5. Základní statistický rozbor

Transkript

1 5. Záladí tattcý rozbor Záladí tattcý rozbor očívá ve výočtech a rezetac číelých charatert tattcého ouboru hodot zoumaého číelého (vattatvího) tattcého zau. Číelé charaterty jou číelé hodoty, teré zhuštěím údajů ouboru ouhrě charaterzují záladí vlatot ouboru z hleda zoumaého tattcého zau: a) abolutí úroveň (oloha, obecá výše) tředí hodoty b) varabltu (romělvot) míry varace c) eouměrot (šmot) míry eouměrot (šmot) d) ščatot (ocetrac) míry ščatot (ocetrace) Nejčatěj e oužívají charaterty úrově a charaterty varablty. Početot C A D B Hodoty číelého tattcého zau Obr. 6. Rozděleí očetot hodot zoumaého zau vybraých ouborů Soubor A má zhruba tředí abolutí úroveň (tředí hodotu) z uvedeých čtyř ouborů a je ymetrcý. Soubor B má abolutí úroveň ratcy tejou, je rověž ymetrcý, vyazuje vša větší varabltu (šířu). Soubor C má abolutí úroveň žší, varabltu vyšší ež oubor A a zhruba tejou jao oubor B, je ale levotraě eouměrý. Soubor D má ejvyšší úroveň, velou varabltu, je zešmeý dorava ř vyoé ščatot. 48

2 5.. Charaterty úrově (olohy) Úroveň (oloha) je ejzáladější a ejjedodušší vlatotí tattcých dat. Úroveň měříme j omocí charatert úrově. Záladím charatertam úrově (olohy) jou tzv. tředí hodoty: - růměr (mocý, artmetcý, harmocý, geometrcý, vadratcý h g ), - medá (50% ~ 0,50 vatl). - modu modálí (tycá hodota) ˆ, Středí hodoty růměry artmetcý vadratcý harmocý geometrcý otatí tředí hodoty medá modu Charaterty úrově e zjšťují jao: fuce všech hodot číelého tattcého zau (růměry). fuce výzamých hodot (medá a modu), Průměry jou tředí hodoty, teré jou očítaé ze všech hodot tattcého zau. Zjšťováí medáu a móduu ezáví a hodotách zau, záví a rozděleí očetot zau. Tyto tředí hodoty jou tycé vou olohou a odle toho jou ojmeováy. Náledující řílad uazuje dvě tříděé datové řady lšící e ouze olohou a oe : Q H G ~ ˆ Početot modu medá růměr modu medá růměr Hodoty číelého tattcého zau Obr. 6. Dva oubory odlšující e úroví - olohou 49

3 Medá e řadí mez tzv. vatly. 5.. Kvatly a medá Kvatly rozdělují vzetuě uořádaou varačí řadu v oměru četotí P:(-P), de 0 P, alteratvě 00P : (00 00P). Hovoříme o P vatlu ebo 00P% vatlu. Přílady: Medá ~ 50% vatl - rozděluje oubor a dvě olovy ( ~ 0,50 ), 0,5, 0,50, 0, ), 0,0, 0,0,..., 0, ), Kvartly 5%, 50% a 75% vatl ( 75 Decly 9 vatlů ( 90 Percetly 99 vatlů, teré rozdělují oubor a 00 dílů o %, Otly, edecly rozdělují oubor a omy, re. šetácty U dat tříděých uovým tříděím určujeme ouze třídy, teré obahují řílušé vatly, hrubou aromac ro vatly ředtavuje třed řílušé třídy. Používáme vša řeější aromace, teré jou založey a ředoladu rovoměrého rozděleí hodot ve třídách. Medá je tedy rotředí hodotou uořádaé řady hodot a jao taový dělí tuto řadu a dvě tejě olovy co do očtu čleů. To zameá, že 50 % hodot je meších a 50 % větších. Př lchém očtu čleů varačej rady je medá rotředí čle. U uořádaé řady 5, 7, 8, 8, 8,, 3, 6, 7, 7, 0, 0, je medá. ~ 3 V říadě udého očtu čleů varačej rady je medáem růměr hodot dvou rotředích čleů řady. U uořádaé řady hodot 5, 7, 8, 8, 8,, 3, 6, 7, 7, 0, 0, je medá ~ 4,5 50

4 Aromace vatlů: P de d d P 00P h 00 P je dolí mez třídy obahující řílušý P- vatl, P je relatví četot této třídy, 00 P je oučtová relatví četot ředcházející třídy, h je šířa třídy oučtová relatví očetoť 00 P P 00P d P třídí zay Obr. 6.3 Přílad a aromac vatlů U tříděého ouboru, daého uovým (tervalovým) rozděleím četotí, lze určt ouze medálí terval, tj. terval, ve terém e medá achází. Medá e odhaduje odle vzorce m ~ a hm de: a - hrace mez ředmedálím a medálím tervalem (třídou), - rozah ouboru, m- - umulatví četot ředmedálího tervalu, m - četot medálího tervalu (třídy), - šířa medálího tervalu (třídy). h m Medá lze taovt rověž grafcy, a to uštěím olmce z růečíu grafu umulatví četot vzetué a etué a ou, a teré jou vyeey hrace třídícího zau m 5

5 ˆ 5.3. Modu Modu je charaterzová jao ejčetější hodota vattatvího zau zoumaého ouboru, je to tedy hodota, terá e v ouboru vyytuje ejčatěj. Nař. u ouboru hodotam zau 8, 9, 9,,,, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 0 je ejčetější hodotou 5, taže modu je rove. ˆ 5 Grafcy lze modu odvodt z rozděleí četot ojtého tattcého zau. Odovídá hodotě zau od vrcholem frevečí řvy. U dat tříděých uovým tříděím určujeme modálí terval (tycou třídu) řčemž modálím tervalem je terval ejvětší četotí (tab. 6.). Př určtém zjedodušeí můžeme za modu ovažovat tředí hodotu (třídí za) tohoto tervalu. Třída Hrace měíčích říjmů (Č) d - h Střed říjmové hrace (Č) Tab. 6. Rozděleí domácotí odle říjmových u Počet domácotí Relatví očet domácotí Kumulatví četot domácotí abolutí relatví 00. do 0) 7,5 0,5 5,0. <0 až 5),5 3 0, ,0 3. <5 až 30) 7,5 0 0, ,0 4. <30 až 35) 3,5 8 0,0 7 90,0 5. <35 až 40) 37,5 6 0, ,0 6. <40 a více 4,5 0, ,0 80,00 Přeěj můžeme modu odhadová a záladě modálího tervalu a tervalů ouedích. ˆ L h de: L dolí hrace modálího tervalu, rozdíl četotí modálího a ředcházejícího tervalu rozdíl četotí modálího a áledujícího tervalu h déla modálího tervalu 5

6 Přeější aromace je založeá a ředoladu rovoměrého rozděleí hodot ve třídách htogramu abolutí očetot. ˆ dm m m m m m h de: dm.. je dolí mez modálí třídy, je četot modálí, ředcházející a áledující třídy, m, m, m h.. je šířa třídy Početot m m m h dm ˆ třídí zay Obr. 6.3 Přílad a aromac móduu 53

7 5.4. Průměry Ve tattce rozlšujeme: všeobecý druh růměru růměr mocý, růměry artmetcý, vadratcý, geometrcý a harmocý. Rozlšují e dvě formy výočtu rotá a vážeá. Protá forma je využíváa u etříděých hodot zau (obvyle jde o málo rozáhlé oubory), Vážeá forma u hodot tříděých (ř rozděleí četotí re. tervalovém rozděleí četotí). Obecé vlatot růměrů: Určující vlatot růměry jou fucem všech hodot varačí řady, leží vždy mez mmálí a mamálí hodotou varačí řady, změí-l e teráol z hodot varačí řady, změí e růměr tejým měrem (e vša o tejou hodotu!). Secfcé vlatot růměrů: artmetcý růměr je založeý a tálot oučtu hodot Q Q Q... H G G H G H vadratcý růměr je založeý a tálot oučtu čtverců hodot Q harmocý růměr je založeý a tálot oučtu řevráceých hodot H geometrcý růměr je založeý a tálot ouču hodot G Př orováváí velot uvedeých růměrů očítaých ze tejých hodot latí, že čím větší je tueň mocového růměru, tedy čím je větší, tím má růměr vyšší úroveň: H G Q 54

8 Mocý růměr Suu růměrů lze charaterzovat obecým vzorcem jao -tou odmocu z artmetcého růměru -tých moc hodot číelého (vattatvího) zau: Mocý růměr tuě : v roté formě (etříděé údaje) ve vážeé formě (tříděé údaje) de: - hodota zau - rozah ouboru - tueň mocového růměru (celé čílo) Platí: artmetcý růměr vadratcý růměr harmocý růměr 0 geometrcý omocí log růměr Q H G

9 56 8, , ,3 8,3 4,6 5 6,6 8,3 4 8,3 4, , Artmetcý růměr Na měřeí růměru e ejvíce oužívá artmetcý růměr, terý zjedodušeě ozačujeme jao růměr. Artmetcý růměr je mocý růměr tuě. Artmetcý růměr by e eměl brát do úvahy, dyž je rozděleí vícevrcholové rozděleí je aymetrcé. jou orajové třídy otevřeé výber obahuje etréme málo rvov Přílad: Soubor jedote o rozahu = Hodoty vat. zau: 4, 4, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,, 4 Protá forma výočtu: Vážeá forma výočtu: Př vážeé formě výočtu mohou být oužty eje abolutí četot, ale četot relatví: 8,

10 Vážeá forma muí být ulatňováa ř výočtu artmetcého růměru z rozděleí četotí č tervalového rozděleí četotí, z dílčích růměrů, z oměrých číel ebo rocet Přílad. Zámy z matematy v určté třídě jou uvedeé v tabulce. Vyočítejte růměrou zámu z matematy. Stattcý za Záma Početot Počet záme Průměrá záma je vážeý růměr. w , Vlatot artmetcého růměru Součet hodot všech hodot tattcého zau ( ) je tejý jao ouč artmetcého růměru a rozahu ouboru : 0 Součet čtverců rozdílů jedotlvých hodot tattcého zau od jejch artmetcého růměru je mmálí : m a a Součet rozdílů jedotlvých hodot tattcého zau ( ) a jejch artmetcého růměru je rove ule : Přočteí (odečteí) tejé otaty e (od) aždé hodotě tattcého zau ( ) má za álede zvýšeí ( ížeí ) artmetcého růměru o tuto otatu. Náobeím (děleím) všech hodot tattcého zau ( ) tejou otatou e artmetcý růměr zvýší (íží) otatou-rát. c c Náobeím (děleím) všech četotí tejou otatou e artmetcý růměr eměí. c c Artmetcý růměr oučtu (rozdílu) hodot dvou tattcých zaů je rove oučtu (rozdílu) jejch artmetcých růměrů : y y 57

11 Harmocý růměr Pro h bude harmocý růměr v roté, re. vážeé formě í ro 0 h Určující vlatot:... h h h h... Použtí: Harmocý růměr e čato oužívá a charatertu hodot, teré ředtavují ařílad výoové lmty, aebo růměrováí zaů, teré mají charater rozměrých č bezrozměrých oměrých číel, řčemž váha je velča z čtatele zlomu ař. výočet růměré rychlot (dráha/ča), de vaham jou dráhy, výočet růměré emocot (očet emocých/očet všech), de vaham jou očty emocých, výočet růměré zové marže (z/tržba), de vaham jou zy. Je-l vahou velča ze jmeovatele zlomu, oužjeme artmetcý růměr. Pro Geometrcý růměr bude geometrcý růměr (uvedeme ouze rotou formu): g, ro 0 Určující vlatot:... g g... g g Použtí: Geometrcý růměr e čato oužívá v eoomcých a obchodích výočtech jao uazatel růtu ebo odílu (zu). Používá e taé růměrováí bezrozměrých růtových charatert zřetězeých v čae (oefcetů růtu, řetězových deů), dy celová změa je dáa jao ouč dílčích změ ař. růměrá měíčí flace vyočteá z údajů za ěol ro obě jdoucích měíců (ceová hlada daého měíce/ceová hlada ředcházejícího měíce):

12 Pro Kvadratcý růměr bude vadratcý růměr v roté, re. vážeé formě Použtí: Kvadratcý růměr e obyčejě oužívá ve fyzálích alacích Vztahy mez charatertam úrově Vzhledem tomu, že mocý růměr tuě je eleající fucí číla, latlo by ř výočtu ze tejých dat h g. Vzájemá oloha artmetcého růměru, medáu a modu vyovídá o aymetr rozděleí hodot zau je-l ˆ ~ jde o ouměré (ymetrcé) rozděleí hodot zau, je-l ˆ ~ jde o levotraou (ladou) aymetr, je-l ~ jde o ravotraou (záorou) aymetr. ˆ 59

13 5.5. Charaterty varablty (romělvot) Pojem varablty, zdroje varablty Varablta = romělvot, olíavot (ař. v čaové řadě) číelých dat. Charaterty varablty jou výzamou uou jedorozměrých ouhrých číelých charatert. Zatímco tředí hodoty dávají formac o abolutí úrov c evyovídají o rozolíaot dat. Charaterty varablty rozšřují tuto formac tím, že charaterzují romělvot (varabltu) zoumaého vattatvího zau v daém ouboru. Přílad: Dvě uy tudetů íšou tejý tet áledujícím výledy:. ua ua Po vyočítáí růměrů dotaeme:. ua. ua 7,5 7,5 ~ 7, 7,0 ˆ 77,0 77,0 Na rví ohled eí z uvedeých růměrů vdět rozdíl mez uam. Podrobější tudum, ale uáže, že rozdíl mez uam je v tom, že výledy. uy jou mohem roztýleější (rozolíaější) varablější. Varablta mez daty je jedou z charatert, vůč terým jou růměry ectlvé. Čím je větší varablta, tím je rověž větší hodota charaterty varablty. Homogeější oubory mají tedy meší varabltu a to má ve vém důledu vlv a leší vyovídací choot tředí hodoty. Kde e etáme varabltou:. mez růzým tattcým jedotam téhož ouboru,. u jedé tattcé jedoty v růzých čaových tervalech ebo oamžcích zjšťováí, 3. u jedé tattcé jedoty ř oaovaém zjšťováí téže otatí hodoty áhodé chyby měřeí, 4. defety v datech hrubé chyby, heterogeta dat. Zatímco rví dva body rerezetují řrozeou varabltu, jejímž zdrojem je růzot odmíe v rotoru a čae, další dva ředtavují chybovou varabltu, jejíž řítomot v datech je ežádoucí. 60

14 Početot varačí rozětí rozětí vartlů varačí rozětí rozětí vartlů Obr. 6.4 Dvě tříděé datové řady lšící e mj. ve varabltě: třídí zay Přehled záladích charatert varablty: varačí rozětí R vatlové odchyly (vartlová Q, declová D, ercetlová P ) růměrá odchyla abolutí růměrá odchyla relatví roztyl (varace) měrodatá odchyla varačí oefcet V d d Záladím charatertam varablty, výzamým hodotam jou: varačí rozětí Rv, roztyl, měrodatá odchyla. 6

15 5.5.. Varačí rozětí Varačí rozětí je rychlou, jedoduchou, ale je oretačí charatertou varablty založeou a formac o rozdílu mez mamálí a mmálí hodotou ouboru. R = ma - m Př oužtí varačího rozětí muíme vždy být vědom toho, že hodoty mma a mama v ouboru mohou mít charater ahodlých etrémů a tím eřměřeě zvětší aš ředtavu o míře varablty ve zoumaém ouboru Průměré odchyly Průměrá odchyla je založea a rozdílu mez aměřeým hodotam zau a určté taoveé hodoty. Velčam e, teré růměré odchyly vztahujeme zravdla a medá ~ a artmetcý růměr. Průměré odchyly lze taovt ja v abolutí, ta v relatví odobě. Relatví růměrá odchyla může abývat hodot od 0 % do 00 %. Čím více e blíží ule, tím více je zoumaý oubor homogeí, a tedy tím větší řeotí a věrohodotí jej lze vyjádřt omocí růměru, moduu ebo medáu. d Průměrá abolutí odchyla olem artmetcého růměru je defovaá jao abolutí hodota odchyle jedotlvých hodot ouboru od artmetcého růměru. V říadě etříděých ouborů má odobu: V říadě tříděých ouborů má tvar: d ~ d ~ Př výočtu růměrá abolutí odchyly olem medáu oužíváme v uvedeých vzorcích medá. 6

16 Roztyl Roztyl je defová jao artmetcý růměr ze čtverců odchyle jedotlvých hodot od artmetcého růměru (růměrá čtvercová odchyla olem artmetcého růměru). V říadě etříděých ouborů má odobu: V říadě tříděých ouborů má tvar: ( ( ) ) Roztyl je tzv. rozměrá charaterta varablty, rozměr roztylu odovídá čtverc rozměru dat. Vlatot roztylu: roztyl je ezáorý, roztyl otaty je rove ule, roztyl je ejmeší růměrá čtvercová odchyla (vz vlatot růměru), Směrodatá odchyla Roztyl ám o obě eí dobře terretovatelou velčou, rotože výlede je dá ve čtvercích měrých jedote. Proto e ř hodoceí varablty dává ředot druhé odmocě roztylu tzv. měrodaté odchylce. Směrodatá odchyla druhá odmoca roztylu. Její rozměr odovídá rozměru dat, je vždy větší ež růměrá abolutí odchyla od artmetcého růměru. Nelze taovt měrodatou odchylu oučtu a rozložt olečou měrodatou odchylu a ložy. O varabltě ouboru rozhodujeme orováím artmetcým růměrem. Čím větší rozdíl tím větší varablta. Př hodotě 0 jou všechy obměy tattcého zau tejé. Př rovot hodot hovoříme o růměré varabltě. Když je růměrá odchyla řblžě dvarát větší ež artmetcý růměr hovoříme o velé varabltě. Když je růměrá odchyla třrát a více větší ež artmetcý růměr hovoříme o etrémí varabltě a daý oubor emá ratcý výzam zoumat. Přtuujeme jým možotem, jao je ařílad odtraěí etrémů, rozděleí ouboru a dílčí oubory aod. 63

17 Varačí oefcet charaterta varablty Varačí oefcet v ro 0 (evetuálě v %) bezrozměrá Patří mez relatví míry varablty, rotože evyjadřuje varabltu v ůvodích měrých jedotách, ale oměr měrodaté odchyly a artmetcého růměru. Obvyle teto oměr rezetujeme v rocetech. Pa udává, z ola rocet e v růměru odchylují jedotlvé hodoty od artmetcého růměru. Dooručuje e oužívat ouze ro ladé hodoty zau Paretova aalýza Data je možé aalyzovat omocí Paretovy aalýzy. Pomocí Paretova dagramu můžeme vzuálě zobrazt výlede. Paretův dagram je ty grafu, terý je ombací loucového a čárového grafu de louce zázorňující četot ro jedotlvé ategore jou eřazey odle velot (ejvyšší louec vlevo, ejžší vravo) a le ředtavuje umulatví četot v rocetech. Dagram je ojmeovaý odle Vlfreda Pareta. Paretův dagram e oužívá zázorěí důležtot jedotlvých ategorí. [] Přílad: Dejme tomu, že máme dozc chroologcý vý závad, vzlých a racovšt, ta ja byly zazameáváy v období oledích deet dí. Naším úolem je tyto závady aalyzovat a omocí Paretova dagramu a Lorezovy řvy avrhout ty závady, jejchž odtraěím e doáhe ožadovaé ížeí oruchovot zařízeí. 64

18 5.7. Aalýza trutury (ocetrace) Platí ro čtatelý za, bez ohledu a to, zda je tříděý ebo e. V tomto říadě lze hodott oučaě odíl jedotlvých říadů a rozahu ouboru (relatví četot), odíl jedotlvých říadů a celovém úhru hodot zau, obojí v umulatví (oučtové) odobě. Grafcým vyjádřeím vztahu těchto dvou velč je Lorezova ocetračí řva. Pro oubor měíčího říjmu 80 domácotí můžeme etavt tuto tabulu Třída Příjmové uy Střed říjmové uy [t Č] Počet rod Součtový odíl rod 00 [%] Celový říjem všech rod [t Č] Podíl říjmové uy a celovém říjmu všech rod [%] d - h [t Č]. do 0) 7, ,. <0 až 5), ,4 3. <5 až 30) 7, , 4. <30 až 35) 3, ,9 5. <35 až 40) 37, ,9 6. <40 a více 4, , ravá oa y levá oa y vodorová oa Součtový odíl rod 00 [%] Příjem rod [horí hrace říjmových u v t Č] Gův de 60 5 Lorezova ocetračí řva 40 0 Medál Medá Podíl říjmu rod a celovém říjmu všech rod [%] 65