Příklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému Michael Šebek Automatické řízení 06-3-6
Příklad: Tužka na lavici Automatické řízení - Kybernetika a robotika Postavte tužku na lavici bez držení. Proč to nejde? Model nelineární g ϕ sinϕ 0 l a lineární g ϕ ϕ 0 l Řešení Laplaceovou transformací L { ϕ( t) } sfs ( ) sϕ(0 ) ϕ(0 ) sϕ(0 ) ϕ (0 ) ϕ() s g s l sϕ(0 ) ϕ (0 ), () g g g ps s s s ps () l + l l V časové oblasti Michael Šebek Pr-ARI-04-05 ϕ l r Fg mg g g g g t t t t l l l l ϕ( t) e + e ϕ(0 ) e e ϕ (0 ) gl
Příklady Hurwitzovy matice Automatické řízení - Kybernetika a robotika p () s s+ a 0 H( p ( s)) [ a ] 0 p () s s + as+ a 0 H( p ( s)) a 0 a 0 p() s s + as + as+ a 3 3 0 a a0 0 H( p3( s)) a 0 0 a a 0 p () s s + a s + a s + as+ a 4 3 4 3 0 H( p ( s)) 4 a3 a 0 0 a a 0 0 0 a3 a 0 0 a a 0 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3
Příklad: Vliv nestabilních nul Automatické řízení - Kybernetika a robotika Jedna nestabilní nula systém se zpočátku pohne špatným směrem - operátor musí být trpělivý možný je i opak: zpočátku správná reakce se později ukáže nesprávnou Gs () s ( s + ) Gs () s ( s ) + Dvě nestabilní nuly vedou na dvojitou změnu směru Podobně dvojice kompleně sdružených nestabilních nul atd. Gs () ( s ) ( s + ) 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 4
Příklad: Nestabilní nula a problémy při couvání čtyřkolové auto, které neklouže, y pracovní bod: konstantní rychlost vp, θ p 0 model bočního pohybu lineární odchylková aproimace v okolí pracovního bodu přenos vstupu (řídicího úhlu ψ ) na souřadnici y středu přední nápravy je s+ vp L gs () vp s Při jízdě dopředu je v > 0, tedy přenos má stabilní nulu p v Při couvání je v a nula je nestabilní p < 0 Proto je při couvání boční odezva na skok řídicího úhlu obrácená a na počátku je podkývnutí Proto je couvání obtížnější, i pro člověka - řidiče Vymyslete další příklady Michael Šebek Pr-ARI-04-06 5
Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6
Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-05 7
Zjednodušený přenos výchylky výškovky δe na letovou výšku nestabilní nula hs ( ) 30( s 6) δ ( s) ss ( + 4s+ 3) e Odezva na záporný δ-impuls krátká výchylka výškovky nahoru (minus je konvence) rotace letadla (ocas, nos ) vyvolá počáteční pokles po rotaci se zvětší úhel náběhu (angle of attack) mezi osou křídla a směrem pohybu zvětší se vztlak a letadlo stoupá Nestabilní nula se projeví poklesem kvůli počáteční rotaci letadla moc to nevadí, ale zpomaluje odezvu Boeing 747 - Jumbo Jet Michael Šebek Pr-ARI-04-05 8 h
Minimální fáze systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI as (), bs () deg as ( ) deg bs ( ) Tedy stabilní a Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda a fáze vázány Hilbertovou transformací { ω } arg f( jω) H ln f( j ) ln f( jω) ln f( j ) + arg ( ) Systém s minimální fází bs () as () f() s, finv () s, f() s finv () s as () bs () def g( ω) H { g( ω)} dτ. π ω τ H( jω) e αω ( ) + jφω ( ) H { f jω } φω ( ) H { αω ( )} αω ( ) α( ) + H { φω ( )} Obecně mezi nimi žádný vztah není Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω :0 Systém s maimální fází všechny kořeny čitatele nestabilní, maimální přírůstek fáze při ω :0 Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze Michael Šebek ARI-04-05 9
3 systémy se stejnou amplitudovou frekvenční charakteristikou Minimální fáze Smíšená fáze Maimální fáze f 3 Fáze: minimální - smíšená - maimální ( s+ )( s+ ) f() s ( s+ 3)( s+ 4) ( s )( s+ ) f() s ( s+ 3)( s+ 4) ( s )( s ) () s ( s+ 3)( s+ 4) fi () s 5 ( s+ 5) f (0) i Fáze na začátku: klesá klesá roste Michael Šebek Pr-ARI-04-05 0
Operační zesilovač má velkou vstupní impedanci, takže rezistory R, R protéká stejný proud Is () ( Vs i () V0 () s ) ( R+ R) V () s A( V () s V () s ) V() s IsR () + V() s 0 V () s RV () s + RV () s Pro R R RC 3 je přenos odezva na skok ( ) A( R RR 3Cs) ( )( R + R ( + A) ) a normalizovaná odezva bez nuly Neminimálně fázový elektronický obvod 0 () () Cs 0 R+ R V s V s i R 3 + Cs R s 0() A RRC 3 3 V s R R R Cs R V () i s R3Cs + R3RCs + R R s + RC 3, 0 V () 0 s ( s 0) V() s ( s + 0) ( s 0) hs ( ), ht () e ( s + 0) s 0 h0( s), h0() t e ( s + 0) s i 0t 0t Michael Šebek Pr-ARI-04-06
Příklad: Neřiditelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika Systém se schématy a rovnicemi u y u y 0 +, [ ] 0 0 uy charakteristický polynom řešení cs ( ) ( s+ )( s ) () s s s 0 us () (0) () s ( s )( s ) 0 + ( s )( s ) 0 s + + + (0 ) s s + + us () + 0 (0 ) s (0 ) 0 (0 ) 0 (0 ) 0 (0 ) 0. Michael Šebek Pr-ARI-04-05
Uvažme kaskádu: (mód je odblokován vstupní nulou) přenos je. řádu a stabilní s gs () s+ s s+ ale úplný stavový popis je. řádu: pro Příklad: Ještě jeden neřiditelný systém u v y, u v 0 y + u 0 y [ 0] charakteristický polynom je p( s) det( si A) ( s + )( s ) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3
Geostacionární satelit Automatické řízení - Kybernetika a robotika geostacionární satelit řízený tangenciální silou (tahem tečně umístěného tryskového motoru) u tang 0 0 0 0 3ω 0 0 ω 0 + u y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y je řiditelný ale při řízení radiální silou 0 0 0 0 3ω 0 0 ω + u y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y 0 není řiditelný C tang tang rad,, π π ω T 3600 4 u rad 0 0 ω 0 3 0 ω 0 ω, rank C 4 tang 0 0 4ω 0 4ω 0 C rad požadovaná poloha 0 0 ω 0 ω 0, rank Crad 3 0 0 ω 0 3 0 ω 0 ω Michael Šebek Pr-ARI-04-05 4
Vozík se dvěma kyvadly řízený horizontální silou Pohybové rovnice (standardní předpoklady) M () t mgθ() t mgθ() t + F() t m () t + ml θ() t mgθ() t m () t + ml θ () t mgθ () t Stavové rovnice θ θ θ 3 θ 4 3 θ θ 4 0 0 0 0 g m mg ( + ) 0 0 l M Ml lm + Ft () 0 0 0 0 3 3 4 mg g m 4 0 ( ) 0 + Ml l M lm Pro stejně dlouhá kyvadla je systém neřiditelný, matice řiditelnosti je singulární pro l l Pro různě dlouhá kyvadla je řiditelný Pro skoro stejně dlouhá kyvadla je řiditelný špatně Dvě kyvadla na vozíku Michael Šebek Pr-ARI-04-05 5 M řid m g * ( + ) 0 0 M mg lm l M ll M m g * ( + ) mg 0 M 0 lm l M ll M m g * ( + ) mg 0 0 M lm l M llm m g * ( + ) mg 0 M 0 lm l M llm det C g ( l l ) řid 4 4 4 M l l
Příklad neřiditelnosti: špatný stavový model Jednou z možných příčin neřiditelnosti je redundantní stavový model Uvažme systém A + Bu a dále z nějakého důvodu předpokládejme ještě další stavové veličiny úměrné těm z vektoru, definované vztahem z F, pro které zřejmě z F FA + FBu Pro složený systém s meta-stavem A 0 B z A + Bu + u FA 0 FB a jeho matice řiditelnosti B A 0 B A 0 B C B AB A B FB FA 0 FB FA 0 FB B AB A B I 0 B AB A B je zřejmě FB FAB FA B F I 0 0 0 singulární. Složený systém tedy není řiditelný (neboť jeho stavy nejsou nezávislé) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6
Příklad neřiditelnosti: jen vnitřní síly Neřiditelným je i systém obsahující pouze vnitřní síly a momenty, protože podle zákona akce a reakce síly uvnitř uzavřeného systému nemohou změnit polohu těžiště Soustava dvou vozíků s pasivní pružinou, f f na každý působí aktivní řídicí síla stejné k velikosti a opačného směru k f k f v, v, v ( ), v ( ) m m m m 0 0 0 0 0 m 0 c 0 0 0 0 0 m 0 c A, B C v km km 0 0 m m c 0 0 v km km 0 0 m m c 0 0 0 0 0 0 m 0 c m m 0 0 0 0 0 0 U UC rank C 0 0 0 m c 0 0 c k m + k mm 0 m m 0 0 0 0 0 c k m k mm m Vnitřní síla změní vzdálenost vozíků, ale nikoli nezávisle jejich polohu Michael Šebek Pr-ARI-04-05 7 m
V obvodech s vyváženými můstky či podobných mechanických systémů Metodou uzlových napětí dostaneme rovnice Stavové rovnice v + v + v + e v v + v + e 0 C R R3 CR 3 CR 0 CR 3 C R R3 CR Pro rozdílové napětí platí Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Cv + v e + v v 0 ( ) ( ) 0 R R3 C v + v e + v v 0 ( ) ( ) 0 R R3 CR CR v v v v + + v + + + v + e 0 C R R3 CR 3 C R R3 CR 3 CCRR Je-li můstek vyvážený, nezávisí rozdílové napětí na vstupu R + R + R 3 CR CR v v v v v CRR 3 Tedy stavy nelze řídit nezávisle systém není řiditelný R R 3 v v Michael Šebek Pr-ARI-04-05 8 e 0 R C C
Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Totéž výpočtem matice řiditelnosti pomocí Symbolického Tb + C R R3 CR 3 CR A, B + CR CR 3 C R R3 CR CR >> A[-/C*(/R+/R3),/C/R3;/R3/C,-/C*(/R+/R3)], B[/C/R; /C/R] A [ -(/R + /R3)/C, /(C*R3)] [ /(C*R3), -(/R + /R3)/C] B /(C*R) /(C*R) >> Consimple(subs([B A*B],R,R*C/C)) Con [ /(C*R), -/(C^*R^)] [ /(C*R), -/(C^*R^)] >> rank(con) ans Michael Šebek Pr-ARI-04-05 9
Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci Jak neřídit obrácené kyvadlo Obrácené kyvadlo linearizované v horní poloze řízené momentem má přenos řídicího momentu na úhlovou odchylku třeba Ps () ( s+ )( s ) Je zjevně nestabilní Někoho by mohlo napadnout použít kaskádní kompenzátor s Cs () s s Ten vykrátí nestabilní pól nulou, což vede na hezký přenos vhodný pro ZV řízení s Gs () CsPs () () ( s+ )( s ) s ( s+ ) s Ale není to dobrý nápad a vede ke katastrofě: výsledný systém je neřiditelný! Michael Šebek Pr-ARI-04-05 0
Stavové rovnice složeného systému soustava + kompenzátor 3+ u u 3 Matice řiditelnosti složený systém je neřiditelný Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci 0 0 0 A 0, B 0 0 0 0 C, rank C 0 0 Charakteristický polynom složeného systému vs. jmenovatel přenosu ( ) det si A ss ( + )( s ) as ( ) ss ( + ) tedy neřiditelná (vykrácená) část je nestabilní Žádným řízením už tento složený systém nejde stabilizovat u 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-05
Příklad stoupání letadla Náklon p a tedy stoupání letadla závisí na úhlu δe výškovek a slabě také na úhlu δa křidélek (ailerons), normálně jsou tam pro zatáčení p Fp ε p Gp 0 δe + δ r 0 Fr r 0 Gr a kde ε je matice se všemi prvky malými Při řízení křidélky je matice řiditelnosti Špatná řiditelnost něco mezi C r 0 εgr ε ( ) Gr FG r r Čím jsou prvky ε menší, tím blíž singularitě je tato matice řiditelnosti Michael Šebek Pr-ARI-04-05
Uvažme druhou kaskádu: (mód je odblokován výstupní nulou) přenos je. řádu a stabilní s gs () s+ s s+ ale úplný stavový popis je. řádu: pro Příklad: Nepozorovatelný systém s u, s s + s s y s+ s+ s+, y 0 + u 0 y [ ] Není pozorovatelný ps ( ) det( si A) ( s+ )( s ) C rank rank CA Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3
Pozorovatelnost a směrování satelitu Automatické řízení - Kybernetika a robotika ϕ d J ϕ Fd C,, u F ω J c 0 0 + u 0 0 Je-li výstupem poloha (úhlová výchylka), je systém pozorovatelný y ω [ 0] 0 O 0 Je-li výstupem rychlost (úhlová), není pozorovatelný y ω [ 0 ] O 0 0 0 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 4
Příklad: Nepozorovatelný systém Dva subsystémy v sérii, kde druhý není měřen, tvoří nepozorovatelný systém Například zpětnou vazbou od rychlosti nemůžeme řídit polohu Na těleso o hmotnosti m působíme silou f Pokud měříme jen rychlost a nikoli polohu, je systém nepozorovatelný f a Neboli: Poloha je z rychlosti nepozorovatelná v v v 0 0 0 A,, [ 0 ] f 0 0 B m C O 0 0 m Proto žádný regulátor měřící jen rychlost nedokáže řídit polohu, zpětná vazba od rychlosti k tomu nestačí Michael Šebek Pr-ARI-04-05 5
Příklad: Nepozorovatelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika Nepomůže ani integrace rychlosti f v v 0 0 0 0 0 v A 0 0 0, B m f, C [ 0 0 ] 0 0 m O 0 0 0 0 0 0 v Integrace rychlosti je něco jiného, než měření polohy! Ani sebelepší regulace rychlosti nedokáže řídit polohu, počáteční odchylka polohy zůstane v systému navždy, protože ji nic neměří! Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6
Příklad úmyslně nepozorovatelného systému Dvoje hodiny (dva double integrátory) 0 0 i i ui, i, s 0 + 0 Při synchronizaci chceme vynulovat rozdíl jejich výstupů, ale ne výstupy samotné Musíme (úmyslně) vytvořit nepozorovatelný systém a výstupní ZV stabilizovat jeho pozorovatelnou část 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 e y y [ 0 0 ] [ u u ] 0 0 0 0 0 O Příklad: Synchronizace hodin C 0 0 0 0 CA, rank O CA 0 0 0 0 3 CA 0 0 0 0 u s + s s ( ) ( ) e s Michael Šebek Pr-ARI-04-05 7
Příklad: Synchronizace hodin Jeho pozorovatelnou část stabilizujeme výstupní (dynamickou) ZV ( ) ( ) ( ) + [ ] ( ) ( + ) s p s q s s q s p s 0. +.5s s + 3 0. +.5s s + 3 ( 0 ), ( 0 ) e Nepozorovatelná část (samotné hodiny) zůstává samozřejmě dál nestabilní Ale to tady právě chceme ( stabilizované hodiny by se zastavily) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 8
Pozorování geostacionární družice Automatické řízení - Kybernetika a robotika Rovnice pohybu (Franklin 4ed. s. 63) radiální perturbace y délková perturbace u síla (tah) motoru ve směru zem. délky y měřený výstup u referenční zeměpisná délka požadovaná poloha ωy 3ω 0 π π y+ ω ω u Stavové rovnice 0 0 0 0 3ω 0 0 ω 0 + u, y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y [....][ ] y y y 3600 4 Ze kterého výstupu je pozorovatelná? T T >> syms om >> A [0 0 0;3*om^ 0 0 *om; 0 0 0 ;0 -*om 0 0];B[0;0;0;] >> C[ 0 0 0];CC; >> OBS[C;C*A;C*A^;C*A^3],rank(OBS) ans 3 >> C[0 0 0];CC; >> OBS[C;C*A;C*A^;C*A^3]; rank(obs) ans >> C3[0 0 0];CC3 >> OBS[C;C*A;C*A^;C*A^3];rank(OBS) ans 4 >> C4[0 0 0 ];CC; >> OBS[C;C*A;C*A^;C*A^3],rank(OBS) ans 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 9
Paralelní spojení Automatické řízení - Kybernetika a robotika u k s p k s p p 0 k + u 0 p k pro p p neřiditelné k kp 0 k kp det 0 kk p p ( ) k s p k s p y p 0 + 0 p y [ ] C p p det C p p ( ) pro p p nepozorovatelné Michael Šebek Pr-ARI-04-05 30
Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika části fyzicky odpojené od výstupu nejsou pozorovatelné části fyzicky odpojené od vstupu nejsou řiditelné s + řiditelná a pozorovatelná řiditelná ale nepozorovatelná s s 3 neřiditelná ale pozorovatelná neřiditelná a nepozorovatelná s 4 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3
Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika 0 0 0 0 0 0 + u 3 0 0 3 0 3 0 0 0 0 4 0 4 4 y [ 0 0] ( s )( s 3)( s 4) ys () us () ( s+ )( s )( s 3)( s 4) ( s )( s 3)( s 4) + 0 ( s+ )( s )( s 4) + 0 + + ( s )( s 3)( s 4)( s+ ) ( s+ )( s )( s 4)( s 3) 0 0 30 40 s + s s 3 s 4 stavy a faktory nepozorovatelných částí vymizí všude: nejsou prostě na výstupu vidět přenos je vnější popis systému ( s 3) ( s 3) 0 ( s+ ) 30 ys () Us () + + ( s+ )( s 3) ( s 3)( s+ ) ( s+ )( s 3) 0 30 ys () us () + + ( s+ ) ( s+ ) ( s 3) stav a faktor neřiditelné části vidět je, ale nelze ho vybudit vstupem Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3
Přenos s+ s+ s s+ s + s+ 0 ( ) Řiditelnost není vlastností přenosu [ ] můžeme realizovat kanonickou formou řiditelnosti, která je plně řiditelná, ale není pozorovatelná. 0 u 0 + 0 y Můžeme ho realizovat i kanonickou formou pozorovatelnosti, tedy jako pozorovatelný ale neřiditelný systém + s+ s+ s s s( s+ ) s + s+ 0 0 s s + + y [ 0] + u 0 0 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 33