Lineární algebra a geometrie ZS

Lineární algebra a geometrie ZS Základní informace Doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc., Katedra algebry http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/ akademický rok 2011/2012, zimní semestr Základní informace... 1 Přednáška 1 _ 4. 10. 2011... 2 Různé formulace: Z předpokladu P plyne závěr Q.... 2 Častá forma matematických tvrzení... 2 Význam spojek a, nebo... 2 Přednáška 2 _ 5. 10. 2011... 3 Kvantifikátory... 3 Princip vyloučeného třetího... 3 Negace složeného výroku... 3 Důkaz nepřímý... 3 Důkaz sporem... 3 Přednáška 3 _ 11. 10. 2011... 4 Incidenční matice grafu... 4 Kap1: Matice soustavy, rozšířená matice soustavy... 4 Definice 1.1... 4 Definice 1.2... 4 Tvrzení 1.1... 5 Definice 1.3... 5 Důkaz 1.1... 5 Tvrzení 1.2... 5 Důkaz 1.2... 5 Definice 1.4... 5 Tvrzení 1.3... 5 Důkaz 1.3... 5 Definice 1.5... 5 Tvrzení 1.4... 6 Přednáška 4 _ 12. 10. 2011... 7 Důkaz 1.4... 7 Definice 1.6... 8 Tvrzení 1.5 (Jednoznačnost inverzní matice)... 8 Důkaz 1.5... 8 Přednáška 5 _ 18. 10. 2011... 9 Tvrzení 1.6... 9 Důkaz 1.6... 9 Definice 1.7... 9 Definice 1.8... 9 Věta 1.7... 9 Důkaz 1.7.1... 10 Řešení soustav lineárních rovnic... 10 Definice 1.9... 10 Maticový zápis... 10 Definice 1.10... 10

Rozklad matic do bloků... 10 Definice 1. 11... 11 Tvrzení 1. 8... 11 Kap2: Řešení soustav lineárních rovnic... 11 Definice 2.1... 11 Přednáška 6 _ 19. 10. 2011... 12 Algoritmus 2.1 (pro zpětnou substituci)... 12 Algoritmus 2.1 (pro přímou substituci)... 12 Příklady elementárních úprav... 12 Tvrzení 2.1... 12 Důkaz 2.1... 12 Definice 2.2 Elementární řádkové úpravy (EŘÚ)... 12 Tvrzení 2.2... 13 Řádkově odstupňovaný tvar... 13 Definice 2.4... 13 Algoritmus 2.3 (Gaussova eliminace GE)... 13 Věta 2.3... 13 Důkaz 2.3... 13 Věta 2.4... 14 Důkaz 2.4... 14 Přednáška 7 _ 25. 10. 2011... 15 Důkaz 2.4 (pokračování)... 15 Algoritmus 2.4... 15 Problémy s řešením na počítači... 15 Tvrzení 2.5... 15 Důkaz 2.5... 15 Důsledek 2.6... 16 Důkaz 2.6... 16 Věta 2.7... 16 Důkaz 2.7... 16 Algoritmus 2.5 Pro výpočet inverzní matice k matici A... 17 Přednáška 8 _ 1. 11. 2011... 18 Tvrzení 2.8... 18 Důkaz 2.8... 18 Tvrzení 2.9... 18 Důkaz 2.9... 18 Příklad 2.1 (Výpočet proudu v el. obvodu)... 18 Lemma 2.10... 18 Důkaz 2.10... 19 Věta 2.11... 19 Postup řešení pomocí LU-rozkladu... 19 Důkaz 2.11... 20 Konstruktivní důkaz existence LU rozkladu... 20 Přednáška 9 _ 2. 11. 2011... 21 Algoritmus 2.6... 21 Definice 2.5 (LU rozklad matice A)... 21 Definice 2.6... 21 Věta 2.12... 22 Důkaz 2.12... 22 Příklad 2.2 Počty operací... 22 Kap3: Tělesa... 22

Definice 3.1... 22 Tvrzení 3.1... 22 Příklady těles... 23 Přednáška 10 _ 8. 11. 2011... 24 Definice 3.2... 24 Věta 3.2... 24 Důkaz 3.2... 24 Kap4: Aritmetické vektorové prostory... 24 Definice 4.1... 24 Definice 4.2... 24 Operace s vektory dimenze n... 24 Definice 4.3... 24 Definice 4.4... 24 Tvrzení 4.1... 24 Důkaz 4.1... 24 Tvrzení 4.2... 25 Důkaz 4.2... 25 Definice 4.5... 25 Tvrzení 4.3... 25 Důkaz 4.3... 25 Definice 4.6... 25 Definice 4.7... 25 Tvrzení 4.4... 25 Důkaz 4.4... 26 Tvrzení 4.5... 26 Důkaz 4.5... 26 Přednáška 11 _ 9. 11. 2011... 27 Definice 4.8... 27 Tvrzení 4.6... 27 Důkaz 4.6... 27 Definice 4.9... 27 Tvrzení 4.7... 28 Důkaz 4.7... 28 Věta 4.8 (Steinitzova věta o výměně SVoV)... 28 Důkaz 4.8... 28 Definice 4.10... 28 Příklad 4.1... 28 Věta 4.9... 29 Důkaz 4.9... 29 Přednáška 12 _ 15. 11. 2011... 30 Tvrzení 4.10... 30 Důkaz 4.10... 30 Věta 4.11... 31 Důkaz 4.11... 31 Definice 4.11... 31 Tvrzení 4.12... 31 Důkaz 4.12... 31 Věta 4.13 (O dimenzi průniku a součtu podprostorů)... 31 Důkaz 4.13... 31 Tvrzení 4.14... 32 Důkaz 4.14... 32

Přednáška 13 _ 16. 11. 2011... 33 Příklad 4.2 (Vzorec pro n-tý člen Fibonacciovy posl.)... 33 Tvrzení 4.15... 34 Důkaz 4.15... 34 Definice 4.12... 34 Definice 4.13... 34 Tvrzení 4.16... 34 Důkaz 4.16... 34 Věta 4.17... 34 Důkaz 4.17... 34 Definice 4.14... 35 Důsledek 4.18 (Věty 4.17)... 35 Přednáška 14 _ 22. 11. 2011... 36 Věta 4.19... 36 Důkaz 4.19... 36 Tvrzení 4.20... 36 Důkaz 4.20... 36 Příklad 4.3... 36 Tvrzení 4.2.1... 37 Důkaz 4.21... 37 Věta 4.22... 37 Důkaz 4.22... 37 Věta 4.23... 38 Důkaz 4.23... 38 Věta 4.24 (Frobeniova věta)... 38 Důkaz 4.23... 38 Kap5: Permutace... 38 Definice 5.1... 38 Lemma 5.1... 38 Přednáška 15 _ 23. 11. 2011... 39 Příklady zápisu permutací... 39 Skládání permutací... 39 Definice 5.2... 39 Lemma 5.2... 39 Důkaz 5.2... 39 Lemma 5.3... 39 Důkaz 5.3... 40 Lemma 5.4... 40 Důkaz 5.4... 40 Definice 5.3... 40 Tvrzení 5.5... 40 Důkaz 5.5... 40 Lemma 5.6... 41 Důkaz 5.6... 41 Přednáška 16 _ 29. 11. 2011... 42 Kap6: Determinanty... 42 Definice 6.1... 42 Příklad 6.1... 42 Lemma 6.1... 42 Důkaz 6.1... 42 Příklad 6.2 (Geometrický význam determinantu matic 2. a 3. řádu)... 43

Tvrzení 6.2... 44 Důkaz 6.2... 44 Tvrzení 6.3... 44 Důkaz 6.3... 45 Přednáška 17 _ 30. 11. 2011... 46 Věta 6.4... 46 Důkaz 6.4... 46 Důsledek 6.5... 46 Důkaz 6.5... 46 Věta 6.6... 47 Důkaz 6.6... 47 Věta 6.7 (O součinu determinantů)... 47 Důkaz 6.7... 47 Definice 6.2... 47 Věta 6.8 (O rozvoji determinantu)... 47 Důkaz 6.8... 47 Úloha 6.1... 48 Úloha 6.2... 50 Příklad 6.3 (Shamirovo schéma pro sdílení tajemství)... 50 Přednáška 18 _ 6. 12. 2011... 51 Tvrzení 6.9... 51 Důkaz 6.9... 51 Tvrzení 6.10 (Cramerovo pravidlo)... 51 Důkaz 6. 10... 52 Kap7: Skalární součin... 52 Definice 7.1... 52 Definice 7.2... 52 Tvrzení 7.1... 52 Důkaz 7.1... 52 Úloha 7.1... 53 Přednáška 19_7. 12. 2011... 54 Definice 7.3... 54 Úloha 7.2... 54 Věta 7.2 (Cauchy Schwartzova Bunjakovského nerovnost)... 54 Důkaz 7.2... 54 Tvrzení 7.3 (Trojúhelníková nerovnost)... 54 Důkaz 7.3... 54 Příklad 7.1 (Geometrický význam SSS v R n )... 55 Definice 7.4... 55 Definice 7.5... 55 Tvrzení 7.4... 55 Důkaz 7.4... 55 Definice 7.6... 55 Tvrzení 7.5... 55 Důkaz 7.5... 55 Definice 7.7... 55 Tvrzení 7.6... 56 Důkaz 7.6... 56 Tvrzení 7.7 (Pythagorova věta)... 56 Důkaz 7.7... 56 Kap8: Gramova Schmidtova ortogonalizace... 56

Důkaz 8.1... 56 Přednáška 20 _ 13. 12. 2011... 57 Algoritmus 8.1 (Klasický GS algoritmus)... 57 Věta 8.1... 57 Důkaz 8.2... 57 Věta 8.2... 58 Definice 8.1... 58 Algoritmus 8.2 (Modifikovaný GS-algoritmus)... 59 Tvrzení 8.3... 59 Přednáška 21 _ 14. 12. 2011... 60 Kap9: Unitární a ortogonální matice... 60 Definice 9.1... 60 Věta 9.1... 60 Důkaz 9.1... 60 Důsledek 9.2... 61 Důkaz 9.2... 61 Věta 9.3... 61 Důkaz 9.3... 61 Definice 9.2... 61 Přednáška 22 _ 20. 12. 2011... 62 Tvrzení 9.4... 62 Důkaz 9.4... 62 Definice 9.3... 63 Tvrzení 9.5... 63 Důkaz 9.5... 63 Definice 9.4... 63 Tvrzení 9.6... 63 Důkaz 9.6... 63 Příklad 9.1 (elementární rotátory)... 64 Definice 9.5... 64 Tvrzení 9.7... 64 Důkaz 9.7... 64 Přednáška 23 _ 21. 12. 2011... 65 Tvrzení 9.8... 65 Důkaz 9.8... 65 Tvrzení 9.9... 65 Důkaz 9.9... 65 Věta 9.10 (Ortogonální redukce)... 65 Důkaz 9.10... 66 Definice 9.6... 66 Tvrzení 9.11... 66 Důkaz 9.11... 66 Přednáška 24 _ 3. 1. 2012... 67 Kap10: Ortogonální projekce a metoda nejmenších čtverců... 67 Tvrzení 10.1... 67 Důkaz 10. 1... 67 Tvrzení 10. 2... 67 Důkaz 10.2... 68 Definice 10.1... 68 Příklad 10.1... 68

Příklad 10.2... 68 Věta 10.3 (Ortogonální rozklad)... 68 Důkaz 10.3... 68 Důsledek 10.4 (Fredholmova alternativa)... 69 Důkaz 10.4... 69 Tvrzení 10.5 (URV-rozklad)... 69 Přednáška 25 _ 4. 1. 2012... 70 Důkaz 10.5... 70 Definice 10.2... 70 Tvrzení 10.6... 70 Důkaz 10.6... 70 Definice 10.3... 70 Tvrzení 10.7... 71 Důkaz 10.7... 71 Definice 10.4... 71 Tvrzení 10. 8... 71 Důkaz 10. 8... 71 Tvrzení 10.9... 72 Důkaz 10.9... 72 Věta 10.10 (Metoda nejmenších čtverců)... 72 Důkaz 10.10... 72 Kap11: Matice jako lineární zobrazení... 72 Definice 11.1... 72 Tvrzení 11.1... 72 Přednáška 26 _ 10. 1. 2012... 73 Příklad 7.1... 73 Definice 11.2... 73 Tvrzení 11.2... 73 Důkaz 11.2... 73 Tvrzení 11.3... 73 Důkaz 11.3... 73 Definice 11.3... 74 Tvrzení 11.4... 74 Důkaz 11.4... 74 Definice 11.4... 74 Tvrzení 11.5... 75 Důkaz 11.5... 75 Tvrzení 11.6... 75 Důkaz 11.6... 75 Definice 11.5... 75 Tvrzení 11.7... 76 Důkaz 11.7... 76 Tvrzení 11.8... 76 Důkaz 11.8... 76 Tvrzení 11.9... 76 Důkaz 11.9... 76 Přednáška 27 _ 11. 1 2012... 77

Přednáška 1 _ 4. 10. 2011 Tvar matematického tvrzení: Z předpokladu P plyne závěr Q. (implikace) Př. Je-li (P:) kladné reálné číslo, pak (Q:) existuje právě jedno kladné reálné číslo takové, že. Tj. Je-li, pak existuje právě jedno, pro které platí. Tj. Je-li, pak existuje právě jedna druhá odmocnina z. Definice: Druhou odmocninou z reálného čísla rozumíme reáné číslo takové, že. Pozn.: snaha o obecnost Je-li kladné racionální číslo, pak existuje právě jedno kladné racionální číslo takové, že. Protipříklad: ( ) Pozn.: pozor na KONTEXT: reálná, racionální Existuje právě jedno = existuje alespoň jedno + existuje nejvýše jedno. Pozn.: 2 implikace Věta: Je-li, pak existuje právě jedno, pro které platí. Důkaz: Jsou-li kladná reálná čísla, pro která platí, že a, pak, tedy, proto. Protože platí také, že, tedy. Proto, a tedy. Různé formulace: Z předpokladu P plyne závěr Q. 1) Jestliže platí P, pak platí také Q. 2) Z P plyne Q. 3) Platí-li P, pak platí Q. 4) Nechť/Ať platí P, pak platí také Q. 5) P implikuje Q. 6) P je postačující podmínka pro Q. 7) Q je nutná podmínka pro P. 8) Jestliže neplatí Q, pak neplatí ani P. a) Jestliže platí Q, pak platí P. b) Jestliže platí P, pak platí Q. opačná tvrzení; mohou mít stejnou i různou pravdivostní hodnotu Častá forma matematických tvrzení 1) P platí, právě když platí Q. (ekvivalence) 2) P je ekvivalentní s Q. a. tzn., že P Q a zároveň Q P v matematickém tvrzení musí po každém jestliže následovat pak Význam spojek a, nebo Jsou-li P, Q výroky pak 1) P a Q je také výrok (konjunkce) o P a Q platí, právě když platí P a současně platí Q. 2) P nebo Q je také výrok (disjunkce) o P nebo Q platí, jestliže platí alespoň jeden z výroků P, Q. P Q Q P P Q 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 2

Přednáška 2 _ 5. 10. 2011 Definice: Přirozené číslo se nazývá prvočíslo právě tehdy, když jeho děliteli jsou a. Jestliže prvočíslo dělí, pak dělí nebo dělí P: je prvočíslo a (konjunkce) dělí Q: dělí nebo (disjunkce) dělí Pokud z P plyne Q, pak z R plyne S. z P plyne Q = předpoklad z R plyne S = závěr Př.: Najděte všechna řešení soustavy skryté logické spojky v rovnicích: Jestliže a splňují tyto rovnice pak Jeli a, pak ( a ) nebo Máme-li dokázat, že z předpokladu P nebo P plyne Q, důkaz se rozpadá na dvě části: 1) důkaz, že z P Q 2) důkaz, že z P Q Máme-li dokázat, že z P plyne Q nebo Q, pak: 1) důkaz že z P Q 2) důkaz, že z P Q Kvantifikátory Pro existuje takové, že. Princip vyloučeného třetího Jestliže P není pravdivý, pak platí Q. princip důkazu sporem Negace složeného výroku Důkaz nepřímý Z P plyne Q Důkaz nepřímý: Z Q plyne P. Důkaz sporem Q je ve sporu s P. 3

Přednáška 3 _ 11. 10. 2011 Incidenční matice grafu Bridges of Köningsberg 1 2 3 4 1 0 0 2 1 2 0 0 2 1 3 2 2 0 1 4 1 1 1 0 Kap1: Matice soustavy, rozšířená matice soustavy matice soustavy rozšířená matice soustavy Definice 1.1 Matice typu je soubor čísel uspořádaných do obdélníkové tabulky o řádcích a sloupích. Matice typu se nazývá čtvercová matice řádu. Označení, prvek matice na místě lze také značit. Matice typu je zobrazení (komplexní matice) R (reálná matice) (racionální matice) (celočíselná matice) (binární matice) Matice typu se nazývají řádkové vektory: Matice typu se nazývají sloupcové vektory: Definice 1.2 Jsou-li matice téhož typu, pak definujeme jejich součet jako matici, kde. Je-li matice typu a číslo, pak definujeme součin jako matici, kde. 4

Tvrzení 1.1 Jsou-li matice stejného typu, pak platí: 1) 2) 3) označíme-li matici typu, jejíž všechny prvky jsou, pak 4) Pozn.: vlastnosti počítání s čísly: 1) + komutativní 2) + asociativní 3) ex. 0 4) ex. 1, opačný prvek Definice 1.3 Dvě matice a platí. Důkaz 1.1 1) máme dokázat prvek na místě : 2) máme dokázat prvek na místě se rovnají, pokud jsou stejného typu Tvrzení 1.2 Jsou-li matice stejného typu jsou čísla, pak platí: 1) 2) 3) 4) Důkaz 1.2 Vždy porovnáváme prvky na stejných místech v maticích na obou stranách rovnosti. Definice 1.4 Je-li matice typu, pak matice transponovaná k je matice, kde. Označení transponované matice:. Tvrzení 1.3 Jsou-li matice stejného typu, a je-li číslo, pak platí: 1) 2) Důkaz 1.3 Na obou stranách rovnosti jsou vždy matice téhož typu 1) prvek na místě v matici se rovná Definice 1.5 prvek na místě v matici se rovná součtu prvků na místě v maticích a tj.. Je-li matice typu a matice typu, pak definujeme jejich součin (pozor na pořadí!) jako matici typu, kde Pozn.: vlastnosti počítání s čísly: 1) distributivita 3) * asociativní Př.: Jednotková matice řádu je čtvercová matice řádu pro kterou platí, že pokud, pokud. Př.: Značení: ; Kroneckerův symbol: 5

Tvrzení 1.4 1) Jsou-li matice typu, matice typu, matice typu, pak platí 2) Jsou-li matice typu, matice typu pak platí 3) Jsou-li matice typu, matice typu pak platí 4) Jsou-li matice typu, matice typu, je číslo pak 5) Jsou-li matice typu, matice typu pak platí Důkazy: a) ověřit, zda je operace proveditelná (správné typy) b) porovnat typy matic na obou stranách rovnosti c) rovnost (prvky na stejných místech) 6) Je-li matice typu, pak platí 6

Přednáška 4 _ 12. 10. 2011 Důkaz 1.4 1) a. typu, typu, typu typu, typu b. typu, typu c. v matici je prvek na místě roven v matici je prvek na místě roven v matici je prvek na místě roven v matici je prvek na místě roven 2) násobení je asociativní k prohození sum: pokud nás zajímá prvek na místě a sumy jsou pro tak je můžeme prohodit a. je typu, typu i jsou typu b. je typu je typu, je typu c. prvek na místě v matici je roven v matici v matici prvek na místě v matici je roven = prvek na místě v matici je roven 3) analogicky jako 2 4) (pozor není definováno!) 7

5) a. je typu, typu je typu b. je typu je typu, je typu je typu c. prvek matice na místě je roven tj. prvek na místě v matici prvek na místě v matici je roven prvku na místě v matici tedy prvek na místě v matici je roven prvku na místě v matici tedy prvek na místě v matici je roven Pozn.: vlastnosti počítání s čísly: * komutativní 6) prvek na místě v součinu je roven Př. 1.1 (ilustrace) Fibonacciova posloupnost je definována lineární rekurentní posloupnost (rekurentní formule) Značení: čtvercová matice řádu celkem krát Indukcí lze snadno dokázat, že chceme spočítat prvek podle definice to vyžaduje?? operací pomocí násobení matic to vyžaduje pouze součinů matic řádu pro k dostatečně velké Definice 1.6 Čtvercová matice řádu se nazývá regulární (invertovatelná), pokud existuje čtvercová matice řádu taková, že V tom případě se nazývá inverzní matice k a označuje se. Čtvercová matice, která není regulární, se nazývá singulární. Tvrzení 1.5 (Jednoznačnost inverzní matice) Inverzní matice k regulární matici je určená jednoznačně. Důkaz 1.5 Nechť je regulární matice řádu a jsou inverzní matice k 8

Přednáška 5 _ 18. 10. 2011 Tvrzení 1.6 Je-li a jsou regulární matice řádu, potom 1) je také regulární matice a 2) je regulární matice a 3) je regulární matice a 4) je regulární matice a Důkaz 1.6 1) 2) 3) 4) z definice regulární matice je regulární a inverzní k Součet regulárních matic nemusím být regulární! Definice 1.7 Je-li, pak: pro každé nazýváme vektor i tý řádkový vektor matice. Značíme: pro každé nazýváme vektor j tý sloupcový vektor matice. Značíme: Definice 1.8 Jsou-li matice stejného typu a čísla, pak sumu (matic) nazýváme lineární kombinace matic a čísla nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li vektory, pak mluvíme o lineární kombinaci vektorů. Věta 1.7 Je-li a, potom platí 1) 2) 9

Důkaz 1.7.1 Prvek na místě ve vektoru je roven prvku na místě v součinu, tj. Prvek na místě v neboť prvek na místě v se rovná. Řešení soustav lineárních rovnic Definice 1.9 Soustavou lineárních rovnic o neznámých rozumíme soustavu rovnic: kde jsou známá čísla a jsou neznámá. Matice se nazývá maticí soustavy, vektor se nazývá vektor pravých stran a matice typu se nazývá rozšířená matice soustavy. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic o neznámých, kde je matice soustavy, je vektor pravých stran a vektor neznámých. Definice 1.10 Čtvercovou matici nazýváme 1) symetrická, pokud, tj. 2) kososymetrická, pokud, tj. 3) horní trojúhelníková, platí-li 4) dolní trojúhelníková, pokud platí 5) diagonální, pokud Rozklad matic do bloků n1 n2 1) 2) 3) 4) 5) m1 m2 je typu je typu prvek na místě v matici je roven prvku v matici na místě prvek na místě v matici je roven prvku v matici na místě rozklad součinu určený součty 10

platí, že Definice 1. 11 Je-li matice typu pak definujeme rozklad matice do bloků určený součty jako matici: a prvek na místě je prvek na místě v matici. Tvrzení 1. 8 Jsou-li matice typu, typu 1) 2) 3) je rozklad matice je rozklad matice je rozklad matice potom platí, že určený součty určený součty určený součty Kap2: Řešení soustav lineárních rovnic Př. Předpokládáme, že je horní trojúhelníková matice řádu a prvky zpětná substituce ( spočtu, dosadím do předchozí, spočtu atd.) (vs. dolní trojúhelníková matice: přímá substituce) zp. subst: (analogicky pro přímou substituci (od )) Definice 2.1 Máme-li a upravíme-li ji do soustavy tak, že obě soustavy mají stejné množiny řešení, říkáme, že jsme udělali ekvivalentní úpravu. 11

Přednáška 6 _ 19. 10. 2011 Algoritmus 2.1 (pro zpětnou substituci) viz sešit str. 9 Algoritmus 2.1 (pro přímou substituci) viz sešit str. 9 Příklady elementárních úprav 1) prohození 2 rovnic (řádků) 2) vynásobení nějaké rovnice nenulovým činitelem 3) přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné rovnici Všechny elementární úpravy jsou vratné, z upravených soustav lze dostat původní soustavu pomocí nějaké jiné elementární úpravy (zpětně). Tvrzení 2.1 Všechny elementární úpravy jsou ekvivalentní. Důkaz 2.1 1) jakékoli řešení původní soustavy je i řešením upravené soustavy 2) je-li řešením původní soustavy, platí odtud plyne: Tedy opět je řešením každé rovnice nové soustavy 3) každé řešení původní soustavy je řešením a je také řešením všech ostatních rovnic nové soustavy Tedy každé řešení původní soustavy je řešením upravené soustavy, kterou jsme dostali z původní soustavy nějakou EÚ rovněž každé řešení upravené soustavy je i řešením původní soustavy, protože každá EÚ je vratná Definice 2.2 Elementární řádkové úpravy (EŘÚ) Elementární řádkové úpravy pro matici jsou následující: 1) prohození 2 řádků matice 2) vynásobení nějakého řádku matice nenulovým číslem 3) přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku Všechny řádky původní matice jsou vždy lineární kombinací řádků původní matice; novou matici můžeme dostat tak, že původní matici vynásobíme zleva vhodnou maticí. Je-li typu, pak vhodné matice musí být čtvercové typu. Podle Věty 1.7 najdeme vhodné matice: 1 EŘÚ: elementární matice 1. typu (ve zbývajících případech) 12

2EŘÚ elementární matice 2. typu 3EŘÚ elementární matice 3. typu pro pro horní trojúhelníková dolní trojúhelníková Tvrzení 2.2 Elementární řádkovou úpravu matice dostaneme tak, že ji vynásobíme zleva příslušnou elementární maticí. Řádkově odstupňovaný tvar sloupců s indexy se říká bázové Definice 2.4 Matice je v řádkově odstupňovaném tvaru (ŘOT) pokud Algoritmus 2.3 (Gaussova eliminace GE) převede jakoukoli matici do ŘOT pomocí EŘÚ 1) najde (zleva) 1. nenulový sloupec o (pokud žádný nenajde a ta je v ŘOT o pokud označí j 1 nejmenší index nenulového sloupce v 2) pokud pak prohodí 1. a i-tý řádek 3) je třeba vynulovat prvky pod (nenulový člen v prvním řádku) o pokud pak přičteme k i-tému řádku násobek prvního řádku 4) pak použijeme alg. znovu pro matici tvořenou řádky a sloupci matice Věta 2.3 Pomocí GE převedeme libovolnou matici typu do matice ŘOT. matice v ŘOT není určena jednoznačně indexy jsou určeny jednoznačně, ale neumíme to dokázat Důkaz 2.3 1) je-li je v ŘOT 2) je-li, předpokládáme, že GE převede do ŘOT libovolnou matici, která má řádků 3) pomocí kroků 1, 2, 3 (Algoritmus 2.3) najdeme, dále použijeme indukční předpoklad. 13

Věta 2.4 Soustava je neřešitelná právě když po převedení rozšířené matice soustavy do ŘOT pomocí GE je sloupec pravých stran bázový. Důkaz 2.4 Je-li sloupec pravých stran bázový, existuje (poslední nenulový řádek) tak, že Tj. po elementárních úpravách původní soustavy dostaneme rovnici: Tato rovnice je nesplnitelná a tedy ani původní soustava není řešitelná. 14

Přednáška 7 _ 25. 10. 2011 Důkaz 2.4 (pokračování) Pokud sloupec pravých stran není bázový: Nechť není bázový sloupec. Nechť (počet nenulových sloupců), splňují podmínky z def. ŘOT Zvolme libovolně hodnoty ( vystupují jako parametry) jdeme odspodu: (s původní soustavou) u této soustavy známe pravé strany je to soustava rovnic o neznámých tyto prvky jsou nenulové (z definice ŘOT): Matice této soustavy je horní trojúhelníková s nenulovými prvky na hlavní diagonále tato soustava má jednoznačné řešení, které získáme pomocí zpětné substituce. Algoritmus 2.4 Obecná zpětná substituce pro soustavu, kde je v ŘOT z definice ŘOT je-li, pak je bázový sloupec soustava je neřešitelná pokud zvolíme libovolné hodnoty zbylé neznámé dopočteme pomocí zpětné substituce Problémy s řešením na počítači 1) zaokrouhlovací chyby (+mohou se kumulovat) v důsledku floating point artihmetic 2) špatně podmíněné soustavy o závislost na měřených veličinách (měření není přesné ) o př.: řešení soustavy 2 lineárních rovnic o 2 neznámých = hledání průsečíku přímek svírají-li malý úhel, pak se nepatrnou změnou řešení velmi mění Tvrzení 2.5 Všechny elementární matice jsou regulární. Důkaz 2.5 dopočítej! 15

Důsledek 2.6 Pro každou matici typu existuje regulární matice řádu taková, že je v ŘOT. Důkaz 2.6 Použijeme GE na. Z Věty 2.3 dostaneme matici v ŘOT. Jednotlivé kroky GE jsou EŘÚ a podle Tvrzení 2.2 existuje elementární matice tak, že je v ŘOT. Podle Tvrzení 2.5 jsou všechny regulární. Podle Tvrzení 1.6.1 je regulární také jejich součin. Věta 2.7 Buď čtvercová matice řádu, pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1) je regulární 2) soustava má právě jedno řešení pro všechna 3) soustava má právě jedno řešení 4) GE použitá na vede k matici se všemi řádky nenulovými 5) lze převést pomocí EŘÚ do jednotkové matice 6) existuje regulární matice taková, že 7) existuje regulární matice taková, že Důkaz 2.7 1) 1 2 existuje inverzní k vynásobme zleva je jednoznačně určené řešení 2) 2 3 speciální případ 2, kdy 3) 3 4 (sporem) Pokud by po převedení do ŘOT na matici pomocí GE byl poslední řádek nulový, existoval by sloupec v, který by nebyl bázový (neboť počet bázových sloupců je roven počtu nenulových řádků) je-li jeho index, můžeme zvolit libovolně např.: a dopočteme řešení pomocí zpětné substituce; poté pro dostaneme alespoň 2 řešení SPOR s 3 4) 4 5 Pomocí EŘÚ dostaneme z matici v ŘOT a všechny sloupce jsou bázové platí, že ( je počet nenulových řádků) 1 2 n indexy řádků, tedy Matice je horní trojúhelníková s nenulovými prvky na hlavní diagonále (tvoříme jednotkovou matici pomocí EŘÚ) i-tý řádek vynásobíme matice, kde na hlavní diagonále jsou 1, stále horní trojúhelníková (postupně odečítáme násobky řádků pod začneme od prvního řádku) odečítáme násobek i-tého řádku od j-tého pro, pro 5) 5 6 existují elementární matice tak, že (součin) je regulární podle Tvrzení 2.5 16

6) 6 7 existuje, regulární pak existuje můžeme zvolit 7) 7 1, regulární Algoritmus 2.5 Pro výpočet inverzní matice k matici A Při důkazu 5 6 jsme našli elementární matice Při důkazu 6 7 jsme zjistili, že. Tedy tak, že 17

Přednáška 8 _ 1. 11. 2011 Tvrzení 2.8 Nechť je čtvercová matice řádu. Pak pro čtvercovou matici řádu platí právě když. Důkaz 2.8 Dokážeme, že je regulární tak, že dokážeme, že splňuje podmínku Věty 2.7. Buď Z (sloupcový vektor) takový, že plyne Pro zaměň Podle Věty 2.7.3 je regulární, čili existuje inverzní matice. Z plyne Tvrzení 2.9 Je-li matice typu, regulární matice řádu, čísla, pak platí: Důkaz 2.9 (pomocí Věty 1.7.1) Je-li Příklad 2.1 (Výpočet proudu v el. obvodu) Dostaneme soustavu rovnic, kde levá strana závisí pouze na odporech, a tudíž se při připojení nového zdroje nemění. Úprava levé strany tedy zůstává stejná a je dobré si ji pamatovat LU-rozklad matice Lemma 2.10 Předpokládáme, že jsou dolní trojúhelníkové matice řádu s jednotkami na hl. diagonále (značení: D s1hd). Potom 1) je také D s1hd 2) je regulární a je také D s1hd. 18

Důkaz 2.10 1), chceme dokázat, že Buď Pak tedy je D., nebo 1 i k n Je-li platí buď, nebo tedy 2) horní trojúhelníková s jednotkami na hl. diagonále (značení: H s1hd) v ŘOT, všechny řádky jsou nenulové podle Věty 2.7.4 je regulární podle Tvrzení 1.6.3 je i regulární počítáme podle Algoritmu 2.5 používáme pouze EŘÚ 3. typu (přičítáme násobek k řádku nad) používáme odpovídající el. matici D, ostatní prvky jsou 0 Tedy existují matice D s1hd takové, že = součinu D s1hd tedy i je D s1hd Věta 2.11 Předpokládejme, že je regulární čtvercová matice řádu taková, že při GE vystačíme pouze s EŘÚ 3. typu. Potom existují jednoznačně určené matice takové, že: 1) je D s1hd 2) je H s nenulovými prvky na HD 3) Postup řešení pomocí LU-rozkladu Řešíme, známe LU-rozklad matice, označíme Dostaneme (D přímá substituce) a (zpětná substituce) Jak získat z GE matice (viz cvičení str.7b) 19

Důkaz 2.11 Na provedeme GE pomocí EŘÚ 3. typu (odpovídají D s1hd) existují matice takové, že v ŘOT; podle Věty 2.7.4 jsou všechny nenulové H s nenulovými prvky na HD, je D s1hd, existuje D s1hd, tedy Jednoznačnost matic Je-li a a jsou D s1hd a jsou H s nenulovými prvky na HD D s1hd* D s1hd= H * H s nenulovými prvky na HD D s1hd= H tedy je diagonální (1naHD) Konstruktivní důkaz existence LU rozkladu, protože stačí pouze EŘÚ 3. typu, je, pak, odečteme násobek 1. řádku od 2. řádku obecně:, odečteme násobek 1. řádku od i tého řádku, víme 20

Přednáška 9 _ 2. 11. 2011 pokračování důkazu: všechny prvky v 1. sloupci vynulujeme pomocí matice, i tý řádek násobek 1. řádku matici vynásobíme zleva maticí, potom,, GE bez prohazování řádků lze vyjádřit maticově:, je D s1hd k tý sloupec,, kde prvních prvků je nulových, ostatní prvky jsou nulové, protože např.: Algoritmus 2.6 viz sešit str. 16 Definice 2.5 (LU rozklad matice A) LU rozklad matice je vyjádření kde je D s1hd a je H s nenulovými prvky na HD. Definice 2.6 Je-li čtvercová matice řádu, pak pro definujeme hlavní minor matice jako matici tvořenou prvními řádky a sloupci matice.. Př.: 21

Věta 2.12 LU-rozklad čtvercové matice řádu existuje, právě když je každý hlavní minor matice regulární pro. Důkaz 2.12 Pokud LU-rozklad existuje: rozklad do bloků určený rozklad do bloků určený ; potom je hl. minor; součin použitím Věty 2.11 regulárních matic je také regulární Příklad 2.2 Počty operací viz sešit str. 17. v principu jde o to, že pomocí LU rozkladu je to rychlejší ;) Kap3: Tělesa Definice 3.1 (těleso je) množina s operacemi, splňující axiomy: (A0) (množina je uzavřená na ) (A1) (asociativita) (A2) (komutativita) (A3) (existence nulového prvku) (A4) (existence opačného prvku) (M0) (množina je uzavřená na ) (M1) (asociativita) (M2) (komutativita) (M3) (existence jednotkového prvku) (M4) (existence inverzního prvku) (D) (N) (distributivita) Tvrzení 3.1 V každém tělesu platí: (důkazy viz materiály na webu přednášejícího měly se tam objevit) 1) nulový prvek je určen jednoznačně 2) opačný prvek je určen jednoznačně 3) jednotkový prvek je určen jednoznačně 4) inverzní prvek je určen jednoznačně 5) 6) Pokud 7) 8) rovnice má právě jedno řešení 9) rovnice má právě jedno řešení 10) z plyne 11) z plyne 12) 22

Příklady těles R jsou tělesa vs. není těleso, protože: vezmeme normální výsledek a zapíšeme zbytek po dělení dvěma dvouprvkové těleso modulo 2 modulo 3 není těleso!!!, protože Obecně: modulo je těleso právě tehdy, když je prvočíslo. 23

Přednáška 10 _ 8. 11. 2011 V R Definice 3.2 Pokud existuje přirozené číslo takové, že v tělese platí, pak nejmenší takové nazýváme charakteristika tělesa. Pokud žádné takové neexistuje, říkáme, že má charakteristiku. Věta 3.2 Charakteristika každého tělesa je buď, nebo prvočíslo. Důkaz 3.2 Pokud je charakteristika větší než, pak existuje takové, že. Je-li složené číslo,, kde. z Tvrzení 3.1.6 plyne, že buď nebo Tedy složené číslo nemůže být nejmenší takové číslo, pro které platí. Tedy charakteristika musí být prvočíslo. Kap4: Aritmetické vektorové prostory Definice 4.1 Aritmetický vektor nad tělesem je matice, nazýváme dimenze aritmetického vektoru. Definice 4.2 Je-li aritmetický vektor dimenze nad tělesem, pak každý prvek nazýváme i tá souřadnice. vektory značíme prvky budeme nazývat skaláry Operace s vektory dimenze n 1) sčítání 2) násobení skalárem základní vlastnosti těchto operací jsou popsány v Tvrzení 1.1, Tvrzení 1.2 Definice 4.3 Množinu všech aritmetických vektorů dimenze nad tělesem nazýváme aritmetický vektorový prostor dimenze nad tělesem a označujeme. Definice 4.4 Neprázdná podmnožina se nazývá podprostor pokud pro každé dva vektory také a pro každý vektor a každý prvek platí, že. Tvrzení 4.1 Pro každou matici typu nad je množina všech řešení homogenní soustavy podprostor. Důkaz 4.1 Platí, že množina řešení je neprázdná. Je-li a. Je-li a. 24

Tvrzení 4.2 je těleso 1) každý podprostor obsahuje 2) průnik libovolně mnoha podprostorů je opět podprostor 3) Pro každou podmnožinu existuje nejmenší podprostor (v uspořádání inkluzí) obsahující Důkaz 4.2 1) a pro libovolný vektor platí 2) Jsou-li podprostory, potom má být podprostor 3) Průnik všech podprostorů obsahujících je podprostor podle 2) a je obsažen v každém podprostoru, který obsahuje. Definice 4.5 Nejmenší podprostor obsahující množinu se nazývá lineární obal a označujeme jej Tvrzení 4.3 Jsou-li podmnožiny, pak platí: 1) Je-li pak 2) 3) 4) Důkaz 4.3 1) platí, tedy 2) zřejmé 3) podle 2) neboť potřebujeme dokázat : je podprostor, který obsahuje 4) : platí, že (protože pak násobek ) : k tomu stačí ukázat, že je podprostor. Jsou-li prvky U potom Definice 4.6 Pro každou matici typu nad definujeme: 1) nulový prostor jako množinu všech řešení homogenní soustavy, (značení:) podprostor 2) levý nulový prostor jako podprostor 3) sloupcový prostor jako lineární obal sloupcových vektorů, označujeme podprostor 4) řádkový prostor jako sloupcový prostor, označujeme Definice 4.7 Jsou-li podmnožiny, pak definujeme jejich součet Tvrzení 4.4 Součet podprostorů je (opět) podprostor. 25

Důkaz 4.4 jsou podprostory Jsou-li, neboť jsou to podprostory, Tedy Je-li Tvrzení 4.5 je matice typu nad, pak platí: 1) Jsou-li řešení, pak 2) Jsou-li řešení, pak existuje takový, že 3) Množina všech řešení soustavy se rovná, kde je libovolné pevně zvolené řešení Důkaz 4.5 1), stejně tak 2) ; 3) Je-li řešením a, potom je řešením tedy každý prvek je řešením Naopak libovolné řešení z rovnice lze vyjádřit ve tvaru, kde podle 2. 26

Přednáška 11 _ 9. 11. 2011 Pozn.: Nejmenší podprostor pokud podprostor obsahuje pouze jeden prvek (podprostoru) obsahuje přímku Podprostory ℝ o {0} o ℝ přímka procházející 0 a (bodem) o + další bod rovina vℝ o počátek o přímka procházející o rovina o prostor Definice 4.8 Platí-li, pak říkáme, že Tvrzení 4.6 Jsou-li podmnožiny a generuje podprostor. Je-li, potom Pozn.: = Pokud k, říkáme, že přidáme vektory, které na lineárně závisí na. lineárně závisí, tak Důkaz 4.6 podle Tvrzení 4.3.2 Je-li podprostor obsahující, pak musí obsahovat i Takže Každý podprostor, který obsahuje, obsahuje i tedy Pozn.: Platí, že, tedy Definice 4.9 Množina vektorů z rovnosti se nazývá lineárně nezávislá (LN) v, jestliže plyne, že. Pokud není LN, říkáme, že je lineárně závislá (LZ). Pozorování Pokud, je lineárně závislá, protože Je-li LN v, pak každá její podmnožina je také LN v z definice se změní pouze počet podmnožin Je-li, pak je LZ 27 a každé vektory nezměníme.

Tvrzení 4.7 Množina je LN, právě když pro každý vektor platí, že. Důkaz 4.7 Sporem: Kdyby platilo, pak by existovaly navzájem různé vektory takové, že pro tedy je nenulový koeficient SPOR s LN množiny Sporem: Kdyby byla LZ, existovaly by navzájem různé vektory a koeficienty takové, že a alespoň jeden tedy tedy Věta 4.8 (Steinitzova věta o výměně SVoV) Je-li podprostor, konečná množina LN v a generuje, pak platí a vektory lze přeindexovat tak, že generuje podprostor. Důkaz 4.8 indukcí podle 1) (je LN) Tedy pro Protože existuje. Přeindexováním dosáhneme. Vyjádříme Tedy a Tvrzení 4.6 můžeme odebrat, protože je lin. komb. 2) Nechť o tvrzení platí: Tj. a po přeindexování generuje můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci Definice 4.10 kdyby bylo by (spor s tím, že je LN) Tedy alespoň 1 pro Proto. Po přeindexování můžeme předpokládat, že pokračujeme stejně jako v 1) Jestliže množina, je podprostor, generuje a je LN v, tak ji nazýváme báze. Příklad 4.1 Vektory i tá souřadnice, kde tvoří bázi v. Důkaz: Tedy generuje pokud se nazývá standardní báze v 28

Věta 4.9 Každý podprostor má nějakou bázi. Všechny báze mají stejný počet prvků, přičemž rovnost nastává pouze v případě. Důkaz 4.9 Je-li, je prázdná množina bází v. Pokud, existuje Platí-li je báze v Je-li, pak existuje Množina je LN, je-li kdyby, pak, pak i pak Spor s volbou Tedy je LN Pokračujeme dále analogicky pro atd. až po takové, že je LN v a Spor: kdyby, dostaneme LN a současně generuje měli bychom množinu větší, než standardní báze, která generuje a to je spor s Větou 4.8 29

Přednáška 12 _ 15. 11. 2011 Tvrzení (pomocné) Je-li množina vektorů LN a, potom existuje takový, že je LN. Důkaz (pomocného tvrzení) Je-li a pro. Kdyby platilo by což je ve sporu s volbou Tedy a z LN plyne Znovu a přehledněji: Je-li je báze. Pokud zvolíme, je LN Pokud, je báze Pokud, existuje tak, že je LN po krocích najdeme LN množinu takovou, že Pokud by, našli bychom množinu Spor s: v existuje (standardní) báze, která má prvků, tedy každá LN v má nejvýše prvků Jsou-li a báze v podle SVoV je, stejně tak Je-li báze v víme, že je báze v podle SVoV je v existuje báze velikosti standardní báze je-li podprostor a je báze v je LN v Pokud by Použijeme Tvrzení (pomocné) pro k nalezení takové, že je LN v spor s SVoV Tvrzení 4.10 Pro množinu, kde je podprostor jsou následující podmínky ekvivalentní: 1) je báze v 2) je minimální generující množina v 3) je maximální LN množina Důkaz 4.10 1 2 generuje pokud, plyne z SVoV, že 2 3 Chceme dokázat, že je LN v : Kdyby nebyla LN, existoval by, který by byl lineární kombinací ostatních vektorů (Tvrzení 4.7) Podle Tvrzení 4.6 platí, že Spor s tím, že je minimální generující množina 3 1 Chceme dokázat, že Kdyby ne, tak podle Tvrzení (pomocného z důkazu 4.10) najdeme větší LN množinu v Spor s maximalitou 30

Věta 4.11 Je-li podprostor a je LN podmnožina, pak lze rozšířit do báze. Důkaz 4.11 Zvolíme bázi v. Podle SVoV je, po přeuspořádání platí, že generuje. Podle Tvrzení 4.10 je to báze. Definice 4.11 Počet prvků libovolné báze podprostoru se nazývá dimenze a označujeme ji. Tvrzení 4.12 Jsou-li podprostory pak. Důkaz 4.12 pomocí SVoV Věta 4.13 (O dimenzi průniku a součtu podprostorů) Jsou-li podprostory potom. Důkaz 4.13 myšlenka: zvolíme bázi v Podle Věty 4.11 ji rozšíříme do báze Podle Věty 4.11 ji rozšíříme do báze podprostoru podprostoru potřebujeme najít v bázi, která má dimenzi sjednocení a má právě prvků je podmnožina chceme dokázat, že je to báze v 1) generuje tedy, že ok Buď, platí, že, kde je báze tedy je báze tedy Tedy 2) je LN Je-li 31

Proto prvek Protože je báze, lze vyjádřit Tedy Protože je báze (tedy LN), platí, že, tedy je báze v Proto je LN. Tvrzení 4.14 je matice typu nad. Je-li regulární matice řádu a, pak platí: 1) množina vektorů je LN v právě když je LN v 2) množina vektorů generuje právě když generuje 3) množina vektorů je báze právě když je báze 4) 5) Důkaz 4.14 pomocí Tvrzení 2.9 1) Je-li LN v Podle Tvrzení 2.9 platí, že Protože je LN, platí Tedy je LN opačná implikace totéž, pouze násobíme zleva 2) Pokud generuje existuje pro každé vyjádření Tedy Podle Tvrzení 2.9 platí, že j-tý sloupec je lineární kombinací vybraných sloupců Proto generuje opačná implikace: předpokládáme, že generuje a vynásobíme zleva 3) plyne ihned z 1, 2 4) plyne ihned z 3 5) plyne z Věty 1.7.2 každý řádek v je lineární kombinací řádků matice Proto Tedy také pomocí násobení zleva 32

Přednáška 13 _ 16. 11. 2011 Příklad 4.2 (Vzorec pro n-tý člen Fibonacciovy posl.),, R R je podprostor R. dokaž: Je-li zvolit si mohu první dva prvky Důkaz: musíme najít bázi, dostanu, dostanu Je-li indukcí podle dokážeme, že jsou LN Je-li musí být první dva prvky určují následující Leží v U nějaká geometrická posloupnost?, q musí splňovat : pokud jsou LN, tak tvoří bázi, pro nultou souřadnici pro první souřadnici jediné řešení: je báze v U, chceme najít vyjádřené (Fib. posl.), Obecná lineární rekurentní posloupnost libovolně. Pak: 33

Tvrzení 4.15 je matice typu. je matice v ŘOT, kterou dostaneme z Následující podmínky jsou ekvivalentní: 1) je bázový sloupec pomocí EŘÚ. 2) nelze vyjádřit jako lineární kombinaci předchozích sloupců 3) nelze vyjádřit jako lineární kombinaci předchozích sloupců v Důkaz 4.15 Existuje regulární matice řádu taková, že 2 3 plyne z Tvrzení 4.14.2 1 2 indexy bázových sloupců v jsou, z definice ŘOT lineární kombinace (vždy), ale tedy : Je-li nebázový sloupec je lineární kombinací předchozích v tomto případě je Potřebujeme najít lineární kombinací sloupců tak, že tuto soustavu řešíme pomocí zpětné substituce analogicky Definice 4.12 Je-li matice typu, potom nazýváme sloupec bázový sloupec matice, pokud není lineární kombinací předchozích sloupců matice. Definice 4.13 Matice typu je v redukovaném řádkově odstupňovaném tvaru (RŘOT), je-li v ŘOT a jsou-li indexy bázových sloupců, potom platí a dále. Tvrzení 4.16 Každou matici lze pomocí EŘÚ převést do RŘOT. Důkaz 4.16 Pomocí GE převedeme do ŘOT, označíme indexy bázových sloupců. Poté vynásobíme i-tý řádek číslem. Poté odečteme vhodný násobek m-tého řádku od řádku nad ním, abychom vynulovali všechny prvky na místech pro Věta 4.17 Pro každou matici platí. Důkaz 4.17 Existuje regulární matice taková, že je v RŘOT. Podle Tvrzení 4.14.4 platí, že Podle Tvrzení 4.14.5 platí, že 34

Stačí dokázat bázové sloupce tedy jsou LN prvek standardní báze v Podle Tvrzení 4.15.2 je každý nebázový sloupec lineární kombinací bázových sloupců. To znamená, že bázové sloupce generují, jsou LN, tedy tvoří bázi, tedy (počtu bázových sloupců). Nenulové řádky matice jsou LN (lineární kombinace řádků koeficienty jednotlivých řádků musí být nulové tedy jsou LN a generují, tedy tvoří bázi, proto. Definice 4.14 Číslo se nazývá hodnost matice a budeme ho označovat. Důsledek 4.18 (Věty 4.17) Pro každou matici platí: 1) 2) je počet nenulových řádků v matici, která dostaneme z pomocí GE 35

Přednáška 14 _ 22. 11. 2011 Věta 4.19 Pro čtvercovou matici řádu je ekvivalentní: 1) je regulární 2) Sloupcové vektory matice jsou lineárně nezávislé 3) Řádkové vektory matice jsou lineárně nezávislé 4) Důkaz 4.19 1 4 je regulární, z Věty 2.7.4 plyne, že v matici v ŘOT, kterou dostaneme z podle Důsledku 4.18.2 je pomocí GE jsou všechny řádky nenulové 4 1 Je-li, jsou všechny řádky v matici v ŘOT matice, kterou dostaneme z pomocí EŘÚ nenulové (Důsledek 4.18.2), tedy matice je regulární (podle Věty 2.7.4) 4 3 podle Tvrzení 4.10.2 je minimální generující množina v a tedy je báze, tedy LN, 3 4 Jsou-li LN, tvoří bázi, protože jej generují. Proto 4 2 úplně stejné jako 3 4, protože (z definice ) Tvrzení 4.20 Je-li matice typu a typu, pak Důkaz 4.20 Každý sloupec je lineární kombinací sloupců matice (Věta 1.7.1). Tedy, proto Tedy stejně tak použijeme (stejně jako pro sloupcové prostory:), použijeme Větu 1.7.2 Příklad 4.3 Obyvatelé obce Hrátkov se rádi sdružují do klubů za účelem zábavy. Obecní úřad vydal vyhlášku regulující kluby. Musí platit: 1) každý klub má lichý počet členů 2) každé dva kluby mají společně sudý počet členů Dokažte, že počet klubů je počtu obyvatel Hrátkova Řešení: obyvatelé Hrátkova kluby (0 je sudá) Definujeme matici typu nad, 36

kde - - čtvercová matice řádu Tvrzení 4.2.1 Jsou-li matice typu, pak Důkaz 4.21 Věta 4.13 Věta 4.22 Pro každou matici typu platí. Důkaz 4.22 zvolíme bázi doplníme ji do báze Dokážeme, že v (podle Věty 4.11) tvoří bázi 1) generují: Protože je báze v, protože Tedy proto je generovaný 2) zbývá dokázat, že je LN 37

Protože Tedy báze Věta 4.23 Je-li matice typu, pak platí: je LN, platí: je LN 1) 2) z Věty 4.22 3) 4) z Věty 4.22 Důkaz 4.23 Dodělej důkazy Věta 4.24 (Frobeniova věta) Soustava lineárních rovnic nad tělesem je řešitelná právě tehdy, když. Důkaz 4.23 Platí Rovnost nastává právě když, což je právě když existuje takový, že Rovnost platí je řešitelná. Kap5: Permutace čtvercová matice, řádu chceme vybrat prvky matice tak, abychom z každého sloupce a za každého řádku vybrali právě je zobrazení z do je prosté a na Definice 5.1 Permutace na množině je vzájemně jednoznačné zobrazení. Identické zobrazení se nazývá identická permutace na. Inverzní zobrazení se nazývá inverzní permutace. Jsou-li permutace na, pak je permutace na, nazývá se složení permutací. Lemma 5.1 Pro skládání permutací na platí: 1) permutace 2) permutace 3) permutace množina všech permutací na metrická grupa na 38

Přednáška 15 _ 23. 11. 2011 Příklady zápisu permutací 1) zápis tabulkou případně počítá s 1. řádkem automaticky 2) graficky graf permutace z každého a do každého bodu vede právě 1 šipka 3) cyklický zápis Skládání permutací Definice 5.2 Permutace se nazývá transpozice má-li 1 cyklus délky 2 a ostatní cykly délky 1. Pozn.: Pro transpozice se hodí redukovaný cyklický zápis: Ekvivalentní definice: Existují prvky takové, že Lemma 5.2 Každou permutaci na lze složit z transpozic. Důkaz 5.2 Předpokládáme, že. Existuje v ní alespoň jeden cyklus délky Existují transpozice tak, že Pro každou transpozici platí, tedy Lemma 5.3 Je-li a transpozice, pak počet cyklů v, a v se liší od počtu cyklů v o. 39

Důkaz 5.3 1) Jsou-li v různých cyklech : cykly 2) jsou-li ve stejném cyklu : cyklus cyklus 1 cyklus Lemma 5.4 Jsou-li a 2 vyjádření permutace p jako složení transpozic, pak mají čísla stejnou paritu (=obě sudá/obě lichá). Důkaz 5.4 v je počet cyklů v je také cyklů protože každá transpozice změní počet cyklů o 1, musí být sudé Definice 5.3 Permutace se nazývá sudá, pokud jí lze složit ze sudého počtu transpozic. Permutace se nazývá lichá, pokud jí lze složit z lichého počtu transpozic. Definujeme znaménko permutace Tvrzení 5.5 Pro dvě libovolné permutace platí: Tj. složení dvou sudých/lichých permutací je sudé, složení liché a sudé permutace je liché. Speciálně. Důkaz 5.5 transpozic 40

Lemma 5.6 Je- li počet cyklů v permutaci, potom. Důkaz 5.6 cyklů délky 1 cyklů; každá transpozice změní počet cyklů o 1 ; (2 transpozice) Praktické využití: hra s posouváním čísel (tabulka ) pomocí znamínek permutace lze určit, zda lze daná pozice složit Marian Rejewski rozluštil Enigmu (permutace na ) 41

Přednáška 16 _ 29. 11. 2011 Kap6: Determinanty Definice 6.1 Determinant: čtvercová matice řádu nad. Pozn.: výběr prvků z matice (z každého řádku a sloupce právě jeden) Příklad 6.1 Matice 2. řádu Matice 3. řádu + Lemma 6.1 Je-i H řádu, pak. Důkaz 6.1 je H matice pokud Zvolme Buď Tedy a tedy (z definice H ). Zbývá dokázat, že v každé permutaci existuje takový prvek ( ). Pokud cyklus obsahující se rovná Je-li posloupnost striktně rostoucí platí, že Tedy prvek Pokud posloupnost pak existuje označíme Tedy takové, že, potom není striktně rostoucí, V je pouze 1 případně nenulový sčítanec odpovídající. 42

Příklad 6.2 (Geometrický význam determinantu matic 2. a 3. řádu) Řešení (matice 2. řádu): Předpokládejme, že pak obsah rovnoběžníku určeného sloupcovými vektory a α pokud pokud znaménko pokud úhel a měřený proti směru hodinových ručiček je ). f φ vektor lineární kombinace matice, která každý vektor pootočí o φ č vektor ú č ý otáčíme o úhel! matice otočení o úhel v opačném směru obsah rovnoběžníku určeného se rovná 43

Řešení (matice 3. řádu): je objem rovnoběžnostěnu určeného sloupcovými vektory tvoří-li sloupcové vektory pravotočivý systém tvoří-li sloupcové vektory levotočivý systém v R (obsah podstavy výška) Givensovy rotace: matice otočení kolem 1. osy o úhel φ v kladném směru matice otočení kolem 3. osy o úhel φ v kladném směru matice otočení kolem 2. osy o úhel φ v kladném směru Tvrzení 6.2 Pro každou matici. platí Důkaz 6.2 výběr určitých permutací tj. permutace protože pro každou v obou sumách ( ) máme tytéž součiny se stejnými znaménky. Tvrzení 6.3 Má-li matice 2 stejné řádky, pak. 44

Důkaz 6.3 Předpokládáme, že ( ) a nějaké i j Tedy (1 transpozice změní znaménko) permutace z do dvojic sčítance dávají dohromady 0 Různé dvojice a jsou disjunktní. Pokud se protínají, je buď:, nebo, nebo, nebo Proto. 45

Přednáška 17 _ 30. 11. 2011 Věta 6.4 řádu nad potom platí: dostaneme z pomocí EŘÚ 1), pokud jsme prohodili 2 různé řádky 2), pokud jsme nějaký řádek násobili 3), pokud jsme k nějakému řádku přičetli násobek jiného řádku Pozn. analogicky pro sloupce (důsledek ) Důkaz 6.4 1) Prohazujeme i-tý a j-tý řádek: Zvolme počítáme-li v vezmeme sčítanec odpovídající stejné členy, pouze jiné znaménko 2) 3) kde má stejný i-tý a j-tý řádek, tedy (podle Tvrzení 6.3) tedy Pozn.: z Věty 6.4.1 plyne Tvrzení 6.3. Jsou-li dva řádky stejné (a charakteristika tělesa je různá od 2), pak prohozením těchto řádků dostaneme matici. Podle Věty 6.4.1 platí, tedy, tedy. Důsledek 6.5 1) 2) 3), je-li elementární matice Důkaz 6.5 Každou elementární matici dostaneme z pomocí příslušnou elementární transformací je H tedy (podle Lemmatu 6.1 součin prvků a diagonále). 46

Věta 6.6 Matice je regulární právě tehdy, když. Důkaz 6.6 Převedeme na matici v ŘOT pomocí EŘÚ Dostaneme elementární matice takové, že determinanty elementárních matic jsou vždy nenulové, proto. má všechny řádky nenulové je regulární Věta 6.7 (O součinu determinantů) Jsou-li čtvercové matice řádu, pak platí, že. Důkaz 6.7 Je-li singulární (tedy ), je je také singulární, potom Je-li regulární, platí, že, kde jsou elementární matice Definice 6.2 Je-li čtvercová matice řádu, pak označíme čtvercovou matici řádu, kterou dostaneme z vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. nazýváme minor určený. Číslo se nazývá kofaktor určený. Matice se nazývá kofaktorová matice k matici. Matice se nazývá adjungovaná k, značíme ji. Věta 6.8 (O rozvoji determinantu) je čtvercová matice řádu. Potom platí: 1) 2) je kofaktorová k. Důkaz 6.8 (stačí dokázat 1, protože 2 plyne z (Tvrzení 6.2) stačí dokázat, že 1) zvolme nejdříve v součet všech součinů obsahujících prvek se rovná definujeme 2) zvolíme libovolně chceme a. i-tý řádek posuneme na n-tý 47

prohazováním sousedních řádků převedeme i-tý řádek na pozici n-tého, ostatní řádky zůstávají ve stejném pořadí (prohazujeme po jednom) vyžaduje to prohození b. j-tý sloupec posuneme na n-tý prohazováním sousedních sloupců převedeme i-tý sloupec na pozici n-tého, ostatní sloupce zůstávají ve stejném pořadí (prohazujeme po jednom) vyžaduje to prohození dostaneme matici označíme minor v určený jako Platí, že Součet všech součinů v obsahujících se rovná v je součet všech součinů obsahujících rovný v je součet všech součinů obsahujících rovný součet všech součinů v obsahujících prvek se rovná násobku součtu součinů v obsahujících prvek, tj. rovná se V součtu se v každém součinu vyskytuje právě jeden prvek Po přeuspořádání sum dostaneme, že z i tého řádku Úloha 6.1 Spočítejte determinant Vandermondovy matice a rozhodněte, kdy je Vandermondova matice regulární. Řešení: (převzato z textu k přednáškám) 48

49

Úloha 6.2 V rovině máme body. Dokažte, že existuje právě 1 polynom stupně nejvýše, jehož graf prochází body pro. Řešení: Hledáme koeficienty musí splňovat tj. musí splňovat soustavu lineárních rovnic: Pokud je regulární existuje právě 1 řešení Příklad 6.3 (Shamirovo schéma pro sdílení tajemství) Chceme rozdělit nějakou informaci mezi lidí tak, aby tu informaci mohlo zjistit libovolných lidí a skupina složená z méně než členů nic nezjistí. 50

Přednáška 18 _ 6. 12. 2011 Řeš. (Příklad 6.3) množina sdílených hodnot např. PIN kód Zvolíme prvočíslo Důvěryhodná osoba (DP) zvolí, pracuje se počet účastníků počet nutný ke zjištění využijeme Úlohy 6.2 sdílené tajemství je DP zvolí náhodně polynom stupně s koeficienty v zvolí náhodně tak, že, navzájem různé tedy polynom, kde tedy i-tému účastníkovi sdělí dvojici pro Sejde-i se účastníků sdělí si pro Podle Úlohy 6.2 existuje právě 1polynm s koeficienty v takový, že pro indexů musí platit, pokud znají, zjistí Sejde-li se pouze účastníků, znají hodnoty pro Přidáme-li ke dvojicím dvojici kde existuje právě jeden polynom stupně, pro který platí, že pro pro jakýkoli absolutní člen a navíc existuje právě jeden polynom jakékoli tajemství může být výsledkem Tvrzení 6.9 Je-li regulární matice, pak. Důkaz 6.9 i-tý sloupec V součinu platí Potřebujeme dokázat, že pro j-tý řádek kofaktor v nahradíme j-tý řádek i-tým. Dostaneme matici B, ve které se i-tý řádek rovná j-tému Spočteme tak, že jej rozvineme podle j-tého řádku tedy Tvrzení 6.10 (Cramerovo pravidlo) Je-li soustava lineárních rovnic nad tělesem a matice je regulární, potom, kde dostaneme z tak, že nahradíme j-tý sloupec sloupcem pravých stran. 51

Důkaz 6. 10 chceme všechny sloupce, kromě j-tého se rovnají příslušným sloupcům, j-tý rozvoj podle j-tého sloupce Kap7: Skalární součin Pozn.: pracujeme nad R nebo Je-li Platí potom označujeme číslo komplexně sdružené k číslu Definice 7.1 Je-li matice typu nad, pak matici typu, kde nazýváme hermitovsky sdruženou k. Definice 7.2 Jsou-li R potom standardní skalární součin (SSS) definujeme jako číslo Jsou-li pak definujeme SSS jako Tvrzení 7.1 Jsou-li a, pak platí: 1) je nezáporné reálné číslo 2) 3) 4) 5) Důkaz 7.1 1) 2) 3) 4) 5) neboť 52

Úloha 7.1 Dokažte pouze s použitím Tvrzení 7.1 1) 2) 3) Řešení (na přednášce nebylo, tedy můj pokus) 1) pomocí 5, 4 2) pomocí 5, 3 3) pomocí 5, 3 (kde ) 53

Přednáška 19_7. 12. 2011 Definice 7.3 Norma vektoru R určená SSS je číslo R Úloha 7.2 Dokažte, že platí: 1) R 2) R 3) R R Řešení (na přednášce nebylo, tedy můj pokus) 1) plyne z vlastností SSS tedy (podle Tvrzení 7.1.1) 2) (podle Tvrzení 7.1.2) 3) Věta 7.2 (Cauchy Schwartzova Bunjakovského nerovnost) Pro každé dva vektory R platí: přičemž rovnost platí, právě když pro nějaké R. Důkaz 7.2 Je-li zjevně platí. Předpokládejme, že. Najdeme R takové, že Dosadíme-li dostaneme, že Pozn. dále pracujeme v z Tvrzení 7.3 (Trojúhelníková nerovnost) Pro každé R platí:. Důkaz 7.3 (CSB nerovnost) 54