: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru Základí mometovou charakterstkou polohy je který je zároveň maxmálě věrohodým odhadem středí hodoty ormálího rozděleí Představuje prví obecý statstcký momet Z prvků výběru se vypočte artmetcký průměr dle vzorce x x x x x Teto odhad má rozptyl ( σ / kde σ je rozptyl souboru ze kterého výběr pochází á-l každý prvek ormálí rozděleí s rozptylem lze pro odhad středí hodoty odvodt vztah ( w / /σ ( ˆw ˆσ σ ( σ ( který se azývá s vaham Rozptyl tohoto odhadu má tvar pro jedotlvé prvky výběru ( µ Rozptyl tohoto odhadu je (ˆσ σ 4 / V praktckých stuacích eí parametr středí hodoty µ zám a ahrazuje se artmetckým průměrem µ = Takto defovaý rozptyl ˆσ však představuje vychýleý odhad protože ˆσ kde = ( - / Jako evychýleý odhad se užívá ˆσ ( za míru rozptýleí volí obvykle druhá odmoca z rozptylu ozačeá jako = Její výhodou je to že je uvedea ve stejých jedotkách jako zkoumaý výběr Pro charakterzac relatvího rozptýleí dat se užívá míry relatvího rozptýleí azvaé δ = σ/µ ebo-l (často vyjádřeá v procetech se svým rozptylem (δ δ ( δ ( /( ( Jeho odhad ˆδ je rove ˆδ / Obě rovce jsou použtelé př zalost rozptylů ebo jm odpovídajících "vah" : ometové charakterstky rozptýleí slouží jako odhad varablty základího souboru íry rozptýleí které charakterzují promělvost výběru v absolutí velkost tj ve stejých jedotkách jako sledovaý prvek azýváme Když však srováváme rozptýleí výběrů lšících se svojí úroví užíváme Jsou to buď bezrozměrá čísla ebo čísla vyjádřeá v procetech Důležté jsou takové míry rozptýleí jejchž velkost je závslá a velkostech všech prvků výběru írou rozptýleí která měří současě rozptýleí všech prvků kolem středí hodoty se azývá σ Je defová jako druhý cetrálí statstcký momet Pro odhad rozptylu platí vztah Z praktckého hledska je určtou evýhodou že výběrový rozptyl je vyjádře ve čtvercích užté jedotky Proto se
: mometové charakterstky tvaru poskytují formace o tvaru rozděleí Užívá se čl třetí ormovaý cetrálí momet a čl čtvrtý ormovaý cetrálí momet Pro ormálí rozděleí platí hodoty = 0 a = 3 pro rovoměré = 0 a = 8 pro Laplaceovo = 0 a = 6 a pro expoecálí = a = 9 ometový odhad (ˆ ( /[( ( 3] je vyjádře vztahem Středí hodota pro výběry ormálího rozděleí je ˆ ( 3 ( 3/ (ˆ 0 Pro asymptotcký rozptyl tohoto odhadu platí ometový odhad je vyjádře vztahem ˆ ( 4 ( Středí hodota tohoto odhadu pro výběry z ormálího rozděleí je (ˆ 3 6/( Pro asymptotcký rozptyl tohoto odhadu platí vztah (ˆ 4 ( ( 3/[( ( 3 ( 5] Př staoveí lbovolého bodového odhadu parametru je třeba určt vždy jeho rozptyl K docíleí stejé "přesost" odhadů vyjádřeé jeho rozptylem je třeba př užtí méě efektvího odhadu provést větší počet měřeí Například u dat pocházejících z ormálího rozděleí se musí př použtí medáu provést 6krát více měřeí ež př použtí artmetckého průměru aby se docíllo stejé přesost odhadu Naopak u dat pocházejících z Laplaceova rozděleí se k odhadu parametru polohy pomocí artmetckého průměru musí použít dvojásobý počet měřeí ež u medáu aby bylo docíleo stejé přesost odhadu Kvatlové a robustí charakterstky jsou méě ctlvé a vybočující hodoty ež mometové Patří sem: ˆ který je defová jako lokálí maxmum a hustotě pravděpodobost V prax se vyskytují většou rozděleí umodálí jejchž hustota pravděpodobost má pouze jedo maxmum ódus je vždy robustí eí ctlvý a vybočující měřeí (kvartly decly percetly je hodota která rozděluje výběr prvků a dvě část jeda obsahuje α% prvků které jsou meší (ebo stejé ež teto kvatl druhá část (-α% prvků které jsou větší (ebo stejé ež kvatl V případě kvartlů jde o kvatly které dělí uspořádaé prvky ve výběru a čtyř část přčemž každá část obsahuje 5% prvků Kvartly jsou celkem tř: 05 odděluje čtvrtu ejmeších prvků Prostředí kvartl se jmeuje 05 a rozděluje výběr prvků a dvě stejé část z chž každá obsahuje 50% prvků Jsou-l prvky výběru setříděy podle velkost vzestupě ( ( ( (pořádkové statstky je medá pro lché rove x05 = (k kde = ( + / a pro sudé rove 05 = [ (k + (k+]/ kde = / edá patří mez kvatlové odhady které jsou robustí tj ectlvé a vybočující hodoty edá je maxmálě věrohodým odhadem polohy u Laplaceova (oboustraého expoecálího rozděleí a má pro toto rozděleí mmálí rozptyl L ( 05 σ / Pro ormálí rozděleí však jž medá emá ejmeší rozptyl Koečě třetím kvartlem je 075 který odděluje 75% meších prvků od zbývajících 5% ejvětších Obdobě jsou defováy 0 0 90 které dělí výběr a 0 stejě obsazeých částí ve kterých je stejá relatví četost a které dělí výběr a 00 stejě obsazeých částí 99
Z kvatlových odhadů rozptýleí se používá ( 075 05 kde 075 je odhad horího kvartlu a 05odhad dolího kvartlu S využtím lze odhadout směrodatou odchylku σ R podle vztahu R Jedím z ejefektvějších robustích a přtom jedoduchých odhadů parametru polohy je ( využívající leárí kombace pořádkových statstk ( ( kde = t ( / 00 Parametr určuje proceto "uřezaých" pořádkových statstk a každém koc ejvyšších a ejžších Optmálí hodota bývá 0% Vzká tak 0%í uřezaý průměr (0 V případě očekávaého většího počtu vybočujících měřeí se uřezává až a hodotu = 5% Uřezaý průměr se užívá s odhadem směrodaté odchylky určeé z wsorzovaého součtu čtverců odchylek w ( ( ( w( ( [( ( w( ( ( w( ] kde ( je pro který platí defčí vztah w w( ( ( ( ( Pro esymetrcká začě seškmeá rozděleí je doporuče ( pro který platí ( ( kde = t( / 00 a = - t( / 00 Pokud jsou hodoty a zvoley tak že rozděleí uřezaého výběru je jž symetrcké lze určt průměru ( vztahem ( [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ] kde = - + jsou maxmálě věrohodé odhady parametrů pro specálě vybraá rozděleí axmalzace věrohodostí fukce podle parametru µ zde vede k mmalzac fukce fukce ( určuje vlastost odhadu Dervací tohoto vztahu a úpravou vyjde výraz pro µ σ $ m Tvar ˆµ µ ρ( kde je a ( ez -odhady patří však medá a artmetcký σ průměr Pro -odhady platí že musí být ohračeá Protože statstcká váha je fukcí musí se výpočet provést teratvě a počátečí hodotou může být artmetcký průměr ez doporučovaé váhové fukce patří bkvadratcká fukce typu
( ( 469 pro < 469 0 pro 469 kde kostata 469 zajšťuje že pro ormálě rozděleá data bude asymptotcká efektvost odhadu µ rova 095 Doporučuje se použít robustí dle výrazu ( [ ˆµ ] / ( ˆµ kde a kde ( je pro kterou platí ( l( pro U 0 " pro 0 Protože robustí -odhad ˆµ představuje vlastě vážeý artmetcký průměr je jeho rozptyl vyjádře vztahem (ˆµ /
Aalýza jedorozměrého výběru (ADSTAT Odhad artmetckého průměru x 00 Odhad rozptylu 53E-03 Odhad směrodaté odchylky 0073 Odhad škmost ĝ -004 Odhad špčatost 308 ĝ Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 9998 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 006 Odhad modu 0000 ˆx Odhad polosumy 00 ˆx P edá x 05 00 Odhad směrodaté odchylky medáu x 05 00780 Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 999 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 003 Odhad 0%ího uřezaého průměru x(0% 003 Odhad směrodaté odchylky (0% 0079 Odhad wsorzovaého průměru x w (0% 003 Odhad směrodaté odchylky w(0% 00648 Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 9998 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 007 Odhad 40%ího uřezaého průměru x(40% 00 Odhad směrodaté odchylky (40% 0076 Odhad wsorzovaého průměru x w (40% 003 Odhad směrodaté odchylky w(40% 0036 Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 9996 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 006 Odhad odhadu středí hodoty ˆµ 00 Odhad směrodaté odchylky 0079 Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 9997 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 007 Hoggův průměr 00 ˆµ Odhad směrodaté odchylky 0076 Dolí mez 950% tervalu spolehlvost D 9998 Horí mez 950% tervalu spolehlvost H 007