2 Diferenciální rovnice 2 Moely růstu V této apitole bueme zabývat jenouchými eterministicými moely růstu, napříla růstu populací, objemu nějaé omoity apo Funce y(t bue označovat veliost populace v čase t, pou nebue řečeno jina Moel bue určen iferenciální rovnicí, terá uává závislost rychlosti růstu v čase t, popsané erivací y, na veliosti populace v čase t Diferenciální rovnice vžy bue tvaru y ( y = ay g, e g je aná funce a a, > jsou neznámé onstanty (parametry Moel tey obsahuje část opovíající lineární závislosti rychlosti růstu na současné veliosti populace, tato závislost je vša origována zvoleným tvarem funce g Exponenciální růst g(x Příslušná iferenciální rovnice je tvaru y = ay, a > Její řešení je tvaru y(t = be at, (7 e a >, b > jsou parametry Toto je lasicý moel neomezeného růstu při ostatu zrojů Logisticý růst g(x = x Diferenciální rovnice má řešení ve tvaru y = ay( y (8 y(t =, (9 + be at e a, b, > jsou lané parametry zajišťující, že výslená funce y(t bue rostoucí Povšimněme si, že platí < y(t <, t R; lim t y(t = Růst pole logisticé funce je tey omezen saturační honotou a opovíá situaci, y má populace ispozici jen omezené zroje Funce je symetricá olem inflexního bou t = ln b a
Gompertzova řiva g(x = ln x Diferenciální rovnice má řešení ve tvaru y = ay ln(y/ y(t = exp{be at }, e a, >, b < Taé tato funce je rostoucí, má saturační úroveň rovnu, ovšem funce není symetricá olem inflexního bou Tento moel se používá napříla vyrovnávání tabule úmrtnosti (( y(t poíl lií ožívajících se věu t, neje tey o vývoj populace v čase jao výše 22 Ohay parametrů růstových řive Funce, teré chceme proláat aty, nejsou lineární funcí hleaných oeficientů Proto nelze přímo použít metou nejmenších čtverců z apitoly Něy je ale možné funci přeperametrizovat ta, aby se metoejmenších čtverců použít ala Ohay parametrů exponenciální řivy Místo rovnice (7 použijeme rovnici ln(y(t = at + ln(b, s neznámými parametry a a ln(b a závislou proměnnou {ln(y ti } n i= Ohay parametrů logisticé řivy pomocí upravené MNČ Diferenciální rovnici (8 aproximujeme iferenční rovnicí y ti t i = ay ti ( y t i a tu upravíme ta, abychom mohli ohanout parametry a a a/ pomocí MNČ s nezávislou proměnou y ti a závislou proměnnou yt i y ti t i Oha parametru b potom opočítáme z rovnice pro ln(b ovozené z (9 s osazenými ohay â, ˆ, průměrováním přes všechna pozorovaná ata Tato zísaný oha parametrů logisticé řivy je hrubý, lze ho nicméně ještě vylepšit, opět pomocí metoy nejmenších čtverců Zaveeme novou parametrizaci, e y(t = c + e (a +εt, a = a + ε, b = /c, = /c, ( 2
a a je půvoní hrubý oha parametru a, terý chceme vylepšit Pro malé honoty ε lze psát e εt εt Tímto způsobem přecházíme moelu y ti Po úpravě ostaneme moel v lineárním tvaru: c + e a, i =,, n t i( εti y ti e a t i cy ti + εt i y ti e a t i Metoou nejmenších čtverců ostaneme nové ohay parametrů: c ε = (F T F F T Y, e F = y t t y t e a t y tn t n y tn e a t n a Y = y t e a t y tn e a t n Nyní osazením o reparametrizace ( zísáme opravené honoty parametrů Tuto opravu ohau je možné prováět opaovaně, potom ostáváme iterační postup Ohay parametrů logisticé řivy Newton-Raphsonovou metoou Alternativně můžeme při ohau parametrů logisticé řivy vycházet přímo z minimalizace průměrné varaticé ochyly pozorovaných honot o moelu Abychom nalezli argument minimelineární funce, použijeme lasicou Newtonovu metou (opět iterativní postup Úolem je nalézt minimum funce S(, b, a = n i= ( y i + be at i Přepolááme, že máme ispozici počáteční honoty (, b, a, teré jsou relativně blízo sutečným parametrům, resp sutečnému bou minima Tyto honoty můžeme zísat napříla pomocí přechozí metoy Myšlena Newtonovy metoy ve zratce: S(, b, a si rozvineme v Taylorovu řau ruhého řáu olem bou (, b, a : 2 S(, b, a = S(, b, a + S(, b, a T (, b b, a a T + 2 (, b b, a a 2 S(, b, a (, b b, a a T, přičemž zbytový člen zanebáváme Hleáme bo minima S, tey bo, e S(, b, a = (,, T Derivací obou stran a osazením ostaneme rovnici 2 S(, b, a (, b b, a a T = S(, b, a, terá nám uává, ja počítat novou honotu iterovaných parametrů z výchozích honot Opaujeme tey výpočet ochyle mezi honotami ( n, b n, a ( n+, b n+, + pole vzorce 2 S( n, b n, ( n+ n, b n+ b n, + T = S( n, b n,, ou neosáhneme požaované přesnosti 3
23 Doplňování rezerv v ávově efinovaném penzijním fonu Zaměstnavatel má jao benefit pro své zaměstnance penzijní fon, am zaměstnanci platí příspěvy a ou se jim pa vyplácí ůcho Uvažujeme spojitý moel pro výši fonu Teoreticý moel V (t = δv (t + P (t R(t V (t výše rezervy v čase t P (t teoreticá intenzita příspěvu o fonu R(t intenzita vyplácení ůchou δ intenzita úrou 4
Sutečný stav přičemž F ( V ( F (t sutečná výše fonu F (t C(t sutečná intenzita příspěvů o fonu = δf (t + C(t R(t, Problém: Stanovení potřebné výše sutečných příspěvů: C(t = P (t + λ(t(v (t F (t resp stanovení λ(t Oečtením rovnice teoreticého moelu a rovnice popisující sutečný stav ojeme rovnici (V (t F (t = δ(v (t F (t + P (t C(t = (δ λ(t(v (t F (t Řešení této rovnice je tvaru V (t F (t = (V ( F ( exp { } (λ(u δ u Označme = n e δt = ( e δn /δ počáteční honotu jenotového finančního tou opovíající časovému intervalu [, n] Chceme, aby počáteční výchyla V ( F ( byla splacena z let pevnými splátami (onstantním finančním toem: V ( F ( = (C(t P (t pro t n Tento požaave se á přepsat o tvaru Tvrzení Pro t platí: Důaz: Integran je roven C(t = P (t + { exp V ( F ( pro t n ( ( } δ u = δ = Po integraci tey ostáváme ( δ δ δe δ(n u δ = e δ(n u e δ(n u = u ln( e δ(n u u = ln e δ(n t e δn = ln Rovnost ( je ta možné upravit o násleující pooby: C(t = P (t + = P (t + exp (V ( F ( { ( δ } u (V ( F ( (2 Nyní je viět, že požaave (, resp (2 je splněn, pou volíme λ(t := / 5