FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh

Transkript

1 FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity v Brě KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 9. ročík 2002/2003 Vzorové řešeí prví série úloh (25 bodů) Vzorové řešeí úlohy č. 1 Voda (7 bodů) Z daých předpokladů plye, že eergetický poteciál vodích toků E v ČR můžeme počítat jako rozdíl poteciálích eergií vody mezi místem, kde voda apršela, a místem, kde opouští aše území. Můžeme tedy psát E = mg h, kde m je celková hmotost vody, g tíhové zrychleí a h středí hodota převýšeí povrchu ČR ad ústím řek z ašeho území 1. Za čas t odteče z ašeho území hmotost vody m, kterou lze určit ze vztahu m = (Q Labe + Q Morava + Q Odra )ρ t, kde Q Labe, Q Morava a Q Odra jsou průtoky při ústí odpovídajících řek a ρ je hustota vody. Středí převýšeí h (tedy rozdíl mezi průměrou admořskou výškou ČR a průměrou výškou ústí řek) je přibližě rovo 350 m. Teoretický výko vodích zdrojů a ašem území určíme jako 2 1 V tomto případě můžeme počítat středí hodotu eergie ze středí hodoty jié veličiy převýšeí, obecě to ale elze. Bližší iformace ajdete v zadáí a řešeí prémiové úlohy. 2 Přesější postup by byl, kdybychom počítali každé povodí zvlášť. Růzá povodí mají při odlišých kocových průtocích jiá převýšeí. Příspěvky jedotlivých povodí pak sečteme, tedy P = P Labe + P Morava + P Odra = = (Q Labe h Labe + Q Morava h Morava + Q Odra h Odra )ρg. Někteří z vás to takto počítali a my si od jedoho půjčíme i geografické údaje. Byl tak pečlivý, že je zjistil a Hydrometeorologickém ústavu, a tak získal lepší data, ež jsme měli k dispozici my. Děkujeme mu za to. Povodí středí průtok (m 3 s 1 ) středí adm. výška (m) adm. výška u ústí (m) Labe Morava Odra

2 P = E t = (Q Labe + Q Morava + Q Odra )ρg h. Po dosazeí hodot ze zadáí P = ( ) W. = 1700MW, což odpovídá ročí produkci asi GWh (gigawatthodi 3 ). Vidíme, že áš odhad vedl k číslu asi 10 většímu, ež je reálý poteciál vodích zdrojů (tj. ež by byla výroba eergie, kdybychom postavili malé vodí elektráry všude tam, kde je to vhodé a úosé). Zcela jistě je iluzí využít většiu poteciálí eergie vody. Zvláště v počátečích úsecích vodích toků v horských oblastech voda strmě překoává začé převýšeí v tisících malých potůčků a její eergie se evyužitelě ztrácí. Je třeba pozameat, že jsme při výpočtu igorovali fakt, že elze přeměit mechaickou eergie a eergii elektrickou se 100% účiostí. Účiost přeměy je však poměrě vysoká (cca 90% ) a její ezohleděí ijak výzamě áš hrubý odhad eovliví. A ještě máme pro vás jedo opravdu důležité sděleí. Sažili jsme se pouze o odhad a dosazovali jsme je velmi přibližá čísla. Například jsme vůbec ebrali v úvahu, že v růzých místech mohou být dešťové srážky růzé. Pokud počítáme s epřesými daty, emůžeme získat přesé výsledky. Výsledé hodoty je tedy třeba zaokrouhlit je a malý počet platých čísel, cca a dvě. Nemá tedy žádý smysl psát apříklad ,458, ale zaokrouhlíme je a Vzorové řešeí úlohy č. 2 Vítr (8 bodů) Předpokládejme ejprve, že větrá elektrára je schopa přeměit veškerou kietickou eergii větru a eergii elektrickou. Kietickou eergii vypočteme podle zámého vztahu E k = 1 2 mv2, kde je třeba pouze určit hmotost vzduchu m, který při rychlosti větru v projde plochou vrtule S za čas t. K tomu můžeme použít ásledující úvahu: za čas t projde plochou vrtule objem válce s podstavou S a výškou vt (viz obrázek). Hmotost pak určíme jako m = Svtρ. S 3 1Wh=3600J. Zde i a jiých místech budeme ěkdy používat esoustavé jedotky kwh, ha apod. I když epatří do soustavy SI, jsou v eergetice i občaském životě často používáy a je tedy třeba je zát a umět používat. vt

3 Pro výko dokoalé větré elektráry dostaeme již jedoduše P = E k = 1 t 8 πd2 ρv 3, kde jsme avíc použili zámý vztah pro plochu kruhu o průměru d. Náš výchozí předpoklad o úplé přeměě eergie větru a eergii elektrickou emůže žádá větrá elektrára split. Reálé vlastosti vystihuje účiost elektráry, která v optimálím případě dosahuje asi 40%. Odtud tedy koeficiet 0,4 ve vztahu ze zadáí. Vzorové řešeí úlohy č. 3 Biomasa (5 bodů) Zaveďme ejprve ásledující ozačeí: m hmotost dřeví hmoty za 1 rok z 1 ha (1 hektar = m 2 ) ν výhřevost dřeva η účiost tepelé elektráry S potřebá plocha lesa v ha E vyrobeá eergie. Z jedoduché úvahy plye, že odtud E = Smνη, S = E mνη. Pro výpočet plochy potřebé k pokrytí výroby EDU dostaeme číselě S = , 35 ha. = 1, ha = 18000km 2, pro celkovou spotřebu elektrické eergie v ČR S = , 35 ha. = 6, ha = 68000km 2. Pozámka: Zde se bohužel do zadáí vloudila chyba, za kterou se omlouváme. V ČR emáme ha, ale km 2 lesa (třetia území státu). Radost ám udělali ti, kteří si esmyslého údaje všimli. Je vidět, že vztahy a čísla pro vás ejsou je prázdými symboly. Vzorové řešeí úlohy č. 4 Sluce (5 bodů) Záme-li zářivý výko zdroje, vztažeý a jedotku plochy v určité vzdáleosti od zdroje (tedy itezitu zářeí I), určíme celkovou eergii, která za čas t dopade a plochu S, podle vztahu 4 4 I když je Země koule, má zemský kotouč tvar kruhu. Na Zemi tedy dopadá právě taková eergie, jaká by dopadala a plochý kruh postaveý kolmo ke světelým paprskům. Povrch zemské polokoule je sice větší, ež povrch kruhu stejého poloměru, ale zase a většiu zemského povrchu dopadá světlo šikmo, po eulovým úhlem.

4 E = ISt = Iπr 2 t, pokud plocha S je kruh o poloměru r. Pro ročí eergetický zisk ze Sluce dostaeme číselě E = , 14 ( ) J. = 5, J. Celková výroba eergie a Zemi je 100PWh = 3, J ( P je předpoa peta, která určuje koeficiet ). Vidíme tedy, že člověk vyrábí je asi 0,007% eergie, kterou plaeta Země dostae ze Sluce. Samotý fakt adbytečé produkce eergie emůže mít žádý globálí efekt a s možými klimatickými změami esouvisí. Člověk může změit středí teplotu Země je tak, že změí její odrazivost pro elektromagetické zářeí (apříklad změou složeí atmosféry ebo změou barvy podstaté části povrchu). Bohužel je jisté, že takto čií a zatím edokážeme dohlédout, jaké důsledky, egativí ebo i pozitiví, tato čiost bude mít. Elektrickou eergii, kterou jsme schopi vyrobit pomocí plochy S solárích čláků, vypočteme jako E = wsη, kde w je eergie dopadající a 1m 2 za daý čas (1 rok) a η účiost přeměy eergie. Odtud jedoduše S = E wη = (Wh) (Wh/m 2 ) 0, 15 = 330km2. Vzorové řešeí úlohy č. 5 prémiové Ještě jedou vítr (a) Středí hodotu počítáme jako aritmetický průměr. Máme-li tedy apříklad možiu čísel v 1, v 2, v 3, v 4,... v, pak je středí hodota rova v = v 1 + v 2 + v v. Pokud by byl výko větré elektráry přímo úměrý rychlosti větru P = kv, kde k je kostata úměrosti, pak bychom mohli středí hodotu výkou počítat P = kv = kv 1 + kv 2 + kv kv čímž je požadovaé tvrzeí dokázáo. = k v 1 + v 2 + v v = k v,

5 (b) Aalogicky jako v předchozím případě P = kv 3, P = kv 3 = kv3 1 + kv kv kv 3 ale = k v3 1 + v v v 3 = k v 3, ( ) v 3 v1 + v 2 + v v 3 = v 3. Nerovost v 3 v 3 si můžeme ukázat i a ějakém kokrétím číselém příkladě. Například v v Prostým sečteím čísel ve sloupcích a poděleím pěti dostaeme v = 4, 3, tedy v 3 = 110, 6, ale v 3 = 136, 8. Zde je dobře vidět, jak jedo větší číslo 7 výrazě ovliví středí hodotu v 3. Jeho příspěvek je větší ež příspěvek všech ostatích čísel dohromady. (c) Teto úkol je skutečě obtížý a ti z vás, kteří jej úspěšě zvládli, mohou být skutečě hrdi, protože jejich fyzikálí a matematická zdatost vysoko převyšuje středoškolský stadard. Na tomto místě je stručěji popíšeme řešeí s tím, že plé pochopeí vyžaduje pokročilejší matematické studium. Nechť P (v) je fukce áhodé proměé v, která se řídí rozděleím f(v). Středí hodotu P fukce P (v) pak vypočteme jako P = D P (v)f(v)dv, kde D je defiičí obor rozděleí f(v). Pro výko větré elektráry s Rayleighovým rozděleím rychlosti větru dostaeme Po úpravě P = 0 0, 4 π 8 d2 ρv 3 2 η ( ) v e ( η) v 2 dv. η P = 0, 4 π 8 d2 ρ 2 v 4 e ( η) v 2 dv. η 2 0

6 Itegrál eí aalyticky řešitelý, icméě hodota určitého itegrálu v evlastích mezích je záma a je rova (viz. apř. K. Rektorys, Přehled užité matematiky) Dosazeím dostaeme 0 v 4 e ( η) v 2 dv = 3 πη 5. 8 kde P = 0, 4 π 8 d2 ρ 3 π 4 η3, η. = v Po číselém výpočtu pro v = 5m/s, d =50m a ρ = 1, 3kg/m 3 máme P. = 122kW. Tak jsme získali středí výko větré elektráry, který za 1 rok provozu zajistí výrobu asi 1GWh elektrické eergie. Pokud by po celý rok vál vítr kostatí rychlostí v = 5m/s, stálý výko větré elektráry spočítaý prostým dosazeím do vztahu z úlohy č. 2 vyjde přibližě 64kW a odpovídající ročí výroba asi 0,56GWh. Kubická závislost výkou elektráry spolu s Rayleighovým rozděleím rychlosti větru vede asi k dvojásobé hodotě eergie ve srováí s hodotou získaou dosazeím středí rychlosti větru do vztahu pro výko. Jak jsme a tom s větrem v ČR? Na většiě území je průměrá rychlost větru asi 4m/s, hodotu 6m/s přesahuje pouze v horských oblastech, zejméa a západě aší republiky. Můžeme tedy odhadout, že pro výrobu stejého možství eergie jako EDU bychom potřebovali cca velkých větrých elektráre. Nejde je o to ajít pro ě vhodou lokalitu a postavit je. Je také třeba vyrovat se s jejich epravidelým výkoem, tedy zajistit pohotovost dalších eergetických kapacit, které za epřízivých podmíek větré elektráry ahradí. A co říci závěrem? Je zřejmé, že alterativí, obovitelé zdroje eergie emají a stěží ěkdy v budoucosti budou mít poteciál plě zásobovat lidstvo potřebou eergií s výjimkou případu, kdy se člověk pod úderem ějaké apokalypsy vrátí zpět do doby kameé ebo do středověku a počet obyvatel Země klese a zlomeček deší hodoty. To ovšem ezameá, že by se lidé eměli pokoušet obovitelé zdroje využívat všude tam, kde je to ekoomicky, ale i ekologicky úosé. Autor této série úloh je přesvědče, že budoucost civilizace je podmíěa rozvojem špičkových techologií, které jedié mají šaci zajistit dostatek eergie, potravy a surovi, ale také v dostatečé míře elimiovat eblahé důsledky přítomosti a expaze člověka a plaetě Zemi.