ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

Podobné dokumenty
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

10. Vektorové podprostory

Cvičení z Lineární algebry 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Program SMP pro kombinované studium

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

7. Lineární vektorové prostory

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

1 Lineární prostory a podprostory

Úvod do lineární algebry

1 Vektorové prostory a podprostory

1 Vektorové prostory.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

1 Soustavy lineárních rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

1 Řešení soustav lineárních rovnic

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika B101MA1, B101MA2

Lineární algebra : Báze a dimenze

Soustavy linea rnı ch rovnic

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

0.1 Úvod do lineární algebry

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Matematika B101MA1, B101MA2

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a a 2 2 1

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

8 Matice a determinanty

0.1 Úvod do lineární algebry

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Lineární algebra : Lineární prostor

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Báze a dimenze vektorových prostorů

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

6.1 Vektorový prostor

VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

9. Vektorové prostory

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

z textu Lineární algebra

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

1 Projekce a projektory

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

2. kapitola: Euklidovské prostory

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Lineární (ne)závislost

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Lineární algebra : Metrická geometrie

19. Druhý rozklad lineární transformace

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

Operace s maticemi. 19. února 2018

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.

18. První rozklad lineární transformace

těchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ).

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

15 Maticový a vektorový počet II

Transkript:

SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní) vektorový prostor, přirozená báze vektorového prostoru P n, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze, dimenze; vektorové prostory konečné dimenze; souřadnice vektoru, matice přechodu mezi bázemi. Podprostor, generátory podprostoru, lineární obal, podprostor určený soustavou homogenních lineárních rovnic; průnik U V, součet U + V podprostorů U a V, přímá suma U V vektorových prostorů. Základní tvrzení Steinitzova věta a její důsledky, věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Základní úlohy Rozhodnutí o lineární závislosti a nezávislosti, transformace souřadnic vektoru, určení podprostoru generátory / soustavou lineárních rovnic, nalezení báze podprostoru, určení průniku a součtu podprostorů. Základní vzorce L(u 1,..., u n ) [[u 1,..., u n ]] = {a 1 u 1 + + a n u n ; a i P} U + V = {u + v; u U, v V } pro vektorové podprostory U, V W dim(u V ) + dim(u + V ) = dim U + dim V dim(w 1 W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 pro vektorové prostory W 1, W 2. Označení R[x] vektorový prostor polynomů proměnné x s reálnými koeficienty C[x] vektorový prostor polynomů proměnné x s komplexními koeficienty. R vektorový prostor všech posloupností reálných čísel C vektorový prostor všech posloupností komplexních čísl 1. Cvičení Kontrolní otázky 1. Definujte vektorový prostor nad polem P. 2. Ukažte, že každé pole P je vektorovým prostorem nad P. 3. Může být prázdná množina vektorovým prostorem?

4. Definujte strukturu vektorového prostoru na jednoprvkové množině. Určete jeho dimenzi. 5. Popište vektorové prostory R, R 2, R k nad R; C, C 2, C k nad R resp. nad C; 6. Popište vektorové prostory R[x], R nad R, C[x], C nad C. 7. Je-li V vektorový prostor nad polem P, definujte vektorovou strukturu na množině V n = } V V {{... V }. n krát 8. Definujte lineární kombinaci vektorů, lineární závislost a nezávislost, množinu generátorů vektorového prostoru. 9. Definujte bázi a dimenzi vektorového prostoru, rozeberte také nekonečněrozměrný případ. 10. Ukažte, že vektory 1, i C jsou lineárně nezávislé nad R, ale lineárně závislé nad C. 11. Jakou dimenzi má prostor C nad R a nad C? 12. Jakou dimenzi mají prostory R 2, R k nad R; C 2, C k nad R resp. nad C? Uved te nejméně 2 různé báze u každého z těchto prostorů. 13. Určete dimenzi vektorového prostoru R n [x] polynomů jedné neurčité stupně n nad R a alespoň jednu jeho bázi. 14. Jakou dimenzi má prostor R[x] polynomů jedné neurčité nad R? Nalezněte k lineárně nezávislých vektorů pro každé k N. 15. Je množina všech polynomů stupně n s reálnými koeficienty vektorový podprostor R[x]? 16. Jaký nejmenší počet vektorů generuje vektorový prostor konečné dimenze n? 17. Jaký největší počet lineárně nezávislých vektorů existuje ve vektorovém prostoru konečné dimenze n? 18. Definujte podprostor vektorového prostoru W, definujte průniku V a součet U +V podprostorů U, V W. 19. Definujte lineární obal podmnožiny a podprostor generovaný systémem vektorů. 20. Patří vektor (1, 1, 0, 1) do podprostoru v R 4 generovaného vektory (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)? Své tvrzení dokažte. 21. Jaké generátory má podprostor U + V, má-li podprostor U resp. V generátory u 1,..., u k resp. v 1,..., v l? Co můžeme říci o jeho dimenzi? 22. Udejte příklad podprostoru v R[x] dimenze 1, 2 resp. 3. 23. Udejte příklad vlastního podprostoru v R[x] nekonečné dimenze. 24. Pro která α, β R určuje rovnice 2x 1 + 3x 2 + αx 3 = β podprostor v R 3? 25. Jaký nejmenší počet lineárních rovnic vymezuje v R n podprostor dimenze k n? 26. Jakou soustavou rovnic je určen podprostor U V v R n, je-li podprostor U resp. V určen soustavou rovnic a i j x j = 0 resp. b i j x j = 0. 27. Uved te soustavu homogenních rovnic vymezující podprostor v R 4 generovaný vektorem (1, 1, 0, 0). 28. Ukažte, že rovnice x 1 + x 2 + + x k = 0 vymezuje podprostor v R k. Jakou má dimenzi? Uved te nějakou jeho bázi. 29. Bud A nějaká matice nad R typu m/n. Porovnejte její hodnost s dimenzí podprostoru v R m generovaného řádky matice A. Zdůvodněte. Příklady 1. Ukažte, že v každém vektorovém prostoru V platí ( 1)v = v, 0v = 0 pro každé v V. Návod: Upravte v + ( 1)v. 2

2. Ukažte, že v každém vektorovém prostoru V nad T pro každé v V, t T platí tv = 0 (t = 0 nebo v = 0). 3. Ukažte, že vektor u je lineárně závislý u = 0. 4. Bud te u 1, u 2 lineárně nezávislé vektory. Ukažte, že vektory u 1 + u 2, u 1 u 2 jsou také lineárně nezávislé. 5. a) Je pravda, že jsou-li x, y, z lineárně nezávislé vektory, pak také vektory x + y, y + z, z + x jsou lineárně nezávislé? b) Jaké podmínky musí splňovat reálné číslo ξ, aby vektory (ξ, 1, 0), (1, ξ, 1), (0, 1, ξ) z R 3 byly lineárně závislé? Jak tomu bude, zaměníme-li R 3 za Q 3? c) Určete ξ tak, aby vektory (1, 1, 1), (1, ξ, ξ 2 ) v R 3 byly lineárně nezávislé. d) V bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } 4-rozměrného vektorového prostoru V jsou dány vektory ξ = (1, 0, 0, 0), η = (1, 1, 0, 0), λ = (1, 1, 1, 0), κ = (1, 1, 1, 1). Vyšetřete, zda ξ, η, λ, κ je báze V. Nalezněte dvě báze prostoru V, které nemají žádný vektor společný, a přitom první obsahuje vektory ξ, η a druhá vektory λ, κ. 6. Bud te u 1, u 2,..., u k lineárně nezávislé vektory, bud v vektor takový, že vektory u 1, u 2,..., u k, v jsou lineárně závislé. Ukažte, že v je lineární kombinací vektorů u 1,..., u k. 7. Popište vektorový prostor R nad Q. 8. a) Rozhodněte, zda množina všech matic typu m/n s operacemi sčítání matic a násobení matice číslem, je vektorový prostor. V kladném případě určete jeho dimenzi a nalezněte bázi. b) Rozhodněte, zda množina všech čtvercových matic řádu n s operací násobení matic a násobení matice číslem, je vektorový prostor. 9. Necht V je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel. Pro libovolné prvky x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) z V a libovolný skalár α R klademe: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), αx = (αx 1, 0), x = ( x 1, x 2 ) Je V při takto definovaných operacích vektorový prostor? 10. Uvažujme množinu všech posloupností komplexních čísel x = {x i } i=1, x i C, vyhovující podmínce i=1 x i 2 <. Definujeme operace sčítání posloupností a násobení posloupnosti komplexním číslem takto: x + y = {x i + y i } i=1, α x = {α x i} i=1. Uvedenou množinu s operacemi + a označme l 2. Ukažte, že l 2 je vektorový prostor a určete jeho dimenzi. (Návod: Využijte Minkowského nerovnost ξ + η 2 2( ξ 2 + η 2 ), kterou dokažte. 11. Ověřte přímým výpočtem, že vektory (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) tvoří bázi prostoru R 3. 12. Ověřte přímým výpočtem, že vektory 1 + i, 1 i tvoří bázi vektorového prostoru C nad R. Jaké souřadnice má komplexní číslo a + bi v této bázi? Jaké souřadnice mají vektory 1 + i, 1 i v této bázi? 13. Uvažujme množinu R 4 všech čtveřic reálných čísel s obvyklými operacemi sčítání čtveřic a násobení čtveřice reálným číslem. Dokažte, že R 4 je vektorový prostor, a že množiny a) (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) b) (0, 2, 3, 1), ( 1, 3, 3, 1), (1, 1, 1, 1), (2, 1, 3, 5) tvoří jeho báze. Určete složky vektoru (0, 2, 3, 1) v bázi (a), složky vektorů z (b) v bázi (b) a složky vektoru ( 2, 0, 3, 1) v bázi (a) a v bázi (b). 14. Určete všechny hodnoty parametru α pro něž jsou vektory (1, 1, 1), (1, α, 1), (2, 2, α) lineárně závislé. (Návod. Využijte vlastnosti determinantů.) 15. Charakterizujte všechny podprostory a) reálného vektorového prostoru R, 3

b) komplexního vektorového prostoru C, c) reálného vektorového prostoru C. 16. Rozhodněte, zda množina L = {(x 1,..., x n ) R n x 1 + x 2 + + x n = 0} je podprostor v R n. (Návod: Určete dimenzi součtu daných podprostorů.) 17. Rozhodněte, zda následující množiny tvoří vektorové podprostory v R[x] W = { f R[x]; f (1) = 0}, W = { f R[x]; f (0) = 1}, W = {ax 3 + bx + c; a, b, c R}. Výsledky: ano, ne, ano. 18. Nalezněte bázi vektorového podprostoru v R 4 generovaného vektory (a) (1, 5, 6, 7), (2, 3, 5, 7), (1, 3, 4, 5), (3, 2, 5, 8) (b) (0, 2, 2, 1), (3, 5, 8, 4), (2, 4, 6, 3), (1, 3, 4, 2) Návod: Sestavte matici z uvedených řádkových vektorů, převed te ji na schodovitý tvar, a vynechte nulové řádky. 19. Ukažte, že návod k předchozímu příkladu je správný. Návod: Ukažte, že elementární řádkové úpravy nemění lineární obal množiny řádkových vektorů. 20. Určete průnik podprostorů U, V R 6 generovaných vektory U : u 1 = (1, 3, 7, 1, 0, 1), u 2 = (2, 5, 2, 0, 1, 1) V : v 1 = (2, 1, 2, 0, 3, 1), v 2 = (5, 7, 7, 1, 4, 1) Návod: Hledejte všechna α i, β i, pro něž α 1 u 1 + α 2 u 2 = β 1 v 1 + β 2 v 2. 21. Bud dána soustava lineárních homogenních rovnic k j=1 a i, j x j = 0, a i, j R. Ukažte, že množina všech řešení (x 1,..., x k ) tvoří vektorový podprostor v R k. 22. Nalezněte bázi vektorového podprostoru v R 3 vymezeného soustavou rovnic 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 0 2x 1 + x 2 x 3 = 0 23. Nalezněte soustavu homogenních rovnic vymezující podprostor v R 5 s generátory (1, 3, 4, 2, 1), (3, 5, 8, 4, 3), (5, 1, 4, 2, 5). 24. Dokažte, že vektory (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1) a vektory (2, 1, 3, 3), (0, 1, 1, 1) generují týž podprostor v R 4. Návod: Hledejtete dimenzi součtu těchto podprostorů. 25. Dokažte, že R 4 je přímým součtem podprostorů U, V generovaných vektory (1, 2, 1, 2), (2, 0, 2, 0) a (1, 1, 3, 3), (5, 5, 1, 1). Návod: Spočtěte dim(u + V ), dim(u V ). 26. Ve vektorovém prostoru V dimenze 6 jsou dány podprostory L 1, L 2. Určete bázi a dimenzi těchto podprostorů a zjistěte, zda jeden z nich není podprostorem druhého: L 1 = [[(2, 1, 1, 0, 0, 1), (2, 2, 1, 1, 0, 0), (2, 1, 1, 2, 0, 3)]] L 2 = [[(0, 1, 0, 1, 0, 1), (4, 2, 2, 0, 0, 2), (1, 1, 0, 2, 1, 0)]] ([[]] označuje lineární obal, vektory jsou zapsány pomocí složek v pevně zvolené bázi). 4

27. Necht L 1, L 2 jsou podprostory v čtyřrozměrném vektorovém prostoru V. Určete bázi a dimenzi L 1 + L 2, L 1 L 2, je-li L 1 = [[(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)]] L 2 = [[(1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2)]] 28. Vektory e 1, e 2, e 3 mají v bázi e 1, e 2, e 3 tyto souřadnice: e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (1, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). Určete matici přechodu od báze (e 1, e 2, e 3 ) k bázi (e 1, e 2, e 3 ) a matici přechodu od báze (e 1, e 2, e 3 ) k bázi (e 1, e 2, e 3 ). Jsou-li (2, 1, 3) souřadnice vektoru x v bázi (e 1, e 2, e 3 ), určete souřadnice tohoto vektoru v bázi (e 1, e 2, e 3 ). 2. Zápočtové příklady 1. Ukažte, že systém vektorů u, v, w je lineárně nezávislý právě tehdy, když je systém u + v, v + w, u + w lineárně nezávislý. 2. Určete všechny hodnoty parametru α, pro něž jsou vektory (1, α, 1), (3, 4, 7), (α, 3, 5) lineárně závislé. 3. Nalezněte bázi vektorového podprostoru v R 6 generovaného vektory (1, 3, 4, 2, 5, 7), (5, 3, 8, 4, 13, 17), (3, 1, 2, 1, 5, 6), (5, 3, 2, 1, 7, 8), (3, 1, 4, 2, 7, 9), (7, 5, 2, 1, 9, 10). Popište tento podprostor soustavou lineárních homogenních rovnic. 4. Nalezněte průnik vektorových podprostorů U, V R 6 generovaných vektory U : (1, 5, 6, 3, 4, 7), (2, 2, 1, 5, 2, 1), (3, 3, 2, 0, 1, 5), V : (2, 1, 1, 3, 2, 3), (5, 8, 8, 11, 8, 11), (7, 6, 4, 8, 5, 9). 5. Bud V podprostor konečněrozměrného vektorového prostoru U, dim V = dim U. Dokažte, že U = V. 6. Bud te U, V dva podprostory vektorového prostoru W. Necht dim U + dim V = dim(u + V ) = dim W. Ukažte, že pak W = U V. 7. Bud W = U V rozklad vektorového prostoru W na přímé sčítance, bud u 1,..., u n báze v U, bud v 1,..., v m báze ve V. Dokažte, že u 1,..., u n, v 1,..., v m je báze ve W. 8. Ukažte, že platí U V, U V jsou-li U, V podprostory v R 6 generované vektory U : (3, 5, 2, 8, 1, 1), (2, 1, 1, 2, 3, 0), (0, 7, 1, 10, 7, 2) V : ( 1, 3, 0, 4, 5, 1), (3, 5, 3, 1, 3, 1), (1, 4, 2, 1, 0, 1) 9. Necht C[x] je systém všech polynomů proměnné t s komplexními koeficienty, uvažovaný s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomu komplexním číslem. a) Ukažte, že C[x] je komplexní vektorový prostor. Co je nulovým prvkem v C[x]? b) Určete, zda následující vektory z C[x] jsou lineárně závislé nebo nezávislé: 1, t, t 2,..., t n,.... c) Necht u, x, y, z jsou vektory z C[x] definované vztahy u(t) = 1 + t + t 2, x(t) = 1, y(t) = t, z(t) = t 2. Ukažte, že tyto vektory jsou lineárně závislé, ale libovolné tři z nich jsou lineárně nezávislé. 10. Polynom x C[x] nazveme sudým, když x( t) = x(t) pro každé t a lichým, když x( t) = x(t) pro každé t. Ukažte, že třída M sudých i třída N lichých polynomů tvoří podprostor v C[x], a že C[x] = M N (přímý součet). 5

11. Uvažujme vektorový prostor M 2 (R) čtvercových matic řádu 2 nad R s operací sčítání matic a násobení matice reálným číslem a) Určete dimenzi tohoto prostoru a nalezněte alespoň jednu jeho bázi. Určete složky vektoru ( ) 1 2 2 1 v této bázi. b) Rozhodněte, zda vektory ( ) ( 1 2 2 1, 3 4 4 3 ), ( 2 2 1 1 ), jsou lineárně závislé nebo nezávislé. c) Rozhodněte, zda podmnožina M všech matic typu ( ) a 1, a, b R 1 b tvoří vektorový podprostor M 2 (R). d) Uved te příklad 2-rozměrného podprostoru v M 2 (R). 6