15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace



Podobné dokumenty
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

9. Soustava lineárních rovnic

Základy matematiky pracovní listy

1. července 2010

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Funkce pro učební obory

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Funkce - pro třídu 1EB

2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Funkce pro studijní obory

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Extrémy funkce dvou proměnných

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

11 Vzdálenost podprostorů

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Základní poznatky o funkcích

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

1. Přímka a její části

Analytická geometrie (AG)

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Analytická geometrie lineárních útvarů

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

výsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.

12. Lineární programování

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

Analytická geometrie a nerovnosti

Rovnice s parametrem ( lekce)

2.8.6 Parametrické systémy funkcí

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Bakalářská matematika I

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

4 Rovnice a nerovnice

Matematická analýza III.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

0.1 Úvod do lineární algebry

Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

2. Řešení algebraické

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

Rovnice přímky v prostoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

volitelný předmět ročník zodpovídá CVIČENÍ Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript:

@173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c < 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c > 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) jsou poloroviny; první dvě s, druhé dvě bez hraniční přímky. Úkol: Zakreslete do kartézské souřadné soustavy grafické řešení soustavy nerovnic, tj. průnik všech tří polorovin. 3x - 2y - 1 0-5x + y - 3 0 2x + y - 3 0 výsledek

@176 Množinu přípustných řešení máme zobrazenu. Z grafu snadno vyčteme, že J. H. může vyrábět (příklady jsou v tabulce) třeba 0 kusů, ale tak bude mít ztrátu za nákup surovin, proto uvádíme hrubý zisk. počet kusů výrobku hrubý zisk A = x B = y = 5x + 4y 0 0 0 1000 1000 9000 1500 0 7500 0 3000 12000 500 2000 10500 Jen tak zkusmo hledat zisk je možné, ale k optimálnímu řešení se tak snadno obvykle nedostaneme. Všimněme si, že zisk se počítá z rovnice zisk = 5x + 4y resp. z rovnice 5x + 4y - zisk = 0 Protože koeficienty u x a y jsou konstantní, mění se jen absolutní člen, grafickým zobrazením je soustava rovnoběžek. Když se zisk mění, posouvá se přímka blíž nebo dále od počátku souřadnic, ale zachovává si stále stejný směr. Naším úkolem je nalézt takovou rovnoběžku, která bude obsahovat aspoň jeden bod z množiny přípustných řešení a přitom bude nejdále od počátku souřadnic.

V našem případě to splňuje přímka (viz obrázek), která obsahuje jediný bod z množiny přípustných řešení a to [1000; 2500]. Tedy bude-li J.H. vyrábět 1000 ks výrobku A a 2500 ks výrobku B dosáhne za zadaných podmínek nejvyššího možného zisku 15000 Kč. Poznámka: Nalezený bod optimálního řešení je průsečíkem odpovídajících přímek. Máme to ale štěstí. Získali jsme x a y, které je přirozené. To je totiž další podmínka, kterou jsme zanedbali. Snaha prodat nedodělaný výrobek se sice občas vidí, ale rozhodně to není seriózní. pokračování

@180 Bohužel - chybička se vloudila. zkuste znovu

@183 Bohužel Sice utratíme všechny peníze, které jsme chtěli investovat, a získáme největší možný počet drahých PC, ale i náklady na údržbu nebudou zrovna levné. Nemyslím, že to je to pravé. znovu prostudujte

@174 Řešte graficky soustavu nerovnic 3x - 2y - 1 0-5x + y - 3 0 2x + y - 3 0 Řešení: Grafickým řešením bude průnik tří polorovin 3x - 2y - 1 0 hraniční přímka prochází body např. [1; 1], [3; 4] bod [0; 0] je součástí poloroviny - 5x + y - 3 0 hraniční přímka prochází body např. [-1; -2], [0; 3] bod [0; 0] je součástí poloroviny 2x + y - 3 0 hraniční přímka prochází body např. [2; -1], [0; 3] bod [0; 0] je součástí poloroviny průnik těchto polorovin tvoří trojúhelník

pokračování

@178 Příklad: K vybavení nové kanceláře firmy ASTORIE je třeba koupit aspoň 5 ks PC. Pro tento nákup je k disposici 19200.- Kč. V úvahu připadají dva typy, které je smluvní firma ASTA ochotna udržovat: typ A za 800.- Kč s roční údržbou 100.- Kč a typ B v ceně 2400.- Kč s roční údržbou 80.- Kč. Vedení firmy ASTORIE rozhodlo o těchto podmínkách nákupu: 1) PC typu A se nekoupí více než 3 ks 2) PC typu B se koupí aspoň o 3 ks více než typu A 3) dvojnásobek počtu strojů typu A plus počet strojů typu B musí být aspoň 7 kusů Jak se má nákup zařídit, aby celkové náklady na roční údržbu byly co nejmenší? Úkol: Vytvořte systém lineárních nerovnic, které popisují uvedenou úlohu. pokračování

@181 Správně Úkol: Náklady jsou určeny soustavou rovnoběžných přímek 100x + 80y - náklady = 0 Z přípustných řešení minimalizuje náklady bod (viz graf) varianta A: [3; 7] varianta B: [0; 8] varianta C: [1; 5]

@175 Prosím, omluvte číselnou nesmyslnost následujících příkladů. Nejde nám o naturalistický popis reálné situace, jde nám o modelovou situaci, která nás příliš numericky nezatíží a přitom ukáže základní princip řešení úloh zvaných lineární programování. Název je historický, dnes by se asi nazval jinak. Příklad: Podnikatel J. H. stojí před problémem. Jeho dílna vyrábí dva výrobky. Rozsah je závislý na disponibilním množství surovin S1 a S2, které může dostat od dodavatelů za rok. Ostatních výrobních činitelů má dostatečné množství a rozhodování tedy neovlivňují. Podmínky výroby lze shrnout do tabulky surovina potřeba na jeden výrobek v kg disponibilní v kg A B množství v kg S1 2 4 12000 S2 7 2 12000 zisk v Kč/ks 5 4 Kolik kusů výrobků A a B má J. H. vyrábět, aby měl co největší zisk? Řešení: Nejprve nalezneme všechna možná řešení. Pak budeme hledat řešení, které přinese největší zisk. Označme x počet ks výrobku A y počet ks výrobku B Přirozené omezení je x 0 y 0 Další omezení přináší disponibilní množství surovin (sledujte tabulku) 2x + 4y 12000 7x + 2y 12000 Úkol: Řešte graficky soustavu lineárních nerovnic 2x + 4y 12000 7x + 2y 12000 x 0 y 0 Doporučení: volte měřítko na obou osách 1000 výsledek

@179 K vybavení nové kanceláře firmy ASTORIE je třeba koupit aspoň 5 ks PC. Pro tento nákup je k disposici 19200.- Kč. V úvahu připadají dva typy, které je smluvní firma ASTA ochotna udržovat: typ A za 800.- Kč s roční údržbou 100.- Kč a typ B v ceně 2400.- Kč s roční údržbou 80.- Kč. Vedení firmy ASTORIE rozhodlo o těchto podmínkách nákupu: 1) PC typu A se nekoupí více než 3 ks 2) PC typu B se koupí aspoň o 3 ks více než typu A 3) dvojnásobek počtu strojů typu A plus počet strojů typu B musí být aspoň 7 kusů Jak se má nákup zařídit, aby celkové náklady na roční údržbu byly co nejmenší? typ PC počet nákupní cena náklady údržby A x 800 100 B y 2400 80 x + 3y 24 objem finančních prostředků x 3 podmínka 1) -x + y 3 podmínka 2) 2x + y 7 podmínka 3) x + y 5 podmínka v 1.větě textu x 0 y 0 x,y N náklady = 100x + 80y Úkol: Graficky řešte vzniklou soustavu lineárních nerovnic a určete počet přípustných řešení. varianta A: 10 přípustných řešení varianta B: nekonečně mnoho přípustných řešení varianta C: soustava nemá řešení, 0 přípustných řešení

@182 Bohužel Sice utratíme všechny peníze, které jsme chtěli investovat, a získáme největší možný počet PC, ale i náklady na údržbu budou největší. Nemyslím, že to je to pravé. znovu prostudujte

@184 Správně Firma získá potřebný počet PC (proč kupovat víc než je nutné), náklady na údržbu budou minimální a to 500.- Kč a ještě jí zbudou prostředky na další nákupy ve výši 6400.- Kč. KONEC LEKCE