rkvnční a přchodové charaktristiky. rkvnční a přchodové charaktristiky.. Obcný matmatický popis Přchodové a frkvnční charaktristiky jsou důlžitým prostřdkm pro analýzu a syntézu rgulačních obvodů a tdy také rgulovaných pohonů. Dynamické chování rgulačního obvodu j dáno časovým průběhm rgulované vličiny při dfinované změně jiné vličiny, např. řídící nbo poruchové (zatížní. Njvětší význam má přchodová charaktristika jako rakc na jdnotkový skok vstupní vličiny. rkvnční charaktristika udává amplitudu a fázi výstupní vličiny při sinusové změně vstupní vličiny v závislosti na frkvnci. Vztah mzi vstupní vličinou x a výstupní vličinou y linárního člnu rgulačního obvodu j popsán linární difrnciální rovnicí, ktré odpovídá oprátorový přnos dfinovaný jako poměr L. obrazu výstupní vličiny k L. obrazu vstupní vličiny [Črmák, 986] ( p y( p b p + b m m m m n n x( p an p + an p p +... + b p + b +... + a p + a 0 0 Mnohočlny v čitatli a jmnovatli s u dějů vyskytujících s v lktrických pohonch obvykl dají rozložit na součin člnů. vnt.. řádu. Jstliž na vstup linárního člnu rgulačního obvodu přivdm sinusový signál frkvnc, pak po odznění přchodného děj bud na výstupu rovněž sinusový signál frkvnc, jho amplituda a fáz s však budou lišit od vstupního signálu. Provdm-li komplxní poměr výstupní vličiny y a vstupní vličiny x pro různé frkvnc, dostanm frkvnční charaktristiku (j y/x. Rozsah frkvncí, pro ktré vyštřní charaktristiky v rgulovaných pohonch provádím, j 0,0... 00, příp. 0,... 000. ( j ( + n+ ( + n +...( + n m ( + ( +...( + + mitavé systémy navíc obsahují v jmnovatli jdn nbo víc člnů. řádu. Pro grafické vyjádřní využívám v rgulovaných pohonch njčastěji závislost amplitudy (j a fáz φ arg [(j] komplxního výrazu n jϕ ( ( j R( + j Im( ( j ( R( + ( Im( Im( j arctg R( (j φ( R( Im( Obr... Zobrazní přnosu jako komplxního čísla Obvykl vyjadřujm zsílní v (dciblch, takž zjišťujm (j 0 log (j, přičmž stupnici volím logaritmickou. Hovořím pak o logaritmické amplitudové a fázové frkvnční charaktristic (LACH nbo Bodův diagram.
rkvnční a přchodové charaktristiky Mzi průběhm amplitudy a fáz většiny systémů xistuj úzká souvislost, nboť průběhm amplitudy j určn průběh fáz a naopak. Všchny stabilní systémy tuto podmínku splňují a lz si přdstavu o jjich chování učinit z amplitudové charaktristiky. Pro snazší aplikaci aproximujm skutčný průběh amplitudové charaktristiky asymptotami. Logaritmické frkvnční charaktristiky umožňují jdnoduchý výpočt charaktristik složných obvodů, nboť násobní přnosů při řazní člnů za sbou s rdukuj na sčítání charaktristik [Črmák, 986]: Při složitějším řazní, např. pro přnos: ( p ( j 3 ( p ( p ( p ( p 4 ( j ( j ( j ( j j ϕ ( ( j ( j j ϕ 3 ( ( j ( j ( j ( j ( j ( j j ϕ ( j 3 4 j ϕ 4 ( 3 4 3 4 3 4 ( ϕ ( + ϕ ( ϕ ( ϕ ( ( j 0log ( j 0log ( j + 0log ( j 0log ( j 0 ( j 3 log 4 ( ϕ ( + ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ 3 4 Difrnciální rovnic, oprátorový přnos a frkvnční charaktristika určují sic dynamické vlastnosti systému, avšak pro praktický jdnotný popis člnů rgulovaného pohonu a jdnoduchou analýzu a syntézu j njvhodnější přchodová charaktristika jako odzva na jdnotkový skok (t pro t 0 a (t 0 pro t < 0... Charaktristiky njdůlžitějších člnů v rgulačních obvodch... Proporcionální čln Vytváří výstupní signál úměrný vstupnímu bz časového zpoždění (např. tachodynamo nbo odporový dělič. Jho difrnciální rovnic má tvar y o x, oprátorový přnos (p o. rkvnční přnos obsahuj pouz rálnou část, takž absolutní hodnota (amplituda j rovna přímo konstantnímu zsílní o. áz proporciálního člnu, vycházjící z obcného vztahu j po dosazní nulová ( Im( / R( arctg( 0 / 0 0 ϕ arctg
rkvnční a přchodové charaktristiky Obr... Přchodová charaktristika Obr..3. LACH proporcionálního člnu proporcionálního člnu... Apriodický článk.řádu (strvačný čln Njčastěji s vyskytující článk v rgulačních obvodch l.pohonů j apriodický článk.řádu. Budící obvod, kotvní obvod stjnosměrného motoru a další obvody charaktrizované v náhradním schématu sériovým spojním indukčnosti L a odporu R jsou typickými příklady tohoto článku. oprátorový přnos R-L obvodu j ( p I( p U ( p + / R + p( L / R rkvnční přnos ( j LACH: + j 0 ( ( j arctg Im( / R( T + ( T j arctg ( T ( j 0log ( j 0log 0log + ( T ϕ ( arctg( T Asymptotická amplitudová charaktristika: pro T << platí ( j 0 log 0log 0log pro T >> platí ( j 0log 0logT Aproximovali jsm skutčný průběh amplitudové charaktristiky asymptotami s sklonm 0 /dk v frkvnčním rozsahu 0 až /T a s sklonm - 0 /dk v frkvnčním rozsahu /T až rkvnci /T říkám lomová frkvnc, v ní s skutčná amplitudová charaktristika liší s njvětší chybou od asymptotické (-3. Průběh fáz: ázová charaktristika φ( - arctg (T má pro lomovou frkvnci /T φ -arctg ( -45. Pro 0 φ -arctg (0 0 pro φ -arctg ( -90 Přchodová charaktristika má rovnici y T t 3
rkvnční a přchodové charaktristiky Obr..4. LACH člnu. řádu (krslno pro a T Obr..5. Přchodová charaktristika člnu. řádu..3. Zpožďovací čln.řádu (kmitavý článk + pδ T + p T ( p V závislosti na vlikosti tlumní δ můž mít rovnic 3 druhy řšní: a δ > V tomto případě dvou různých rálných kořnů charaktristické rovnic jmnovatl s dá řšní přvést na sériové spojní dvou zpožďujících člnů. řádu. Pro jsou LACH vynsny na obr..6 a přchodová charaktristika má apriodický charaktr viz obr..8. ( p ( + ( + + pδ T + p T Porovnáním koficintů u p, rsp. p dostanm vztah pro strvačné časové konstanty T ( δ ±, T δ Přchodová charaktristika má rovnici T y T T t T T T T t T b δ V tomto případě vychází dvojnásobný rálný kořn, ktrý vd k přchodové charaktristic na mzi apriodicity. T T T 4
rkvnční a přchodové charaktristiky c δ < V tomto případě dvou komplxně sdružných kořnů s zápornou rálnou částí j průběh kmitavý tlumný, při kladné rálné části kmity narůstají. Oprátorový přnos pak uvádím v výchozím tvaru + pδ T + p T ( p rkvnční přnos ( j + jδt + j T ( T + jδt ( j ( T + ( δt ( j 0log ( j 0log 0log ( T + ( T δ Asymptotická amplitudová charaktristika: Vynáším ji pro případ, kdy uvažujm δ. ( j 0log ( j 0log 0log T + ( T + 4 0log 0log + T + ( T 0log 0log ( + T 0log 40log + ( T T pro T << platí ( j 0 log 0log 0log pro T >> platí ( j 0log 40logT Průběh fáz: Im( ϕ( arctg arctg R δt ( ( T ázová charaktristika φ( má pro lomovou frkvnci /T φ -arctg (δ/0-90. Pro 0 φ -arctg (0/ 0 pro φ -arctg (δt/(/- T -arctg (δt/(- -80 mitavý článk j tdy charaktrizován tlumním δ <. Pro jsou LACH vynsny na obr..7. Přchodová charaktristika má v tomto případě rovnici (průběh viz obr..9. t y cos δ T + δ δ t sin δ T δ t T 5
rkvnční a přchodové charaktristiky Obr..6. LACH člnu + + Obr..7. LACH kmitavého člnu (krslno pro, 0 /T Obr..8. Přchodové charaktristiky člnu + + Obr..9. Přchodové charaktristiky kmitavého člnu..4. Intgrační čln Intgrační čln s vyskytuj v pohonch vlmi často jako rgulátor a nbo jako součást rgulované soustavy. Oprátorový přnos ( p rkvnční přnos ( j ( j T ( j 0log ( j 0 log 0logT 0logT 6
rkvnční a přchodové charaktristiky Im( T Průběh fáz: ϕ ( arctg arctg 90 R( 0 Přchodová charaktristika j přímka y h(t t/t (obr..0, LACH má sklon -0 /dk (obr.. a konstantní fázi -90 v clém rozsahu frkvncí. Obr..0. Přchodová charaktristika intgračního člnu Obr... Amplitudová charaktristika intgračního člnu..5. Čln s dopravním zpožděním Typickým přdstavitlm tohoto člnu j dynamické chování tyristorového měnič. Rozbor provdm pro jdnotkové zsílní člnu. Rovnic j y x(t-t, přchodová charaktristika j na obr... Přnos ( p j ( j cos( T + j sin( T cos( T j sin( T T ( j T j cos ( T + sin ( T ( j 0 log 0 Průběh fáz: ϕ( Im( sin( T arctg arctg arctg( tg( T T R cos( T ( LACH (obr..3. má tdy amplitudu splývající s osou 0 a fázi φ -T. Pohybuj s tdy od nuly do - (při frkvnci /T φ - rad, tj. -57,3. Pro oblast vysokých kmitočtů způsobuj tdy značnou změnu fáz. Obr... Přchodová charaktristika Obr..3. Amplitudová charaktristika 7
rkvnční a přchodové charaktristiky člnu s dopravním zpožděním..6. Drivační čln člnu s dopravním zpožděním Oprátorový přnos ( p rkvnční přnos ( j ( j T ( j 0 log ( j 0logT Průběh fáz: ϕ ( Im( T arctg arctg 90 R 0 ( Přchodová charaktristika má rovnici y pro t 0 y 0 pro t > 0 ktrá odpovídá výchozí difrnciální rovnici y T dx/dt..7. Proporcionálně drivační čln (PD čln, někdy nazývaný také jako přdstihový čln Oprátorový přnos ( p ( + rkvnční přnos ( j ( + ( ( ( j arctg Im( / R( arctg( T j T ( T j + + LACH: ( j 0log ( j 0log + 0log + ( T ( arctg( T ϕ Asymptotická amplitudová charaktristika: pro T << platí ( j 0 log + 0log 0log pro T >> platí ( j 0 log + 0logT Aproximovali jsm skutčný průběh amplitudové charaktristiky asymptotami s sklonm 0 /dk v frkvnčním rozsahu 0 až /T a s sklonm + 0 /dk v frkvnčním rozsahu /T až rkvnci /T říkám lomová frkvnc, v ní s skutčná amplitudová charaktristika liší s njvětší chybou od asymptotické (3. Průběh fáz: ázová charaktristika φ( arctg (T má pro lomovou frkvnci /T φ arctg ( 45. Pro 0 φ arctg (0 0 8
rkvnční a přchodové charaktristiky pro φ arctg ( 90 LACH PD člnu viz obr..4. Přchodová charaktristika má rovnici y pro t 0 y pro t > 0..8. Srovnání LACH výš uvdných člnů Obr..4. LACH základních člnů (indx... apriodický článk.řádu (strvačný čln (indx 3... intgrační čln (indx 4... čln s dopravním zpožděním (indx 6... proporcionálně drivační čln Z obr..4. j vidět, ž pro frkvnc T << amplitudová charaktristika apriodického článku a článku s dopravním zpožděním 4 splývají a rovněž fázové charaktristiky pro tyto frkvnc jsou si blízké. Proto j možno provést též aproximaci člnu s dopravním zpožděním apriodickým článkm v případě, ž přvrácná hodnota dopravního zpoždění j výrazně větší nž horní frkvnc pásma rozhodujícího o stabilitě rgulačního obvodu. 9
rkvnční a přchodové charaktristiky..9. Proporcionálně intgrační (PI čln Tnto čln j njčastěji s vyskytující rgulátor v rgulačních obvodch l. pohonů Oprátorový přnos ( p rkvnční přnos ( j ( + ( + ( j + ( T j arctg( T T ( π / LACH: ( j 0log ( j 0log + 0log + ( T 0log T ϕ ( arctg ( T π / Asymptotická amplitudová charaktristika: pro T << platí ( j 0log + 0log 0logT 0log 0logT pro T >> platí ( j 0 log + 0logT 0logT 0log Dostávám tdy asymptoty s sklonm -0 /dk v frkvnčním rozsahu 0 až /T a s sklonm 0 /dk v frkvnčním rozsahu /T až Průběh fáz: ázová charaktristika φ( arctg (T π/ má pro lomovou frkvnci /T φ arctg ( -45. Pro 0 φ arctg (0-90 pro φ arctg ( 0 Přchodová charaktristika má rovnici t y +, což plyn z složkového tvaru oprátorového přnosu T ( + + ( p 0
rkvnční a přchodové charaktristiky φ -0 0 0 T T 0 log - 45-90 φ Obr..5. LACH PI člnu Obr..6. Přchodová charaktristika PI člnu..0. Proporcionálně intgračně drivační (PID čln Tnto čln j často s vyskytující rgulátor v rgulačních obvodch l.pohonů Oprátorový přnos ( p ( + ( + rkvnční přnos ( + j ( ( + ( j ( T + ( T j arctg ( T + arctg ( T + ( π / T LACH: ( j 0log ( j 0log + 0log + ( T + 0log + ( T 0log T ϕ ( arctg ( T + arctg( T / π Asymptotická amplitudová charaktristika: uvažujm, ž T > T (/ T < / T pro << /T (tím spíš << /T platí ( j 0log 0logT pro /T << << /T platí ( j log + 0logT + 0 log 0logT 0log 0 pro >> /T (tím spíš >>/T platí j 0log + 0logT + 0logT 0logT 0log + 0logT (
rkvnční a přchodové charaktristiky Dostávám tdy asymptoty s sklonm -0 /dk v frkvnčním rozsahu 0 až /T, s sklonm 0 /dk v frkvnčním rozsahu /T až /T a sklonm +0 /dk v frkvnčním rozsahu /T až. Průběh fáz: ázová charaktristika φ( arctg (T + arctg (T π/ má pro 0 φ arctg (0-90 pro φ arctg ( 90 Tvar přchodové charaktristiky plyn opět z složkového tvaru oprátorového přnosu ( + + ( T + T ( p + + T Přchodová charaktristika má rovnici y pro t 0 T + T t y + pro t > 0 T T T T T Obr..7. LACH PID člnu Obr..8. Přchodová charaktristika PID člnu