POČÍTAČOVÉ SČÍTÁNÍ ČÍSELNÝCH ŘAD VE STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATICE

POČÍTAČOVÉ SČÍTÁNÍ ČÍSELNÝCH ŘAD VE STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATICE H Mhelová Gymázium Nymburk Abstrkt: Žáci v rámci výuky mtemtiky SŠ řeší součty číselých řd klsickými metodmi (ř využitím vzorce, likcí biomické věty, lgebrickými úrvmi, kombitoricky, teleskoicky) ebo oužijí ěkterý z rogrmů CAS Počítč sčítá řdu zůsobem, který je ro součsého středoškolák ztím tjemstvím Čláek obshuje zjedodušeou teorii jedoho ze sumčích lgoritmů, Goserov lgoritmu, kokrétí říkldy zámé z výuky SŠ řešeé očítčovým zůsobem Klíčová slov: sčítáí řd, Goserův lgoritmus, očítčová lgebr COMPUTER SUMMATION OF THE NUMBERS SERIES AT THE HIGH SCHOOL MATHEMATICS Abstrct: Puils solve summtio roblems i mthemtics t high schools with clssicl methods (for exmle with well-kow formul for the sum, lictio the Biomil theorem, lgebric tretmets, combitoril, with telescoig method) or they use secil softwre from CAS The comuter sums the series with the method, which is still ukow for them The uthor resets simlified theory of Goser lgorithm d exmles kow from techig t the high school solved with this lgorithm i this rticle Key words: summtio of fiite sums d series, Goser`s lgorithm, the comuter lgebr 1 Úvod Deší studeti středích i vysokých škol běžě oužívjí k urychleí výočtů klkulátory (ř grfické) ebo secilizové očítčové softwry, mjí tk říležitost ověřit, že mohé říkldy vyřeší i rogrmy očítčové lgebry Odověď otázku Jk k výsledku dojde očítč? le ro zvídvé jedice ztím zůstává tjemstvím, icméě i odětem k jeho odhleí Zvedeí očítčů vyžduje zutomtizováí ostuů řešeí roblémů, jež vycházejí ze zámých mtemtických teorií Změřme se zůsoby jk lézt součet číselé řdy Sčítáí koečého očtu sčítců ritmetických číselých řd ebo koečých i ekoečých geometrických číselých řd je oměrě jedoduché Stčí ř oužít srávý vzorec Už le středí škole se žáci mohou setkt s říkldy řd, které etří mezi výše zmíěé tyy Příkldou ukázkou jsou třeb řdy s fktoriály ebo kombičími čísly To je říležitost sezámit dé studety se zákldími riciy lgoritmů očítčových sumcí Jejich objeveí se dtuje řibližě od 8 let dvcátého století ztím ejsou 3

vyrcováy jedoduché ukázkové říkldy obshující tkový ostu řešeí, jký oužívá očítč Porvé se odroběji studeti sezmují s ojmy koečá ekoečá řd středí škole, odvozují ř vzth utou odmíku ro součet ekoečé geometrické řdy Své vědomosti o řdách k rozšiřují vysoké škole Při hledáí ebo dokzováí součtu číselé řdy likují tké ř teleskoickou metodu, biomickou větu, mtemtickou idukci Součty ěkterých řd určují kombitoricky Ve všech řídech řešeí úloh vyžduje zlost orozuměí mtemtice, schoost dávt věci do souvislostí řesé logické myšleí Aby i očítč mohl říkld srávě vyřešit, musí být vytvoře vhodý lgoritmus S rozvojem lgoritmů roste výzm tzv očítčové lgebry, tedy lgebry, která rovádí výočty symbolicky, tudíž řesě N výzčosti bývá teorie olyomů, rotože ráce s imi tří mezi ejdůležitější směry tvorby lgoritmů Vývoj sumčích lgoritmů během osledích čtyřiceti let ředstvuje obrovský kus ráce řiáší očekávý výsledek Předokládá se, že i tyto ové ostuy jdou své místo ve výuce očítčové lgebry Goserův lgoritmus Prví sumčí lgoritmus byl objeve v roce 197 merickým mtemtikem rogrmátorem Rlhem Willimem Goserem jr, zámým jko Bill Goser (obr 1) Důležitou součástí Goserov lgoritmu je řešeí rekurečí relce ro hyergeometrické olyomy Teorie je ro středoškoláky oměrě složitá (jdeme ji ř v [5], je možé ji všk zjedodušit zvolit tkové ukázky říkldů, které odovídjí úrovi žák středí školy Podsttou Goserov lgoritmu je lezeí { } = možé ro k = k =1 s s tk, by bylo m, k N, m < k vyjádřit k = s sm 1, seciálě k = m (odle hodoty ditiví kostty), ásledě s = lim s, ebo rokázáí, že tkové vyjádřeí eexistuje Obr 1: Bill Goser Pro užití tohoto ostuu je třeb vymezit jistou skuiu oslouostí Defiice 1: Poslouost { } =1 se zývá hyergeometrická, rávě tehdy, když N lze 1 u ( ) =, kde u() v odíl o sobě jdoucích čleů 1, této oslouosti zst ve tvru v() jsou olyomy Stručě řečeo, je-li dá oslouost { } =1 ( ), jejíž čley máme sečíst, otřebujeme zjistit, zd odíl bezrostředě o sobě ásledujících čleů tvoří rcioálí fukci Zčěme říkldem 31

Příkld 1 ( k) = ( + 1) k = 1 Řd vyjdřuje součet rvích sudých řirozeých čísel Abychom mohli oužít Goserův lgoritmus, ověříme, že oslouost { k} je hyergeometrická Zkoumáme odíl k = 1 ltí =, 1 =, = Čittel i jmeovtel zlomku je tvoře olyomy 1 rvího stuě, oslouost je tedy hyergeometrická Dlším krok užití Goserov lgoritmu vychází z ásledující věty, jejíž důkz čteář jde ř v [5] u ( ) Vět 1: Kždou rcioálí fukci d tělesem T lze zst ve tvru v ( ) u ( ) ( ) q ( ) =, kde ( ), q( ), r( ) jsou olyomy, které slňují odmíku v ( ) ( 1) r ( ) D, r + j = j N ( ( ) ( )) 1 q Uvedeá vět ovídá, že je možé rcioálí fukci zst v jiém tvru, užitečém ro, q, r zvedeme odborý ázev dlší ráci s lgoritmem Pro trojici olyomů ( ) ( ) ( ) u ( ) Defiice : Nechť je rcioálí fukce d tělesem T olyomy ( ), q( ), r( ) v ( ) mjící vlstosti uvedeé ve větě Pk trojici olyomů ( ), q( ), r( ) zýváme u ( ) regulárí rerezetcí odílu v ( ) Přitom olyomy ( ) q( ), r( ), lze tké lézt lgoritmicky Ukžme si, jk to fuguje: oložíme ejrve () = 1, q() = u(), r() = v() Pokud ro všech j N jsou olyomy q() r( + j) esoudělé, jsme hotovi Pokud le ro jisté číslo j N ltí * D q, r + j, k defiujeme ový olyom g() := D(q(), r( + j ) ) součsě ( ( ) ( ) 1 j 1 k = ( ) : = ( ) g( k), ( ) ( ) r( ) q q ( ) : =, g ( ) r : = g ( j ) 1 3

Algoritmicky tk dosějeme ž k lezeí esoudělých olyomů q() r( + j) Vzhledem k tomu, že stuě olyomů q tvoří klesjící oslouost, musí osý lgoritmus skočit u ( ) lezeím oždové regulárí rerezetce odílu v ( ) Obecá teorie řitom využívá okročilejší lgebrické ojmy věty (jko ř rezultt olyomů, Sylvesterovo kritérium) Ale jk si ukážeme, v jedodušších říkldech určeých středoškolákům vystčíme s výočtem ejvětšího solečého dělitele olyomů Pokrčujme v řešeí říkldu 1: Chceme lézt regulárí rerezetci odílu, oložíme-li ( ) =, q ( ) = 1, r ( ) = 1, 1 k = součsě D( 1, 1+ j) = 1 j N roto uvedeá trojice olyomů ( 1) 1 tvoří regulárí rerezetcí odílu Jsou-li slěy ředokldy, že oslouost { } =1 1 je hyergeometrická máme regulárí rerezetci odílu, k likujeme druhou větu teorie Goserov lgoritmu, kterou 1 uvádíme oět bez důkzu, s odkzem zdroj [5] Vět : Nechť { } =1 ( ) q( ), r( ) je hyergeometrická oslouost d tělesem T olyomy, tvoří regulárí rerezetci odílu Jestliže oslouost částečých součtů { } = i= 1 q ( + 1) ve tvru s = f ( ) ( ) ( ) = q ( + 1) f ( ) r( ) f ( 1) s, kde s = i 1, je hyergeometrická, k lze -tý částečý součet s vyjádřit Jediým roblémem je v tuto chvíli lezeí olyomu f ( ) ro jistý olyom f ( ) slňující odmíku Existuje lgoritmus, jk určit stueň k tohoto olyomu Vycházíme řitom ze zámých hodot stuňů olyomů, q, r z koeficietů čleů jistých odvozeých olyomů Algoritmus tohoto rocesu je ásledující: l := stueň (q( + 1) + r()) l m := stueň (q( + 1) r()) if l l m the k := stueň( ()) l m else l koef q, l koef q, l 1 + koef r, l 1 koef q, l k := [ ( ) ( ) ( )] ( ) 33

fi if (k je celé číslo) the k := mx (k, stueň(()) l + 1) else k := stueň(()) l + 1 fi Dodejme, že záis koef (q, l ) zmeá hodotu koeficietu čleu olyomu q() odovídjícího stui l, záis koef (q, l -1) hodotu koeficietu čleu olyomu q() odovídjícího stui l -1 Pro účely Goserov lgoritmu defiujeme stueň ulového olyomu -1 Záme-li stueň hledého olyomu f ( ), k ic estojí v cestě využít větu zkusit kokrétí olyom jít z rovice = q + 1 f r f 1 (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vrťme se k šemu říkldu 1 q ( + 1 ) + r( ) = l =, q ( + 1) r( ) = lm = 1 (viz dodtek o stui ulového olyomu), to le zmeá, že l > lm, roto odle lgoritmu hledáme dále omocé k = :1 = Z, otom k = mx (, 1 + 1) = olyom f ( ) bude mohočleem druhého stuě Ozčme f ( ) = c + c1 + c Dosdíme-li do rovice (1), ltí = c + c1 + c [ c ( 1) + c1( 1) + c ], o úrvě = c + c1 c = c, = c1 c Řešeím soustvy je c = c 1 = 1, c = t, t R Pro hodotu rmetru t = je f ( ) = + Nlezeím olyomu f ( ) se kruh uzvírá užitím vzorce / q ( + 1) s = f ( ) () ( ) z věty můžeme určit součet řdy V šem řídě q( + 1) = 1, ( ) =, =, f ( ) = + součet 1 ( + ) = ( + 1) / s = Nyí je třeb ještě ošetřit očátečí odmíky, tj v šem řídě zjistit hodotu / / s Dosdíme-li do osledího vzthu =, dosteme s = / / s = s s = + 1 ásledě ( ) Srávost výsledku si řešitel může ověřit ěkolik zámými zůsoby Nř vzorcem ro součet rvích čleů ritmetické oslouosti s rvím čleem = 1, diferecí d =, k s = [ + + ( 1) ] = ( + ) = ( + 1) 34

Nebo elegtí sčítcí metodou, kdy zíšeme součty od sebe, využijeme komuttivosti sčítáí ekvivletí úrvy se soustvou rovic s = + 4 + 6 + + s = + ( 1) + + 4 + Sečteme-li obě rovice, dosteme s = ( + ) zjedodušeím = ( +1) s Velice ázorý je tké geometrický model určeí součtu této řdy Zčěme hrou s kmey Seřďme očty čerých kmeů odovídjící ostuě sudým řirozeým číslům do řádků Dolíme řádky bílými kmey tk, by vzikl obrzec se stejým očtem čerých bílých kmeů (viz obr ) + obr : Geometrický model součtu řdy Je vidět, že útvrem je obdélík, jehož jed str obshuje rávě kmeů druhá + (ezávisle jejich brvě) Pk le očet všech kmeů v obdélíku je urče číslem ( + ) Protože čerých bílých kmeů je stejě, možství jedobrevých určíme jko ( + ) oloviu z celkového očtu, čili = ( + 1) Záme-li výsledý součet řdy, o srávosti se můžeme řesvědčit tké mtemtickou idukcí Nejdříve ověříme ltost ro rví možé řirozeé číslo, ro = 1 1 = 1 1+ 1, k = 1, ( ) tedy ltí Předokládáme, že existuje k N, ro které ltí ( k) = ( + 1) dokzujeme vzth ro ( k +1 ) N + 4 + 6 + + k + k + 1 = k k + 1 + k + 1 = k + 1 k +, cbd ( ) ( ) ( ) ( )( ) V deší době k ověřeí výsledku dobře oslouží ěkterý z rogrmů CAS, ř komerčí Derive 6 (obr 4), Mle, Mtlb, Mthemtic od, ebo volě dostuý rohlížeč Wolhrm Alh, který očítá o-lie (obr 5), řídě ovější freewre rodukt firmy Microsoft, rogrm Microsoft Mthemtics (obr 6) 35

Obr 4: Výočet v Derive 6 Obr 5: Výočet užitím WolhrmAlh Obr 6: Výočet v rostředí Microsoft Mthemtics 36

Příkld Z klsických zůsobů řešeí této řdy vybíráme ř sčítcí metodu Pltí 1 1! = 1! 1 1! =! 1!! = 3! 1! = 3!! 3 3! = 4 3! 1 3! = 4! 3!! = k = 1 k k! Při určeí součtu uvedeé řdy očítčovým zůsobem ostuujeme odle kroků Goserov lgoritmu Nejdříve ozčme =!, 1 = ( 1) ( 1)!, otom ltí =, to 1 zmeá, že oslouost { } =1 ( + 1)!! = ( + 1 )!! 1 je hyergeometrická Regulárí rerezetce odílu zřejmě ( ) =, q( ) =, r( ) = 1, eboť D (, 1) = 1 q ( + 1 ) + r( ) = + l = 1, q ( 1 ) r( ) = l = 1 ro stueň olyomu ( ) Dále je 1 + m f ltí k = 1 1 =, roto f ( ) = c Z rovice (1) k vylývá / + 1 = ( + 1) c c, odtud c = 1 Dosdíme do rovice (), s =!1 = ( + 1)! / / / s 1 Výsledý součet je k s = s s = ( + 1 )! 1 = Sečteme-li rví osledí slouec, k se čísl!, 3!,,! vyruší dosteme k = 1 k k! = 1+ ( + 1 )! = ( + 1 )! 1 Nkoec ještě ohled do rostředí rogrmu Derive 6 (obr 7) Obr 7: Součet řdy v rostředí Derive 6 37

3 Shrutí Chceme-li sčítt řdu užitím Goserov lgoritmu ostuujeme tkto: je hyergeometrická 1 Zjistíme, zd oslouost { } =1 Nlezeme regulárí rerezetci odílu 1 3 Z olyomů, jež tvoří regulárí rerezetci odílu, lgoritmicky odvodíme stueň f ro rovici (1) Níšeme jeho obecé vyjádřeí hledého olyomu ( ) 4 Dosdíme do rovice (1) z í vyočteme hodoty koeficietů olyomu f ( ) 5 Nlezeý olyom f ( ) dosdíme do vzorce () 6 Zjistíme očátečí odmíky koec vyjádříme okud sčítáme ekoečou řdu s = s s, řídě s = lim s, 4 Závěr Neí roblém dokázt, že Goserův lgoritmus sečte kždou geometrickou řdu, která je ejrozšířeějším tyem řd středích školách Stčí lgoritmicky rcovt s obecým vzorcem ro -tý čle geometrické oslouosti Dokoce tkový ostu je dlším, tetokrát očítčovým, důkzem vzorce ro součet rvích čleů geometrické oslouosti Goserův lgoritmus le eí všemocý Jk lye z věty, jestliže oslouost částečých součtů { s } eí hyergeometrická, k se eodří lézt odovídjící olyom f ( ) = říkáme, že řd eí goserovsky sčíttelá (možé situce, kdy elze okrčovt v lgoritmu dále, lyzujeme oměrě sdo) Proto bylo otřeb okrčovt v hledáí dlších sumčích lgoritmů Následovl objev Zeilbergerov lgoritmu ct ( cretive telescoig ) vzik se dtuje v rozětí let 198-199 Teorie byl solurcí dvou mtemtiků Doro Zeilberger Herbert Sul Wilf odroběji rozrcová, rozšíře zobecě, des je zám jko WZ lgoritmus (199) Objev Hyer lgoritmu Mrko Petkovšekem, ublikovém v jeho disertčí ráci v roce 1991, zmel dlší velký říos v systému oztků o očítčovém sčítí řd Chceme-li rezetovt Goserovu metodu hledáí součtu řdy středoškolákům, je třeb defiovt dv ové ojmy, to hyergeometrickou oslouost regulárí rerezetci odílu Dlší ktivit je zlože ráci s olyomy: hledáí vhodých olyomů, jejichž ejvětší solečý dělitel je 1, určeí stuě olyomu, obecé vyjádřeí olyomu dého stuě, stoveí koeficietu jistého čleu olyomu řešeí rovice zákldě orováí olyomů V tkových řídech, kdy olyom f ( ) vychází jko mohočle vyššího stuě musíme řešit soustvu rovic s vícero roměými, oceíme omoc ěkterého z již zmíěých rogrmů CAS Z výše uvedeého vylývá možost zřdit říkldy očítčového sčítáí číselé řdy už středí školu tím zdůrzit meziředmětové vzthy mtemtiky iformtiky Je to součsě říležitost ukázt ové okroky těchto oborů zvýšit tk zájem dých studetů / / m 38

Litertur: [1] HORA, J O ěkterých otázkách souvisejících s využíváím rogrmů očítčové lgebry ve škole - III díl 1 Plzeň: Pedgogické cetrum Plzeň, 1 74 s ISBN 8-7-9-8 [] LISKA, R; DRŠKA, L; LIMPOUCH, J; ŠIŇOR, M; WESTER, M; WINKLER, F Počítčová Algebr, Algoritmy, Systémy Alikce [olie] 1998 [cit 8-7-] Dostué z WWW: htt://kfefjficvutcz/~lisk/olg/> [3] MAHNELOVÁ, H: Sčítáí číselých řd omocí očítčových lgoritmů I Sborík doktordské sekce koferece Iformčí komuikčí techologie ve vzděláváí Kofereci usořádl Pedgogická fkult Ostrvské uiverzity ve dech 13-16 9 1 CD ISBN 978-8-7368-95-4 [4] NELSEN R B: Proofs Without Words[olie] 9 [cit 9 1-8] Dostuý z WWW: <htt://wwwxioeorg/dt/9-1-6/rfwithoutdf> [5] PETKOVŠEK, M ; WILF, H S; ZEILBERGER, D A=B [olie] [s1] : [s8], 1741997 [cit 8-7-] Dostué z WWW: <htt://wwwmthueedu/~wilf/aeqbdf> [6] WINKLER, F, Polyomil Algorithms i Comuter Algebr, Sriger Verlg Wie, 1996 [7] < htt://wwwvitgeorg/glleryh?groutg=vcf6> [8] < htt://wwwwolfrmlhcom/> H Mhelová Gymázium Nymburk Komeského 779 88 4 Nymburk hmhelov@sezmcz 39