presented at 00: An Ocean Odyssey, IAPSO-IABO Symp.: Gravty, Geod and Ocean Crculaton as Inferred from Altmetry, Mar del Plata, Argentna [5] Olvík, S.: Odrazný bod GPS altmetre na ploše elpsodu, Sborník Semnáře aplkované matematky, Praha, 005 [n revew] [6] Olvík, S.: Odrazný bod bstatcké altmetre na ploše elpsodu, Sborník Semnáře Matematka na vysokých školách, pobočka JČMF v Praze a ČVUT v Praze, 005, ISBN 80-0-0369-8, str. 55-56