5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, pak říkáme, že má v bodě z 0 G nulový bod (kořen), jestliže je f(z 0 ) = 0. Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C a má v bodě z 0 G nulový bod, t.j. f(z 0 ) = 0, pak nastanou dvě možnosti: () 0 pro z G; (2) existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ), z z 0. Pak existuje jednoznačně určené číslo n N takové, že (z z 0 ) n g(z), g(z) 0, z U(z 0 ). Definice: Číslo n z předchozí věty se nazývá řád nulového bodu (kořene) funkce f. Věta. Funkce f : G C, která je holomorfní v oblasti G má v bodě z 0 G nulový bod řádu n pravě když platí: Existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že pro z U(z 0 ) jsou splněny tyto ekvivalentní podmínky: (a) (z z 0 ) k, a n 0; k=n (b) (z z 0 ) n g(z), kde funkce g je holomorfní a různá od nuly; (c) f(z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (n ) (z 0 ) = 0 a f (n) (z 0 ) 0. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že je funkce holomorfní a nenulová v okolí U(z f(z) 0). Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a má v bodě z 0 G nulový bod řádu n, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že pro z U(z 0 ), z z 0 platí: Je pak h(z), h(z) 0. (z z 0 ) n lim z z 0. Věta. Nechť je funkce f : G C holomorfní v oblasti G {z 0 } a lim z z0, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 a číslo n N takové,že pro z U(z 0 ), z z 0 je g(z) (z z 0 ) n, kde funkce g(z) je holomorfní v U(z 0 ). Definice: Bod z 0, z předchozí věty se nazývá pólem řádu n funkce f. Definice: Izolované singularity Jestliže je funkce f : G C holomorfní v oblasti G {z 0 }, pak bod z 0 je izolovaným singulárním bodem funkce f v oblasti G. Klasifikace izolovaných singulárních bodů. Je-li bod z 0 G izolovaným singulárním bodem funkce f : G C, která je holomorfní v oblasti G {z 0 }, pak nastane právě jedna z možností: I. Odstranitelná singularita a) lim z z0 w 0 C; 52
b) (z z 0 ) k, 0 < z z 0 < r a a 0 = w 0 ; c) funkce f (z) = f(z), z z 0, f (z 0 ) = w 0 je holomorfní v bodě z 0. II. Pól n-tého řádu a) z z0 lim ; b) existuje funkce g(z) holomorfní v bodě z 0 taková, že g(z) (z z 0 a g(z ) n 0 ) 0; c) z z0 lim f(z)(z z 0 ) n = w 0 C, w 0 0; d) funkce má v bodě z f(z) 0 nulový bod (kořen) řádu n. III. Neodstranitelná (podstatná) singularita a) lim z z0 f(z) neexistuje; b) lim z z0 f(z)(z z 0 ) m neexistuje pro všechna m Z. Obdobně klasifikujeme izolované singularity v bodě pro funkci f(z), která je holomorfní na nějakém okolí U( ) bodu : I. Odstranitelná singularita lim w 0 C. z Nulový bod: Je-li w 0 = 0, pak má funkce f(z) v bodě nulový bod (kořen). Jeho řád je roven řádu nulového bodu funkce g(z) = f ( z ) v bodě z0 = 0. Tedy funkce f(z) má v bodě nulový bod řádu n právě když je lim z z n w 0, w C. II. Pól n-tého řádu f(z) Funkce f(z) má v bodě pól n tého řádu, jestliže je lim = w z z n 0, w 0 C, w 0 0. III. Neodstranitelná (podstatná) singularita Pokud nemá funkce f(z) v bodě odstranitelnou singularitu nebo pól, pak říkáme, že má v bodě neodstranitelnou singularitu. Potom lim z f(z) neexistuje. 6. Laurentovy řady Definice: Řada tvaru ( ) (z z 0 ) k se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z 0. Mocninná řada ( ) (z z 0 ) k se nazývá regulární část řady ( ) a řada ( ) (z z 0 ) k = m= a m (z z 0 ) m se nazývá hlavní část řady ( ). Poznámka: Hlavní část Laurentovy řada je mocninná řada v proměnné z z 0. Jejím oborem konvergence je pak množina z z < r z z 0 > 0 r, 0 r. 53
Definice: Řada tvaru ( ) se nazývá Laurentova řada se středem v bodě. Mocninná řada z k ( ) z k se nazývá regulární část řady ( ) a řada ( ) z = m z m m= se nazývá hlavní část řady ( ). Věta. Obor konvergence Pro Laurentovu řadu ( ) nastane jedna z možností: a) regulární část ( ) řady konverguje pro z z 0 < r, hlavní část ( ) konverguje pro z z 0 > r 2 a r 2 < r. Řada ( ) pak konvegruje absolutně v mezikruží r 2 < z z 0 < r. b) regulární část ( ) řady konverguje pro z z 0 < r, hlavní část ( ) konverguje pro z z 0 > r 2 a r 2 > r. Řada ( ) pak nekonverguje nikde. c) regulární část ( ) řady konverguje pro z z 0 r, a hlavní část ( ) konverguje pro z z 0 r. Řada ( ) pak konverguje pouze v bodech kružnice z z 0 = r. Značení: Označujeme symbolem P (z 0 ; r, R) mezikruží {z; r < z z 0 < R}, kde 0 r R. Věta. Cauchyův vzorec pro mezikruží Nechť je funkce f : G C holomorfní v oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z 0 ; r, R). Jsou-li (C ) a (C 2 ) kladně orientované kružnice C = {z; z z 0 = r }, C 2 = {z; z z 0 = r 2 }, kde r < r < r 2 < R, pak pro všechny body z P (z 0 ; r, R) je 2πj (C 2 ) w z dw 2πj (C ) w z dw. Věta. Laurentova řada holomorfní funkce Je-li funkce f : G C holomorfní v oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z 0 ; r, R), pak přičemž (z z 0 ) k, r < z z 0 < R, = 2πj (C ) dw, (w z 0 ) k+ kde (C ) je kladně orientovaná kružnice K = {z; z z 0 = r, r < r < R. 7. Klasifikace singulárních bodů, reziduum funkce Věta. Je-li funkce f(z) holomorfní v prstencovém okolí bodu z 0 a je-li (z z 0 ) k, z 0 C, 54
resp. z k, z 0 = je její rozvoj v Laurentovu řadu, pak platí: a) Funkce f(z) má v bodě z 0 odstranitelnou singularitu, právě když je hlavní část Laurentovy řady nulová, t.j. = 0, k. b) Funkce f(z) má v bodě z 0 pól řádu n, právě když má hlavní část Laurentovy řady koeficienty = 0 pro k < n a a n 0. c) Funkce f(z) má v bodě z 0 neodstranitelnou singularitu, právě když má hlavní část Laurentovy řady nekonečně mnoho nenulových koeficientů. Definice: Reziduum funkce Jestliže má funkce f(z), která je holomorfní v prstencovém okolí bodu z 0 rozvoj v Laurentovu řadu resp. (z z 0 ) k, z 0 C, z k, z 0 =, pak číslo a, resp. a nazýváme reziduem funkce f(z) v bodě z 0 a označujeme jej symbolem ( ) res z0 a, resp. ( ) res a. Poznámka: Význam residua Je-li (z z 0 ) k, 0 < z z 0 < r, rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu z 0, pak pro každou kladně orientovanou kružnici (K ρ ), K ρ = {z; z z 0 = ρ, 0 < ρ < r} je (K ρ) Obdobně pro z 0 = platí: Je-li f(z) dz = 2πja = 2πj res z0 f(z)., z > r, zk rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu, pak pro každou záporně orientovanou kružnici (K ρ ), K ρ = {z; z z 0 = ρ, 0 < r < ρ} je (K ρ) f(z) dz = 2πja = 2πj res f(z). Věta. Reziduová věta Nechť je funkce f(z) holomorfní v oblasti G C s výjímkou nejvýše konečného počtu bodů z, z 2,..., z n a nechť (C ) je kladně orientovaná uzavřená cesta, která spolu se svým vnitřkem IntC leží v oblasti G. Jestliže body z, z 2,..., z n leží ve vnitřku IntC cesty, pak je ( ) (C ) n f(z) dz = 2πj res zk f(z). 55 k=
Poznámka: Výpočet residuí V bodě z 0 : A) pól. řádu: Nechť funkce h(z) a g(z) jsou holomorfní v bodě z 0 a h(z 0 ) 0, g(z 0 ) = 0, g (z 0 ) 0. Potom má funkce h(z) g(z) v bodě z 0 pól. řádu a ( ) res z0 h(z 0) g (z 0 ). B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef(z) v bodě z 0 pól řádu n, pak V bodě : ( ) res z0 (n )! lim z z 0 [(z z 0 ) n f(z)] (n ). A) odstranitelná singularita: Nechť má funkce f(z) v bodě odstranitelnou singularitu, pak: ( ) res z lim z(f( ) f(z)) = z lim z 2 f (z); B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef(z) v bodě pól řádu n, pak ( ) res ( )n (n + )! lim [ z z n+2 f (n+) (z) ]. C) neodstranitelná singularita: Reziduum v tomto případě můžeme získat z Laurentovy řady. Častěji využíváme této skutečnosti. Je-li funkce f(z) holomorfní v C s vyjímkou nejvýše konečného počtu bodů z, z 2,..., z m, pak ( ) m k= res zk f(z) + res 0. 56