Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav 1) Uvolnění jednoho stupně volnosti odpovídající reakci, kterou chceme určit (vytvoření kinematického mechanismu o jednom stupni volnosti). Zavedení neznámé reakce. 2) Zavedeme virtuální přemístění v závislosti na jediném virtuálním parametru (posun, natočení). Přitom nesmíme porušit kinematické vazby. 3) Vyjádříme virtuální práci sil a momentů, včetně neznámé reakce. 4) Z podmínky nulové virtuální práce určíme neznámou velikost reakce. Copyright (c) 2007-2008 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ F F B W = F w 1 B w 2 = F x 1 B L = F x 1 B L =0 W =0 F x 1 B L=0 B=F x 1 L x 1 L w 1 =x 1 w 1 w 2 w 2 =L 1
Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí Vnější vazby v rovině R R x R z M r R x R z 2
Ad 1) Uvolnění vazeb a zavedení reakcí Vnitřní vazby v rovině R R z R x R x R z R x M r R x R z R z 3
Ad 2) Popis kinematicky přípustného virtuálního přemístění z Středy otáčení desek x u z,o O u x,o O O' Pro dané virtuální přemístění závisí virtuální posuny u x,o, u z,o a natočení na volbě bodu O z k uz,k x k k u x,k Pro bod O k u x,k = u z,k =0 k' O k Pro každou desku lze však nalézt absolutní střed otáčení desky O k, pro který lze veškeré virtuální přemístění popsat pouze rotací okolo O k u x,k = u x,0 z k =0 u z, k = u z,0 x k =0 z Ok = u x, 0 x Ok = u z, 0 4
Poloha středu otáčení O k závisí na vnitřních a vnějších vazbách desky O k O k u x O k Vnitřní i vnější kloub O k leží na průsečíku kolmic k vodícím přímkám vazeb u x O k leží v nekonečnu 5
Vzájemný střed otáčení dvou desek bod, kolem kterého se desky vzájemně otáčejí I II 2 2 I II První třípólová věta : Středy otáčení desky I ( ) a desky II ( ) leží na jedné přímce s vzájemným středem 2 I r r 12 1 2 II u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r 2 1 1 u 12 6
Druhá třípólová věta : Tři vzájemné středy otáčení tří desek leží na jedné přímce I II 2 3 O 3 III 3 7
Příklady možných poloh středů otáčení desek a) 2 leží mezi a I r r 12 1 2 II u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r 2 1 1 u 12 b) 2 leží vně a u 12 = 1 r 1 u 12 = 2 r 2 2 = r 1 r 2 1 I II u 12 1 2 r 1 r 2 2 8
c) 2 leží v nevlastním bodě 2 I II 2 = 1 1 d) = 2, deska II je nepohyblivá, bod lze volit libovolně na desce II =2 1 I II O2 9
e) další příklady složených soustav a středů otáčení 2 I II I 2 II s = 2x3 o 5 o = +1 o s = 2x3 o 5 o = +1 o 10
Ad 3) Výpočet virtuální práce x F i F i u i = u ix ; u iy u ix =r kiz z A i u i A i '' u iz = r kix r kiz Virtuální práce W = F i u i =F ix r kiz F iz r kix W =M ki u z = u x =0 M ki O k Síla F i způsobuje moment M ki k bodu O k r kix 11
F 2 F 2 Virtuální práci soustavy sil F i lze vypočítat superpozicí jako virtuální práci momentů M ki od sil F i ke středu otáčení desky O k F 1 F 1 A 1 u 1 A 1 '' W = i M ki = i M ki M ki O k 12
10 kn Vyřešte reakce v kloubu a kinematickou metodou 5 kn 10 kn 2 5 kn 4 m I II Uvolnění svislé vazby 1 = 2 2 a b = 3 m 2 m 1 A z 1 4 m 1 r 1 =5 m Uvolnění vodorovné vazby 5 kn W = 6A z 4 10 1 1 5 2 = 6 A z 4 10 1 5 2 =0 A z =5.833 kn 2 10 kn A x 1 = 2 u 12 r2 =5 m 2 W = 8 A x 4 10 1 1 5 2 = 8 A x 4 10 1 5 2 =0 A x = 4.375 kn 13
Určete velikosti reakcí B x a B z kinematickou metodou 10 kn 4 kn u x 1 a B x x 1 2 m 2 m B z z Dvě nezávislá virtuální přemístění u x a W = 4 B x u x 1 4 2 10 4 B z =0 Podmínka nulové virtuální práce se rozpadne na dvě nezávislé rovnice 4 B x =0, B x = 4 kn a 1 4 2 10 4 B z =0, B z = 6 kn 14
Určete všechny reakce kinematickou metodou 3 m 2 A B 10 kn 5 kn Výpočet reakce C W = 3 10 2 C cos 45 o 1 =0 C= 21,213 kn u z u x 3 m 2 45 o C Výpočet reakce A W = 2 A 3 10 2 5 2 =0 A=10 kn Kontrola W = A 5 C cos 45 o u x =0, OK W = B 10 Csin 45 o u z =0, OK Výpočet reakce B W = 2 B 1 10 3 =0 B= 5 kn O 3 15
Určete moment ve vetknutí Gerberova nosníku pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c 5 kn d e 8 knm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m 2 3 O 3 M a w 12 = 4 Volba nezávislého natočení 2 4 12 kn 24 kn 10 w 23 = 12 6 6 3 3 3 12 kn W = M a 4 10 10 12 6 24 3 12 3 8 =0, M a = 292 knm Pozn. Virtuální práci od osamělých sil lze počítat buď jako součin síly a virtuálního posunu či jako součin momentu od síly a virtuálního natočení 16
Určete reakci v podpoře c pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c d e 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m 8 knm 5 kn 3 O 3 R c 2 4 12 kn 24 kn 7 w 23 = 8 2 2 12 kn 2 4 Volba nezávislého natočení W = 2 R c 4 10 7 12 4 24 2 12 2 8 =0, R c =106 kn Pozn. Místo virtuálního natočení v kloubu b lze zvolit virtuální posun pod reakcí R c. Konzola je nesoucí část, zatížení na konzole tedy nemá vliv na reakci R c. 17
Určete svislé síly v kloubu b a moment nad podporou c pomocí PVp 6 kn/m' 10 kn a b c 5 kn d e 8 knm 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 2 m w 10 kn 12 kn 24 kn B z B z 2 0,75 w 0,75 w 12 kn W = 1 B z 1 10 2,5 12 1,5 24 0,75 12 0,75 8 w=0, B z =73 kn a M b 2,5 w 1,5 w w 12 kn 10 kn 5 2 O12 3 w 24 kn 6 3 12 kn 1,5 1,5 W = 1 M b 2 10 5 12 3 24 1,5 12 1,5 8 =0, M b = 146 kn 8 knm 8 knm 18
2 m 2 m Určete reakce R ax a R az pomocí PVp 4 knm 8 kn II. I. R ax 2 m r 1 =2 5 m 2 r 2 =2 5 m 2 5 R ax R az 4 m 4 m 2 4 5 r 2 =2 5 m Volba nezávislého natočení r 1 =4 5 m W =M O1 M O2 = 4 6 R ax 2 8 =0 R ax = 2 kn Pozn. v klasickém výpočtu reakcí je nutné řešit soustavu dvou rovnic R az W =M O1 M O2 2= 12 R az 4 2 2 8 =0 R az =3 kn 19
Určete sílu v táhle pomocí PVp 10 knm 2 m 2 m 2 m I táhlo 4 m II 8 kn 2 S S Volba nezávislého natočení u=4 u Virtuální přemístění na desce II vyjádříme kvůli nevlastnímu absolutnímu středu otáčení pomocí posunu u W =M O1 F x u= 2 S 10 8 S u=0 W =[ 2 4 S 10 4 8]=0 2S 42=0, S=21 kn 4 20
Otázky Lze na každé uvolněné tuhé desce vždy nalézt absolutní střed otáčení při libovolně zadaných virtuálních posunech a natočení? Kde je vzájemný střed otáčení dvou desek? Jak se pohlíží na kyvný prut, který spojuje dvě tuhé desky? Kdy je vzájemný střed otáčení třech desek v nekonečnu? Kolik vazeb můžeme nanejvýše uvolnit ve vetknutí prutu? Lze poznat z kinematického mechanismu, které síly přispívají k určité reakci na Gerberově nosníku? Kolik lineárně nezávislých podmínek z PVp lze sestavit na staticky určité soustavě tvořené ze třech tuhých desek? Konají reakce ve vazbách virtuální práci? 21
Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 12/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update Feb 21, 2011 22