Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí vlastími slovy popsat ásledující: fyzikálí iterpretace odhadu středí hodoty, rozdíl mezi (bodovým) odhadem a itervalovým odhadem, ejdůležitější vlastost itervalového odhadu, metoda zkráceého zápisu itervalového odhadu, ejistota měřeí). Neí potřeba uvádět přesá matematická odvozeí, stačí požadovaé pojmy a vlastosti stručě popsat. b) V přiložeém datovém souboru merei1.csv ajdete aměřeé hodoty určité fyzikálí veličiy (uvažujte ejistotu typu B s B = 0,1). Zkostruujte z těchto dat bodový i itervalový odhad měřeé fyzikálí veličiy a krátce iterpretujte jejich výzam. c) Předpokládejme, že měříme určitou fyzikálí veličiu a víme, že vlivem použité metody měřeí budou mít aměřeá data rozptyl rový kostatě c (ejistotu typu B euvažujte). Kolik musíme přibližě provést měřeí, abychom dosáhli ejistoty měřeí meší ež s? d) V přiložeém datovém souboru merei.csv ajdete data měřeí stejé fyzikálí veličiy dvěma růzými způsoby (ejistotu typu B euvažujte). U které metody byla použitá měřicí aparatura přesější? Který způsob měřeí dal přesější výsledek měřeí? U obou otázek své závěry i stručě zdůvoděte. Bous Zkuste odvodit, že v ormálím rozděleí je výběrový rozptyl estraým odhadem skutečého rozptylu (tj. středí hodota výběrového rozptylu je rova skutečému rozptylu). Pro řešeí tohoto úkolu můžete použít libovolé zdroje (pokud je budete řádě citovat). Pro práci s daty použijte výpočetí prostředí R. Pro vyřešeí těchto úkolů postačí drobě upravit přiložeý skript, ve kterém je pomocí kometářů v kódu vysvětlea potřebá sytaxe jazyka R. Michal se sažil odhadout ejoptimálější zadáí, sad se mu to povedlo. a) Detailí odpověď a tuto otázku dostaete přečteím. dílu seriálu, a tomto místě si vysvětlíme je ty opravdu ejdůležitější pojmy. V ejjedodušším matematickém modelu se výsledek jedoho měřeí určité fyzikálí veličiy považuje za áhodou veličiu, která má ormálí rozděleí a jejíž středí hodota je rova skutečé hodotě měřeé fyzikálí veličiy. Zameá to, že předpokládáme, že eexistuje žádý systematický posu měřeých hodot oproti skutečé hodotě měřeé fyzikálí veličiy (případě se s takovýmto systematickým posuem vypořádáváme jiak). Odhadováí středí hodoty z realizací áhodé veličiy (tedy z aměřeých dat) je vlastě odhadováí skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy. Hodotu měřeé fyzikálí veličiy ejsme ikdy schopi odhadout přesě. Proto si defiujeme dva typy odhadů: bodový odhad a itervalový odhad. Bodový odhad středí hodoty je číslo, které a základě aměřeých dat ejlépe odhaduje skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy (v případě ormálě rozděleé áhodé veličiy je to výběrový průměr). Protože je bodový odhad epřesý, ve většiě případů si s ím evystačíme a musíme zkostruovat ještě itervalový odhad. Itervalový odhad je iterval, který s ějakou předem zvoleou pravděpodobostí pokrývá skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy. Itervalový odhad ám avíc oproti bodovému odhadu dává i jistou iformaci o tom, jak přesě jsme měřeou veličiu změřili. V případě ormálího rozděleí má itervalový odhad tvar (x t,1 α s K, x + t,1 α s K ), 1
kde x je výběrová středí hodota (výběrový průměr), s K je kombiovaá ejistota měřeí a t,1 α je kvatil Studetova rozděleí. Jeho ejdůležitější vlastost je ta, že s pravděpodobostí 1 α pokrývá skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy. Takovýto itervalový odhad se velmi často zkráceě zapisuje je jako (x ± s K ). Tuto zkráceou formu zápisu můžeme vímat tak, že pokud zvolíme hladiu spolehlivosti rovou 0,68 (tedy α = 0,3) a máme dostatečý počet měřeí (alespoň 30), potom se itervalový odhad zkrátí právě a teto zápis (díky tomu, že pro tyto hodoty α a platí t,1 α. = 1). Případě z této zkráceé formy zápisu lze jedoduše přidáím příslušého kvatilu vyrobit itervalový odhad o jié hladiě spolehlivosti. Nejistota měřeí (kombiovaá) je právě čle s K. Vzike jako kvadratický součet ejistoty typu A a ejistoty typu B s K = s A + s B, kde ejistota typu A je ejistota vyplývající z áhodosti měřeých dat (je přesě rova výběrové směrodaté odchylce průměru) a ejistota typu B je ejistota plyoucí z ostatích příči (hlavě epřesosti měřidla). Kombiovaá ejistota vyjadřuje jak přesě jsme měřeou fyzikálí veličiu změřili. Při fyzikálích experimetech je cílem mít co možá ejmeší kombiovaou ejistotu měřeí (tj. mít fyzikálí veličiu změřeu co možá ejpřesěji). b) V přiložeém datovém souboru se achází 4 měřeí určité fyzikálí veličiy. Jako prví spočteme výběrovou středí hodotu (výběrový průměr) podle vzorce x = 1 x i. V ašem kokrétím příkladě po dosazeí dostáváme x = 1 4 4 x i. = 4,1. Toto je áš bodový odhad měřeé fyzikálí veličiy. Pro kostrukci itervalového odhadu ejprve spočítáme výběrovou směrodatou odchylku podle vzorce S = 1 (x i x ). V ašem kokrétím případě dostáváme S = 1 4 (x i 41,1) 41 = 1,7. Následě spočteme výběrovou směrodatou odchylku průměru (tedy ejistotu typu A) podle vzorce s = S.
V ašem kokrétím případě dostáváme s = S 4. = 0,7. Nyí musíme vyjádřit kombiovaou ejistotu měřeí podle vzorce s K = s A + s B, kde s A, s B jsou ejistoty měřeí typu A a typu B. V ašem kokrétím případě dostáváme s K = 0,7 + 0,1. = 0,9. Na tomto místě už můžeme zkostruovat itervalový odhad, který bude mít tvar (4,1 t,1 α 0,9, 4,1 + t,1 α 0,9), (1) kde za α můžeme dosadit podle požadovaé hladiy spolehlivosti. Itervalový odhad zapíšeme stadardím zkráceým zápisem jako (4,1 ± 0,3). Iterpretace bodového odhadu měřeé fyzikálí veličiy je, že je to a základě aměřeých dat ejlepší odhad skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy. Iterpretace itervalového odhadu (1) je, že pravděpodobost pokrytí skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy tímto itervalem je 68 %. c) Pokud euvažujeme ejistotu měřeí typu B, potom kombiovaá ejistota měřeí bude rova pouze ejistotě typu A. Nejistota měřeí typu A je rova výběrové směrodaté odchylce průměru, která je vyjádřea vztahem s = S. Na tomto místě si musíme uvědomit, že výběrová směrodatá odchylka S je odhadem skutečé směrodaté odchylky a pro velký počet měřeí bude její hodota velmi blízká právě skutečé směrodaté odchylce. Skutečá směrodatá odchylka je ale rova odmociě skutečého rozptylu. Proto bude platit s = S c c. Podmíka v úloze je, aby byla tato ejistota měřeí meší ež ějaká kostata s, řešíme tedy erovici c < s. Tuto erovici můžeme pomocí jedoduchých algebraických úprav (s využitím zalosti toho, že obě stray erovice mají ezáporou hodotu) vyřešit. Získáme podmíku c s <. Vidíme tedy, že musíme provést alespoň přibližě c s měřeí. 3
Tab. 1: Základí popisé statistiky pro data pocházející z obou metod měřeí S S s x metoda 1 100 6,46,54 0,5 9,97 metoda 10 3,6 1,90 0,60 10,03 d) S využitím výpočetího prostředí R můžeme stejým postupem, jaký jsme využili v bodu b), vypočítat výběrovou středí hodotu, výběrový průměr, výběrovou směrodatou odchylku a výběrovou směrodatou odchylku průměru (tj. ejistotu měřeí typu A) pro data pocházející z obou metod měřeí. Nebudeme už jedotlivě ukazovat dosazováí do vzorců, je uvedeme, že výsledky můžeme vidět v tabulce 1. Jak je vidět z tabulky, obě metody měřeí vedou a velmi podobý bodový odhad skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy. Výběrový rozptyl pro prví metodu měřeí je výrazě větší ež pro druhou metodu měřeí. Toto ukazuje, že měřicí aparatura a postup měřeí, který byl použit u prví metody měřeí, byl méě přesý. Na druhou strau je ale vidět, že výběrová směrodatá odchylka průměru (která v tomto případě vyjadřuje kombiovaou ejistotu měřeí eboť ejistotu typu B euvažujeme) je výrazě větší pro data pocházející z druhé metody měřeí. Přesěji jsme tedy měřeou fyzikálí veličiu aměřili prví metodou měřeí. Na tomto místě je důležité uvědomit si rozdíl mezi přesostí měřicí aparatury a výsledou kombiovaou ejistotou měřeí, ta je totiž (jako v tomto případě) výrazě ovlivěa počtem provedeých měřeí. Tedy i s méě přesou měřicí aparaturou lze změřit přesější výsledek, pokud provedeme více měřeí. Jako pozámku a závěr by se slušelo zmíit, že pro co ejpřesější určeí měřeé fyzikálí veličiy by bylo v tomto případě optimálí zkombiovat data aměřeá pomocí obou metod. To ale zatím eumíme, dozvíme se to až v příštím díle seriálu. Bous: Tato úloha je v podstatě jedoduchá, je je potřeba ezalekout se poěkud ošklivějších výrazů a eztratit se v algebraických operacích. Budeme v podstatě je počítat středí hodotu áhodé veličiy. V rámci algebraických úprav vziklého výrazu budeme využívat ěkolik vztahů, které ebyly uvedey v textu seriálu eboť se tam evešly. Vaším úkolem bylo astudovat si je. My je zde pro jistotu všechy uvedeme. Pro dvě ezávislé 1 áhodé veličiy X a Y platí EX Y = EX EY. Středí hodota se chová lieárě, tedy pro áhodou veličiu X a dvě kostaty a, b platí EaX + b = a EX + b. Pro áhodou veličiu X s rozděleím N(µ, σ ) platí EX = µ + σ. Toto vychází z alterativího vzorce a rozptyl var(x) = EX (EX), 1 Nezávislost je zde důležitá, bez í by teto vzorec eplatil. 4
kde víme, že var(x) = σ a EX = µ, z čehož už je vyjádřeím dostaeme požadovaou rovost. Dále je potřeba upozorit a to, že elze ijak jedoduše spočítat výraz E(X ). Jediou možostí je rozepsat si ho jako souči dvou závorek a dále algebraicky upravovat. Jako posledí uvedeme, že jsme používali ásledující zápis EXi = EX1 + + EX EX1. Teto zápis lze použít eboť áhodé veličiy X 1,..., X mají všechy stejé rozděleí. Toto je vše, co potřebujeme k úpravě ašeho výrazu (kromě práce se sumami a závorkami). Nyí stačí je upravovat výraz pro středí hodotu výběrového rozptylu a akoec dostaeme požadovaý výsledek. 1 E σ = E (X i X ) EX 1 = 1 { EX i EX ix + E(X ) } = EX ix + E(X) = (σ + µ ) E(X ) + E(X ) = σ + µ E(X ) σ + µ 1 σ + µ 1 EXi + 1 σ + µ EX 1 ( σ 1 1 ) ( + µ j=1,i j () µ = ) 1 1 j=1 EX i X j EX ix j = = σ = σ. Michal Nožička ozicka@fykos.cz Fyzikálí korespodečí semiář je orgaizová studety MFF UK. Je zastřeše Odděleím pro vější vztahy a propagaci MFF UK a podporová Ústavem teoretické fyziky MFF UK, jeho zaměstaci a Jedotou českých matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeo pod licecí Creative Commos Attributio-Share Alike 3.0 Uported. Pro zobrazeí kopie této licece avštivte http://creativecommos.org/liceses/by-sa/3.0/. 5