Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu <> je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí > zvýšeí spolehlvost) pravděpodobost bezporuchového stavu: (sjedoceí jevů bezporuchovost) x x x x ) aalogcky jako u sérové soustavy rozvutím pravé stray rovce: x ) x )... x ) [ x, x ) x, x )...... x, x j )]... ( ) x... x j porucha paralelí soustavy astae, když astae porucha všech prvků: průk jevu poruchy Q xx x... x ) př závslých jevech: Q P x ) x x ) x x x )... x x x... x ) ( př ezávslých jevech: Q Závěr: bezporuchovost paralelí soustavy je vždy lepší ež bezporuchovost ejméě spolehlvého prvku pro paralelí soustavu ze shodých prvků (ezávslých): p. poruchy.: p.bezp.: ( Q q p) Q ( q ) ( p) Kombovaé soustavy: řešeí složtých soustav () převod a kombac sérových a paralelích soustav YCHLÉ () částečý převod dle () ásledovaý specfckým výpočtem pro epřevodtelou část dle () x x ) )
! vz tabulka ásl. str. (slajd 49, kope ze skrpt) DALŠÍ TYP SOUSTAVY soustava typu "m z " prvků soustavy ke správé fukc uto m správě pracujících prvků Př. : lao spleteé z vláke, k dosažeí osost je třeba mmálě m< vláke earušeých Př. : (soustava "m z ") skupa vodáre prameících do společé rozvodé sítě model soustavy má h m paralelích spojeí vstup výstup v každém spojeí je m-prvků v sér (jeda kombace / výběr z prvků) Soustava je ve stavu bez poruchy <> alespoň jedo spojeí je fukčí Stuace se shodým prvky jež jsou ezávslé > bomcké rozděleí tj. prevděp. bezporuch. provozu: k m lmtí případy: pravděp. bezp. p. prvku f ( k,, p) k m, m... pro m (aspoň jede z ) čstě paralelí soustava pro m (všechy z ) sérová soustava
Řešeí soustav metodou sezamu: Prcp: () Sestaveí sezamu všech možých (logckých) událostí () V sezamech jsou zolovaé jevy přízvé a epřízvé Σ pravděp. všech přízvých jevů (stav provozu) Σ pravděp. všech epřízvých jevů (stav poruchy) Př: Vstup a b d Výstup c e obrázek Blokové schéma soustavy počet prvků soustavy 5 > 5 jevů rozděleí do skup dle počtu pevých prvků: 5 žádá porucha jevů jeda porucha vše v poruše 0 5 5 jevů 5 jevů
tj. Nepřízvý výsl. poruch. stav Skup. 0 A abcde e Skup. A abcde e A ab cde e A 4 abcde e A 5 abcde e A 6 abcde e Skup. A 7 abcde e A 8 abcde e A 9 abcde e Skup. 4 A 7 abcde A 8 abcde A 9 ab cde ao ao ao A abcde ao Skup. 5 A abcde ao Celkem vyjde: Porucha: kombací Bezp. stav: 9 kombací tedy pravděpodobost poruchy soustavy: Q P A A A A A A A A A A A A tabulka ( 6 7 8 0 4 6 7 8 9 0 A) protože A až A se vzájemě vylučují > P sjedoceí těchto jevů ~ Σ pravděpodobostí tj. Q [ A ) A )... )] 6 7 A Σ pouze epřízvé a ezávslé jevy vz. tabulka Specálě: shodé prvky soustavy p bezporuchový provoz Q [ p ( p) 6 p ( p) dle předchozí rce. 5p( p) 4 ( p) 5 ]
Poz.: () Pravděp. bezporuchového provozu lze též spočítat přímo sjedoceí jevů bezpor. provozu) () v prax se volí výpočet P ebo Q dle toho, co je jedodušší meší počet posloupost Nevýhoda postupu: kombatorcká exploze pro větší počty prvků soustavy Řešeí soustav metodou drah a řezů: vhodé pro výpočty složtých soustav s ezávslostí poruch vychází se z grafu soustavy o graf má m. tolk hra, kolk je prvků soustavy o ejedozačá kostrukce grafu (více řešeí) Defce: mootóí sled (hra) ~ posloupost hra, ke které lze alézt takovou posloupost uzlů, kdy aktuálí uzel je vstupím uzlem hray (sledu) a ásledující je výstupím uzlem sledu. Defce : jsou-l všechy uzly ve sledu růzé > jsou též všechy hray růzé a sled se azývá dráha. (prochází každým uzlem ejvýše jedou) Lemma: dráha je mmálím sledem (obsahuje mmálí počet hra) Defce : hraový řez (řez) grafu je moža hra, z íž je vždy aspoň jeda hraa obsažea v každé dráze mez dvěma uzly (zvoleým, zde vstup-výstup) Tedy řešeí soustavy: Nechť: drah mez vstupem a výstupem spojeí mez vstupem a výstupem je-l aspoň jeda dráha fukčí Nechť: T T jsou bezporuchové stavy drah Pravděpodobost bezporuchového stavu soustavy je: P T T... T ) ( Naopak, porucha astae odstraěím aspoň jedoho mmálího řezu. Mějme soustavu s j mmálím řezy jm příslušé bezporuchové stavy C C... C Metoda drah a řezů příklad: Mějme soustavu: 6 prvků ~ 6 hra poruchy m. řezů C, C,... C j Pravděpodobost poruchy: Q C, C,... C j ),, j
x x x 5 x 6 x x 4 Sledy soustavy: T x x T 4 x x 5 x Sledy T, T, T a T 4 jsou také dráhy. Sledy T 5 a T 6 ejsou dráhy (prochází x uzlem) z rovce pro > T T T T4 ) xx xx4 xx6 x4 xx5x ) Porucha řezu ~ všechy prvky odpovídající hraám řezu mají poruchu Bezporuchový stav řezu ~ aspoň jede prvek odpovídající hraám řezu pracuje bez poruchy ěkteré řezy soustavy jsou: C x x C x x 4 C x x 5 x C 4 x x 5 x 4 C 5 x x 6 x C 6 x x 6 x C, C, C 4, C 6 jsou mmálí řezy C, C 5 ejsou mmálí (obsahují C ) z předchozí rovce (str. 5) > pravděp. poruchy: Q C, C T x x 4 T 5 x x 5 x 6 x T x x 6 x 4 T 6 x x 5 x 6 x 4 * xx xx4 xx5 x4 xx6x) Problémy: () alezeí všech drah a mmálích řezů je komplkovaé u složtých soustav > algortmzace () špatá detfkace mmalty řezu evede k esprávému výsledku (prodlouží ale výpočet) () rozvoj pravděpodobost sjedoceí jevů, jež se evylučují je složtý zjedodušeí pro jevy vzájemě se vylučující > prostý součet pravděpodobost, C 4, C 6 )
Přípustost zjedodušeí: pro velm pravděp. výskytu jevů pro velm malé pravděp. bezporuchového provozu ebo pro velm velké pravděp. bezporuch. provozu > eboť pravděpodobost sjedoceí jevů A, B, C má rozvoj: P ( A B C) A) B) C) AB) AC) BC) ABC) jestlže ABC se vzájemě vylučují > vyloučeí kompoztích čleů ze vzorce výše! lze ukázat, že platí (obecě pro A, B, C): P ( A B C) A) B) C) horí mez pro případ ezávslost jevů tedy je-l T ) " 0 platí: bezpor. stav T ) dráhy horí odhad pravděp. por. Q C ) řezy dvoustraý odhad tedy: C ) dolí odhad Př.: vz. str. 5, všechy prvky soustavy echť jsou shodé, pravděp. bezporuchového stavu p potom (odhady): Chyba! Objekty emohou být vytvořey úpravam kódů polí. Soustavy prvků s více stavy! dosud předpoklad: soustava ve dvou možých stavech porucha ormálí provoz! obecější stuace: ormálí provoz porucha růzého typu př..: polovodčová doda zkrat přerušeí př..: trazstor kombace zkratu a přerušeí CB, BE přechodů př..: poruchy toleračího typu (růzá toleračí pole a jejch kombace) > třída poruch > poruchový stav prvku
př. 4.: bezporuchový stav: x zkrat: xs přerušeí: x0 x x x ) x) x ) x0) S 0 S vzájemě se vylučují; aspoň jede astae a) pravděpodobost bezporuchového stavu jedé dody: b) soustava dod v sér: x) xs x0) x S ) x0) tedy: Soustava v bezpor. stavu: ) obě dody O.K. ) jeda z dod zkrat poruchový stav: ) obě dody zkrat )aspoň jeda doda přerušea dráhy soustavy (přízvé kombace): x x x x S xs x řezy soustavy (epřízvé případy) x x0, xs xs, xs x0, x0x, x0 xs, x0 x0 pravděpodobost bezporuchového stavu (pomocí drah): xx x xs xs x) ebo (pomocí řezů) x x0 x xs xs x0 x0x x0 xs úpravou: pravděp. poruchy zkratem c) dody paralelě: ( S x0 x0 p pq S kde současě: p q q0 S pravděp. bezpor. provozu pravděp. poruchy přerušeím )
Poz.: dráhy: x x, x x0, x0x xx x x0 x0x) pro poruchy ezávslé, obě dody shodé (dosazeím): pravděp. poruchy přerušeím p pq použtelé pro více stavů prvků obtížá kostrukce grafů pro více prvků jedodušší je přímá tvorba drah a řezů 0
Soustavy s časově závslým pravděpodobostm poruch kroky:. odvozeí výrazu pro pravděpodobost bezporuchového provozu soustavy. dosazeí příslušého zákoa rozděleí poruch za pravděpodobost poruch prvků Varaty:. poruchy jsou ezávslé jevy jedoduché (aproxmačí postupy pro velká ). poruchy jsou závslé jevy: eí možé rozdělt (zolovat) vlv struktury soustavy a podíl bezporuchovost prvků (s její závslostí) a výsledou poruchovost soustavy řešeí pomocí sdružeých hustot pravděp. z dstr. fukcí stochastcké (Markovovy) modely Sérová soustava (časově závslé pravděpodobost)! celá soustava fukčí všechy prvky fukčí! soustava ezávslých prvů: df ( t) echť prvky soustavy mají exp. rozděleí poruch x ) exp( t) často užívaá rce ( t) x ) dosazeím exp( t) exp( t) poz.:. rozděleím poruch sérové soustavy je rověž exp. s teztou poruch # soustavy s větším počtem prvků je vhodé seskupt do podsoustav se shodou (podobou) teztou poruch > herarchcký výpočet a úrovích. časté použtí Wzbullova rozděleí pro sérovou soustavu (poč. (m<) orm. (m>) provoz) m t ( t) exp( ) t 0
Paralelí soustava: df! bezporuchový provoz aspoň jeda cesta fukčí (eastae současě porucha všech prvků) ( t)! př exp. rozděleí poruch x ) exp( t) t ) ( ( exp( )) m t! pro Webullovo rozděleí: x ) exp( ) Poz.:! pro sérovou soustavu: t m t ( t) ( exp( )) t0! sérová soustava " dolí mez bezporuchovost! paralelí soustava " horí mez bezporuchovost > pro soustavy složeé z daých prvků! složtý výpočet bezporuchovost použtím zákoů rozděleí poruch > zjedodušeí: prováděí výpočtu pro krátký časový terval ( ( t ) )! áhrady složtých fukcí Taylorovým rozvojem! často stačí k charakterzac bezporuchovost středí doba bezporuchového provozu T S pro paralelí soustavu (složtější): exp. rozděleí: ( prvky paralelě): ( t) dt 0 x ) exp. rozděleí: Webullovo rozděleí: T S ( prvků paralelě): t 0 T S T S Γ( ) m ( ) t 0 m
( ) T S......... pro shodé prvky a exp. rozděleí: ( )... ( ) T S... Poz.: praktcky provedtelý je aalytcký výpočet pro exp. rozděleí a sérovou ebo paralelí soustavu já rozděleí ebo struktura soustav je je obtížě řeštelá! Soustavy se zálohováím! zvětšováí spolehlvost " zálohováí soustav (ebo jejch částí)! druhy zálohováí: stálé s přepíáím majortí. Stálé zálohováí: (se zatížeou zálohou, paralelí zálohováí)! obvyklý typ poruchy "přerušeí" > vytvořeí áhradích cest (paralelě)! obvyklý typ poruchy "zkrat" > záloha se přpojuje do sére! kombace předchozího x x x x x x x m x m obrázek zálohováí sérové soustavy (celku)
x x x x x x x m x m obrázek 4 Zálohováí prvků sérové soustavy předpoklad: sérová soustava složeá ze shodých prvků (ezávslých), pravděpodobost bezporuchového provozu p zálohováí soustavy jako celku: paralelí zálohováí jedotlvých prvků: ( p ) m [ ( p) ] m stuace se -ma prvky (zálohováí soustavy (a), prvků (b)) a) Vstup x x Výstup a ( ) 4 p p p p x' x' b) x x Vstup Výstup b ( ) p p b a x' ( p) ( p) x' 0 < p < p p utvoříme poměr: > 0 b z předchozího plye, že > > paralelí záloha prvků je výhodější a poz.:! předchozí lze zobect pro, m prvků v sér a paralelě! zálohováí prvků je výhodější (platí pro prvky se dvěma stavy, porucha přerušeí) b a! obecá stuace může vést k opačému závěru
. Zálohováí přepíáím (zálohováí s okamžtou obovou) př poruše prvku se ahradí přepe bezchybý prvek) vstup s x x předpoklad: soustava z m shodých a ezávslých prvků, jež estárou > Possoovo rozděleí m a f ( m; a) exp( a) m 0,,,... m! stuace pro prvky (tedy žádá ebo jeda porucha) odpovídá řeštelé stuac Z exp( a) a exp( a) ( a) exp( a)! je-l pravděpodobost bezporuchového provozu p > dle Possoova rozděleí ~ pravděpodobost ulového počtu poruch (m0) > P exp a porováí: Z a l l p dosazeím: ( ) ( ) ( p) 0,8 ( l p) přepíáím p p p paralelízáloha 0,6 0,4 p - (bez zálohy) 0, 0,75 0,5 0,5 0 p obrázek 5 Porováí zálohováí s přepíáím paralelího zálohováí a základí soustavy Poz.: Paralelí zálohováí je horší ež zálohováí přepíáím. (v paralelím systému pracuje vše společě > větší aděje a poruchu záloží soustavy) - paralelí zál. ~ max. (doba do poruchy prvku, doba do doba do poruchy zálohy poruchy - přepíáím ~ součet dob obou prvků (záloží provozí) P x P x exp t! př exp. rozděleí poruch prvků ( ) ( ) ( ) :
t exp t P přepíáí: Z ( ) ( ) přep exp t exp t P paralelí záloha: Z ( ) ( ) přep! vlv poruchy přepíače! > pravděp. bezpor. provozu a pravou strau rce. > (selže přepíač > selže soustava) eí přesé. selháí přepíače je podmíěo selháím soustavy. přepíač selhává právě př přeputí a) x x x x x x x m x m x m b) x x x x x x x m x m x m Zálohováí s přepíáím a) sérové soustavy b) prvků sérové soustavy Poz.: př deálím přepíač (a omezeém počtu záloh) je výhodější zálohovat jedotlvé prvky soustavy ež celou soustavu jako celek poz.:! zálohováí přepíáím s pohyblvou zálohou umožňuje áhradu více ež jedoho prvku! výpočty složtějších soustav (ež s kostatím bezporuchovostm prvků) jsou eúosě složté > užtí statstckého modelováí, Markovových modelů (dále)
. Majortí zálohováí:! zlepšeí poruchovost dskrétích (dgtálích) systémů (a rozdíl od aalogového syst. může astat lbovolý výstup př ulovém vstupu)! zálohováí dgtálích systémů musí zlepšt bezporuchovost př všech stavech a výstupu výpočet majorty z lchého počtu výstupů soustav (shodých) echť soustavy: x vstup x M výstup x m obrázek 6 Majortí zálohováí echť majortí čle je bezporuchový a x, x, x shodé: z bomckého rozděleí: p p p p p ( ) ( ) pravděp.bezporuch.provozu jedotl.soustav pro obecou majortu z () je: N p ( p)! porováí pravděp. bezporuchového provozu jedé soustavy p p p ( p) poměr p( p) vz. obr. dále str. 7 a > p > 0,5! tedy majortí zálohováí zlepšuje pravděp. bezporuchového provozu, má-l každá soustava pravděp. bezporuchového provozu p>0,5.! uvážeím poruchovost majortího čleu se ásobí pravá straa rovce pro ( ) > předchozí podmíka se modfkuje Obr.: p exp t kde Majortí zálohováí s exp. rozděleím ( )
0 0,5 4 0 4 e -t 0 0,5 0,69,5 t