Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. + + + + + + + + + + + + + + + 0 +0 + 0 + 0 + 0 2 0 + 0 Řešení b Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny v čitateli. ++ ++ +++ +++ ++ +++ + +++ + +++ + +++ + +++ 0+ 0 +0++ + + 2 ++ 2
Řešení c Budeme provádět úpravu vytknutím směřujícím k odstranění členu 2 v čitateli i jmenovateli. Kdo tento rozklad nevidí, provede si ho pomocí dělení mnohočlenů. 8 6 2 +2+4 4 +4 +2+4 2 +2+4 2+2 +4 +2+4 +2 +4 +2 +4 2 +2 2+4 2+22 +4 4+4+4 4 4+4 3 4 4 8 3 8 8 6 3 8 Řešení d Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny v čitateli. + + ++ ++ + ++ ++ ++ ++ 0++ + + 2 + 2 2
Příklad 2 Vypočítejte ity funkcí: a) b) +4+ c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k výsledku. Řešení 2a Po dosazení do této úlohy dostaneme nedefinovaný výraz. Proto budeme provádět úpravy vedoucí k výsledku. + + + + Nyní je třeba si uvědomit, že se blíží, je tedy záporné. Podle definice absolutní hodnoty tedy můžeme v tomto konkrétním případu psát + + + Zlomek v odmocnině se blíží 0. Tudíž + +0 + Řešení 2b Po dosazení do této úlohy dostaneme nedefinovaný výraz. Proto budeme provádět úpravy rozšířením vedoucí k výsledku. +4+ +4+ +4 +4 +4 +4 4 +4 Nyní je třeba si uvědomit, že se blíží, je tedy záporné. Výraz ve jmenovateli se tedy blíží. Proto 3
4 +4 0 +4+0 Řešení 2c Po dosazení do této úlohy dostaneme nedefinovaný výraz. Proto budeme provádět úpravy vedoucí k výsledku. +3 + 3 + 3 2 + 2 + 2 3 + + 2 Nyní je třeba si uvědomit, že se blíží, je tedy záporné. Podle definice absolutní hodnoty tedy můžeme v tomto konkrétním případu psát 3 + + 2 3 + + 2 Zlomky v odmocninách blíží 0. Tudíž 3 + +0 + 2 +0 + 3 + 2 +3 2 Řešení 2d Po dosazení do této úlohy dostaneme nedefinovaný výraz. Proto budeme provádět úpravy rozšířením a následně vytknutím pod odmocninou vedoucí k výsledku. + + + + + Nyní je třeba si uvědomit, že se blíží +. Proto se zlomek v odmocnině blíží 0. Tudíž + 4
0+ + + 2 + 2 5
Příklad 3 Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Pro řešení těchto úloh využijeme známého vzorce. Řešení 3a Budeme provádět úpravy vedoucí k využití výše uvedeného vzorce. sin tg cos sin cos sin cos Nyní již lze využít vzorec a dosadit v druhé itě sin cos tg Řešení 3b Budeme provádět úpravy vedoucí k využití výše uvedeného vzorce. sin sin sin sin+ sin sin+ sin + sin + Nyní již lze dvakrát využít vzorec sin sin + + 0 2 0 sin sin + sin sin + sin sin+ 0 Řešení 3c Budeme provádět úpravy vedoucí k využití výše uvedeného vzorce. 6
sin5 sin5 sin5 5 5 5 5 S využitím substituce 5, 0 dostáváme sin5 sin 5 5 5 Nyní již lze využít vzorec sin 5 5 5 sin5 5 Řešení 3d Budeme provádět úpravy vedoucí k využití výše uvedeného vzorce. sin7 sin7 sin7 sin4 7 7 sin4 sin4 4 4 S využitím substituce 7, 0; 4, 0 dostáváme sin7 7 4 7 7 sin sin4 4 sin 4 Nyní již lze dvakrát využít vzorec 7 4 7 sin 4 sin sin7 7 sin4 4 sin 7 4 7 sin 4 7 4 7 4 sin7 sin4 7 4 7
Příklad 4 Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy rozšířením vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení 4a Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny v čitateli. 8+ 2 8+ 2 8+ 8+ 8+ 8 8+ +2 8++4 +2 8++4 +2 8++4 8+ +2 8++4 8+ +2 8++4 8+0 +2 8+0+4 4+4+4 2 Dostáváme přímo výsledek. 8+ 2 8+ +2 8++4 8+ +2 8++4 8 +2 8+4 2 +2 2+4 8+ 2 2 Řešení 4b Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny v čitateli. 8
27+ 3 27+ 3 27+ 27+ 27+ 3 27+ +3 27++9 27+ +3 27++9 +3 27++9 +3 27++9 27+ 27 27+ +3 27++9 27+ +3 27++9 27+ +3 27++9 27+0 +3 27+0+9 3 +3 3+9 9+9+9 27 Dostáváme přímo výsledek. 27 +3 27+9 27+ 3 27 Řešení 4c Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny ve jmenovateli. + + + + ++ + + + ++ + + + + + + + + + ++ +0 ++3 Dostáváme přímo výsledek. + + ++ + + + ++ + + + +0 + 3 + + + + + + ++ Řešení 4d Budeme provádět úpravu rozšířením směřujícím k odstranění odmocniny v čitateli. 9
+ + + + + + + ++ + ++ + ++ + + ++ + + ++ +0 + +0+ ++ 3 Dostáváme přímo výsledek. + + + ++ + + ++ + + ++ + 3 0
Příklad 5 Vypočítejte jednostranné ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Při výpočtu jednostranných it je často nutné pozorně sledovat znaménko funkce při přibližování se k cíli. Tak je tomu u prvních dvou úloh. U druhých dvou úloh stačí zjednodušení výrazu a dosazení. Řešení 5a Máme vypočítat V tomto případě je nutné si uvědomit, že se blíží k jedné zprava. Čitatel se tedy také blíží jedné zprava (je to tedy kladná hodnota). Jmenovatel se v důsledku toho blíží k nule zleva (je to tedy velmi malá záporná hodnota). Jejich poměr se v důsledku toho blíží k zápornému nekonečnu. Dostáváme tedy přímo výsledek Řešení 5b Máme vypočítat V tomto případě je nutné si uvědomit, že se blíží k jedné zleva. Čitatel se tedy také blíží jedné zleva (je to tedy kladná hodnota). Jmenovatel se v důsledku toho blíží k nule zprava (je to tedy velmi malá kladná hodnota). Jejich poměr se v důsledku toho blíží ke kladnému nekonečnu. Dostáváme tedy přímo výsledek Řešení 5c Máme vypočítat V tomto případě rozložení čitatele na součin a následné krácení vede ke zjednodušení výrazu. + +
Nyní již lze dosadit a dostaneme výsledek ++2 2 Řešení 5d Máme vypočítat V tomto případě rozložení čitatele na součin a následné krácení vede ke zjednodušení výrazu. + Nyní již lze dosadit a dostaneme výsledek ++2 + 2 2
Příklad 6 Existují-li následující ity, určete jejich hodnotu: a) b) c) 2 d) Poznámka Problém existence ity je třeba řešit ve všech situacích, kdy se hodnota jmenovatele zlomku blíží nule. Je třeba vyšetřit, zda obě odpovídající jednostranné ity mají stejnou hodnotu. Pokud ano, ita existuje a má takto zjištěnou hodnotu. V opačném případě ita neexistuje. Řešení 6a Máme vyšetřit existenci a případně vypočítat V tomto případě se čitatel blíží - a jmenovatel vždy nule zprava. Čitatel je tedy pro blízké nule vždy záporný a jmenovatel kladný. Jejich podíl se tedy musí blížit zápornému nekonečnu. Dostáváme tak přímo výsledek. Řešení 6b Máme vyšetřit existenci a případně vypočítat 2 + V tomto případě se čitatel blíží -2. Pokud se blíží - zprava, pak se jmenovatel blíží nule zprava (je kladný) a podíl čitatele a jmenovatele se blíží k zápornému nekonečnu. 2 + Pokud se blíží - zleva, pak se jmenovatel blíží nule zleva (je záporný) a podíl čitatele a jmenovatele se blíží ke kladnému nekonečnu. 2 + 2 + 2 + Tudíž 3
2 + NEEXISTUJE Řešení 6c Máme vyšetřit existenci a případně vypočítat 4+4 2 V tomto případě se čitatel zlomku blíží 4 a jmenovatel vždy nule zprava. Čitatel je tedy pro blízké nule vždy kladný a jmenovatel rovněž kladný blízký nule. Jejich podíl se tedy musí blížit kladnému nekonečnu. Odečtení 2 od výsledku podílu nemá na tento výsledek vliv (odečteme-li od nekonečna konstantu, výsledkem je nekonečno). Dostáváme tak přímo výsledek. 4+4 2+ Řešení 6d Máme vyšetřit existenci a případně vypočítat 2 Výraz si nejprve upravíme 2 2 V tomto případě se čitatel blíží 3. První člen jmenovatele se blíží 2, je tedy také kladný. Pokud se blíží 2 zprava, pak se jmenovatel blíží nule zprava (člen 2je kladný) a podíl čitatele a jmenovatele se blíží ke kladnému nekonečnu. 2 + Pokud se blíží 2 zleva, pak se jmenovatel blíží nule zleva (člen 2je záporný) a podíl čitatele a jmenovatele se blíží k zápornému nekonečnu. 2 2 2 Tudíž 2 NEEXISTUJE 4