LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ..07/2.2.00/28.002) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 2 Cvičení. (Limita spojité funkce). x 0 x 2 x 2 2 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). Víme, že je-li funkce f(x) spojitá v x 0, pak dostaneme po dosazení bodu x 0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň itou funkce v daném bodě. x 2 x 0 x 2 2 = = 2 = 2 2. x π 2 x2 sinx Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). Víme, že je-li funkce f(x) spojitá v x 0, pak dostaneme po dosazení bodu x 0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň itou funkce v daném bodě. ( π ) 2 x 2 π sinx = sin x π 2 2 = π2 π2 = x (x+)lnx Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). Víme, že je-li funkce f(x) spojitá v x 0, pak dostaneme po dosazení bodu x 0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň itou funkce v daném bodě. (x+)lnx = (+) ln = 2 0 = 0 x Cvičení 2. (Limita polynomu a racionální lomené funkce pro x ± ). x (x 3 +5x ) x ± (a 0x n +a x n + +a n x+a n ) = x ± a 0x n x (x3 +5x ) = x x3 Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x x3 = 3 =

3 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 3 2. x (3x 2 x 5) (a 0x n +a x n + +a n x+a n ) = a 0x n x ± x ± x (3x2 x 5) = x 3x2 Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). 3. x (2x 5 +) x 3x2 = 3 ( ) 2 = 3 = (a 0x n +a x n + +a n x+a n ) = a 0x n x ± x ± x (2x5 +) = x 2x5 Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). 4. x 3x 3 2x+ 2x 3 +x 2 x x ± x 2x5 = 2 ( ) 5 = 2 ( ) = a 0 x n +a x n + +a n x+a n a 0 x n b 0 x m +b x m = + +b m x+b m x ± b 0 x m 3x 3 2x+ x 2x 3 +x 2 x = 3x 3 3 = čitatel a jmenovatel se zkrátí = x 2x3 x 2 Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 3 2 = není žádně x,není kam dosadit = 3 2

4 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 4 5. x 7x 3 x 2 +2 x 2 +2x+7 x ± 7x 3 x 2 +2 x x 2 +2x+7 = x a 0 x n +a x n + +a n x+a n a 0 x n b 0 x m +b x m = + +b m x+b m x ± b 0 x m 7x 3 7x = čitatel a jmenovatel se zkrátí = x2 x = 7x x Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x).. x x 2 x 8 3x 4 +4x x ± x 2 x 8 x 3x 4 +4x = x 7x = 7 ( ) = x a 0 x n +a x n + +a n x+a n a 0 x n b 0 x m +b x m = + +b m x+b m x ± b 0 x m x 2 = čitatel a jmenovatel se zkrátí = 3x4 x Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 3x 2 = 3 ( ) 2 = 3 = = 0 3x 2

5 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 5 Cvičení 3. (Limita funkce, dostaneme-li po dosazení a 0, kde a R 0). x 0 x Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 0 x = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x 0 x = 0 = 0, = x 0 + x = 0 + = 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 0 x neexistuje. 2. x 3 x 3 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 3 x 3 = 3 3 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x 3 x 3 = x 3 + x 3 = 3 3 = 2, = 0, = = 3, = 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 3 x 3 neexistuje.

6 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ x+2 3. x 4 x+4 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x+2 x 4 x+4 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. = 8 x+2 = do čitatele dosadíme 4, protože čitatel není problémový = x 4 x+4 x+2 = do čitatele dosadíme 4, protože čitatel není problémový = x 4 + x = 8 4, = 8 0, = = 8 3, = 8 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 4 x+2 x+4 neexistuje. 4. x 5 (x 5) 2 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 5 (x 5) 2 = (5 5) 2 = 0 2 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x 5 (x 5) 2 = x 5 + (x 5) 2 = (5 5) 2 = (4, ) 2 = ( 0, ) 2 = 0, = (5 + 5) 2 = (5, ) 2 = (0, ) 2 = 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 5 (x 5) 2 =.

7 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ x (x+) 3 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 8 (x+) 3 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. 8 ( +) 3 = = 8 0 x x + 8 (x+) 3 = 8 (x+) 3 = 8 ( +) 3 = 8 (, ) 3 = 8 ( 0, ) 3 = 8 0, = 8 ( + +) 3 = 8 ( 5, ) 3 = 8 (0, ) 3 = 8 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 8 (x+) 3 neexistuje. x+8. x 2 2 x Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x+8 x 2 2 x = = 0 0 Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x+8 = do čitatele dosadíme 2, protože čitatel není problémový = x 2 2 x x+8 = do čitatele dosadíme 2, protože čitatel není problémový = x x = 0 2, = 0 0, = = 0 2 2, = 0 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 2 x+8 2 x neexistuje.

8 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 8 7. x 0 x 2 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x 0 x 2 = 0 2 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x 0 x 2 = x 0 + x 2 = (0 ) 2 = ( 0, ) 2 = 0, = (0 + ) 2 = (0, ) 2 = 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x 0 x 2 =. 8. x ( x) 4 Řešení. Víme, že při výpočtu ity x x0 f(x) postupujeme tak, že dosadíme bod x 0 do funkce f(x). x ( x) 4 = ( ) 4 = 0 4 = Víme, že tyto ity počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x ( x) 4 = x + ( x) 4 = ( ) 4 = ( 5, ) 4 = (0, ) 4 = 0, = ( + ) 4 = (, ) 4 = ( 0, ) 4 = 0, = Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x ( x) 4 =.

9 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 9 Cvičení 4. (Limita složené funkce). x sin(arctgx) Řešení. Víme, že při výpočtu ity složené funkce x x0 g(f(x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme itu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se itou až k vnitřní složce, tedy x x0 g(f(x)) = g( x x0 f(x)). ( ) sin(arctgx) = sin arctgx = vypočítáme nejdříve itu v závorce (tedy dosadíme) = sin(arctg ) = sin π x x 2 = 2. x e 5x 2 + x 2 8 Řešení. Víme, že při výpočtu ity složené funkce x x0 g(f(x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme itu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se itou až k vnitřní složce, tedy x x0 g(f(x)) = g( x x0 f(x)). ( 2 + 5x x e5x x 2 2 ) + 8 = e x x 2 8 vypočítáme nejdříve itu v závorce (je to typ - Limita polynomu a racionální lomené funkce pro x ± viz Cvičení 2) = = e ( x 5x 2 = x 2 ) = e (x 5) = e 5 3. x arctg x Řešení. Víme, že při výpočtu ity složené funkce x x0 g(f(x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme itu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se itou až k vnitřní složce, tedy x x0 g(f(x)) = g( x x0 f(x)). arctg x x = arctg vypočítáme nejdříve itu v závorce (je to typ - Limita funkce, dostaneme-li po dosazení a, kde a R 0 viz Cvičení 3) = 0 ( ) = arctg = ( x x ) = víme, že tuto itu v závorce počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. x x = x + x = = 0, = 0, = + =, = 0, =

10 MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ 0 Víme, že funkce f(x) má v bodě x 0 itu, právě tehdy když obě jednostranné ity (zleva i zprava) jsou si rovny. x x neexistuje. Víme, že když ita vnitřní složky neexistuje, potom neexistuje ani původní ita složené funkce ze zadání, kterou jsme počítali. x arctg x neexistuje.