Úohy rovnováhy staticky určitých konstrukcí Úoha: Posoudit statickou určitost či navrhnout podepření konstrukce Určit síy v reakcích a ve vnitřních vazbách Předpokady: Konstrukce je ideaizována soustavou hmotných bodů, tuhých desek a tuhých těes Konstrukce je ve statické rovnováze (nedochází k pohybu konstrukce ani díčích částí) Metoda: Konstrukci rozděíme na jednotivé části (hmotné body, tuhé desky či těesa) Uvoníme vazby a nahradíme je reakcemi Veikosti reakcí určíme z podmínek rovnováhy konstrukce Copyright (c) 7-8 Vít Šmiauer Czech Technica University in Prague, acuty of Civi Engineering, Department of Mechanics, Czech Repubic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU ree Documentation License, Version 1. or any ater version pubished by the ree Software oundation; with no Invariant Sections, no ront-cover Tets, and no ack-cover Tets. copy of the icense is incuded in the section entited "GNU ree Documentation License" found at http://www.gnu.org/icenses/ 1
Princip superpozice Nechť H je ineární operátor. Pak pro ibovoný ineární systém patí princip škáování a superpozice y=h, H a =ah =ay škáování H a b =H a H b =ah bh 1 Příkady ineárních systémů 1 1 superpozice Výpočet reakcí u tuhých těes dvojnásobné zvětšení veškerého zatížení systému, vyvoá dvojnásobné zvětšení veškerých reakcí systému y (škáování a=) 6 knm 1 knm 1=3 kn = kn kn m 3 kn 1=6 kn =4 kn 4 kn m 6 kn Varignonova věta výsedný moment je součet díčích momentů (superpozice) Rozkad zatížení do více zatěžovacích stavů výsedné reakce se získají součtem reakcí jednotivých stavů (superpozice dvou zatěžovacích stavů neboi systémů 1 a )
Určete reakce na prostém nosníku užitím superpozice 1=6 kn =3 kn m m 1=6 kn = =3 kn + m R11 R R1 Evidentně patí a 6=a 6 R 1, a tato rovnice popisuje ineární systém R1 : 6 6 R 1 = : 4 6 6 R11= R R1 : 4 3 6 R = : 3 6 R1 = R1= kn R = kn R11 =4 kn R11 =1 kn R =R 1 R = =4 kn 1 R1 =R 1 R 1=4 1=5 kn Pozn. V superpozici ze i odčítat. Pokud 11 = 1 = 6 kn, pak 11 = a = 3 kn 3
Příkady neineárních systémů (neze upatnit škáování a superpozici) Přetížená konstrukce dvojnásobné zvětšení zatížení může způsobit více jak dvojnásobné zvětšení posunů (skutečnost je příiš vzdáena od modeu tuhého těesa) vznik trhin Vzpěr prutů při nadkritické síe může dojít k vybočení, nepatí předpokad tuhého objektu (po výpočtu rovnováhy si se zpravida ověří že sía na prvku nezpůsobí jeho vybočení) Výpočet pochy kruhu z pooměru dvojnásobné zvětšení pooměru je čtyřnásobná pocha y=, > a = a =a y ay Změna veikosti konstrukce tíha konstrukce roste s třetí mocninou rozměru, pevnost v taku pouze s druhou mocninou rozměru (mravenec ve veikosti čověka se neudrží na nohou). Dvakrát větší konstrukce potřebuje více jak dvojnásobnou nosnou pochu soupů (známo ze stavby mrakodrapů jako daň z výšky premium for height) 4
odové a spojité zatížení Zatížení je vždy rozoženo v poše konstrukce. Pokud působí na maé poše vůči konstrukci, ze ho ideaizovat zatížením bodovým (siovým, momentovým) Často se ve výpočtech uvažuje zatížení spojité fa(,y) y y z Pošné [N/m ] z f() = bfa() b z Liniové po částech konstatní [N/m] 5
Náhradní břemeno Pro výpočet reakcí ze ibovoné spojité zatížení vyjádřit náhradním břemenem Veikost náhradního břemene odpovídá poše zatížení (tím spňuje siovou ekvivaenci) a je umístěno v těžišti zatížení (tím spňuje ekvivaentní statický moment) rovnoměrné šikmé vastní tíha q q q sníh, užitné zatížení q běžný metr běžný metr Q = q / / Q = q / 1 Q = q1 = q cos Q = q / / / / / 6
trojúheníkové ichoběžníkové q / 3 /3 Q f() Q = q / y q q1 obecné O řešíme superpozicí Q1 = q1 / a Q= q d a b q d q= a b q d S = Q a Q = (q q1) / / 3 b b / + q /3 7
Příkad určete náhradní břemeno od tíhy krokve, krytiny a sněhu na metr šířky střechy krokev,7 kn/m' krytina,3 kn/m' sníh,4 kn/m' Q krokev Qkrytina 1,5 m běžný metr 3o krokve á 1, m 1,5 cos 3 o=1,99 m Q krokev =,7 1,5=,15 kn Q krytina =,3 1,5=,45 kn Qsníh běžný metr Pozn. při změně skonu střechy se mění půdorysný průmět, tedy pouze náhradní břemeno od zatížení sněhem Qsníh=,4 1,5 cos 3 o=,5 kn 8
Určete cekovou svisou síu od zatížení přetakem =q sin ds R d ds q [kn/m] d s=r d R = q sin d s= q sin R d =qr[ cos ] =q R[1 1]= q R Výsedná svisá sía je součinem zatížení a půdorysného průmětu Magdeburské koue O. von Guericke 1656 odčerpa vzduch z prostoru mezi dvěma pookouemi, 8 párů koní je od sebe neodděio. Určete síu nutnou k rozpojení těchto pookouí o průměru 56 cm. naogicky výsedná sía je rovna součinu zatížení a svisé pochy průmětu q = 1 kn/m (kpa) 6m 5, q= =q R =1,56 =4,63 kn 9
Určete reakce na nosnících / / / Pokud sía působí v paprsku reakce tuhého objektu, jde vždy přímo do reakce / / Moment dvojice si / / / Moment dvojice si 1
pru t Ky vn ý t 3m Ky v ný b = 1 kn a pru 4m 3m Určete stupeň statické určitosti a reakce 6 4 6 stat. určité 6m Řešení pomocí svazku si 4 6 = 1 4 6 m = o r = o m r=o 6 3 3 6 3,5 1 1= 8 4 6 1= = 1,8167 kn 1 1,5 1 1= 6 3 Řešení pomocí momentových podmínek 6 3 4 = 1 b 6 1 1 4 6 = 1,8167 kn 3 a 4 1 1 3 6 3 = 6,78 kn K 4 4 6 6 6 3 = 4 6 6 6 3 = = 6,78 kn K zpětné dosazení 11
Určete stupeň statické určitosti a osové síy v prutech 1 1 kn/m b m 4m Řešení b 5 18 4 3 6 C= 1 C= 35, kn 18 4 = c 1 kn/m 4m H a C et m = 3o r = 3o m r=o 1 18 kn +j Kyvný prut t pru ný Ky v Kyvný prut a 4m 1 18 kn 6 1=3 kn c b stat. určité m Výsedné síy 18 kn 3 kn 36 kn =4,49 kn a 4 C 3 1 18 = 3 = 31, kn 4 K 3 C=, O.K. 4 18 kn 31 kn 4,49 kn 35 kn 1
Určete reakce od zatížení vastní tíhou a sněhem 1 1, kn/m 1 4,8=,4 kn 1,5 5,54=8,31 kn 1,5 kn/m 4 5,5 m 1,5 kn/m 3o 1,6 m,4 m C a Ve skutečnosti je zde pevná podpora, tj. 1 staticky neurčitá konstrukce b 9,6 m trium fakuty stavební foto: autor :C= :1,6,4,4 8,31 7, 8,31 9,6 =, =8,71 kn :,4 8,31 7, 8,31 8,4 9,6 =, =1,31 kn K:,4 8,31 8,31= O.K. Použijeme takové podmínky, aby výsedná soustava rovnic bya co nejjednodušší 13
Možné způsoby výpočtu reakcí 3 podmínky rovnováhy 1 M1 h h 1 R R3 Konvence: tah +, tak 1 1 1 M 1 M M R 3= h M 1 M M R 1 R R 3 = 1 R 1= 1z z R R 3 = M 1 M M R 3= 1 1 1 R 1= 1z z R R 3 = C R1 z 1 R 1= O O z M1 M 1 M M R 3= C M 1 M M R = h M 1 M C1 M C R 1 R3 = 1 M 1 M M R = 14
Náhrada vazeb v prostoru Pevný koub (r = 3o) ze nahradit třemi kyvnými pruty v průsečíku paprsků, paprsky prutů nesmí ežet v jedné rovině Často se nahrazuje ve směru, y, z z y Ry R Rz 15
Náhrada vazeb v prostoru Posuvný vácový koub (r = 4) ze nahradit čtyřmi kyvnými pruty, v přísušné rovině musí zachytit síu i moment y R M Rz uy Nahrazuje RX a MZ Mz Neposuvný vácový koub (r = 5) y M R Nahrazuje RZ a MX Rz Ry Mz 16
Výjimkové případy podepření v prostoru Determinant soustavy rovnic = Není bráněno posunu těesa v určitém směru Chybí vazba v určitém směru Reakce eží v jedné rovině Není bráněno rotaci těesa (eistuje nuová přímka siových reakcí) 17
Paprsky reakcí se protínají na přímce či v bodě Více než tři siové sožky reakcí eží v jedné rovině 18
Zdvojení reakce neodebere daší stupeň vonosti a vede rovněž na výjimkový případ podepření m = 6o r = 6o Siová i momentová podmínka vede na stejnou strukturu rovnic neze určit pouze z podmínek rovnováhy Reakce hmotného bodu eží v jedné rovině (není bráněno posunutí) m = o r = 3o 19
Příkad reakce hmotného bodu v prostoru K dispozici tři podmínky rovnováhy, m = r = 3 = ( 3; ; ) kn 4m y = ; ; = ; ;1 C=C 3 5 4 ; ; 5 3 4 C = = kn z [ ]{ } { } z C 4 5 C = = 4 kn 5 C 3= C=5 kn 3m y 3 5 3 Výhodné = Cramerovo pravido 4 C 1 5
Přesuňme kyvný prut C do roviny s pruty a Vznikne výjimkový případ podepření, voná rotace okoo přímky y' = ( 3; ; ) kn C y 3 4m = ; ; = ; ;1 3 4 C=C ; 5 ; 5 z y' Neze naézt jednoznačné řešení C 3= 3 C = 5 4 Det 4 5 C = 3 5 4 5 1 = 1
R6 Určete reakce přístřešku zatíženého na poovině sněhem 1,5 m 1,5 m,6r6,4 kn/m 1, kn R4 R1 R R3 R5 R4,8R6 m y 1,5 m Soustava si v prostoru 6 podmínek rovnováhy R 3= 1 1,,6 R 6=, R 6=1 kn R1 1,5,8 R6 3 R =, R =,4 kn 1,5,8 R6 3 R 5=, R 5=,4 kn,75 1, 1,5,6 R 6 3 R4 =, R 4 = kn R1 1,,6 R 6 R 4 =, R 1=,6 kn K: R R 5,8 R 6=,4,4,8= O.K. y z R
Určete maimání tíhu ramena schodiště, aby síy v reakcích nepřekročiy ±1 kn R1 R1y,8R4,6R4 R1z m z Náhradní břemeno od vastní tíhy schodiště uvažujeme přibižně uprostřed ramena y R3 1,5 m R R4 5m y z,6r4 1,8 R 4 1,5,6 R 4 =, R4 =,4 5,8 R 4 5 R 3,5 =, R3 =,18 R1z R 3,8 R 4 =, R 1z =,5 5,6 R 4 R =, R =,6 R1 R =, R1 =,6,6 R 4 R1y =, R 1y=,4 K:,5 1,5 R 1 1,5 R 5 R1z = O.K., ma= 1,6 =16, 6 kn 3
ž tři siové podmínky ze nahradit momentovými, cekem šest momentových R1 R1y y z R3 z' R,8R4,6R4 z' m z y R1z R3 1,5 m R R4 5m 1,8 R 4 1,5,6 R 4 =, R4 =,4 5,8 R 4 5 R 3,5 =, R3 =,18 5,6 R 4 R =, R =,6 R 5 R1y =, R 1y=,4 R 1 5,6 R 4 =, R1 =,6 1 R 3 1,5,6 R 4 R 1z =, R1z =,5 K: R1z R3,8 R 4=, O.K. 4
K zamyšení určete stupně vonosti rotoru turbíny při montáži m = 6, r = 4, staticky přeurčité, tvarově neurčité (např. rotace okoo svisé osy) Paprsky si an se navíc protínají v jednom bodě rotacím okoo tohoto průsečíku není bráněno Na rotor působí převážně jeho vastní tíha. Rozožení tíhy rotoru a schema an je zřejmě symetrické okoo dvou svisých rovin, výsedné síy v anech musí být též symetrické Rotace rotoru tedy nehraje roi (ze uvažovat jako hmotný bod m=3, r=4) Lze předpokádat, že síy v anech jsou stejné. Pak sía v aně je čtvrtina tíhy rotoru zvětšená o 1/cos Rotor turbíny v Temeíně 5
Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakuta ČVUT v Praze utor Vít Šmiauer Náměty, připomínky, úpravy, vyepšení zasíejte prosím na vit.smiauer@fsv.cvut.cz Created 11/7 in OpenOffice.3, ubuntu inu 6.6 Last update eb 1, 11 6