TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU UČEBNÍ TEXT PRO MAA068 VERZE

TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU UČEBNÍ TET PRO MAA068 VERZE 8.7.2003 JAN MALÝ Obsah 1. Poem míry 1 2. Vněší míra 4 3. Ještě o rozšiřování měr 8 4. Lebesgueova míra 9 5. Lebesgue-Stieltesovy míry 11 6. Měřitelná zobrazení a měřitelné funkce 11 7. Abstraktní Lebesgueův integrál 14 8. Záměna limity a integrálu 18 9. Součin měr a Fubiniova věta 19 10. Prostory L p 22 11. Věty o konvergenci 24 12. Znaménkové míry 26 13. erivování a rozklad měr 28 14. Aplikace na distribuční funkce 30 Restřík 33 1. Poem míry 1.1. Množinové funkce. Nechť e abstraktní množina a G 2. Značíme Jakákoli funkce R = [, + ]. τ : G R se nazývá množinová funkce. Množinové funkce se většinou používaí k měření množin. Někdy budeme používat pro množinovou funkci značení (G, τ), abychom současně uvedli i znak pro eí definiční obor. 1.2. Příklad. G může být systém všech obdélníků a τ může přiřadit každému z nich obsah obvod počet vrcholů Užitečnost těchto příkladů pro další rozvo teorie e rozdílná. 1.3. élka intervalu. Nechť a, b R, a b. Množinu I { [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) } nazveme (ednorozměrným) intervalem. Množinový systém všech omezených ednorozměrných intervalů v R značíme I 1. Na I 1 definueme množinovou funkci délka intervalu předpisem (1.1) l 1 (I) = b a, I { [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) } ěkui Prof. r. Luďkovi Zaíčkovi, rsc. za cenné připomínky. ěkui všem studentům, kteří se podíleli na ladění předchozích verzí. 1

1.4. Elementární obem vícerozměrného intervalu. Množinu Q R n nazveme n-rozměrným intervalem, estliže existuí ednorozměrné intervaly I 1,..., I n R tak, že Q = I 1 I n. Množinu všech omezených n-rozměrným intervalů budeme značit I n. Každému n-rozměrnému intervalu Q přiřadíme eho obem předpisem l n (Q) = l 1 (I 1 )... l 1 (I n ), kde l 1 (I) e ako v 1.3. Jedním z prvních cílů teorie míry e naít vhodné rozšíření těchto množinových funkcí. 1.5. Plán. Zatím neumíme ani říci, co e obsah kruhu. Chtěli bychom zavést širokou třídu množin, tzv. měřitelné množiny, a na nich množinovou funkci, tzv. Lebesgueovu míru (pro popis pomů obsah, obem), tak, aby všechny intervaly byly měřitelné a eich míra byla eich elementární obem, ale také aby byly i iné představitelné množiny měřitelné (geometrické obrazce a tělesa), a aby se s třídou měřitelných množin a mírou dobře zacházelo. Přirozené požadavky: Např. sednocení (spočetně mnoha) měřitelných množin e měřitelné Pokud sou množiny disunktní, míra eich sednocení e součet eich měr Požadované vlastnosti shrneme do axiomů. Výběr axiomů e výsledek práce matematiků, kteří zistili, co vše mohou požadovat a vzdali se naopak nesplnitelných požadavků (např. na měřitelnost každé množiny). Konstrukce Lebesgueovy míry není ediná aplikace teorie, naopak, na pomech, které nyní budeme budovat, e postavena např. celá teorie pravděpodobnosti. 1.6. Jordan-Peanův obem. Z historického a didaktického hlediska e důležité rozšíření elementárního obemu na tzv. Jordan-Peanův obem. Tato množinová funkce e používána ke středoškolským definicím obemu. efinice e založena na následuící myšlence, kterou zde pouze naznačíme. Uvažueme v prostoru krychlovou síť, kterou porovnáváme s měřenou množinou. Sečteme-li elementární obemy krychlí, protínaících měřenou množinu, dostaneme horní součet. Sečteme-li elementární obemy krychlí, obsažených v měřené množině, dostaneme dolní součet. Čím emněší e sít, tím přesněi horní a dolní součty aproximuí obem množiny. Pokud při zemňování horní součty a dolní součty spěí ke společné reálné limitě, řekneme, že množina e J.P.-měřitelná a nazveme tuto společnou limitu Jordan-Peanovým (J.P.) obemem měřené množiny. Tímto způsobem lze měřit obem těles a obsah obrazců známých z geometrie. Není těžké zkonstruovat množiny, které nesou J.P. měřitelné. Navíc, konečné sednocení J.P.-měřitelných množin e J.P.-měřitelné, ale spočetné sednocení už nemusí. J.P.-obem tedy není naše cílová meta, budeme směřovat k lepšímu rozšíření elementárního obemu. 1.7. Rozšíření a zúžení množinové funkce. Nechť e abstraktní množina, U, V 2, µ e množinová funkce na U a ν e množinová funkce na V. Říkáme, že ν e rozšíření µ, estliže U V a µ(a) = ν(a) pro každou A U. Naopak, množinovou funkci µ v tomto případě nazýváme zúžením množinové funkce ν z V na U a značíme i ν U. Relace býti rozšíření e uspořádání na třídě všech množinových funkcí na. 1.8. Okruh, σ-algebra,.... Nechť e abstraktní množina. Systém O podmnožin se nazývá okruh, estliže (O-1) O, (O-2) A, B O = A \ B O. (O-3) A, B O = A B O. Z axiomů snadno dostaneme též A, B O = A B O Indukcí dostaneme, že každý okruh e tedy uzavřen na konečná sednocení a konečné průniky A 1,..., A m O = A 1 A m O, A 1 A m O Požadueme-li uzavřenost na spočetná sednocení (a v důsledku na spočetné průniky), dostaneme axiomy σ-okruhu.. Tedy σ-okruh e množinový systém, který splňue (σ-o-1) O, (σ-o-2) A, B O = A \ B O. (σ-o-3) A 1, A 2, O = A O. 2

Algebra e definována ako okruh obsahuící celý prostor. σ-algebra e definována ako σ-okruh obsahuící celý prostor. Je to nedůležitěší množinový systém pro teorii míry. K ověření, že množinový systém S e σ-algebra stačí tyto axiomy (SA-1) S, (SA-2) A S = \ A S, (SA-3) A S, = 1, 2,... = A S. Je-li S σ-algebra na, dvoice (, S) se nazývá měřitelný prostor. Množiny A S se nazývaí S- měřitelné množiny. Nehrozí-li nedorozumění, budeme mluvit krátce o měřitelných množinách. 1.9. Příklady. (a) {, } e σ-algebra. (b) Systém 2 všech podmnožin množiny e σ-algebra. (c) Borelovské množiny na topologickém prostoru tvoří σ-algebru. (d) Lebesgueovsky měřitelné množiny tvoří σ-algebru. (e) J.-P.-měřitelné množiny tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru (f) Systém všech konečných (disunktních) sednocení intervalů tvoří algebru, ne σ-algebru (g) Systém všech konečných (disunktních) sednocení omezených intervalů tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru (h) Systém všech konečných (disunktních) sednocení omezených intervalů tvaru (a, b] tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru. (i) Systém všech spočetných (disunktních) sednocení omezených intervalů netvoří ani okruh. () Systém všech uzavřených (resp. otevřených) podmnožin topologického prostoru netvoří ani okruh (protože není uzavřen na množinový rozdíl). 1.10. Generování množinových systémů. Je-li F libovolný systém podmnožin, potom existue nemenší σ-algebra obsahuící F. Tuto σ-algebru dostaneme ako průnik všech σ-algeber obsahuících F a značíme i σ(f). Podobně můžeme generovat iné množinové systémy, např. okruhy. Okruh z příkladu (g) e generovaný systémem I 1. 1.11. Borelovské množiny. Nechť e topologický prostor a G e systém všech eho otevřených podmnožin. Potom definueme B() ako nemenší σ-algebru obsahuící G (viz. 1.10). σ-algebra B() obsahue kromě otevřených množin též všechny uzavřené množiny. V R sou borelovské všechny intervaly, množina všech racionálních čísel, atd. Příklady neborelovských množin se konstruuí velmi těžko. 1.12. Míra. Nechť (, S) e měřitelný prostor. Množinová funkce µ : S [0, ] se nazývá míra, estliže splňue (Mi-1) µ( ) = 0, (Mi-2) (σ-additivita) estliže A S, = 1, 2,..., sou po dvou disunktní, potom µ( A ) = µ(a ). Troice (, S, µ) se nazývá prostor s mírou. Zdůrazněme, že definice míry zahrnue, že hodnoty sou nezáporné a definiční obor e σ-algebra. 1.13. Příklady měr. (a) iracova míra δ a : e libovolná množina, a, S = 2, { 1, a A, δ a (A) = 0, a / A. (b) Počítací míra e libovolná množina, S = 2. Počítací míra přiřadí každé množině A počet eích prvků. Nekonečným množinám přiřadí prostě, nerozlišue nekonečné mohutnosti. (c) Lebesgueova míra zobecňue poem délky intervalu, obsahu obrazce či obemu tělesa. (d) Hausdorffova míra e druh n-rozměrné míry v R d. Zobecňue poem délky křivky (n = 1), a povrchu zakřivené plochy (n = 2, d = 3). 1.14. Terminologie teorie míry. Míra µ na měřitelném prostoru (, S) se nazývá (a) konečná, estliže µ() <, 3

(b) σ-konečná, estliže existuí 1, 2, S tak, že µ( ) < a =, (c) pravděpodobnostní, estliže µ() = 1, (d) úplná, estliže každá podmnožina množiny míry nula e měřitelná (a tudíž také míry nula). Fráze skoro všude nebo µ-skoro všude se používá ve spoení s vlastností bodů množiny. Řekneme-li, že taková vlastnost platí skoro všude (nebo ve skoro všech bodech), znamená to, že e splněna až na množinu míry nula, neboli, že existue množina N S míry nula tak, že vlastnost e splněna ve všech bodech množiny \ N. Používá se zeména pro rovnost a nerovnosti mezi funkcemi a pro bodovou konvergenci posloupnosti funkcí. 1.15. Trik zdisunktnění. Nechť A 1, A 2, S. Potom existuí po dvou disunktní E 1, E 2, S tak, že A 1 A k = E 1 E k, k = 1, 2,.... Tuto vlastnost maí E 1 = A 1, E 2 = A 2 \ A 1, E 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ).... 1.16. Větička (Vlastnosti míry). Nechť A S. (a) A 1 A 2 = µ(a 1 ) µ(a 2 ). (b) Jestliže A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., potom µ( A ) = lim µ(a ). (c) Jestliže A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., a estliže µ(a 1 ) <, potom µ( A ) = lim µ(a ). ůkaz. (a) e snadné. K důkazu (b) použieme trik zdisunktnění 1.15. (c): Použieme (b) na A 1 \A. 1.17. Příklad. Nechť µ e počítací míra na N a A = {, +1,... }. Potom A, a přesto µ(a ). Je to tím, že v 1.16 (c) není splněn předpoklad o konečnosti µ(a 1 ). 2. Vněší míra V této kapitole uvedeme obecné schéma používané ke konstrukci měr. Motivem sou aplikace na konstrukce měr v analýze, zvláště Lebesgueovy míry, a aplikace v teorii pravděpodobnosti. 2.1. Vněší míra. Vněší mírou na množině rozumíme množinovou funkci γ : 2 [0, ] (tedy definovanou na všech podmnožinách ) splňuící následuící požadavky: (VM-1) γ( ) = 0, (VM-2) A B = γ(a) γ(b), (VM-3) γ( A ) γ(a ) (σ-subadditivita). S vněšími měrami se budeme setkávat především ako s mezistupněm při konstrukci míry. 2.2. Z výchozí množinové funkce k vněší míře. Nechť G 2 a τ : G [0, ] e množinová funkce na splňuící (2.1) G, τ( ) = 0. Podmínce (2.1) budeme říkat počáteční podmínka. Pro A položme τ (A) = inf{ τ(g ) : G G, G A} (uvědomte si, že inf = + ). Každý součet kde τ(g ), G G, G A, nazveme horním součtem k τ (A). Užitečnost konstrukce dokládá následuící věta. 4

2.3. Věta. Nechť G, τ a τ sou ako v 2.2. Potom τ e vněší míra. ůkaz. (VM-1) a (VM-2) sou zřemé. (VM-3): Chceme-li dokázat τ ( A ) τ (A ), zřemě se stačí omezit na případ, kdy na pravé straně máme konečné číslo. Volme ε > 0 a nalezněme G i G, i, = 1, 2,..., tak, aby G i A a τ(g i ) < τ (A ) + 2 ε. Potom Tedy,i=1 i=1 G i A a i=1,i=1 τ(g i ) τ (A ) + ε. τ ( A ) τ (A ) + ε. 2.4. Lebesgueova vněší míra. Nechť (I, l) e množinová funkce elementární obem n-rozměrného intervalu, viz. 1.4. (Index n, označuící dimenzi, budeme často vynechávat.) Vněší míra l se nazývá Lebesgueova vněší míra v R n. Množinová funkce l umí měřit všechny množiny, ale není aditivní. Proto v dalším se budeme snažit z ní vytvořit aditivní funkci (dokonce míru), za což zaplatíme zúžením definičního oboru. Výsledný obor všech měřitelných množin však iž bude dostatečně bohatý pro všechny aplikace. Při vytváření vněší míry se obecně můžeme dočkat nemilého překvapení, např. že výsledná vněší míra přiřadí triviálně každé množině nulu. Následuící větička praví, že rozšíření elementárního obemu bylo úspěšné. 2.5. Větička (Vněší míra intervalu). Je-li Q I, pak l (Q) = l(q). ůkaz. Předpokládeme neprve, že interval Q e kompaktní, t. uzavřený a omezený, a meze sou racionální. Zvolme ε > 0. Nademe posloupnost {G k } intervalů tak, že Q a l(g k ) < l (Q) + ε. k=1 G k k=1 Můžeme předpokládat, že G k sou otevřené a eich meze sou racionální, neboť každý interval G e obsažen v otevřeném intervalu G s racionálními mezemi, ehož obem se od obemu G libovolně málo liší. Potom ovšem z kompaktnosti Q plyne, že existue m přirozené tak, že m Q G k. Máme vyádření kde všechna čísla a i, b i, a i, bi množinu krychlí a pro K Q označme Máme l(q) = k=1 Q = [a 1, b 1 ] [a n, b n ], G k = (a 1 k, b 1 k) (a n k, b n k), k = 1, 2,..., m, sou racionální. Buď q eich nemenší společný menovatel. Uvažume { ( Q = z1 q, z1+1 q β K k = K Q, K Q l(k) K Q ) ( znq, zn+1 ) } q : z Z n { 1, když K G k, 0 inak. m m m βk K l(k) = βk K l(k) = l(g k ). k=1 5 k=1 K Q k=1

Tím e důkaz hotov pro kompaktní interval s racionálními mezemi. V obecném případě dokončíme důkaz tak, že Q budeme aproximovat posloupností kompaktních intervalů s racionálními mezemi zevnitř. 2.6. γ-měřitelné množiny. Nechť γ e abstraktní vněší míra na. Množinu M nazveme γ- měřitelnou (podle Carathéodoryho), estliže pro každou testovací množinu T platí γ(t ) = γ(t M) + γ(t \ M) Systém všech (carathéodoryovsky) měřitelných množin značíme M(γ) a množinovou funkci γ M(γ) značíme γ. K důkazu γ-měřitelnosti množiny M stačí ověřit pouze nerovnost γ(t ) γ(t M) + γ(t \ M), a to eště samozřemě en v případech, kdy γ(t ) < +. 2.7. Věta (Carathéodoryova). Nechť γ e abstraktní vněší míra na. Pak systém M(γ) tvoří σ-algebru a γ e úplná míra. ůkaz. Ihned e vidět, že, M(γ), a estliže M M(γ), potom i \ M M(γ). Buďte A, B M(γ), chceme ukázat, že i A B M(γ). Volme tedy testovací množinu T. Použieme postupně T pro testování měřitelnosti A a T A, T \ A pro testování měřitelnosti B. ostaneme (symbolem M c budeme značit \ M) γ(t ) = γ(t A) + γ(t A c ), takže (použieme také subadditivitu γ) γ(t A) = γ(t A B) + γ(t A B c ), γ(t A c ) = γ(t A c B) + γ(t A c B c ), γ(t ) = γ(t A B) + γ(t A B c ) + γ(t A c B) + γ(t A c B c ) γ(t (A B)) + γ(t (A B) c ). Kombinací operací doplňku a sednocení lze také odvodit měřitelnost rozdílů a konečných sednocení. Měme nyní posloupnost {E } po dvou disunktních γ-měřitelných množin. Indukcí dostaneme z předchozího, že pro každé m = 1, 2,... a pro každou testovací množinu T e m m (2.2) γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) Podrobněi: pro m = 1 e to měřitelnost E 1. Platí-li (2.2) pro m, použieme testovací množinu T \ m E na měřitelnost E m+1 a dostaneme (2.3) γ(t \ m m+1 E ) = γ(t E m+1 ) + γ(t \ E ). Sečtením (2.2) a (2.3) dostaneme (2.2) pro m + 1. Z (2.2) máme hned m γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ) a odtud limitním přechodem pro m (2.4) γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ). Nyní dokážeme, že pro A M(γ) e A M(γ). Vyrobíme po dvou disunktní E z A podle 1.15. Potom E M(γ) podle první části důkazu. Použieme σ-subadditivitu γ na (2.4) a dostaneme γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) γ(t E ) + γ(t \ E ), 6

což dává γ-měřitelnost množiny E = A. Zbývá dokázat, že γ e míra. Víme, že γ( ) = 0. Buď {E } posloupnost po dvou disunktních γ- měřitelných množin. Potom použieme (2.4) na T = (pro ) a σ-subadditivitu γ (pro ) a dostaneme E γ( E ) = γ(e ). Úplnost míry γ e snadná. 2.8. Základní konstrukce. Základní schéma konstrukce míry probíhá ve dvou krocích. Vydeme z nezáporné množinové funkce (G, τ), od které nechceme téměř nic předpokládáme en počáteční podmínku (2.1). V prvním kroku vytvoříme podle 2.2 a 2.3 vněší míru τ, v druhém kroku pak podle 2.6 a 2.7 (úplnou) míru (M(τ ), τ ). Pro výslednou míru zavedeme zkrácené značení (2.5) (G, τ ) := (M(τ ), τ ). Konstrukci obvykle považueme za úspěšnou, estliže (G, τ ) e rozšířením (G, τ). Tento případ nastává při konstrukci Lebesgueovy míry, což záhy uvidíme. 2.9. Lemma (Test měřitelnosti). Nechť (G, τ) e nezáporná množinová funkce na splňuící počáteční podmínku (2.1) a H e libovolná množina. Nechť H splňue podmínku Potom H G. G G : G H G, G \ H G, τ(g) = τ(g H) + τ(g \ H). ůkaz. Nechť T e libovolná testovací množina. Nechť τ(g ) e horní součet k τ (T ). Potom τ(g H) e horní součet k τ (T H) a τ(g \ H) e horní součet k τ (T \ H). Tedy τ (T H) + τ (T \ H) τ(g H) + τ(g \ H) = τ(g ). Přechodem k infimu přes všechny horní součty dostaneme τ (T H) + τ (T \ H) τ (T ). Tedy H e τ -měřitelná množina. 2.10. Měřitelnost intervalů. Každá interval I I v R n e l -měřitelný. ůkaz. Nechť H e poloprostor tvaru {x R n : x i < a}, kde a R. Potom pro každý interval Q I n e Q H I n, Q \ H I n a l(q H) + l(q \ H) = l(q). Tedy H M n podle tvrzení 2.9. Jelikož každý interval lze napsat ako průnik poloprostorů, e každý interval měřitelný. 2.11. Lebesgueova míra v R n. Lebesgueova míra v R n e zúžení Lebesgueovy vněší míry na systém všech lebesgueovsky měřitelných množin, neboli (I, l ). Je to tedy výsledek základní konstrukce z původní množinové funkce (I, l), speciálně, víme, že to e míra, a to úplná. Lebesgueovu míru v R n budeme značit (M n, λ n ). Množiny náležeící M n budeme nazývat lebesgueovsky měřitelné množiny. Index n označuící dimenzi budeme většinou vynechávat. Podle vět 2.5 a 2.10 e Lebesguoeva míra rozšířením množinové funkce (I, l). 7

3. Ještě o rozšiřování měr 3.1. ynkinův systém. Nechť e abstraktní množina. Systém množin 2 se nazývá ynkinův systém, e-li splněno (-1),, (-2) A, B, B A = A \ B. (-3) Jestliže A sou po dvou disunktní, pak A. Každá σ-algebra e ynkinův systém. ůležitost ynkinových systémů spočívá v tom, že sou li µ, ν dvě míry na (, S), µ() = ν() <, potom systém množin {A S : µ(a) = ν(a)} e ynkinův systém (obecně ne σ-algebra: uvažute např. míry A λ({x A : x > 0}) a A λ({x A : x < 0}) na intervalu [ 1, 1]). 3.2. Generování ynkinových systémů. Je-li F libovolný systém podmnožin, potom existue nemenší ynkinův systém obsahuící F. Tento ynkinův systém dostaneme ako průnik všech ynkinových systémů obsahuících F; budeme e značit δ(f). ále budeme značit σ(f) nemenší σ-algebru obsahuící F. 3.3. Věta o ynkinových systémech. Nechť F e systém podmnožin uzavřený na konečné průniky. Potom δ(f) = σ(f). ůkaz. Nechť A σ(f). Označme F A = {B σ(f) : A B δ(f)}. Jestliže A F, pak F A e ynkinův systém obsahuící F, tedy F A δ(f). Nechť nyní A δ(f), potom podle předchozího kroku e F A ynkinův systém a obsahue F. Pak ale podobně ako v předchozím kroku e F A δ(f). okázali sme, že systém δ(f) e uzavřený na průniky. Každý ynkinův systém uzavřený na průniky e však zřemě σ-algebra, tedy δ(f) e σ-algebra obsahuící F. Z minimality obou systémů plyne, že δ(f) = σ(f). 3.4. Věta o ednoznačnosti. Nechť F e systém podmnožin uzavřený na konečné průniky. Nechť µ a ν sou míry na σ(f), které se shoduí na F. Jestliže existuí k F tak, že µ( k ) < a k =, pak µ = ν na σ(f). ůkaz. Pro každé k N e systém množin {A σ(f) : µ(a k ) = ν(a k )} ynkinův systém obsahuící F a δ(f) = σ(f) (rovnost nastává podle věty 3.3). Každou množinu A σ(f) můžeme napsat ako po dvou disunktní sednocení A = A, k N kde A 1 = A 1, A 2 = (A \ 1 ) 2, A 3 = (A \ ( 1 2 )) 3,.... Protože podle výše dokázaného e µ(a ) = ν(a ) pro všechna N, dostáváme µ(a) = ν(a). 3.5. Pramíra. Nechť e abstraktní množina a O 2 e okruh. Množinová funkce π : O [0, ] se nazývá pramíra, estliže splňue (Pr-1) π( ) = 0, (Pr-2) estliže A O, A O, = 1, 2,..., A sou po dvou disunktní a A = A, potom π(a) = π(a ). Požadavek, že hodnoty sou nezáporné a definiční obor e okruh, e součástí definice pramíry. V případě pramíry se může stát, že sednocení po dvou disunktních množin z O neleží v O, což není v rozporu s (Pr-2). Řekneme, že pramíra π na O e σ-konečná, estliže existuí O tak, že π( ) <, = 1, 2,..., a =. 3.6. Hopfova věta. Nechť O e okruh podmnožin a π e pramíra na O. Nechť S 0 e nemenší σ- algebra obsahuící O. Potom existue míra µ 0 na S 0, která rozšiřue π. Jestliže π e σ-konečná, pak e taková míra µ 0 na S 0 určena ednoznačně. 8

ůkaz. Neprve ukážeme, že π e rozšíření π. Zvolme A O. Potom podle tvrzení 2.9 e A M(π ) = O. Potřebueme ukázat, že π(a) = π (A) (= π (A)). Jelikož π(a) e horní součet k π (A), máme π (A) π(a). Nechť A O, = 1, 2,..., A A. Vytvořme z {A } po dvou disunktní systém {E } podle 1.15. Pak podle (Pr-2) π(a) = π(a E ) π(e ) π(a ). Předeme-li na pravé straně k infimu přes všechny horní součty, dostaneme π(a) π (A). Tím sme dokázali, že π e rozšíření π. Míra π S 0 e hledané rozšíření π na S 0. Je-li navíc π σ-konečná, pak z věty 3.4 plyne ednoznačnost takového rozšíření. 3.7. Zúplnění míry. Nechť (, S, µ) e prostor s mírou. Potom existue neužší rozšíření míry (S, µ) na úplnou míru. Výsledná míra se nazývá zúplněním míry µ a značí (S, µ). Konstruue se ako (okažte ako cvičení!) S := {E : E, E S : E E E, µ(e \ E ) = 0}, µ(e) := µ(e ) (= µ(e )). 3.8. Poznámka. Při rozšiřování měr se často kombinue Hopfova věta se zúplněním míry, abychom dostali rozšíření z pramíry na úplnou míru. 4. Lebesgueova míra 4.1. Regulární borelovské míry. Nechť (S, µ) e míra na R n. Řekneme, že µ e regulární borelovská míra, estliže B(R n ) S a každá E S e obsažená v A B(R n ) tak, že µ(a \ E) = 0. Radonova míra na R n e taková regulární borelovská míra na R n, že míra každé kompaktní podmnožiny R n e konečná. 4.2. Lebesgueova míra v R n -opakování. Připomeňme, že Lebesgueova míra v R n e zúžení Lebesgueovy vněší míry na systém všech lebesgueovsky měřitelných množin. Je to tedy výsledek základní konstrukce z původní množinové funkce (I, l), speciálně, víme, že to e míra, a to úplná. Lebesgueovu míru v R n značíme (M n, λ n ). Množiny náležeící M n nazýváme lebesgueovsky měřitelné množiny. Index n označuící dimenzi většinou vynecháváme Podle vět 2.5 a 2.10 e Lebesguoeva míra rozšířením množinové funkce (I, l). σ-algebru borelovských podmnožin R n můžeme (alternativně) definovat ako σ(i). 4.3. Věta (Měřitelnost borelovských množin). Každá borelovská podmnožina R n e lebesgueovsky měřitelná. ůkaz. Podle lemmatu 2.10 e každý interval měřitelný. Jelikož borelovská σ-algebra e generovaná intervaly a M(l ) e σ-algebra, e B(R n ) M(l ). 4.4. Lemma (O vněší míře). Nechť E R n. Potom (a) existue posloupnost {G } otevřených množin tak, že G E a λ(g ) l (E), (b) existue borelovská množina A E tak, že λ(a) = l (E). ůkaz. (a) Můžeme předpokládat, že l (E) <. Pak de vlastně o to dokázat, že ke každému ε > 0 existue otevřená množina G E tak, že λ(g) < l (E) + ε. Zvolme tedy ε > 0 a naděme vhodný horní součet k l (E), tedy posloupnost {Q i } otevřených intervalů tak, že E Q i, l(q i ) < λ(e) + ε. i i Položme G = Q i. i N 9

Potom G e zřemě otevřená nadmnožina E a l (G) i l(q i ) < l (E) + ε. (b) Nechť G sou ako v (a), pak A := G má požadovanou vlastnost a e typu G δ, tedy borelovská. 4.5. Věta (Struktura měřitelných množin). Nechť E M. Potom (a) existue posloupnost {G } otevřených množin tak, že G E a l (G \ E) 0, (b) existue posloupnost {F } uzavřených množin tak, že F E a l (E \ F ) 0, (c) existue posloupnost {K } kompaktních množin tak, že K E a l ( E \ K ) = 0. Naopak, každá množina E R n maící některou z vlastností (a), (b), (c) leží v M. (V první části věty, dokud předpokládáme měřitelnost E, lze nahradit l mírou λ.) ůkaz. (a) Podobně ako v lemmatu 4.4 (a) de o to dokázat, že ke každému ε > 0 existue otevřená množina G E tak, že λ(g \ E) < ε. Pro množiny konečné míry to plyne přímo z lemmatu 4.4 (a). V obecném případě napíšeme množinu E ve tvaru po dvou disunktního sednocení množin z M ako E = E k, kde λ(e k ) <, Pro každé k N nademe podle prvního kroku otevřenou množinu k N G k E k tak, že λ(g k \ E k ) < 2 k ε. Potom pro G = k Gk platí G E a λ(g \ E) < ε. (b) dostaneme z (a) přechodem k doplňkům. (c) Podle (b) existue posloupnost {F k } uzavřených množin tak, že ( F k E a λ E \ ) F k = 0. k Množiny F k [ m, m] n, k, m = 1, 2,..., sou kompaktní a lze e uspořádat do posloupnosti. Pokud E má některou z vlastností (a), (b), (c), pak se liší od borelovské množiny o množinu míry nula. Borelovské množiny sou M-měřitelné podle věty 4.3. Pokud N R n e l -nulová, potom podle lemmatu 4.4 (b) existue borelovská množina A N nulové míry. Jelikož λ e úplná, e N měřitelná množina nulové míry. Tedy také E M. 4.6. ůsledek. Lebesgueova míra e Radonova. ůkaz. Nechť E M. Podle věty 4.5 existue posloupnost {G } otevřených množin tak, že G E a l (G \ E) 0, Potom A := G e borelovská nadmnožina E která se od E liší en o nulovou množinu. Tedy λ e regulární borelovská míra. Každá kompaktní podmnožina R n e omezená a tudíž má zřemě konečnou Lebesgueovu míru. Lebesgueova míra e tedy Radonova. 4.7. Věta ( Jednoznačnost Lebesgueovy míry). Nechť (S, µ) e úplná regulární borelovská míra na R n, která rozšiřue (I, l). Potom (S, µ) = (M, λ). ůkaz. Podle věty o ednoznačnosti 3.4 e µ = λ na B(R n ). Borelovská regularita a úplnost znamenaí, že obě míry sou právě zúplněním své restrikce na B(R n ). Jelikož zúplnění e ednoznačné, e S = M a µ = λ. 4.8. Lebesgueovsky neměřitelné množiny. Ačkoli Lebesgueova míra e definována ako neužší, e dostatečně široká. Existuí sice Lebesgueovsky neměřitelné množiny, ale důkaz eich existence není konstruktivní. Filosoficky vzato, z hlediska výpočtů v aplikacích nemůže mít vliv na výsledek, zda neměřitelné množiny existuí nebo ne. Vynechat důkaz měřitelnosti množiny, e-li eí měřitelnost požadována, e však hrubou matematickou chybou. 10

5. Lebesgue-Stieltesovy míry 5.1. Neklesaící funkce. Nechť F : R R e neklesaící funkce. Potom F má v každém bodě x R ednostranné limity F (x+) := lim F (y), F (x ) := lim F (y) y x+ y x a v nevlastních bodech ednostranné limity F ( +) := lim F (y), F (+ ) := lim F (y) y + y 5.2. Lebesgue-Stieltesova míra. Radonova míra µ na (R, S) se nazývá Lebesgue-Stieltesova míra. Řekneme, že Lebesgue-Stieltesova míra µ e indukovaná neklesaící zprava spoitou funkcí F, (značíme µ = µ F ), estliže (5.1) < a < b < = F (b) F (a) = µ ( (a, b] ). 5.3. Příklady. Lebesgueova míra e indukovaná identickou funkcí x x. iracova míra v nule e indukovaná funkcí χ [0,. 5.4. Z funkce uděláme míru. Nechť F : R R e neklesaící zprava spoitá funkce. Potom existue právě edna úplná Lebesgue-Stieltesova míra µ na R tak, že platí (5.1). Přitom µ(r) = F (+ ) F ( +). ůkaz. Nechť I + e systém všech omezených intervalů typu (a, b] v R. Na I + uvažueme množinovou funkci m : (a, b] F (b) F (a) a aplikueme základní konstrukci 2.8. Podobně ako u konstrukce Lebesgueovy míry ukážeme, že µ e rozšíření m, které ednoznačně určeno vlastností (5.1). ruhá možnost e užít Hopfovu větu a zúplnění, v tom případě e třeba znát, že množina všech disunktních konečných sednocení intervalů z I + tvoří okruh. V každém případě se důkaz věty redukue na následuící tvrzení: Nechť (a, b] (a, b ]. Potom (5.2) F (b) F (a) (F (b ) F (a )) ůkaz (5.2) provedeme takto: Nechť ξ (F (a), F (b)]. Nademe nemenší c (a, b] tak, že F (c) ξ. Takové c existue, protože F e zprava spoitá. Nademe tak, že c (a, b ]. Potom a < c, tedy z minimality c plyne F (a ) < ξ. Na druhé straně, F (b ) F (c) ξ, takže ξ (F (a ), F (b )] okázali sme (F (a), F (b)] (F (a ), F (b )], tedy (5.2) platí podle větičky 2.5. 5.5. K míře nademe funkci. Nechť µ e Lebesgue-Stieltesova míra na R. Potom existue zprava spoitá neklesaící funkce F tak, že platí (5.3) < a < b < = µ ( (a, b] ) = F (b) F (a). Jsou-li F 1, F 2 zprava spoité neklesaící funkce splňuící (5.3), potom F 1 a F 2 se liší o konstantu. ůkaz. Zvolíme F (0) a další funkční hodnoty dopočítáme z (5.3), kde volíme (a, b] = (0, x] pro x > 0, (a, b] = (x, 0] pro x < 0. 6. Měřitelná zobrazení a měřitelné funkce 6.1. Měřitelné zobrazení. Nechť (, S), (Y, T ) sou měřitelné prostory a S. Řekneme, že F : Y e měřitelné zobrazení, přesněi, měřitelné zobrazení (, S) (Y, T ), estliže pro každou E T e f 1 (E) S. 6.2. Větička (Skládání měřitelných zobrazení). Nechť (, S), (Y, T ), (Z, U) sou měřitelné prostory, f e měřitelné zobrazení (, S) (Y, T ) a g e měřitelné zobrazení (Y, T ) (Z, U). Potom g f e měřitelné zobrazení (, S) (Z, U). ůkaz. ůkaz e zřemý. 11

6.3. Větička (Měřitelnost-postačuící podmínka). Nechť (, S), (Y, T ) sou měřitelné prostory, S. Nechť G 2 Y, T = σ(g). Potom F : Y e měřitelné zobrazení, právě když pro každou E G e f 1 (E) S. ůkaz. Systém množin F := {M Y : {f M} S} e zřemě σ-algebra obsahuící všechny množiny z G. Jelikož T e nemenší σ-algebra s takovou vlastností, e nutně T F. 6.4. Značení. Je-li abstraktní množina a A, značíme χ A charakteristickou funkci množiny A, neboli { 1, x A, χ A (x) = 0, x / A. Symbol může být užit pro +. Na R zavádíme algebraické operace a nerovnosti přirozeným způsobem. Součet a + b má smysl pokud a R nebo b R nebo a a b sou nekonečna steného znaménka. Součet + ( ) smysl nemá. Součin ab má smysl vždy (důležité!!), ve sporném případě zavádíme (6.1) 0 ± = 0. Podíl a/b má smysl s výimkou případů a/0 a a ± / ±. Na R definueme borelovskou σ-algebru B(R) ako σ-algebru generovanou systémem všech intervalů v R. Je-li f : R funkce, definueme f + = max{f, 0}, f = max{ f, 0}. (Maximum či minimum dvou funkcí se definue bod po bodu.) Tedy Je-li f funkce na a M R, značíme f = f + f, f = f + + f. {f M} = {x : f(x) M}, podobně zavádíme značení ako {f > a}, {f = a}. Symbolem ϕ f značíme složenou funkci x ϕ(f(x)). Značení f 1 používáme pro inverzní funkci k f. V celé kapitole (s výimkou zavedení ednoduchých funkcí) budeme uvažovat měřitelný prostor (, S). 6.5. Měřitelné funkce. Měřitelná zobrazení (, S) (R, B(R) se nazývaí S-měřitelné funkce. Bude-li z kontextu asné, v aké σ-algebře pracueme, budeme mluvit prostě o měřitelných funkcích. Bez úmy na obecnosti se můžeme omezit na studium měřitelných funkcí na celém prostoru. Pokud totiž S, potom {A : A S} e σ-algebra podmnožin. 6.6. Poznámka. Nečastěi se zabýváme měřitelnými funkcemi reálné proměnné, to sou měřitelná zobrazení (R, M) (R, B(R). Všimněte si a zapamatute, že pro proměnnou a funkční hodnoty používáme různé σ-algebry. To má za následek, že složení dvou měřitelných funkcí reálné proměnné nemusí být měřitelná funkce. Měřitelná zobrazení (R, M) (R, M) nemaí valný praktický význam. 6.7. Pozorování. Nechť, S. (a) Je-li f měřitelná na a 1, pak f e měřitelná na 1. (b) Je-li funkce f : R S-měřitelná na 1 a 2 a = 1 2, pak f e měřitelná na. 6.8. Ověřování měřitelnosti. Uvažume S a funkci f : R. Předpokládeme, že víme např., že ( ) Pro všechna q Q e {f > q} S. Ukážeme, že ( ) stačí k ověření měřitelnosti funkce f. 1. Nechť a <, naděme racionální čísla q a. Pak {f > a} = 2. Nechť a >, naděme racionální čísla r a. Pak {f > q }. {f a} = {f > r }. 3. Nechť b R, pak {f b} = \ {f > b}, {f < b} = \ {f b}. 12

4. Nechť a, b R, a b. Potom {f [a, b]} = {f a} {f b} a podobně pro ostatní typy intervalů. Jelikož I generue B(R), e f měřitelná podle větičky 6.3. 6.9. Měřitelnost složené funkce. Nechť f e měřitelná funkce na S a ϕ e spoitá funkce na otevřené nebo uzavřené množině G R. Potom množina := {f G} e měřitelná a složená funkce ϕ f e měřitelná na. ůkaz. Každá uzavřená nebo otevřená množina e borelovská a každá spoitá funkce e borelovsky měřitelná, stačí tedy použít větu 6.2. 6.10. Varování. Budeme-li skládat spoitou a měřitelnou funkci v opačném pořadí, výsledek nemusí být měřitelný. Také není obecně pravda, že inverzní funkce k měřitelné funkci by byla měřitelná funkce. 6.11. Operace s měřitelnými funkcemi. Nechť funkce f, f sou měřitelné funkce na S. Pak platí následuící: (a) Funkce f, f +, f, f 2 sou měřitelné na, 1/f e měřitelná na {f 0}. (b) Funkce f 1 + f 2, f 1 f 2, f 1 f 2, f 1 /f 2 sou měřitelné vždy na množině, kde učiněná operace dává smysl podle 6.4. (c) Funkce sup f, inf f, lim sup f, lim inf f sou měřitelné na. (d) Množina všech bodů, kde existue lim f e měřitelná a lim f e měřitelná na. ůkaz. (a) e důsledek věty 6.9. (b): Je výhodné odpreparovat diskusí množiny, kde edna z funkcí nebo obě nabývaí nevlastních hodnot a zaměřit se na množinu {f 1 R} {f 2 R}. Máme {f 1 + f 2 > a} = {f 1 > p} {f 2 > q}. ále Ostatní e snadné. (c): Je f 1 f 2 = 1 4 p,q Q p+q>a ( (f 1 + f 2 ) 2 (f 1 f 2 ) 2). {sup f > a} = {f > a} a odtud odvodíme i zbytek. (d) Máme {lim f existue} = {lim sup f = lim inf f } ( = \ {lim inf p Q f < p < lim sup f } 6.12. Jednoduché funkce. Funkci f na S nazveme S-ednoduchou, estliže f e lineární kombinace charakteristických funkcí množin z S, t. existuí-li množiny A S a α R, = 1,..., m, tak, že m f = α χ A. Pokud bude asné, akou σ-algebru máme na mysli, budeme mluvit prostě o ednoduchých funkcích. 6.13. Aproximace ednoduchými funkcemi. Nechť (, S) e měřitelný prostor. Nechť f e nezáporná měřitelná funkce na S. Potom existuí nezáporné ednoduché funkce f k f. Navíc, f lze vyádřit ve tvaru (6.2) f = 2 χ E, kde E S. = 13 ).

ůkaz. Položme P = i { [i2, (i + 1)2 ) : i e liché celé}. Potom kde f = = 2 χ E, E := {f P }. Jelikož P sou borelovské, {f P } sou měřitelné. Jedná se vlastně o dyadickou expanzi f(x); x E právě když f(x) má na -tém místě v dyadickém rozvoi edničku. Jednoduché funkce f k můžeme definovat vzorcem k f k = 2 χ E. = k 7. Abstraktní Lebesgueův integrál Nechť (, S, µ) e prostor s mírou. V této kapitole zavedeme abstraktní Lebesgueův integrál z µ- měřitelné funkce. Lebesgueovo poetí nabízí alternativní cestu k definici integrálu přes interval, takto vybudovaný integrál dává použitelněší teorii než integrál Newtonův nebo Riemannův. Značně široká třída integrovatelných funkcí e en ednou z mnoha výhod. V moderní matematické literatuře se integrálem bez přívlastku rozumí vždy integrál Lebesgueův. Význam Newtonova a Riemannova integrálu zůstává ve sféře didaktiky. Při Lebesguovském integrování se však nemusíme omezovat na funkce reálné proměnné. Obecné poetí abstraktního Lebesgueova integrálu na libovolném prostoru s mírou má mnoho aplikací v analýze, teorii pravděpodobnosti a v matematice vůbec, v této obecnosti Riemannova i Newtonova metoda nenabízeí ani částečné řešení problému. 7.1. ělení. Konečný soubor množin {A 1,..., A m } S nazveme dělením množiny S, estliže množiny A sou po dvou disunktní a m A =. 7.2. Charakteristika ednoduchých funkcí. Nechť f e nezáporná měřitelná funkce na. Pak e ekvivalentní (i) f e ednoduchá, (ii) f nabývá en konečně mnoha hodnot, (iii) existue dělení {A } m množiny a nezáporná čísla α, = 1,..., m tak, že f = α χ A. ůkaz. Implikace (i) = (ii) a (iii) = (i) sou zřemé. Pro (ii) = (iii), nechť α 1,..., α m sou hodnoty, kterých nabývá funkce f a položme A = {f = α }. 7.3. Konstrukce integrálu. Nechť f e měřitelná funkce na S (s hodnotami v R). Integrál f dµ vybudueme ve třech krocích. 1. Je-li f nezáporná měřitelná funkce, definueme { m f dµ = sup α µ(a ) : {A } e dělení, (7.1) } 0 α f na A, = 1,..., m. Součty vyskytuící se v (7.1) nazýváme dolními součty k funkci f. Integrál z nezáporné měřitelné funkce e definován vždy, může ovšem nabývat nekonečné hodnoty. 14

2. V obecném případě, kdy f e měřitelná funkce na, definueme (7.2) f dµ = f + dµ f dµ, pokud rozdíl v (7.2) má smysl. Pokud f + dµ = f dµ =, zůstává integrál funkce f nedefinován. 3. Je-li f měřitelná (přesně: S-měřitelná) funkce na a µ( \ ) = 0, e účelné definovat f dµ = f dµ. Smysl takového integrálu a výsledek samozřemě v tom případě nezávisí na volbě. V některých případech e účelné používat podrobněší zápis f(x) dµ(x) pro f dµ. Je-li integrál f dµ definován, říkáme též, že má smysl, nebo že funkce f má integrál. Je-li navíc tento integrál konečné číslo, říkáme, že f dµ konvergue nebo že f e integrovatelná. 7.4. µ-měřitelné funkce. Je-li f měřitelná (přesně: S-měřitelná) funkce na a µ( \ ) = 0 (to e situace, která se naskytla v třetím kroku definice integrálu), nazveme funkci f µ-měřitelnou na. V dalším budeme ako měřitelnou označovat každou funkci na S která e µ-měřitelná. V kontextu integrálu podle Lebesgueovy míry bude měřitelná funkce znamenat λ-měřitelnou funkci. 7.5. Různé vlastnosti Lebesgueova integrálu. Nechť S a f, g sou měřitelné funkce na. (a) Je-li f 0, 1, 2 S a 1 2, pak f dµ f dµ. 1 2 (b) Jestliže 1, 2 S, 1 2 = a 1 2 =, pak f dµ = f dµ + f dµ. 1 2 (c) Je-li f dµ <, pak f < skoro všude. (d) Je-li f dµ = 0, pak f = 0 skoro všude. (e) (monotonie) Jestliže f, g maí integrál a f g skoro všude, pak f dµ g dµ. (f) Je-li g dµ < a f g skoro všude, pak f e integrovatelná. ůkaz. (a), (b), (c) sou snadné. (d): Jestliže množiny E := { f > 2 } maí míru nula, pak f = 0 skoro všude. Pokud edna z nich má kladnou míru, pak 2 µ(e ) e dolní součet k f a tudíž integrál f e kladný. (e): Tvrzení e snadné, pokud 0 f g na. V obecném případě se důkaz provede rozdělením na množiny {f 0 g}, {f g < 0}, {0 < f g}, {g < f} a diskusí. (f) plyne z (e) a definice integrálu. 7.6. Lemma o monotonii. Nechť S. Nechť {A } n, {B i} m i=1 α 1,..., α n. β 1,..., β m sou nezáporná reálná čísla. Jestliže potom (7.3) m β i χ Bi α χ A, i=1 m β i µ(b i ) α µ(a ). i=1 sou dělení a 15

ůkaz. Je-li A B i, potom z předpokladů plyne β i α a tudíž (7.4) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). Pokud A B i =, pak µ(a B i ) = 0 a zase dostáváme (7.4). Sečtením přes i, a záměnou pořadí sumace dostáváme m m (7.5) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). Jelikož z (7.5) dostáváme (7.4). i=1 i=1 m µ(a B i ) = µ(b i ), µ(a B i ) = µ(a ), i=1 7.7. Integrál ednoduché funkce. Nechť S. Nechť {A } n e dělení a α 1,..., α n sou nezáporná reálná čísla. Potom ( n ) α χ A dµ = α µ(a ). ůkaz. Označme f = α χ A. Je-li m β i µ(b i ) i=1 dolní součet k f, podle lemmatu 7.6 dostáváme m β i µ(b i ) i=1 α µ(a ) a přechod k supremu přes všechny dolní součty dává f dµ α µ(a ). Jelikož α µ(a ) e též dolní součet k f, máme i obrácenou nerovnost. 7.8. ůsledek. Je-li f nezáporná měřitelná funkce na S, potom { } f dµ = sup s dµ : 0 s f, s e ednoduchá. 7.9. Leviho věta. Nechť {f } e posloupnost měřitelných funkcí na S, 0 f 1 f 2..., a f = lim f. Potom (7.6) f dµ = lim f dµ. ůkaz. Nechť e dolní součet k f. Označme zvolme τ > 1 a položme α µ(a ) s = α χ A, E k = {τf k s}. 16

Snadno ověříme, že k E k =. Podle 1.16 (b), µ(a ) = lim k µ(a E k ), tedy (záměna limity a konečné sumy není žádný problém) (7.7) Každý součet α µ(a ) = lim k n α µ(a E k ) α µ(a E k ). e dolní součet k τf k, tedy limitu na pravé straně (7.7) můžeme shora odhadnout limitou lim τf k dµ. k Tedy (vytknutí konstanty před integrál není problém, srov. 7.11(b)) α µ(a ) lim τ f k dµ. k Přechodem k supremu přes všechny dolní součty k f dostáváme f dµ τ lim f k dµ k a přechodem pro τ 1 máme f dµ lim k Opačná nerovnost e zřemá. f k dµ. 7.10. Spoitá závislost na integračním oboru. Nechť, E k S, E 1 E 2..., k E k =. Nechť f e nezáporná měřitelná funkce na. Potom f dµ = lim f dµ. k E k ůkaz. Stačí aplikovat Leviho větu na f k = fχ Ek. 7.11. Linearita integrálu. (a) Nechť f, g sou měřitelné funkce na S. Potom (f + g) dµ = f dµ + g dµ, má-li pravá strana smysl. (b) Nechť f e měřitelná funkce na S a γ R. Pokud f má integrál, pak γf dµ = γ f dµ. ůkaz. Tvrzení (b) e zřemé. (a): Neprve předpokládeme, že funkce f a g sou nezáporné a ednoduché. Podle věty 7.2 nademe vyádření m f = α χ A, g = β i χ Bi, kde {A } n, {B i} m i=1 sou dělení a α 1,..., α n, β 1,..., β m sou nezáporná reálná čísla. Potom také {A B i : i = 1,..., m, = 1,..., n} e dělení a f + g = m i=1 i=1 (α + β i )χ A B i. 17

Podle věty 7.7 a Máme (f + g) dµ = (f + g) dµ = = = m i=1 i=1 f dµ = g dµ = m α µ(a ), m β i µ(b i ) i=1 i=1 (α + β i )µ(a B i ). (α + β i )µ(a B i ) m m α µ(a B i ) + β i µ(a B i ) i=1 m α µ(a ) + β i µ(b i ). Tím e důkaz proveden pro ednoduché funkce. Nechť f a g sou nezáporné měřitelné funkce. Podle věty 6.13 existuí nezáporné ednoduché funkce f f, g g. Pak také (f + g ) (f + g). Podle předchozí části důkazu (f + g ) µ = f µ + g µ a na obou stranách rovnosti použieme Leviho větu k limitnímu přechodu. To nám dá důkaz pro nezáporné měřitelné funkce. V případě, že f a g sou integrovatelné funkce na, buď i=1 = { f + g < }. Potom S, a µ( \ ) = 0. Na platí Podle předchozího kroku máme (f + g) + dµ + = = Vhodným přeskupením sčítanců dostaneme (f + g) + dµ (f + g) dµ = což e dokazovaný vzorec. Vzorec (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. f dµ + g dµ = [(f + g) + + f + g ] dµ [(f + g) + f + + g + ] dµ (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, 8. Záměna limity a integrálu lim f = lim platí pro Lebesgueův integrál za značně obecných předpokladů. Na druhé straně e snadné sestroit protipříklady (např. pro klasický Lebesgueův integrál f (x) = 2 e x, = (0, )), a tudíž e zapotřebí tyto předpoklady hlídat. V dalším budeme uvažovat prostor s mírou (, S, µ). 18 f

8.1. Fatouovo lemma. Nechť S a {f } e posloupnost nezáporných měřitelných funkcí na. Potom (8.1) lim inf f dµ lim inf f dµ. ůkaz. Pro k = 1, 2,... máme inf f dµ inf k i k f i dµ Limitní přechod pro k s použitím Leviho věty na posloupnost {inf k f } k dává (8.1). 8.2. Lebesgueova věta. Nechť S a f, f, = 1, 2,..., sou měřitelné funkce na. Nechť posloupnost {f } konvergue skoro všude k f. Nechť existue integrovatelná funkce g (takzvaná maoranta) tak, že (8.2) f (x) g(x), = 1, 2,..., x. Potom (8.3) f = lim ůkaz. Můžeme předpokládat, že uvažované funkce sou konečné a konvergence nastává všude, inak bychom z odstranili množinu míry nula. Použieme additivitu integrálu a Fatouovo lemma na funkce g + f, g f. ostaneme což e (8.3). f lim inf f. f lim sup f f, Z vět pro záměnu řady a integrálu uvedeme větu Leviho typu, další až v letním semestru. 8.3. Leviho věta pro řady. Nechť S a g, = 1, 2,..., sou nezáporné měřitelné funkce na. Potom (8.4) g dµ = g dµ. ůkaz. Stačí použít Leviho větu 7.9 na částečné součty. 9. Součin měr a Fubiniova věta 9.1. Součin měr. Nechť (, S, µ), a (Y, T, ν) sou prostory s mírou. Nechť míry µ, ν sou σ-konečné. Uvažume systém S T všech podmnožin Y tvaru A B, kde A S, B T. Takovým množinám budeme říkat měřitelné obdélníky. Na S T definueme množinovou funkci µ ν předpisem µ ν (A B) = µ(a) ν(b). Systém množin S T generue tzv. součinovou σ-algebru S T := σ(s T ). V dalším (věta 9.4) uvidíme, že existue právě edna míra ρ na S T tak, že ρ(a B) = µ(a) ν(b), A S, B T. Tuto míru budeme nazývat součin měr µ a ν a značit µ ν. Jeí zúplnění budeme nazývat úplný součin měr a značit (S T, µ ν). Našim cílem e tedy rozšířit množinovou funkci (S T, µ ν) na míru a za tímto účelem aplikueme základní konstrukci. 9.2. Lemma (Měřitelnost měřitelných obdélníků). Nechť (, S, µ), a (Y, T, ν) sou prostory s mírou. Potom každý měřitelný obdélník e (µ ν) -měřitelný. ůkaz. Uvažume množinu E S. Chceme dokázat (µ ν) -měřitelnost množiny E Y. Buď A B S T měřitelný obdélník. Potom a (A B) (E Y ) = (A E) B S T, (A B) \ (E Y ) = (A \ E) B S T (µ ν)((a B) (E Y )) + (µ ν)((a B) \ (E Y )) = (µ ν)(a B). 19

Tedy E Y e (µ ν) -měřitelná podle tvrzení 2.9. Podobně bychom dostali měřitelnost F pro každou F T. Tedy E F = (E Y ) ( F ) M((µ ν) ). 9.3. Lemma (Vněší míra měřitelného obdélníku). Je-li A S a B T, pak (µ ν) (A B) = µ ν (A B). ůkaz. Nechť µ ν (A B ) e horní součet k (µ ν) (A B). Potom pro každý bod x e ν(b)χ A (x) ν(b )χ A (x). Podle věty 8.3 e (µ ν)(a B) = ν(b)χ A dµ ν(b )χ A dµ = ν(b )χ A dµ = (µ ν)(a B ). 9.4. Věta (Existence součinu měr). Nechť (, S, µ), a (Y, T, ν) sou prostory s mírou. Nechť míry µ, ν sou σ-konečné. Potom existue právě edna míra ρ na S T tak, že ρ(a B) = µ(a) ν(b), A S, B T. ůkaz. Jelikož systém množin S T e uzavřený na konečné průniky, a podle předpokladů můžeme napsat Y ako Y = ( Y ), S, Y T, µ ν( Y ) <, podle věty 3.4 existue nevýše edno rozšíření množinové funkce µ ν na míru na S T. Existenci aspoň ednoho rozšíření nám dávaí lemmata 9.2 a 9.3, hledaným rozšířením e míra M (µ ν) (M), M S T. 9.5. Poznámky. Podobnou metodou ako v důkazu věty 4.5 bychom mohli dokázat, že U = (S T ) a tedy úplný součin měr µ a ν není nic iného než (µ ν). Z důkazů lemmat 9.2, 9.3 vidíme, že rozšíření µ ν na (úplnou) míru můžeme provést bez omezuících předpokladů, avšak pokud míry µ a ν nesou σ-konečné, mohli bychom ztratit ednoznačnost rozšíření. 9.6. Řezy. Nechť M Y. Značíme Tyto množiny se nazývaí řezy. M x, = {y Y : (x, y) M}, x, M,y = {x : (x, y) M}, y Y. 9.7. Lemma (Výpočet součinové míry množiny). Nechť (, S, µ) a (Y, T, ν) sou prostory s mírou. Nechť míry µ a ν sou σ-konečné. Buď (R, ρ) součin měr µ a ν. Nechť M e ρ-měřitelná množina. Potom pro každé x e množina M x, ν-měřitelná, funkce x ν(m x, ) e měřitelná a ρ(m) = ν(m x, ) dµ. 20

ůkaz. Systém všech množin M, pro které platí výroky o měřitelnosti, e ynkinův systém obsahuící všechny měřitelné obdélníky, a systém všech měřitelných obdélníků e uzavřený na konečné průniky. Tudíž podle věty 3.3 tvrzení o měřitelnosti platí pro každou ρ-měřitelnou množinu a můžeme definovat míru ρ na S T předpisem ρ(m) = ν(m x, ) dµ. Podle tvzení o ednoznačnosti z věty 9.4 e ovšem ρ = ρ. 9.8. Fubiniova věta. Nechť (, S, µ) a (Y, T, ν) sou prostory s mírou. Nechť míry µ a ν sou úplné a σ-konečné. Buď (R, ρ) součin měr µ a ν a (R, ρ) eich úplný součin. Nechť f e ρ-měřitelná funkce na ρ-měřitelné množině M Y. Předpokládeme, že integrál f(x, y) dρ(x, y) má smysl. Potom pro µ-skoro všechna x má smysl integrál g(x) := f(x, y) dν(y), M x, funkce g má integrál g dµ M a ( ) (9.1) f(x, y) dρ(x, y) = g dµ = f(x, y) dν(y) dµ(x). M M x, ůkaz. 1. krok. Podle věty 9.7 tvrzení platí pro f = χ A, kde A leží v σ-algebře R. 2. krok. Je-li N (µ ν) -nulová, pak existue E R tak, že E N a ρ(e) = 0. Z platnosti tvrzení pro χ E snadno odvodíme platnost tvrzení pro χ N. 3. krok. Obecnou množinu M R můžeme napsat ve tvaru disunktního sednocení M = A N, kde A R a N e (µ ν) -nulová. ůkaz tvrzení pro f = χ M dostaneme z prvního a druhého kroku. 4. krok. Víme-li, že tvrzení platí pro charakteristické funkce množin z R, rutinním postupem přes ednoduché funkce a nezáporné měřitelné funkce odvodíme obecný případ. 9.9. Poznámka. Role prostorů a Y ve Fubiniově větě e symetrická. Proto také platí Fubiniova věta ve tvaru ( ) (9.2) f(x, y) dρ(x, y) = M Y f(x, y) dµ(x) M y, dν(y) a e-li splněn předpoklad existence integrálu M f(x, y) dρ(x, y), můžeme ospravedlnit záměnu pořadí integrace ( ) ( ) f(x, y) dν(y) dµ(x) = f(x, y) dµ(x) dν(y) M x, Y M y, 9.10. Součiny konečně mnoha měr. Zcela steně bychom vynásobili konečně mnoho prostorů s měrami ( i, S i, µ i ), i = 1, 2,..., n, pouze výklad by byl měně přehledný pro velké množství indexů. Také můžeme převést úlohu na předchozí rekurentním násobením, např. µ 1 µ n = ( µ 1 µ n 1 ) µn. 9.11. Příklad (Rataovy dlaždičky). Rozdělme R 2 na čtverce Q i = [i, i + 1) [, + 1). Nechť funkce f : R 2 R e definována předpisem 1, x Q i,, 0 < = i + 1, f(x, y) = 1, x Q i,, 0 < i = + 1, 0 inak. Pak ( ) f(x, y) dy dx = 1 1 = 21 ( ) f(x, y) dx dy.

10. Prostory L p 10.1. Norma. Připomeňme, že norma e nezáporná konečná funkce : u u na lineárním prostoru, které splňue axiomy (N-1) u = 0 u = 0, u, (N-2) λu = λ u, u, λ R, (N-3) u + v u + v u, v (troúhelníhová nerovnost). (zde se budeme zabývat e reálnými lineárními prostory, v komplexním lineárním prostoru by λ muselo probíhat C). Každů normovaný prostor (t. lineární prostor vybavený normou) se považue za metrický prostor se vzdáleností x, y x y. 10.2. L p -normy. Nechť (, S, µ) e prostor s mírou. Je-li u µ-měřitelná funkce na a 1 p < e reálný exponent, definueme ( 1/p. u p := u dµ) p ále definueme { } u := inf C 0 : u C skoro všude. Uvidíme, že funkce p, p splňuí vlastnosti normy až na ednu: u = 0 znamená, že u = 0 skoro všude, což nemusí implikovat u = 0 (t. úplně všude). Nechť p [1, + ]. Zaveďme dočasně prostor L p () všech µ-měřitelných funkcí u na, přo něž u p <. Na L p () uvažume ekvivalenci u v estliže u = v skoro všude. Abychom vyhověli všem axiomům normovaného lineárního prostoru, měli bychom definovat prostor L p () = L p (, S, µ) ako faktorprostor L p () = L p ()/ Faktorizace e edna ze základních operací obecné teorie množin. Znamená to, že prvky prostoru L p () sou třídy navzáem ekvivalentních prvků. Je-li u L p (), označme [u] = {v L p () : v u}, potom L p () = {[u] : u L p ()}. Na prostorech L p e zapotřebí zavést algebraické operace, uspořádaní a normu, neboli např. [u] + [v] := [u + v], [u] p := u p a [u] [v], když existuí ũ [u] a ṽ [v] tak, že ũ ṽ V matematické literatuře se tento formalismus nepoužívá a dává se přednost méně přesnému, ale přehledněšímu vyadřování. Toho se budeme držet i my. Namísto dvou prostorů L p a L p budeme používat en eden prostor značený L p, ehož prvky budou funkce. Budeme mluvit o L p -normě funkcí, i když to norma není. ůležité e, že víme, ak to spravit, pokud bychom se chtěli odvolávat na obecnou teorii normovaných prostorů. L p -norma splňue všechny axiomy normy až na výše zmíněnou konvenci. Ověření e triviální s výimkou troúhelníkové nerovnosti pro 1 < p < +. Tuto dokážeme níže pod názvem Minkowského nerovnost. 10.3. Youngova nerovnost. Jsou-li a, b 0, p, q (1, ), pq = p + q, pak ab ap p + bq q. ůkaz. Pro a = 0 nebo b = 0 e důkaz triviální. Jinak z konkavity logaritmu dostáváme, že ln( ap p + bq q ) 1 p ln(ap ) + 1 q ln(bq ) = ln(ab). 10.4. Hölderova nerovnost. Jsou-li u, v µ-měřitelné funkce na, p, q (1, ), pq = p + q, pak uv 1 u p v q. Rovnost nastává, právě když existuí a, b [0, ) (aspoň edno z nich nenulové) tak, že a u p = b v q skoro všude. 22

ůkaz. Označme s = u p, t = v q. Můžeme předpokládat, že funkce u, v sou nezáporné a že 0 < s <, 0 < t <. Potom pro skoro každé x máme z Youngovy nerovnosti u(x) s v(x) t u(x)p ps p + v(x)q qt q. Zintegrováním podle x dostaneme 1 uv dµ 1 st p + 1 q = 1. Tvrzení o rovnosti dostaneme analýzou důkazu. 10.5. Minkowského nerovnost. Jsou-li u, v měřitelné funkce na, p (1, ), pak u + v p u p + v p. ůkaz. Můžeme předpokládat, že 0 < u p <, 0 < v p <. Pro skoro každé x máme ( u(x) u(x) p + v(x) p) 1/p, ( v(x) u(x) p + v(x) p) 1/p, tedy po sečtení a umocnění na p u(x) + v(x) p ( u(x) + v(x) ) p 2 p ( u(x) p + v(x) p ), takže u + v p <. S pomocí Hölderovy nerovnosti, kde definueme q = p p 1, dostaneme u + v p dµ u + v p 1 u dµ + u + v p 1 v dµ ( ) 1/q ( ) 1/p (10.1) u + v p dµ u p dµ ( ) 1/q ( 1/p. + u + v p dµ v dµ) p Jelikož ( 0 < u + v p dµ) 1/q <, můžeme tímto výrazem vydělit obě strany nerovnosti (10.1) a dostaneme požadovaný výsledek. 10.6. Úplnost prostorů L p. Nechť {f } e posloupnost prvků L p (), cauchyovská v normě... p. Pak existue f L p () tak, že f f p 0. ále existue posloupnost {g } vybraná z {f } tak, že g f µ-skoro všude. ůkaz. ůkaz provedeme pro p < ; případ p = e odlišný a snadněší. Jelikož {f } e cauchyovská posloupnost, lze z ní vybrat posloupnost g tak, že pro všechna = 1, 2,... platí (10.2) g +1 g < 2. Položme h k = g 1 + g 2 g 1 + + g k g k 1, h = lim k h k Z troúhelníkové nerovnosti pro L p -normu a (10.2) dostaneme k 1 h k p g 1 p + g +1 g p g 1 p + 1. Podle Leviho věty 7.9 a předchozího odhadu e h p dµ = lim h p k dµ = lim k k 23 h k p p ( g 1 p + 1) p

Funkce h p e tedy integrovatelná a tím spíš skoro všude konečná (viz. 7.5 (c)). Uvažume bod x, v němž h(x) <. Potom řada ( g 1 + g+1 (x) g (x) ) konvergue, neboť konvergue řada absolutních hodnot. Tím sme dokázali existenci limity f(x) := lim g (x) v každém takovém bodě x. Lebesgueova věta 8.2 s maorantou h p dává lim f g p dµ = lim f g p dµ = 0. Znovu použieme, že {f } e cauchyovská posloupnost, a dostáváme f f p f g p + g f p 0. Tvrzení o konvergenci skoro všude sme dokázali v průběhu. 10.7. Hustota ednoduchých funkcí. Jednoduché L p -funkce sou husté v L p (), 1 p <. ůkaz. Nechť f L p (). Chceme naít posloupnost {f } ednoduchých funkcí tak, aby f f p 0. Můžeme předpokládat, že f 0. Podle věty 6.13 existuí ednoduché funkce f 0 tak, že f f. Z Lebesgueovy věty 8.2 (maoranta f p ) dostaneme f f p dx 0. Buď (, S, µ) prostor s mírou. 11. Věty o konvergenci 11.1. Čebyševova nerovnost. Nechť f e měřitelná funkce na S, p > 0 a a > 0. Potom µ( {f a}) f p dµ a p. ůkaz. Zřemě f p µ( { f a}) a p dµ f p dµ a p. { f a} 11.2. Věta (ε-δ spoitost integrálu). Nechť f e integrovatelná funkce na. Potom ke každému ε > 0 existue δ > 0 tak, že pro všechna E S platí µ(e) < δ = f dµ < ε. ůkaz. Nechť E = { f }. Podle Lebesgueovy věty 8.2 (maoranta f ) e lim f dµ = lim f χ E E dµ = 0, takže existue k N tak, že f dµ < ε E k 2. Nechť E S, µ(e) < δ := ε 2k. Potom f dµ = f dµ + E E E k f dµ E\E k f dµ + k µ(e) E k < ε 2 + ε 2. 24 E