FSI VU v Bně, Enegetický ústv Odbo temomechniky techniky postředí pof. Ing. Miln Pvelek, CSc. ERMOMECHANIKA 6. Přenos tepl vedením OSNOVA 6. KAPIOLY Difeenciální ovnice vedení tepl Počáteční okjové podmínky Metody řešení úloh vedení tepl Ektní řešení DR vedení tepl Anlogie při řešení DR vedení tepl Viulice teplotních polí při vedení tepl Vedení tepl v meni kovcího lisu
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ EPLA - Odvoení difeenciální ovnice (DR) vedení tepl: A) KARÉZSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSÉM EPLO eplo [J] do elementu přivedené dq +d Q* dq y [Wm -3 ] dq +d dq dq dq y+dy y dq dq y dq eplo [J] elementu odvedené dq kde d dq y dy dq λ dq d dq dq d dy d dτ dq eplo [J], kteé ůstne v elementu v důsledku vedení ve směu dq dq d - Element dv = d.dy.d dq d λ d dy d dτ d
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ EPLA - eplo [J], kteé ůstne v elementu v důsledku vedení ve směu y dq y dq y dy - y y y dq dy λ d dy d dτ y eplo [J], kteé ůstne v elementu v důsledku vedení ve směu dq dq d - dq d λ d dy d dτ CELKOVÉ EPLO [J], kteé ůstne v elementu dv v důsledku vedení dq λ λ y y λ d dy d dτ EPLO [J], kteé ůstne v elementu dv v důsledku vnitřních dojů [W.m -3 ] dq Q * d dy d dτ ZVÝŠENÍ VNIŘNÍ ENERGIE / ENALPIE [J] elementu dv dobu d du m c v Q * d d ρ cv d dy d dτ dτ 3
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ EPLA - 3 I. ákon temodynmiky dq du da du 0 dq du dq dq du Po dosení dq, dq, du, pokácení d.dy.d.d po c v = c bude λ λ y y d λ Q* c ρ dτ kde = f (, y,, ) = f (, y,, ) c = f (, y,, ) Po, c, neávislé n po iotopní látky dostneme OBECNOU DR VEDENÍ EPLA - I. ákon temodynmiky d dτ Q * y c ρ [m s - ] je teplotová vodivost pltí definice Pltí po homogenní tuhé látky s vnitřními doji (i tekutiny) λ c ρ 4
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ EPLA - 4 5 d je totální difeenciál, = f (, y,, ), poto pltí d dy y d d d τ τ y y d d τ τ kde, y, jsou složky ychlostí elementu (tekutiny) Po tuhá těles = y = = 0. Obecná DR vedení tepl přejde do tvu FOURIEROVY DR VEDENÍ EPLA y τ Pltí po tuhé homogenní látky be vnitřních dojů Řešením DR vedení tepl je = f (, y,, ) Fouieov DR vedení tepl je I. ákon temodynmiky po vedení tepl, nebo tké enegetická ovnice po vedení tepl
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ EPLA - 5 6 B) CYLINDRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSÉM Fouieov DR vedení tepl - po tuhé homogenní látky be vnitřních dojů τ Řešením je = f (,,, ) C) SFÉRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSÉM Fouieov DR vedení tepl - po tuhé homogenní látky be vnitř. dojů Ψ sin ψ sin Ψ Ψ sin Ψ τ Řešením je = f (,,, )
POČÁEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - Řešením DR přímých úloh je oložení teplot v postou čse pomocí počátečních (u nestcionáních úloh) okjových podmínek. Řešením DR nepřímých úloh je učení okjových podmínek (OP) e námého oložení teplot v ůných čsových úovních. POČÁEČNÍ PODMÍNKA Učuje oložení teplot n počátku děje po = 0. Čsto se používá o = konst OKRAJOVÉ PODMÍNKY, y,, τ 0 f, y, OP. duhu, Diichletov - Učuje oložení teplot n povchu těles (inde ), to v čse. Čsto se používá = konst f, y,, τ OP. duhu, Neumnnov - Učuje oložení hustot tepelného toku n povchu těles v čse. Čsto se používá q konst q f, y,, τ 7
POČÁEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - OP 3. duhu, Netonov - Učuje oložení součinitelů přestupu tepl n povchu těles ( teploty okolí ) v čse. Čsto se používá = konst α f, y,, τ / R y Rodíly mei OP. duhu 3. duhu U podmínky. duhu q konst má čákovná tečn stále stejný sklon U podmínky 3. duhu = konst pocháí čákovná tečn řídicím bodem R, vi důk: - λ α - y y - λ α - 8
POČÁEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - 3 OP 4. duhu - Ve styku dvou těles ) Dokonlý styk těles - λ - λ y y b) Nedokonlý styk těles q R K = R K [m.k.w - ] kontktní tepelný odpo Závisí n dsnosti, mteiálu, tlku mei tělesy duhu plynu v kontktu. R K bývá tbelován OP 5. duhu - S fáovou přeměnou látky n povchu 9
MEODY ŘEŠENÍ ÚLOH VEDENÍ EPLA ROZLIŠUJE MEODY: Ektní řešení DR vedení tepl (po jednoduché úlohy) Anlogové metody řešení DR vedení tepl (po složitější úlohy, skládáním jednoduchých úloh) Přibližné řešení DR vedení tepl (předpokld teplotních pofilů ve tvu polynomu, splinu, ) Numeické řešení DR vedení tepl (i složité úlohy, plikce počítčů) Numeické řešení teplotního pole při kontinuálním lití doc. Štětin Gfické řešení DR vedení tepl (po jednoduché úlohy, nepřesné) Epeimentální řešení vedení tepl (přesné, složité, dhé) eoie podobnosti po řešení DR vedení tepl (nutná nlost podobného řešení vyjádřeného pomocí Biotov, Fouieov čísl ) Kpcitní metod řešení DR vedení tepl (ložená n tepelné bilnci, vhodná po mlé objekty) j. 0
EXAKNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - SACIONÁRNÍ VEDENÍ EPLA ROVINNOU SĚNOU NEBO YČÍ 0 h Q Vyjdeme DR vedení tepl v ktéském souřdném systému y τ Po stcionání -D vedení pltí: 0 d d Po okjové podmínky. duhu 0 W W h dostneme teplotní pofil ve tvu h Řešení této DR je přímk 0 kde konstnty 0, ískáme OP.
EXAKNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - Deivcí uvedeného teplotního pofilu dle souřdnice dostneme 0 h Q h Po tepelný tok pltí Q d Q W W - λ S - λ S - λ S d h W W λ S h d d h Q - λ S d d q λ Ktší odvoení tepelného toku le povést přímo Fouieov ákon, km dosdíme d d dostneme: Při tomto ktším odvoení tepelného toku neískáme bepostředně infomci, že teplotní pofil je přímk. h
EXAKNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - 3 SACIONÁRNÍ VEDENÍ EPLA VÁLCOVOU SĚNOU q Vyjdeme DR vedení tepl v cylindickém souřdném systému τ d d 0 d d du u 0 d du u d d u d u d Po stcionání -D vedení pltí: Dále povedeme integci, dosdíme u dostneme: L Po substituci u = d/d bude: eplotní pofil má tv logitmické křivky 0 0 ln 3
EXAKNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - 4 4 Po OP. duhu pltí: 0 0 ln ln W W Po výpočtu konstnt 0, bude mít teplotní pofil tv ln ln ln ln Konstnty 0, logitmického teplotního pofilu ískáme OP. Deivce teplotního pofilu dle bude ln d d Po tepelný tok pltí ln L π d d Q λ λ S ln L π Q λ po úpvách q L
EXAKNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - 5 Hustot tepelného toku je n vnitřním vnějším povchu tubky ůná (vi obáek), poto definujeme d Q - λ π L Q λ ln tepelný tok n m délky tubky [W.m - ] Q L Q L Ktší odvoení tepelného toku le povést přímo Fouieov ákon d Q - λ S - λ π L d π λ ln d d DR řešíme sepcí poměnných dostneme: π L d Q ln λ π L q L Při tomto odvoení neískáme infomci o tvu teplotního pofilu. Q L 5
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - Mei veličinmi tepelnými elektickými eistuje nlogie, kteá nám můžeme pomoci při řešení úloh vedení tepl. Po vedení tepl pltí Fouieův ákon Je řejmé, že: q λ Elektický poud je nlogický hustotě tepelného toku Δ h Npětí či odíl npětí je nlogický odílu teplot Elektický odpo R je nlogický tepelnému odpou R = h / Pontky řešení elektických obvodů můžeme využít při řešení složitějších úloh vedení tepl, to skládáním jednodušších ektních řešení DR Po elektické obvody pltí Ohmův ákon Zpojení séiové R R R 3 U I R U 0 U U U 3 Zpojení plelní R R U 0 R 3 U I I 6
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - SACIONÁRNÍ VEDENÍ EPLA SLOŽENOU ROVINNOU SĚNOU 3 h h 0 3 R R q Hustot tepelného toku jednoduchou ovinnou stěnou je dán vthem q q h λ n i, n hi λ i epelný odpo při vedení ovinnou stěnou R i [K.m.W - ] je dán vthem R λ n i Hustot tepelného toku složenou ovinnou stěnou s n vstvmi (tepelné odpoy jsou řeny séiově) je dán vthem R, n λi R λi hi λ i 7
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ EPLA - 3 SACIONÁRNÍ VEDENÍ EPLA SLOŽENOU VÁLCOVOU SĚNOU epelný tok jednoduchou válcovou stěnou n ; m délky potubí je dán vthem 3 R R 3 0 3 Q L Q L π λ ln ln π λ epelný tok složenou válcovou stěnou n m délky potubí (tepelné odpoy jsou řeny séiově) je dán vthem Q L n i π λ epelný odpo při vedení válcovou stěnou R i [K.m.W - ] je dán vthem, n i ln i i n i R, n λi i R λi ln π λi i 8
9 VIZUALIZACE EPLONÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ EPLA - emoviní měření dynmických teplotních polí n povchu kleští mnipulátou kovcího lisu šířící se vedením výkovku. Sestv kovcího lisu při kování emogm kleští při kování Kleště mnipulátou s výkovkem emogm kleští po kování
0 VIZUALIZACE EPLONÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ EPLA - Vedení tepl umožňuje s využitím temoviní kmey identifikovt činnost skyté ávdy ůných říení. emogm soustvy kompesoů chldicího říení emogm holicího stojku s vdným kontktem
VIZUALIZACE EPLONÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ EPLA - 3 Aplikce temoviní kmey v chemickém půmyslu umožňuje díky vedení tepl efektivně, bedotykově n dálku jišťovt stv činnost ůných říení. Zdoj: Infec Identifikce výšky hldiny v ásobníku Detekce ktivního potubí s ovodem přehřáté páy
VIZUALIZACE EPLONÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ EPLA - 4 Příkldy temogmů monitoujících činnost tnsfomátou, kde vedení tepl stěnou identifikuje výšku hldiny oleje tepelný stv říení. Zdoj: Infec emogm teplotního pole tnsfomátou při optimálních pcovních podmínkách emogm tnsfomátou při níké hldině oleje - žeb jsou chldná, říení se přehřívá