ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010
2 Analytická geometrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Analytická geometrie 3 Obsah Analytická geometrie... 8 Souřadnice... 8 Souřadnice... 12 Varianta A... 12 Souřadnice... 13 Varianta B... 13 Souřadnice... 15 Varianta C... 15 Vektory... 16 Vektory... 23 Varianta A... 23 Vektory... 24 Varianta B... 24 Vektory... 26 Varianta C... 26 Přímka... 28 Přímka... 31 Přímka... 32 Varianta A... 32 Přímka... 33 Varianta B... 33 Přímka... 34 Varianta C... 34 Polohové úlohy v rovině... 35 Polohové úlohy v rovině... 36 Varianta A... 36
4 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině... 37 Varianta B... 37 Polohové úlohy v rovině... 38 Varianta C... 38 Metrické úlohy v rovině... 40 Metrické úlohy v rovině... 42 Varianta A... 42 Metrické úlohy v rovině... 43 Varianta B... 43 Metrické úlohy v rovině... 44 Varianta C... 44 Přímka, rovina... 45 Přímka a rovina... 47 Varianta A... 47 Přímka a rovina... 49 Varianta B... 49 Přímka a rovina... 51 Varianta C... 51 Polohové úlohy v prostoru... 52 Polohové úlohy v prostoru... 53 Varianta A... 53 Polohové úlohy v prostoru... 55 Varianta B... 55 Polohové úlohy v prostoru... 57 Varianta C... 57 Metrické úlohy... 59 Metrické úlohy... 61
Analytická geometrie 5 Varianta A... 61 Metrické úlohy... 63 Varianta B... 63 Metrické úlohy... 65 Varianta C... 65 Kuželosečky a kulová plocha... 67 Kružnice... 67 Kružnice... 69 Varianta A... 69 Kružnice... 71 Varianta B... 71 Kružnice... 73 Varianta C... 73 Tečna kružnice... 75 Tečna kružnice... 76 Varianta A... 76 Tečna kružnice... 78 Varianta B... 78 Tečna kružnice... 80 Varianta C... 80 Parabola... 82 Parabola... 87 Varianta A... 87 Parabola... 89 Varianta B... 89 Parabola... 90 Varianta C... 90
6 Analytická geometrie Tečna paraboly... 92 Tečna paraboly... 93 Varianta A... 93 Tečna paraboly... 94 Varianta B... 94 Tečna paraboly... 96 Varianta C... 96 Elipsa... 98 Elipsa... 101 Varianta A... 101 Elipsa... 102 Varianta B... 102 Elipsa... 104 Varianta C... 104 Hyperbola... 106 Hyperbola... 111 Varianta A... 111 Hyperbola... 113 Varianta B... 113 Hyperbola... 114 Varianta C... 114 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny... 116 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny... 118 Varianta A... 118 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny... 120 Varianta B... 120 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny... 122
Analytická geometrie 7 Varianta C... 122 Kulová plocha... 124 Kulová plocha... 127 Varianta A... 127 Kulová plocha... 129 Varianta B... 129 Kulová plocha... 131 Varianta C... 131
8 Analytická geometrie Analytická geometrie Souřadnice Soustava souřadnic na přímce Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby OI =1. Pak každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo x = OX, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU OSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p. Soustava souřadnic v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí obě osy jsou navzájem kolmé jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se O xy. Bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy. ; dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!
Analytická geometrie 9 Soustava souřadnic v prostoru Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že každé dvě osy jsou navzájem kolmé všechny procházejí jedním bodem na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic O xyz. Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z se nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny. Pravotočivá soustava souřadnic:
10 Analytická geometrie Levotočivá soustava souřadnic: Vzdálenost bodů v rovině ; ; ; Podle Pythagorovy věty: 1 1 2 2 2 2 Vzdálenost bodů v prostoru ; ; ; ; ; 1 1 2 2 2 2 3 3 2
Analytická geometrie 11 Střed úsečky dělí úsečku na 2 stejné části v rovině: ; v prostoru: ; ;
12 Analytická geometrie Souřadnice Varianta A Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: 3; 6; 2 ; 1;2;8 Řešení: ; ; 1; 4; 3 ; ; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 4; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: 4; 2; 1 ; 1; 0; 3 Řešení: 3 5 2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: 2; 9 ; 2; 6 Řešení: 5 3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý. 1; 2; 3 ; 4; 2; 3 ; 1; 3; 5 Řešení: 5; 5; 38 trojúhelník není pravoúhlý (neplatí Pythagorova věta). 4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K. 3; 1; 6 ; 4; 5; 10 ; 7; 1; 3 ; 0; 1; 3 Řešení: Bod A.
Analytická geometrie 13 Souřadnice Varianta B Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l 1 ; l 2 ] platilo l 2 >O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku. Řešení: 4 2 12 2 3 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; 2 3 ; 2; 2 3 ; 4; 0 ; 2; 2 3 ; 2; 2 3
14 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH; 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 4; 0; 0. Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle. Řešení: 0; 0; 0 ; 0; 4; 4 ; 4; 4; 4 ; 4; 0; 4 ; 0; 0; 4 2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH; 2; 2; 0 ; 2; 4; 0 ; 1;4;0, jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů. Řešení: 1; 2; 0 ; 2; 2; 6 ; 2; 4; 6 ; 1; 4; 6 ; 1; 2; 6 3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; 2; 5; 3 ; 4; 2; 1 Řešení: 0; 8; 7 4.) Vypočítejte délku těžnice t c trojúhelníku ABC. 5; 3 ; 3; 1 ; 2; 4 Řešení: 45 3 5
Analytická geometrie 15 Souřadnice Varianta C Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů 2 2;2;1 ; 2; 5; 1 byla 2 11. 2 2 2 5 2 1 1 2 11 16 16 4 6 9 4 44 5 10 15 0 2 3 0 3 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 1 Příklady k procvičení: 1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu 3; 5 byla 10. Řešení: 0; 6 ; 0; 4 2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B. 3;2;2 ; 2; 1; 2. Řešení: 1; 0 0 ; ;0;0 3.) V kartézské soustavě souřadnic O xyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. 0; 4; 0 ; 4; 4; 0 ; 0; 0; 0 Řešení: 2; 2; 6 4.) Jsou dány body S 1 ; S 2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A 1 ve středové souměrnosti se středem S 1. Pak najděte obraz bodu A 1 ve středové souměrnosti se středem S 2 a tento obraz označte A 2. Určete vzdálenost bodů A; A 2. 5; 3; 2 ; 6; 1; 1 ; ; ; Řešení: 10 ; 6 ;4 ; 2; 8; 6 104 2 26
16 Analytická geometrie Vektory Orientovaná úsečka je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým bodem. Její velikost je nula. Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Dva vektory ; mají stejný směr, jestliže a) polopřímky ; jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC. b) přímky ; jsou totožné a průnikem polopřímek ; je opět polopřímka. Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho. Každou orientovanou úsečku, která představuje vektor, nazýváme umístěním vektoru.
Analytická geometrie 17 Souřadnice vektoru Je-li vektor určen orientovanou úsečkou, pak. ; ; ; ; ; ; Operace s vektory Součet vektorů ; ;
18 Analytická geometrie Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí: Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí: Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní. Je-li, pak vektor je opačný k a značíme ho. Rozdíl vektorů ;
Analytická geometrie 19 Násobení vektoru číslem Násobek nenulového vektoru reálným číslem je vektor, kde C je bod, pro který platí: a) b) je-li 0, leží bod C na polopřímce AB Je-li 0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB ; Platí: pro každé dva vektory, a každé, R 0 1 asociativnost násobení vektoru číslem distributivnost násobení součtu vektorů číslem distributivnost násobení vektoru součtem čísel Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů,, je vektor, kde,,. Lze vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho reálný násobek. Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé. Skalární součin vektorů Velikost vektoru je velikost kterékoliv orientované úsečky, která je jeho umístěním. Platí:. Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0. Pro každý vektor ; v rovině platí:. Pro každý vektor ; ; v prostoru platí:. Skalární součin dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.
20 Analytická geometrie Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; v rovině: Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ; ; ; ; ; v prostoru: Vlastnosti skalárního součinu číslem vektorů komutativnost skalárního součinu vektorů asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání Velikost úhlu dvou vektorů, lze určit použitím skalárního součinu: Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů,, které neleží v jedné přímce, je vektor, pro který platí: a) vektor je kolmý k oběma vektorům, b) vektor je orientován vůči vektorů, pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky c), kde je úhel vektorů,.
Analytická geometrie 21 Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin ; ; 3; 2; 1 ; 2; 4; 6 2 6 4 1;1 2 6 3;3 4 2 2 8; 20; 16 ~ 2; 5; 4 Užití vektorového součinu: 1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům 2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC Obsah rovnoběžníku ABCD je Obsah trojúhelníku ABC je
22 Analytická geometrie Smíšený součin Smíšený součin vektorů,, v tomto pořadí je číslo, které vypočteme. Užití smíšeného součinu: Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:, kde ; ;. Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu. Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu. Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.
Analytická geometrie 23 Vektory Varianta A Jsou dány body 3; 3 ; 5; 4 ; 7; 5. a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce b) Určete číslo tak, aby bod 3; ležel na přímce AB. a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že. 4; 2 ; 2; 1 2 body A; B; C leží v jedné přímce b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit 2; 1 ; 6; 3 0 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body A; B; C leží v jedné přímce b) 0 Příklady k procvičení: 1. Vektor 2; 10 zapište jako lineární kombinaci vektorů 1; 3 ; 2; 2. Řešení: 3 2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru 6; byla 10. Řešení: 8 8 3.) V trojúhelníku ABC označte vektory ;. Jako lineární kombinaci vektorů ; zapište následující vektory: a) b), kde je střed strany BC. Řešení: a) ; b) 4.) Je dán vektor 1;2;3. Určete tak, aby vektor 17; ; 3 byl kolmý k vektoru. Řešení: 4
24 Analytická geometrie Vektory Varianta B Je dán vektor 3; 1. Určete souřadnice vektoru, který svírá s vektorem úhel 60 a jehož velikost je 4. 60 4 3 4 Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru 3 4 4 2 3 8 3 16 16 2 3 0 2 3 0 0 2 3 0; 4 ; 2 3;2 Varianta A Varianta B Výsledek řešení: 0; 4 ; 2 3;2 Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor 6; platilo 5. Řešení: 2; 6 2.)Určete vektor tak, aby platilo 4 5, kde 3; 6. Řešení: 8; 4 ; 8; 4 3.) Jsou dány body 4; 1 ; 6; 2. Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce. Řešení: 7; 0 ; 8; 3 ; 5; 4
Analytická geometrie 25 4.) Jsou dány body 3; 1 ; 1; 3. Určete bod C tak, aby platilo: a) bod C leží na ose x a 90 b) bod C leží na ose y a 90 Řešení: a) 0; 0 ; 2; 0 ; b) 0; 5
26 Analytická geometrie Vektory Varianta C Jsou dány body 1; 2; 3 ; 4; 5; 6 ; 4; 3; 2. a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník. b) Určete reálná čísla,,, tak, aby body 0; ; ; ; ; 6 ležely na přímce AB. a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor není násobkem vektoru. 5; 3; 3 ; 3; 1; 1. Vektor není násobkem vektoru, proto body A, B, C tvoří trojúhelník. b) musí být násobek vektoru, 5; 3; 3 ; 1; 2; 3, musí být násobek vektoru, 1; 2; 3 1 4, 6 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:, ; 4, 6 Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány vektory 2; 3; 4 ; 2; ; 0. Určete hodnotu parametru tak, aby platilo 4 6. Řešení: 1, 2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde 2; 3; 1, 1; 0; 3, 3; 1; 1 byl 14. Řešení: 0; 0; 7, 0; 0; 17
Analytická geometrie 27 3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. 2; 1; 0, 2; 2; 3. Řešení: 0; 1 2 10;0, 0; 1 2 10,0 4.) Je dán vektor 3; 2. Určete tak, aby pro vektor ; 2 platilo 3 5. Řešení: 12, 6
28 Analytická geometrie Přímka Přímka je dána dvěma různými body A, B. Vektor se nazývá směrový vektor přímky AB. Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. 1.) Parametrická rovnice přímky Parametrická rovnice přímky AB je rovnice, Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky AB. Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li 0; 1, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel, jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB. Mějme v rovině body ; ; ; a vektor ;. Rovnici přímky ; lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem : ;
Analytická geometrie 29 2.) Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky má tvar 0, kde,, a alespoň jedna z konstant, je nenulová. ; je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky skalární součin a je nula. 0 0 0 0, kde
30 Analytická geometrie 3.) Směrnicový tvar rovnice přímky Rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnice přímky., Směrnice přímky je rovna, kde je odchylka přímky od kladné poloosy. Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje. Přímka se směrovým vektorem ; má směrnici. Přímka kolmá na přímku má směrnici. Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou, nebo jsou obě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici. 4.) Úsekový tvar rovnice přímky Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem 0. souřadnic. 1, 0, kde ; 0 ; ; jsou průsečíky s osami soustavy
Analytická geometrie 31 Přímka Je dána přímka. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují. a) Přímka je daná bodem 5; 3 a směrovým vektorem 2; 1. b) Přímka je daná bodem 3; 0 a normálovým vektorem 3; 2. Řešení: a) parametrické rovnice: 5 2 3 ; obecná rovnice: normálový vektor 1; 2 2 0, pro výpočet dosadíme za a souřadnice bodu A 5 6 0 1 2 1 0 směrnicový tvar:, pro výpočet dosadíme do rovnice bod A úsekový tvar: průsečík s osou : 1; 0 s osou y: 0; 1, b) parametrické rovnice: 2; 3 3 2 ; 3 ; obecná rovnice: 3 2 0, po dosazení bodu B 9 3 2 9 0. směrnicový tvar:, po dosazení bodu B úsekový tvar: 1
32 Analytická geometrie Přímka Varianta A Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 3 a je rovnoběžná s přímkou : 5 2 8 0. Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka 5; 2 : 5 2 0, dosadíme bod K 20 6 0 26 5 2 26 0. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 5 2 26 0 Příklady k procvičení: 1. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 6; 5 a je kolmá na přímku : 2 7 0. Řešení: : 2 7 0 2.) Body 2; 4 ; 4; 6 určují přímku. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, 1; 2 ; 4; 3. Řešení: 5 14 0 3. Jsou dány dva body 2; 5 ; 4; 1. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky MN; polopřímky NM. Řešení: Osa: 1 0; polopřímka MN: 2 ; 5 ; 0; Polopřímka : 4 ; 1 ; 0;. 4.) Jsou dány body 2; 4 ; 3; 2. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB v bodě A. Řešení: 6 22 0
Analytická geometrie 33 Přímka Varianta B Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice průsečíku os jeho stran. 4; 1,5 ; 0; 1 : 1,5 0 3; 3 ; 2; 2 : 0 3; 1,5 ; 2; 3 :2 3 1,5 0 Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová souřadnice je 1,5 1,5; 1,5. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1,5; 1,5 Příklady k procvičení: 1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem 4; 2 a je kolmá k přímce : 2 6 0. Řešení: : 4 ; 2 2 ; ; : 2 6 0. 2.) Určete souřadnici bodu ; 10 tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde 3; 5 ; 1; 1. Řešení: 2. 3.) Body 4; 1 ; 4; 2 ; 2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště. Řešení: :2 9 0; : 2 8 0; : 5 4 26 0; ; 4.) Je dána polopřímka 2 3 ;3 ;. Určete souřadnice počátečního bodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod 1; ležel na dané polopřímce. Řešení: ; ; 2.
34 Analytická geometrie Přímka Varianta C Určete hodnotu parametru tak, aby přímka 2 1 0 procházela počátkem soustavy souřadnic. Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod 0; 0 vyhovovat rovnici přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za, nulu a dostaneme:2 1 0., 1; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; Příklady k procvičení: 1.) Je dán trojúhelník EFG, 1; 4 ; 3; 2 ; 4; 6. Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG. Řešení: 4 7 1 0. 2.) Je dán trojúhelník KLM, 0; 0 ; 4; 2 ; 6; 0. Vypočítejte souřadnice těžiště T. Řešení: ;. 3.) Osy, a přímka AB, kde 2; 9 ; 4; 3, určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah. Řešení: 4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li: 1; 2 ; 3; 3 ; ; 0,5. Řešení: 1.
Analytická geometrie 35 Polohové úlohy v rovině Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby: 1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení 1 řešení různoběžné, 1 průsečík 0 řešení rovnoběžné různé řešení totožné 2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek Přímky, jsou rovnoběžné, jestliže:, kde 0 ;, \0. Dvě přímky, a, jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce. Přímky, jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé, tj. platí-li 0; 0.
36 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky procházejí; 1; 2 ; 1; 1 ; 1; 1 ; 2; 3. 0; 3 ; 3; 0 : 1 0 1; 2 ; 2; 1 : 2 1 0 Přímky jsou různoběžné, protože Průsečík má x-ovou souřadnici 1 (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici dopočítáme z rovnice přímky MN 1; 3. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; 1; 3 Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek, ; 1 2 ;2 3 ; ; 1 2 ; 7 3 ;. Řešení: Rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 17 4 ; 6 2 ; Řešení: Různoběžné; 1; 2 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. 1 2 ;2 3 ; ; 5 4 ; 4 6 ;. Řešení: totožné 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek,. :2 1 0; : 2 8 0. Řešení: Různoběžné, 2; 3
Analytická geometrie 37 Polohové úlohy v rovině Varianta B Určete hodnotu parametru tak, aby přímka 11 0 procházela průsečíkem přímek :2 6 0; : 2 8 0. 2 6 0 2 2 8 0 4 2 12 0 2 8 0 po sečtení obou rovnic dostaneme: 5 20 0 4 4; 2. Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem 4 2 11 0 3. Varianta A Výsledek řešení: 3 Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček. 1 ; 2 ; 0; 1 ; 1 2 ;2 ; 2; 1. Řešení: 2.) Průsečíkem přímek 2 ; 3 ; ; 1 ;2 ; veďte kolmici k přímce 2 4 ;8 3 ;. Řešení: 4 3 19 0 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách :2 1 0; :8 11 0; : 2 8 0. Řešení: 2; 3 ; 2; 5 ; 1; 3 4.) Je dána úsečka KL, kde 2; 1 ; 1; 2. Určete hodnotu parametru tak, aby úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou 2; ; 2; 6. Řešení: 6
38 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta C Zjistěte, zda bod 4; 1 je vnitřním bodem trojúhelníku ABC, 5; 1 ; 2; 4 ; 7; 3. Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC jako bod B. Přímka AB má rovnici 3 7 22, polorovina s bodem C má rovnici 3 7 22 0. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve stejné polorovině jako bod C. Přímka AC má rovnici 3 2 0, polorovina s bodem B má rovnici 3 2 0. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve stejné polorovině jako bod B. Přímka BC má rovnici 7 5 34 0, polorovina s bodem A má vyjádření 7 5 34 0. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí. Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány body 3; 5 ; 1; 2 a vektor 2; 3. Napište analytické vyjádření poloroviny, je-li ;. Řešení: 3 2 1 0
Analytická geometrie 39 2.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením 5 6 ; 2 ; procházela průsečíkem přímek 1 3 ; 1 2 ; ; 2 ;1 2 ;. Řešení: 5 3.) Určete hodnoty parametrů, tak, aby přímky, byly totožné. 1 ;2 ; ; ;5 ;. Řešení: 2; 1 4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod 4; 3 ležel v polorovině 2. Řešení: 11; 0
40 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod. Vzdálenost bodu od přímky Postup vidíme z obrázku: 1.) bodem X vedeme kolmici k přímce 2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky 3.) Určíme vzdálenost ; : 0. Pak kolmice má rovnici: ;. Hledáme průsečík ; přímek,. 0 0 ;, kde je vypočítaná hodnota parametru. Pak Jestliže dosadíme za, dostaneme:
Analytická geometrie 41 Odchylka dvou přímek Odchylka přímek, je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 0;. Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).
42 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta A Na přímce : 3 2 0 určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky : 5 12 4 0 byla 3. Má-li bod P ležet na přímce, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky 2 3 ;. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: 3 Po úpravě dostaneme: 39 6 3 Řešíme rovnici s absolutní hodnotou: 6 3 39 6 3 39 Dostáváme řešení: 11 a 15 35; 11 ; 43; 15. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 35; 11 ; 43; 15 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek :8 6 3 0 a :8 6 3 0. Řešení: 0,6 2.) Na přímce : 2 0 najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou BC, kde 6; 4 ; 2; 2. Řešení: ; 3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu 6; 3 vzdálenost 7. Řešení: 6 2 10;0 ; 6 2 10; 0. 4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde 2; 4 ; 3; 3 ; 3; 1. Řešení: 10 2 2 10.
Analytická geometrie 43 Metrické úlohy v rovině Varianta B Vypočítejte odchylku přímek :7 1 0 0; : 7 1 0. Určíme normálové vektory obou přímek: 7; 1 ; 1; 7 Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce: 73 44 23 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 73 44 23 Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány dvě přímky : 4 0; : 2 8 0. Určete hodnotu parametru tak, aby přímky svíraly úhel 90. Řešení: 2 2.) Vypočítejte odchylku přímek 2 ;1 3 ; ; 4 2 ;5 ;. Řešení: 45 3.) Vypočítejte odchylku přímek : 2 1 0; :2 4 0. Řešení: 90 4.) Vypočítejte odchylku přímek : 3 4 0; : 6 0. Řešení: 36 52 21
44 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta C Body 5; 3 ; 3; 4 ; 3; 5 jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice vrcholů,,. Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana. 2; 7 7; 2 Přímka KM má tedy rovnici: 7 2 11 0. 8; 8 1; 1 Přímka LM má tedy rovnici: 7 0. 6; 1 1; 6 Přímka KL má tedy rovnici: 6 13 0. Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic. ; 1; 2 ; ; 11; 4 ; ; 5; 12. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1; 2 ; 11; 4 ; 5; 12 Příklady k procvičení: 1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde 2; 10 ; 4; 6. Řešení: 9; 5 ; 7; 1 2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže 0; 3 ; 2; 5. Řešení: 4; 2 ; 4; 4 ; 6; 4 ; 2; 6. 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li 1; 3 ; 2; 1. Řešení: 6; 2 ; 3; 6 ; 2; 4 ; 5; 0. 4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, 3; 4 ; 1; 6 leží vrchol G na přímce 5 6 16 0. Určete souřadnice vrcholu G. Řešení: 2; 1
Analytická geometrie 45 Přímka, rovina 1.) Parametrická rovnice roviny Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory ; ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy. Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ;, zapisujeme,,. Rovnice ;, se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Můžeme opět rozepsat:, 2.) Obecná rovnice roviny Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem, který je k ní kolmý. Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor je kolmý k vektoru 0. Bod X má souřadnice ; ;, bod P má souřadnice ; ; a normálový vektor má souřadnice ; ;.Pak můžeme psát: 0 Po úpravě dostaneme 0
46 Analytická geometrie Označíme výraz a máme obecnou rovnici roviny: 0 Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový součin těchto dvou vektorů. 3.) Úsekový tvar rovnice roviny Rovina určená body ; 0; 0 ; 0; ; 0 ; 0; 0; má rovnici 0
Analytická geometrie 47 Přímka a rovina Varianta A Jsou dány body 2; 3; 1 ; 4; 3; 2. Rozhodněte, zda body 0; 4; 2 ; 2 3;3; 3 leží na přímce KL, a určete, tak, aby bod ; 2 ; ležel na přímce KL. Napíšeme rovnice přímky KL: 2; 0; 1 2 2 ; 3; 1 ;. Dosadíme postupně souřadnice bodů, do rovnice přímky KL. 0 2 2 4 3 2 1 bod A neleží na přímce KL. Totéž provedeme s bodem B: 2 3 2 2 3 3 3 1. Prostřední rovnice platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že 3 1, proto bod B leží na přímce KL. Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C: 2 2 2 3 1. Z prostřední rovnice určíme, že ; dosadíme do první rovnice a po dosazení do třetí rovnice zjistíme, že. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL; ;
48 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Je dána přímka 1 2 ;2 3 ;1 ;. Rozhodněte, zda body 5; 8; 3 ; 3; 1; 0 leží na přímce a určete, tak, aby bod 9; ; ležel na přímce. Řešení: ; ; 10; 3 2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka 2; 1 ; 4 ; protíná souřadnicové roviny. Řešení: 2; 0; 4 ; 2; 1; 0 ; neexistuje 3.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 0; 4; 5 a je rovnoběžná s přímkou 2 ;1 ;3 5 ;. Řešení: ; 4 ; 5 5 ; 4.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem 2; 4; 1 a je rovnoběžná s osou. Řešení: 2; 4; 1 ;
Analytická geometrie 49 Přímka a rovina Varianta B Dokažte, že body 2; 1; 6 ; 0; 1; 6 ; 1;2;0 určují rovinu a napište její parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina KLM protíná souřadnicové osy. 3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor 2; 2; 12 ; 3; 1; 6 body určují rovinu. 2 2 3 1 2 6 12 6 ;, 24; 24; 8 3; 3; 1 3 3 3 0. Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body určují rovinu; 3 3 3 0; 1; 0; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 0; 3 Příklady k procvičení: 1.) Je dána rovina 1 ;2 3 ;5 ;,. Vypočítejte průsečíky roviny se souřadnicovými osami. Řešení: 2; 0; 0 ; 0; 4; 0 ; 0; 0; 4 2.) Zjistěte, zda body 3; 2; 1 ; 1; 3; 1 ; 2; 1; 3 ; 1; 2; 2 leží v jedné rovině. Řešení: neleží
50 Analytická geometrie 3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že 0; 0; 0 ; 4; 0; 0 ; 4; 4; 0 ; 2; 2; 6. Napište parametrické vyjádření roviny BCV. Řešení: 4 2 4 ; 4 2 ; 6 ;, 4.) Jsou dány body 2; 9; 7 ; 4; 3; 5 ; 6; 5; 1. Napište parametrické vyjádření těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K. Řešení: 2 ; 9 5 ; 7 9 ; 0; 1
Analytická geometrie 51 Přímka a rovina Varianta C Dokažte, že přímky 1 ;2 ;3 2 ; ; ; 1 ; 1 2 ; určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme dosazením bodu 1; 2; 3 z přímky do rovnic přímky. 1 2 1 3 1 2 bod neleží na přímce přímky určují rovinu. Vypíšeme si směrový vektor přímky : 1; 1; 2 a určíme vektor daná body v obou přímkách 0 1;1 2;1 3 1; 1; 2. Vektorový součin těchto směrových vektorů určí normálový vektor hledané roviny 0; 4; 2 0; 2; 1. Proto rovnice hledané roviny je 2 0,kde člen vypočítáme dosazením některého bodu kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice 2 1 0. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2 1 0 Příklady k procvičení: 1.) Dokažte, že přímka 1 ;2 2 ;0 ; a bod 1; 0; 3 určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Řešení: 6 3 2 12 0 2.) Je dána rovina 1 2 2 ;2 3 2 ;1 4,. Napište její obecnou rovnici. Řešení: 4 0 3.) Napište obecnou rovnici roviny, ve které leží body 2; 3; 0 ; 1;2;2 a rovina je kolmá k rovině : 3 2 6 0. Řešení: : 3 3 11 0 4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu 2;2;8 na roviny : 3 2 4 0; : 2 5 0 proložte rovinu. Určete její obecnou rovnici. Řešení: :3 5 36 0