Možnot vyžtí tatty a teore zpracování dat v prác učtele na. tupn ZŠ Význam tatty je v oudobé polečnot všeobecně uznáván. Svědčí o tom člány v denním odborném tu, lýcháme o ní čato ve vytoupeních hopodářých poltcých pracovníů. Defnce tatty je uváděna jao obor zabývající e zoumáním a vanttatvní charatertou hromadných jevů nebo jao číelná evdence hromadných jevů. Etuje něol defnc tatty, teré e od ebe čato lší. Pro obor tatta jou příznačné dvě utečnot: jejím předmětem jou hromadné jevy, to jou jevy, teré mají hromadný výyt a jejím charatertcým ryem je číelné a grafcé vyjadřování zoumaných utečnotí. Znamená to, že tatta e nezabývá jevy jednečným, neopaovatelným. Zabývá e pouze jevy, teré jou příznačné pro velý počet jednců, popřípadě, teré e čato opaují. Zoumané utečnot o hromadných jevech tatta vyjadřuje tattcým údaj-tattcým daty. Se tattcým údaj e etáváme např. ve Stattcé ročence Čeé republy. Slovo tatta, tattcý, jou lova meznárodní. V převážné většně jazyů je odvozeno od lova tát (např.v němčně: de Statt-tatta, tattch-tatttcý; der Staat-tát; v anglčtně: tattc-tatta, tattcaltattcý; tate-tát). Stattcé nformace o ocálním, eonomcém a eologcém vývoj Čeé republy a jejch jednotlvých čátí zajšťuje tátní tattcá lužba, terou vyonává Státní tattcý úřad... Záladní pojmy tatty Úolem tatty je zoumání tavu a vývoje hromadných jevů a ouvlotí mez nm. Jevy rozumíme objety (předměty), jejch vlatnot vzájemné vztahy mez nm; pojmem hromadný zdůrazňujeme, že číelné tattcé údaje nepoytují nformace o ndvduálních objetech, ale o celých ouborech těchto objetů.... Stattcý oubor a tattcá jednota Množnu všech předmětů pozorování ( oob, věcí, jevů apod.) hromážděných na záladě toho, že mají polečné vlatnot, nazýváme tattcým ouborem. Jednotlvé prvy této množny e nazývají prvy (elementy) tattcého ouboru nebo též tattcé jednoty. Počet všech prvů tattcého ouboru e nazývá rozah ouboru. Soubor, terý je předmětem zoumání, e nazývá záladní oubor. Čato nelze nebo není účelné provét zoumání všech tattcých jednote tohoto záladního ouboru. Záladní oubor pa zoumáme pomocí tattcých jednote, teré z něj byly určtým způobem vybrány a teré tvoří ta zv. výběrový oubor. Přílad : Př zjšťování výšy žáů ve třídě je tattcým ouborem množna žáů dané třídy. Jejch polečnou vlatnotí je, že jou žáy napřílad třídy 4. A záladní šoly ul. Boženy Němcové v Ltoměřcích, a že budeme zoumat jejch výšu. Stattcou jednotou je žá 4. A záladní šoly v ul. Boženy Němcové v Ltoměřcích. Rozahem ouboru je počet žáů dané třídy, napřílad 0. Stattcým ouborem může být taé množna všech žáů dané šoly.
... Stattcé znay Vlatnot tattcých ouborů, teré jou předmětem tattcého zoumání, leduje tatta protřednctvím vlatnotí tattcých jednote daného ouboru, teré pothuje tattcým znay. Stattcý zna je vyjádřením určté vlatnot tattcých jednote (prvů množn) ledovaného tattcého ouboru; louží charaterzování ledovaného hromadného jevu-vlatnot daného tattcého ouboru. Zna (argument) ouboru e zpravdla značí. Jednotlvé údaje znau e nazývají hodnoty znau, značí e,,, de je rozah ouboru. Napřílad: Napřílad př určování výšy žáů dané třídy je tattcým znaem výša žáů, hodnotou znau je číelně vyjádřená přílušná výša žáa např.4 cm. Hodnoty znau mohou být vyjádřeny buď číly nebo jným způobem (zpravdla lovním popem). V prvním případě mluvíme o znacích vanttatvních, např. tělená výša, tělená hmotnot, počet obyvatel mět, atp.. V druhém případě mluvíme o znacích valtatvních, teré e mohou vyytovat ve dvou druzích (znay alternatvní, např. muž-žena, vojá-nevojá, propěl-nepropěl) nebo ve více druzích (např. povolání, národnot, nábožentví, atp.). Stattcým zoumáním určtého tattcého ouboru zíáme zpravdla velý počet údajů o jeho tattcých znacích. Aby byl tento tattcý přehledný je třeba ho nědy nejprve utřídt. Mluvíme o tattcém třídění, teré počívá v rozčlenění tattcého ouboru do menších upn, teré nazýváme třídam. Je vša třeba dodržet záony třídění, t.zn, že třídění muí být úplné - muíme roztřídt všechny hodnoty znaů ouboru, muí být djuntní, průn upn muí být prázdná množna a muíme třídt dle určtého znau. Třídění podle jednoho znau může být provedeno v podtatě dvěma způoby. Př prvním z nch e do jedné třídy hrnují všechny prvy, jmž příluší táž hodnota znau (,,..., m, de m počet všech různých hodnot znau ). Hodnota e nazývá třídní zna -té třídy. Druhý způob tvoření tříd e používá tehdy, je-l počet různých hodnot znau přílš velý. Volí e t.zv. ntervaly...3. Četnot Počet prvů tattcého ouboru, teré patří do -té třídy e nazývá četnot (abolutní četnot) prvů v -té třídě; značíme. Podíl r, de je rozah uvažovaného tattcého ouboru, e nazývá relatvní (poměrná četnot) prvů v -té třídě. Vyjadřuje e jao čílo deetnné nebo v procentech. Součet všech četnotí prvů v první až -té třídě e nazývá umulatvní četnot prvů v -té třídě. Součet všech relatvních četnotí prvů v první až -té třídě e nazývá umulatvní relatvní četnot prvů v -té třídě. Přílad : Ve 4. A třídě záladní šoly ul. B. Němcové v Ltoměřcích byly naměřeny tyto výšy žáů: 30 cm, 3 cm, 35 cm, 35 cm, 38 cm, 40 cm, 4 cm, 4cm, 4 cm, 4 cm, 47 cm, 47 cm, 49 cm, 49 cm, 5 cm, 59 cm, 60 cm, 60 cm, 64 cm, 64 cm. Hodnoty ledovaného znau t.j. výšu žáů třídy 4. A záladní šoly ul.
B.Němcové v Ltoměřcích uvedeme v tabulce rozdělení četnotí nebol četnotní tabulce: Hodnoty znau Četnot Kumulatvní četnot abolutní relatvní abolutní relatvní 30 0,05 0,05 3 0,05 0,0 35 0,0 4 0,0 38 0,05 5 0,5 40 0,05 6 0,30 4 4 0,0 0 0,50 47 0,0 0,60 49 0,0 4 0,70 5 0,05 5 0,75 59 0,05 6 0,80 60 0,0 8 0,90 64 0,0 0,00 Součet 0,00.. Charaterty tattcého ouboru Stattcým charatertam nazýváme číla, terá podávají tručnou záladní nformac o uvažovaném tattcém ouboru z různých hlede. Je-l předmětem našeho zájmu jedný vanttatvní zna, jde o charatertu úrovně (polohy) a charatertu varablty (proměnnot, rozptýlení).... Charaterty úrovně (polohy) Charaterty úrovně (polohy) jou číla, terá charaterzují průměrnou hodnotu ledovaného vanttatvního znau. Patří mez ně artmetcý průměr, medán, modu, případně harmoncý průměr a geometrcý průměr.... Artmetcý průměr Artmetcý průměr hodnot,,..., vanttatvního znau je oučet těchto hodnot dělený jejch počtem (rozahem ouboru) : L 3
Přílad 3: Jou dány výšy žáů (vz přílad ze tr. ). Určete jejch artmetcý průměr: 30 3 35 35 38 40 4 4 4 4 47 47 49 49 0 5 59 60 60 64 64 99 46,45 0 0 Artmetcý průměr výšy žáů je 46,45 cm. Máme-l etavenou tabulu rozdělení četnotí, podle níž hodnota má četnot, hodnota má četnot,...,hodnota m má četnot m (de... m ), vypočteme artmetcý průměr podle vzorce: L m m m Říá e mu vážený artmetcý průměr (jednotlvé hodnoty znau jou váženy jejch četnotm). Přílad 4: Určete vážený průměr předchozího příladu: 30 3 35 38 40 4 4 47 49 5 59 60 64 46,45 0 Vážený průměr výšy žáů je 46,45 cm. Artmetcý průměr má tyto důležté vlatnot: a) Součet rozdílů (tzv. odchyle) jednotlvých hodnot znau od jejch artmetcého průměru e rovná nule. b) Přčteme-l nebo odečteme-l od aždé hodnoty znau ontantní čílo A, pa artmetcý průměr nových hodnot e rovná artmetcému průměru původních hodnot zvětšenému nebo zmenšenému o čílo A. c) Náobíme-l nebo dělíme-l aždou hodnotu znau určtou ontantou K různou od nuly pa artmetcý průměr nových hodnot e rovná artmetcému průměru původních hodnot náobenému nebo dělenému ontantou K. 3... Medán ( ˆ ) Medán u ouborů, jejchž rozah je lché čílo, je roven hodnotě znau protředního prvu [ tj. - tého prvu] a u ouborů, jejchž rozah je udé čílo, je roven artmetcému průměru hodnot dvou tředních prvů [ t.j. - tého a - tého prvu]. Poznáma: Hodnoty znaů muí být eřazeny podle velot. 4 47 Přílad 5 : Medán výše žáů 4.A je ˆ 44,5 centmetrů. 4
...3. Modu ( ~ ) Modu je hodnota znau, terá má mamální četnot. Přílad 6: Modu výše žáů 4.A je ~ 4 cm. Poznáma: Medán a modu e používají jao charaterty úrovně, jou-l etrémní hodnoty znau mmořádně odlšné od otatních hodnot znaů, taže artmetcý průměr je netypcou charatertou úrovně ouboru....4. Harmoncý průměr Harmoncý průměr H H hodnot znaů,,..., je L : Máme-l etavenou tabulu rozdělení četnotí, podle níž hodnota má četnot, hodnota má četnot,...,hodnota m má četnot m (de... m ), vypočteme vážený harmoncý průměr podle vzorce: H L m L m m : m...5. Geometrcý průměr Geometrcý průměr G hodnot znaů,,..., je L G 3... Charaterty varablty (proměnnot, rozptýlení) Charaterty varablty (proměnnot, rozptýlení) hodnot znaů jou číla, terá charaterzují z různých hlede proměnnot ledovaného vanttatvního znau tattcého ouboru. Patří mez ně varační rozpětí, průměrná odchyla, rozptyl,měrodatná odchyla a varační oefcent. 3... Varační rozpětí Varační rozpětí R je rozdíl mez největší a nejmenší hodnotou znau prvů daného ouboru: R ma mn Přílad 7 : Varační rozpětí výše žáů 4. A je R 64 30 34 cm. 5
... Průměrná odchyla Průměrná odchyla d je artmetcý průměr abolutních hodnot odchyle znaů všech prvů ouboru od jejch artmetcého průměru : d L...3. Relatvní průměrná odchyla Relatvní průměrná odchyla r je podíl průměrné odchyly a přílušného artmetcého průměru: d r...4. Rozptyl Rozptyl je artmetcý průměr druhých mocnn odchyle hodnot znau od artmetcého průměru: 3...5. Směrodatná odchyla ( ) ( ) L ( ) Směrodatná odchyla je druhá odmocnna z rozptylu....6. Varační oefcent Varační oefcent V je poměr měrodatné odchyly a artmetcého průměru vyjádřený v procentech: V 00 Přílad 8 : Je dán tattcý oubor 5, 4, 5, 5, 8, 3, 6, 5, 5, 7, 9. Určete charaterty úrovně (artmetcý, geometrcý a harmoncý průměr, modu a medán) a charaterty varablty (varační rozpětí, průměrnou odchylu, rozptyl, měrodatnou odchylu a varační oefcent daného ouboru. Řešení: Seřaďme nejprve hodnoty znau podle velot (vz. poznáma u výpočtu medánu). Artmetcý průměr 3 4 5 5 5 5 5 6 7 8 9 6. 6
Geometrcý průměr G 3 4 6 7 8 9 5,398 Harmoncý průměr H 3 4 5 6 7 8 9 5,67 Modu ~ 5 Medán ˆ 5 Varační rozpětí R 9 3 6 Průměrná odchyla 3 4 5 d Rozptyl 6 7 8 9,355,636,636 0,636 0,364,364,364 3,364,777 Směrodatná odchyla,777,666 Varační oefcent,666 V 00 9,599.3. Teore tattcé závlot. Dvourozměrný tattcý protor. Dvourozměrným tattcým ouborem e nazývá tattcý oubor, u něhož je předmětem zájmu vztah dvou tattcých znaů. Napřílad je to vztah laface z matematy v pololetí a laface ontrolní píemné práce z matematy ve. pololetí v dané třídě. Nejjednodušší závlotí mez těmto dvěma tattcým znay je lneární závlot, jejíž těnot e měří orelačním oefcentem r y, terý nabývá hodnot v ntervalu od - do. Korelační oefcent rovný značí přímou úplnou funční lneární závlot, dežto rovná-l e -, jde o nepřímou úplnou funční lneární závlot. Nabude-l orelační oefcent hodnoty 0, značí to, že lneární závlot není pro apromac vhodná. Př hodnotách - až 0 nebo 0 až jde o větší č menší tupeň těnot nepřímé č přímé lneární závlot. 7
Vzorec pro orelační oefcent: de y e nazývá ovar- ance, a y jou měrodatné odchyly znau a znau y. r y y y Vzorec pro ovaranc je y ( ) ( y y) Vzorec pro orelační oefcent r y tedy je r y ( ) ( y y) ( ) ( y y) Přílad 9: Závěrečného tetu z matematy e zúčatnlo žáů čtvrtého ročníu. Výledy tetu (vyjádřené průměrnou známou) jejch pololetní lafac z matematy vyjadřuje náledující tabula. Vypočítejte orelační oefcent mez pololetní lafací a průměrnou známou z tetu. Žá.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... pol. laface 3 4 3 3 3 průměrná známa,6,7,7,6,83,33,6,6,6,5,83 Řešení: Označíme-l pololetní lafac a průměrnou známu z tetu y pa,5 a y, 43. y ( 0,5) ( 0,43) (,5) ( 0,6) ( 0,75) ( 0,74) ( 0,5) ( 0,7) (,5) ( 0,7) (,75) ( 0,4) (,5) ( 0,) ( 0,5) ( 0,7) ( 0,5)( 0,7) ( 0,75)( 0,7) ( 0,75) ( 0,07) ( 0,75)( 0,4) 0,973 8
[ 3 (,5) 4 (,5) 4 ( 3,5) ( 4,5) ] 0,94 obdobně y 0,354 a orelační oefcent r y 0,973 0,609 0,94 0,354 Vypočtená hodnota orelačního oefcentu potvrzuje přímou lneární závlot mez pololetní lafací a hodnocením tetu. Shrneme možnot využtí tatty:. Vlatní výua žáů využtím tatty (tattcý oubor vytváří am žác). Využtí tatty ve vlatní prác učtele (laface, docháza do šoly, atp., tattcý oubor je dán) Poznáma: Stattcý oubor vytvořený z výše dětí nebo jejch hmotnot není z výchovného hleda vhodný. Dět e pa třeba tomu do má největší hmotnot pomívají nebo jou-l nejmenší mají omple méněcennot. Student A vymylel graf úměvů. Do třídy přnel prováze, dětem natříhal přílušné ouy tohoto provázu. Dět přnely nůžy a aždý změřl vůj úměv. Umály e a prováze vedly od jednoho outu út pře zuby druhému outu a zde prováze utřhly. Pan učtel měl přpravený eznam dětí a lepdlo a aždé dítě e vému jménu naleplo vůj prováze jao model úečy. Počáte byl určen vlou čarou. Nyní dět přšly amy na to, že bude dobře provázy změřt na mlmetry. Potupovalo e obráceně, nejdřív graf a pa číelná data. Graf úměvů Jméno Úměv Déla v mm Adam 48 Bedřch 53 Davd 50 Eml 45 A ta dále Pan učtel vyzval dět, aby vymýšlely vlatní otázy. Dět ladly otázy. Kdo má ze třídy nejdelší úměv? Kdo má nejratší úměv. Jaý je rozdíl mez nejdelším a nejratším úměvem. Ja dlouhý je úměv celé třídy? Ja dlouhý je úměv chlapců ve třídě? Ja dlouhý je úměv děvčat ve třídě? Zde uvedly, že je to nepravedlvé, neboť děvčat je ve třídě méně. Ta tedy rozhodly, že počítají průměrný úměv na jednoho chlapce a na jednu dívu. Zde přšly amy na artmetcý průměr. Jaé mají dět odchyly od artmetcého průměru? A ta podobně. Matemata byla jaou matematcou laboratoří. Charaterty tattcého ouboru dět vytvářely vlatní tvůrčí prací, šlo vlatně o ddatcý ontrutvmu. 9