SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme paramer ϑ. Na základě měřeí pokuů chceme odhadou ezámý paramer ϑ. Provedeme pokuů měřeí. Výledky ěcho pokuů jou popáy áhodým výběrem,, a jeho realizací x x,, x. Opě předpokládáme, že ložky áhodého vekoru jou ezávilé a mají ejé rozděleí jako áhodá proměá. Odhad parameru ϑ budeme provádě pomocí vhodé aiiky,, a její realizace. T T x,, x
Požadavek a vybraé aiiky je, aby byly eraé, kozieí a pokud možo ejlepší eraé. Budeme využíva hlavě aiiky: výběrový průměr: vývěrový rozpyl: Výběrový koeficie korelace: i i Teováí hypoéz SP Teováí hypoéz i i S,, Y S S Y K Y R
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Saiická hypoéza H je vrzeí o vlaoech rozděleí pravděpodoboi pozorovaé áhodé veličiy diribučí fukcí Fx, ϑ ebo áhodého vekoru, Y e imuláí diribučí fukcí Fx,y, ϑ apod. Poup, jímž ověřujeme daou hypoézu, e azývá e aiické hypoézy. Proi eovaé hypoéze H, azývaé aké ulová hypoéza - H 0, avíme zv. aleraiví hypoézu - H A, kerou volíme dle požadavku úlohy. Jeliže H je hypoéza, že paramer ϑ má hodou ϑ 0, píšeme H: ϑ = ϑ 0. Případ H A : ϑ ϑ 0 je dvouraá aleraiví hypoéza a H A : ϑ > ϑ 0, rep. H A : ϑ < ϑ 0, je jedoraá aleraiví hypoéza.
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Pro eováí hypoézy H: ϑ = ϑ 0 proi ějaké zvoleé aleraiví hypoéze H A e koruuje vhodá aiika T,,,zv. eové kriérium. Při hledáí aiiky T e vychází z požadavků a zamíuí hypoézy H: Za jakých podmíek lze hypoézu zamíou. K omu e koruuje možia možých hodo realizace aiiky T. Tao možia e azývá kriický obor a ozačuje e W α. Veliko éo možiy závií a polehlivoi ašeho vrzeí. Pokud realizace zvoleé aiiky T: T x,, x pade do kriického oboru W α W říkáme, že hypoézu zamíáme a hladiě výzamoi α. U věšiy eů e mío kriického oboru udává doplěk kriického oboru: W R \ W. Pokud realizace zvoleé aiiky T pade do doplňku kriického oboru W W říkáme, že hypoézu ezamíáme a hladiě výzamoi α. W
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Hladiu výzamoi α volíme opě ejčaěji α = 0., 0.05, 0.0 Nezamíuí hypoézy H, rep. H A, ezameá ješě prokázáí její plaoi, eboť jme a základe realizace áhodého výběru zíkali pouze iformace, keré eačí a její zamíuí. Je-li o možé, je vhodé před přijeím daé hypoézy zvěši rozah aiického ouboru a zovu hypoézu H eova.
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Předpokládejme, že máme hypoézu H: ϑ ϑ 0, a H A : ϑ > ϑ 0. Pak lze pravděpodoboi α a β zobrazi:
SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz p hodoa V ěkerých aiických programech e mío eovacího kriéria a doplňku kriického oboru používá zv.p-hodoa. P-hodoa je hodoa diribučí fukce přílušé aiiky pro eovací kriérium. Pokud p-hodoa je věší rova zvoleému alfa pak ulovou hypoézu ezamíáme a hladiě alfa. Pokud p-hodoa je meší ež zvoleé alfa pak ulovou hypoézu zamíáme a hladiě alfa. P-hodoa udává, pro jaké alfa lze ješě lze ulovou hypoézu ezamíou či zamíou.
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Nechť je áhodá proměá, kerá má Biomické rozděleí Bi,p. Nezámý paramer je p pravděpodobo úpěchu při jedom pokue. Poku je úpěšý, pokud áhodě vybraý prvek má ledovaou vlao. Provedeme -měřeí -pokuů. Nechť je áhodý výběr, kde pro realizaci i-é ložky i plaí: x i =0, pokud vybraý prvek emá ledovaou vlao a x i =, pokud vybraý prvek má ledovaou vlao. x Ozačme. Pak realizace výběrového průměru je a edy bodový odhad parameru p je.,, x x i i p x
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Teujeme hypoézu H: p = p 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p p 0 : eovací kriérium: doplěk kriického oboru: W x p0 p0 p0 u, u Pro hypoézu H: p = p 0 H: p p 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p > p 0 je doplěk : Pro hypoézu H: p = p 0 H: p p 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p < p 0 je doplěk : u kde, jou kvaily ormovaého ormálího rozděleí. u W, u W u,
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Příklad: Hodíe 00x kokou. 6 vám padla 0x. Oeuje hypoézu a hladiě výzamoi α=0,05, že pravděpodobo paduí 6 je /6 vzhledem k aleraiví hypoéze, že je věší ež /6. Oeuje hypoézu a hladiě výzamoi α=0,05, že pravděpodobo paduí 6 věší rovo ež /6 vzhledem k aleraiví hypoéze, že je meší ež /6. Příklad: Sraa YZ echá uděla průzkum její volieloi. Vybraá ageura udělá průzkum u reprezeaivího vzorku obyvaelva. Oloví 07 repodeů. Z ich 8 by daou rau volilo. Oeuje hypoézu a hladiě výzamoi α=0,05, že pravděpodobo volebí preferece ray věší rovo 30% vzhledem k aleraiví hypoéze, že je meší ež 30%.
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Nechť je áhodá proměá, kerá má Biomické rozděleí Bi,p.. Provedeme -pokuů a echť x je úpěšých. Bodový odhad pravděpodoboi p je: Nechť je áhodá proměá, kerá má Biomické rozděleí Bi,p.. Provedeme -pokuů a echť x je úpěšých. Bodový odhad pravděpodoboi p je:. x p p x
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Teujeme hypoézu H: p = p vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p p : eovací kriérium: doplěk kriického oboru: W u, u Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p > p je doplěk : Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : p < p je doplěk : u kde, jou kvaily ormovaého ormálího rozděleí. u x x f f W, u W u, f x x
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Biomické rozděleí Příklad: Sraa YZ echá uděla průzkum její volieloi. Vybraá ageura udělá průzkum u reprezeaivího vzorku obyvaelva. Oloví 07 repodeů. Z ich 8 by daou rau volilo. 0 000 000 je ála předvolebí kampaň. Po předvolebí kampai i zadali další průzkum. Z 38 repodeů by 403 daou rau volilo. Oeuje hypoézu a hladiě výzamoi α=0,05, že 0 000 000 byly vhodě iveovaé peíze.
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro Normálí rozděleí Nechť je áhodá proměá, kerá má Normálí rozděleí Nμ, σ. Nezámé paramery jou: μ, σ Při eováí hypoéz budeme vycháze z výběrového průměru a výběrového rozpylu: Nechť, S je výběrový průměr a výběrový rozpyl. Pak plaí: S je ejlepší eraý kozieí odhad parameru E = μ je ejlepší eraý kozieí odhad parameru D = σ Provedeme pokuů měřeí. Výledky ěcho pokuů jou popáy áhodým výběrem,, a jeho realizací. x x,, x
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro jede výběr z Normálí rozděleí Teujeme hypoézu H: μ = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ μ 0 : eovací kriérium: x 0 doplěk kriického oboru: W, Pro hypoézu H: μ = μ 0 H : μ μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ > μ 0 je doplěk : W, Pro hypoézu H: μ = μ 0 H: μ μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ < μ 0 je doplěk : kde, jou kvaily Sudeova rozděleí k=- upi voloi. W,
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro jede výběr z Normálí rozděleí Teujeme hypoézu H: σ =σ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ σ 0 : eovací kriérium: 0 doplěk kriického oboru: W, Pro hypoézu H: σ = σ 0 H: σ σ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ > σ 0 je doplěk : Pro hypoézu H: σ = σ 0 H: σ σ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ < σ 0 je doplěk :, W 0, W, kde,, jou kvaily Pearoovarozděleí k=- upi voloi.
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro jede výběr z Normálí rozděleí Příklad: S =0.9
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro párové dvojice z Normálí rozděleí Nechť,Y je áhodý vekor, kerý má Normálí rozděleí N μ, σ, kde μ= μ, μy je vekor. Chceme porova μ a μy. Zavedeme ovou áhodou proměou D=-Y. Náhodá proměá D má opě ormálí rozděleí e ředí hodoou μ = μ - μy. Z aměřeých hodo x i, y i vyvoříme ový oubor d: kde d i = x i, - y i K omuo ouboru počíáme d, d Teujeme hypoézu H: μ = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ μ 0 : eovací kriérium: doplěk kriického oboru: kde, jou kvaily Sudeova rozděleí k=- upi voloi. d d W 0,
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro párové dvojice z Normálí rozděleí Te a ulový koeficie korelace Nechť,Y je áhodý vekor, kerý má Normálí rozděleí N μ, σ, Chceme zjii, lieárí závilo či ezávilo ložek áhodého vekoru,y. Teujeme ρ,y a 0. Nechť r je bodový odhad. Teujeme hypoézu H: ρ = 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : ρ 0 : eovací kriérium: r r doplěk kriického oboru: kde W 0, je kvaily Sudeova rozděleí k=- upi voloi
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro párové dvojice z Normálí rozděleí Te a koeficie korelace Nechť,Y je áhodý vekor, kerý má Normálí rozděleí N μ, σ, Chceme odhadou korelaci ložek áhodého vekoru ρ,y. Nechť r je bodový odhad. Předpokládejme: 0, r <, ρ 0 <. Teujeme hypoézu H: ρ = ρ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : ρ ρ 0 : eovací kriérium: l r r l 0 0 0 3 doplěk kriického oboru: u W u, u kde, jou kvaily ormovaého ormálího rozděleí u
SP Teováí hypoéz Bodové a iervalové odhady pro Normálí rozděleí Příklad: Na VUT byl provádě výzkum, zda polu ouvií ieligece a veliko chodidla. Bylo vybráo = 87 udeů a po změřeí jejich ieligece a chodidlo vyšla hodoa korelace:r = - 0,3 Za předpokladu, že e jedá o výběr z ormálího rozděleí, a hladiě výzamoi α =0,05 oeuje hypoézu o ezáviloi ieligece a velikoi chodidla.
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Chceme porova μ a μy. Provedeme měřeí pro áhodou proměou. Výledky ěcho pokuů jou popáy áhodým výběrem,, a jeho realizací x,, x. Spočíáme x, x Provedeme měřeí pro áhodou proměou Y. Výledky ěcho pokuů jou popáy áhodým výběrem,, Y a jeho realizací y,, y. Spočíáme y, y. Y Teujeme hypoézu H: μ - μy = :μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ - μy μ 0. Teo e má dvě variay: pro ejé rozpyly a pro růzé rozpyly.
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rovoi rozpylů Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: σ = σ Y vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ σ Y : eovací kriérium: Y doplěk kriického oboru: F,,, F, / / Pro hypoézu H: σ = σ Y H: σ σ Y vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ > σ Y je doplěk : 0,, F Pro hypoézu H: σ = σ Y H: σ σ Y vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ < σ Y je doplěk :,, kde F k, k, F k, k, F k, k, F k, k jou kvaily Ficherova- Sedecorova rozděleí k =- a k = - upi voloi. F
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rovoi rozpylů - další variaa Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: σ = σ Y vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : σ σ Y : max, Y eovací kriérium: mi, Y, F / k, k doplěk kriického oboru:, kde F / k, k je kvail Ficherova-Sedecorova rozděleí k a k upi voloi. k =-, k =- pro Y k =-, k =- pro Y
SP Teováí hypoéz Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíky σ = σ Y Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: μ - μy = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ - μy μ 0 eovací kriérium:, doplěk kriického oboru:, W 0 Y kde, jou kvaily Sudeova rozděleí k = + - upi voloi. x y
Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: μ - μy = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ - μy μ 0 : eovací kriérium: doplěk kriického oboru:, kde a, Y jou kvaily Sudeova rozděleí k x =-, k y =- upi voloi. Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíky σ σ Y Cochraův Coxův e SP Teováí hypoéz 0 Y y x, W Y Y Y
Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: μ - μy = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ - μy μ 0 : eovací kriérium: doplěk kriického oboru:, kde je kvail Sudeova rozděleí k upi voloi: SP Teováí hypoéz 0 Y y x, W Y Y k Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíky σ σ Y Saerhwaieův e
Nechť, Y jou áhodé veličiy, keré mají Normálí rozděleí: Nμ, σ, Y NμY, σ Y. Teujeme hypoézu H: μ - μy = μ 0 vzhledem k aleraiví hypoéze: H A : μ - μy μ 0 : eovací kriérium: doplěk kriického oboru:, kde je kvail Sudeova rozděleí k upi voloi: SP Teováí hypoéz 0 Y y x, W Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíky σ σ Y Welchův e Y Y k
SP Teováí hypoéz Hypoézy pro jede výběr z Normálí rozděleí Příklad: xpr=5,3875, ypr=4,7 S =0,698, S =0,4