7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy prvků. Zvládutí kombiatorických úloh je předpokladem pro studium pravděpodobosti a statistiky. Kombiatorika ( auka o skupiách ) je část matematiky, zabývající se určováím počtu růzých skupi o k prvcích, které lze vybrat z daé, základí možiy o prvcích při dodržeí určitých pravidel výběru. "Chcete si umět spočítat, jaká je pravděpodobost, že při vsazei deseti sloupců ve Sportce vyhrajete prví pořadí?" Pusťte se do základích pojmů kombiatoriky. 56
7.. Základí pojmy základí možia M -je každá koečá možia o růzých prvcích, z íž budeme vybírat prvky do skupi skupia -je možia prvků, vybraých ze základí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvků: zápisy ( a, b) a ( b, a) zastupují tutéž skupiu skupia k-té třídy -je vybraá skupia, která má k prvků uspořádaá skupia -je skupia v íž záleží a pořadí prvků: ( a, b) a ( b, a) jsou dvě růzé skupiy skupiy bez opakováí -jsou skupiy v ichž každý prvek z daé základí možiy M o růzých prvcích je vybrá je jedou ( a pak je z dalšího výběru vyřaze) skupiy s opakováím -jsou skupiy v ichž je možé každý prvek z možiy M vybrat vícekrát ( jako bychom ho po výběru vrátily zpět do možiy M ) -faktoriál -je souči všech přirozeých čísel meších ebo rových! ( ) ( ) ( ) 0!! kombiačí číslo - čteme ad k,, kde, k jsou přirozeá čísla k k ( k)! k! ebo ula a platí 0 k. 57
Počítáí s kombiačími čísly Výpočet faktoriálu:.! ( ) ( ) ( ).! ( )( ) ( k)!. 0! Řešeý příklad Rozepište 6!. 6! 6 5 ebo 6! 6 5! 6 5! 6 5! Rozepisováí faktoriálu je možo a vhodém místě zastavit. Výpočet kombiačího čísla:! ( )( ) ( k )( k)! ( )( ) ( k ). k ( k)! k! ( k)! k! k!. k k. 0. 5., kde k <. k k k 58
Řešeý příklad 0 Vypočtěte. 0 0! 0 9 8 7! 0 9 8 0 (0 )!! 7!! Kombiačí číslo jedoduše vypočteme, jestliže v čitateli rozepisujeme faktoriál čísla, ale apíšeme je tolik čiitelů, kolik udává k. Ve jmeovateli rozepíšeme je k!. 9 9 Vypočtěte,. 6 9 9 8 7. 9 9 9 8 7 6 x x 5 Které přirozeé číslo x vyhovuje rovici : 5 Kombiačí číslo existuje pro 0 k k x x a tedy x x Nyí odstraíme kombiačí čísla a řešíme ( x ) x x ( x ) x x x x 8 x 8 x x ± Podmíce vyhovuje je x. 59
7.. Kombiace Kombiací bez opakováí k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou podmožiu základí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvků. Počet kombiací bez opakováí: C k ( ), 0 k. k Řešeý příklad Zapište kombiace. třídy bez opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia M,,. () { } C : (,), (, ), (,). C (). Kolik růzých třítóových akordů je možé zahrát z sedmi tóů? urči (počet prvků základí možiy) 7 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat tóy se emohou opakovat urči typ výběru : C k () C k ( ) k 7 7 6 5 C (7) 5 60
Kombiací s opakováím k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou skupiu prvků vybraých z prvků základí možiy M, v íž se každý prvek může opakovat až k krát a v íž ezáleží a pořadí prvků. k Počet kombiací s opakováím: C k ( ), k může být větší ež. k Řešeý příklad Zapište kombiace. třídy s opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia M,,. () { } C : (,), (,), (,), (,), (,), (,) C () 6 Ve stáku mají druhy bobóů, každý druh v sáčcích po 0 dkg. Kolika růzými způsoby může zákazík koupit půl kila bobóů? urči (počet prvků základí možiy) urči k (počet prvků, které vybíráme) k 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat druhy se emohou opakovat urči typ výběru : C k () k C k ( ) k 5 7 7 7.6 C 5 () 5 5! 6
7.. Variace Variací bez opakováí k-té třídy z prvků azýváme každou uspořádaou k-prvkovou podmožiu prvkové základí možiy M.! Počet variací bez opakováí : V k ( ), 0 k. ( k)! Řešeý příklad Zapište variace bez opakováí.třídy a určete jejich počet, je-li základí možia M {,,} V : (, )(,, )(,, )(,, )(,, )(,, ) ()! V () ( )! 6 Jsou dáy cifry,,,, 5. Kolik trojciferých čísel lze z ich sestavit, jestliže se cifry eopakují. urči (počet prvků základí možiy) 5 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat čísla se emohou opakovat urči typ výběru : V k () V k! ( ) ( k)! 5! 5! 5...! V (5) 5.. 60 (5 )!!! 6
Variací s opakováím k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou uspořádaou skupiu prvků, vybraých z prvkové základí možiy M, v íž se každý prvek může opakovat až k krát. k Počet variací s opakováím : V ( ), k může být větší ež. k Řešeý příklad Zapište variace s opakováím.třídy a určete jejich počet, je-li základí možia M {,,} V () : (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) V () 9 Jsou dáy cifry,,,, 5. Kolik trojciferých čísel lze z ich sestavit, jestliže se cifry opakují. urči (počet prvků základí možiy) 5 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat čísla se mohou opakovat urči typ výběru : V k () k V ( ) V (5) 5 5 k 6
7.. Permutace Permutací bez opakováí z prvků azýváme každé uspořádáí prvkové základí možiy M. Počet permutací bez opakováí : P ( )!. Řešeý příklad Zapište permutace bez opakováí a určete jejich počet, je-li základí možia {,,} P () : (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,) P ( )! 6 M. Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova fyzika? { f, y, z, i, k a} M, urči (počet prvků základí možiy) 6 urči k (počet prvků, které vybíráme) k 6 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat písmea se eopakují urči typ výběru: P () P ( )! P (6) 6! 6.5... 70 6
Permutací k prvků s opakováím azýváme každé uspořádáí, v ěmž je všech prvků základí možiy M a prvek a i se opakuje právě k i krát ( i,, a ). Platí k k k k. Počet permutací s opakováím: P k! k ( ), k,... k k k! k!. k! Řešeý příklad Zapište permutace s opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia {,,} prvek se opakuje jedou, druhý se opakuje jedou a třetí dvakrát. P : (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,),,, () (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,)! P,, ()!!! Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova matematika? { m, a, t, e, i k} M, urči (počet prvků základí možiy) 6 urči k (počet prvků, které vybíráme) k (písmeo m se opakuje ) 65 k (písmeo a se opakuje ) k (písmeo t se opakuje ) M a prví k (písmeo e se opakuje ) k 5 (písmeo i se opakuje ) k 6 (písmeo k se opakuje ) k 0 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat písmea se opakují urči typ výběru : P k! ( ), k, k, k, k5, k k P k 6 k ( ), k, k, k, k5, k k 6 k!. k!. k!. k!. k!. k! P 0!!!!!!!,,,,,(0) 500 5 6
66 7.5. Biomická věta Kombiačí číslo k bývá ozačováo termíem biomický koeficiet, je-li užíváo ve vztahu pro -tou mociu dvojčleu (biomu). Jsou-li a,b libovolá čísla a číslo přirozeé, platí: b a b a b a b a b a 0 0 0 ) (. Řešeý příklad Rozveďte pomocí biomické věty a zjedodušte ) ( 0 ).(. )..( ).(. )..( ).(. 0 ) ( 6 8 7
Úlohy k řešeí Úloha 7.. Vypočtěte kombiačí čísla a) 0 b) 5 c) 9 9 d) Úloha 7.. Které přirozeé číslo vyhovuje rovici : x x x a), jaká je podmíka pro x? 0 x 5 x b) 0, jaká je podmíka pro x? x x Úloha 7.. Ve třídě je 5 žáků, z ichž mají být vyzkoušei. Kolik růzých čtveřic může být vyzkoušeo? Úloha 7.. Jistý muž má 5 kabátů, vesty a 6 kalhot. Kolika růzými způsoby se může obléct? Úloha 7.5. V lavici mohou sedět čtyři žáci. Kolikerým způsobem je možo lavici obsadit, máme-li pět žáků a záleží a pořadí míst? Úloha 7.6. Kolik růzých hodů lze provést třemi kostkami? 67
Úloha 7.7. Aražér má ve výloze umístit vedle sebe stejé svetry z ichž jsou bílé, červeý a zeleý. Kolika způsoby to může učiit? Úloha 7.8. Kolik růzých šesticiferých čísel můžeme apsat z číslic,,,,5,6 má-li se každé vyskytout v čísle je jedou? Úloha 7.9. Užitím biomické věty vypočtěte a) a b 6 b) (.0) 7 s přesostí a tři desetiá místa Úloha 7.0. Vypočtěte: 7 a) 5 b) x c) Úloha 7.. Kterým kombiačím číslem je možo vyjádřit součty: 5 5 a) b) 0 c) 5 68
Úloha 7.. Zjedodušte : ( )! a) ( )! ( )! b) ( )! ( )!! c)! ( )! Úloha 7.. Z kolika prvků je možé utvořit variací. třídy bez opakováí? Úloha 7.. Zvětší-li se počet prvků o zvětší se počet permutací bez opakováí krát. Jaký byl původí počet prvků? Úloha 7.5. Zvětší-li se počet prvků o jede, zvětší se počet kombiací třetí třídy o 8. Kolik je prvků? Úloha 7.6. Jsou cifry,,,,5. Kolik pěticiferých čísel, v ichž se žádá z cifer ebude opakovat, lze z těchto cifer sestavit, chceme-li získat a) všecha taková čísla b) čísla kočící cifrou c) čísla sudá d) čísla lichá Úloha 7.7. Kolik trojciferých čísel lze zapsat z cifer,,6,8, mohou-li se cifry opakovat? Úloha 7.8. Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova automatizace? Úloha 7.9. Kolik růzých třítóových ebo čtyřtóových akordů lze zahrát z sedmi tóů? 69
Úloha 7.0. Fotbalový treér má k dispozici brakáře, 5 obráců, záložíky a 0 útočíků. Kolik růzých fotbalových mužstev z ich může sestavit, tvoří-li jedo mužstvo brakář, obráci, záložíci a 5 útočíků? 70
Klíč k řešeí 7.. Řešíme dosazeím do vzorce pro výpočet kombiačího čísla. 7.. ( x )( x ) x ( x ) a) Rovici upravíme a tvar, rozásobíme a dostaeme kvadratickou rovici x 5x 0, její kořey jsou x 0, x 5. Protože musí být x (jistě jsme ezapoměli vypočítat podmíku pro kombiačí číslo), má rovice jedié řešeí x 5. b) Rovici upravíme a tvar x ( x ) 0( x ) 8 0, rozásobíme a dostaeme kvadratickou rovici x x 0, ta má jede dvojásobý koře x,. Protože x, má rovice řešeí x. 7.. Jedá se o kombiace. třídy z 5, ezáleží totiž a pořadí zkoušeých žáků, bez opakováí, 5! ikdo ebude zkouše vícekrát. C (5) 650!! 7.. Muž si obléke kabát, vybírá ho z pěti růzých, vestu ze čtyř a kalhoty z šesti. pro kabát: 5, k C 5 () pro vestu:, k C ( ) C () C () C () 6 0 pro kalhoty: 6, k C ( 6) 7 5 6 5 7.5. Záleží a pořadí žáků, jedá se tedy o variace, žáci se eopakují, ikdo esedí a dvou židlích, 5! jsou tedy bez opakováí. V (5) 0 (5 )! 7.6. U hodu kostkou záleží a pořadí a prvky se mohou opakovat. V ( 6) 6 6 7.7. Záleží a pořadí svetrů, umístí se všechy a bílý se x opakuje, jedá se tedy o permutace! s opakováím. P,,()! 7.8. Z šesti číslic tvoříme šesticiferé číslo, žádá cifra se eopakuje, jsou to tedy permutace šesti prvků. P ( 6 ) 6! 70 7.9. 6 5 5 6 a a b 5a b 5a b 5a b ab b a) 6 6 8 5 08 8 79 7 7 7 0 7 6 7 0 7 b) ( 0.0) 0,0 0,0 0,0. 07 0 7 7.0. 7 7 6 a)
5 5 5 b) 55! c) 7.. ( x ) ( x ) x x x x x! 6 a) 5 5 6 b) 5 0 c) 5 5 7.. a) b) c) ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( )! ( ) ( )!! ( )!! 7.. ( ) ( )!! V ( ) 7, 6 Je potřeba 7 prvků.! 7.. P ( )!, P ( ) ( )!, P( ) P( ) ( )!!, upravíme faktoriál a levé straě rovice, vykrátíme a dostaeme kvadratickou rovici 0 0. Její kořey jsou, 5. úlohy vyhovuje. C, 8, upravíme kombiačí čísla a po úpravě dostaeme kvadratickou rovici 56 0. Její kořey jsou 8, 7. úlohy vyhovuje 8. 7.5. C ( ), ( ) 7.6. a) Záleží a pořadí, prvky se eopakují, k 5. P ( 5 ) 5! 0 b) Na koci je pevě daé číslo, u zbytku záleží a pořadí a eopakují se, k P! ( ) c) Na koci může být dvojka ebo čtyřka. Jedá se o dva případy z příkladu b). P ( ) 8 d) P ( ) 7 7
7.7. Tvoříme trojciferá čísla, u ich záleží a pořadí, vybíráme ze čtyř cifer, ty se opakují. Jedá se tedy o variace třetí třídy ze čtyř prvků s opakováím. V () 6 7.8. Budeme postupovat podobě jako v řešeém příkladu o matematice. Jde o permutace s opakováím. { a, u, t, o, m, i, z, c e} M,, 9, k, k, k, k k k k k k k 5 6 7 8 9! P,,,,,,,,()!!! 7.9. Nezáleží a pořadí, tó se esmí opakovat, vypočítáme zvlášť počet třítóových akordů a zvlášť počet čtyřtóových akordů. Ty pak sečteme. 7, k, C 7) C (7) 5 5 70 ( 7.0. Treér vybírá jedoho brakáře ze tří, dva obráce z pěti, tři záložíky ze čtyř a pět útočíků z deseti. Můžeme také říci, že je kombiuje. Lidé se samozřejmě eopakují. Tedy 5 0 C ( ) C (5) C () C5 (0) 00 5 7
Výsledky 7.. a) b) c) 5 d) 0 7.. a) x ; x 5 b) x ; x 7.. 650 7.. 0 7.5. 0 7.6. 6 7.7. 7.8. 70 7.9. a) 6 5 a a b 5a b 6 6 8 5a b 5 5a b 08 5 ab 8 6 b 79 b). 07 7.0. a) b) 55 c) x x 6 x 7.. 6 a) 5 b) c) 5 7.. a) ( ) 7
b) c) 7.. 7 7.. 7.5. 8 7.6. a) 0 b) c) 8 d) 7 7.7. 6 7.8. 996800 7.9. 70 7.0. 00 75