CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní úhly při straně délky a jsou pravé. Nejdelší strana má délku b, nejkratší 3 (viz obrázek). max. 3 body 1.1 Určete výraz o, který vyjadřuje délku obvodu čtyřúhelníku. 1.2 Určete zjednodušený výraz S, který vyjadřuje velikost obsahu čtyřúhelníku. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Továrník Ludeček si nechal na zakázku vyrobit na svůj rozložitý, starožitný pracovní stůl ve stylu art deco od architekta Jindřicha Halabaly sestavu 28 šanonů z barevného tvrzeného polystyrenu. Nejvyšší šanon má výšku 60 cm, druhý nejvyšší 58,5 cm, další potom 57 cm atd. Šanony mají stejnou šířku 7 cm. Když se šanony postaví těsně vedle sebe do řady, zabírají bez 4 cm celou délku stolu. 2.1 Jakou délku má továrníkův stůl? 2.2 Jakou výšku má nejnižší šanon? max. 2 body 2 Maturita z matematiky 08
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do čtvercové mřížky tvořené čtverečky o straně délky 1 byla zakreslen čtverec (viz obrázek) rozdělený na tři části pravoúhlé trojúhelníky (I a III) a pětiúhelník, jejichž vrcholy leží v bodech mřížky. max. 2 body 3.1 Který z útvarů I, II, nebo III má největší obvod? 3.2 Jakou část obsahu čtverce tvoří obsah pětiúhelníku II? (Výsledek uveďte jako zlomek v základním tvaru.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Neořezaná tužka na kreslení je kolmý válec s podstavou kruhu o průměru 6 mm, do něhož je vložen válec tuhy o průměru 2 mm o stejné výšce. Po ořezání vznikl odpad rovnající se 5 % objemu celé tužky, z tuhy byl odpad menší, jen 1 % jejího původního objemu. Objem tuhy je po ořezání 594 mm 3. 4 Jaký objem v mm 3 měla neořezaná tužka? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[5, 11], B[ 1, 5], P[x, y], x, y R. Bod P leží uvnitř úsečky AB. 5 Určete P tak, aby platilo: AP : PB = 2 : 1 1 bod 6 Řešte rovnici 3 x + 3 x + 1 = 12 s neznámou x R. 1 bod Maturita z matematiky 08 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce reálné proměnné f: y = 3px p + 1, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel, kde p je reálný parametr. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro p > 1 je funkce rostoucí. 7.2 Pro p = 1 je funkce lichá. 7.3 Existuje alespoň jedno p, pro které je funkce f omezená. 7.4 Existuje alespoň jedno p, pro které nemá graf funkce f průsečík s osou y. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V balíčku 30 karet jsou jen čtyři druhy karet. Na deseti z nich je na lícové straně obrázek zeleného čtverce, na devíti obrázek červeného kruhu, na třech kartách je vyobrazen zelený kruh a na zbylých kartách obrázek červeného trojúhelníku. 2 body 8 Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytáhneme kartu s červeným obrázkem nebo s obrázkem kruhu? 29 A) 30 B) C) 41 72 2 3 D) 1 125 E) žádná z uvedených možností 2 body 9 Která z možností A E udává počet právě všech kořenů rovnice x2 + 2x 3 = x + 3 x + 3 pro přípustné hodnoty reálné neznámé x? A) žádný B) jeden C) dva D) tři E) nekonečně mnoho 4 Maturita z matematiky 08
max. 4 body 10 Přiřaďte každé dvojici čísel (10.1 10.4) jejich největší společný dělitel (A F). 10.1 144,120 10.2 240, 36 10.3 60, 64 10.4 120, 100 A) 4 B) 8 C) 12 D) 20 E) 24 F) 60 KONEC TESTU Maturita z matematiky 08 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní úhly při straně délky a jsou pravé. Nejdelší strana má délku b, nejkratší 3. 1.1 Určete výraz o, který vyjadřuje délku obvodu čtyřúhelníku. max. 3 body K výpočtu délky obvodu potřebujeme délku čtvrté neznámé strany. Určíme ji tak, že doplníme čtyřúhelník na obdélník. Hledaná strana je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky a a b 3. Délka o obvodu bude tedy vyjádřena výrazem o = 3 + a + b + a 2 + (b 3) 2. Řešení: o = 3 + a + b + a 2 + (b 3) 2 6 Maturita z matematiky 08
1.2 Určete zjednodušený výraz S, který vyjadřuje velikost obsahu čtyřúhelníku. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Pro výpočet obsahu naopak odečteme od obsahu obdélníka polovinu obsahu obdélníka, v němž je šikmá strana čtyřúhelníku úhlopříčkou. Téhož dosáhneme, sečteme-li velikosti obsahů menšího z obdélníků a pravoúhlého trojúhelníka (viz obrázek). Velikost S obsahu vypočteme takto: S = ab 1 2 [a (b 3)] = 3a + 1 2 [a (b 3)] = 1 2 ab + 3 2 a = = 1 2 a(b + 3). Řešení: S = 1 2 a(b + 3) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Továrník Ludeček si nechal na zakázku vyrobit na svůj rozložitý, starožitný pracovní stůl ve stylu art deco od architekta Jindřicha Halabaly sestavu 28 šanonů z barevného tvrzeného polystyrenu. Nejvyšší šanon má výšku 60 cm, druhý nejvyšší 58,5 cm, další potom 57 cm atd. Šanony mají stejnou šířku 7 cm. Když se šanony postaví těsně vedle sebe do řady, zabírají bez 4 cm celou délku stolu. Maturita z matematiky 08 7
2.1 Jakou délku má továrníkův stůl? max. 2 body Šanonů bude stát vedle sebe 28, tedy zaberou délku 28 7 cm = 196 cm. Takto postavené šanony tvoří bez 4 cm celou délku stolu. Stůl má tedy délku 196 cm + 4 cm = 200 cm. Řešení: 200 cm 2.2 Jakou výšku má nejnižší šanon? Výšky šanonů tvoří aritmetickou posloupnost, a 1 = 60 cm, d = 1,5 cm, určíme a 28. a 28 = a 1 + 27d = 60 cm + 27 ( 1,5 cm) = 19,5 cm Nejnižší šanon má výšku 19,5 cm. Řešení: 19,5 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do čtvercové mřížky tvořené čtverečky o straně délky 1 byla zakreslen čtverec (viz obrázek) rozdělený na tři části pravoúhlé trojúhelníky (I a III) a pětiúhelník, jejichž vrcholy leží v bodech mřížky. 3.1 Který z útvarů I, II, nebo III má největší obvod? max. 2 body 8 Maturita z matematiky 08
Strana jednoho čtverečku mřížky je 1 jednotka. Popíšeme si v obrázku délky všech stran všech útvarů. Spočteme i délky přepon obou pravoúhlých trojúhelníků pomocí Pythagorovy věty. Nyní porovnáme obvody o I, o II, o III. o I = 10 + 5 2 17,07 o II = 4 + 5 2 + 2 13 18,28 o III = 4 + 6 + 2 13 17,21 Nejdelší je obvod pětiúhelníku II. Řešení: II 3.2 Jakou část obsahu čtverce tvoří obsah pětiúhelníku II? (Výsledek uveďte jako zlomek v základním tvaru.) Jakou část obsahu čtverce tvoří pětiúhelník II, spočteme ze vztahu: S (S I + S III ), S kde S je obsah čtverce a S I, S III jsou obsahy pravoúhlých trojúhelníků. 36 ( 25 + 24 2 2 ) = 72 25 24 = 23 36 72 72 Pětiúhelník tvoří 23 obsahu čtverce. 72 Řešení: 23 72 Maturita z matematiky 08 9
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Neořezaná tužka na kreslení je kolmý válec s podstavou kruhu o průměru 6 mm, do něhož je vložen válec tuhy o průměru 2 mm o stejné výšce. Po ořezání vznikl odpad rovnající se 5 % objemu celé tužky, z tuhy byl odpad menší, jen 1 % jejího původního objemu. Objem tuhy je po ořezání 594 mm 3. 4 Jaký objem v mm 3 měla neořezaná tužka? 1 bod Objem tuhy po ořezání tužky je 594 mm 3. Objem T tuhy před ořezáním tužky je 594 mm3 99 % 100 % = = 600 mm 3 = πt 2 v, kde t je poloměr tuhy ( 2 mm = 1 2 mm) a v je výška tuhy (výška válce tuhy je stejná jako výška válce celé tužky). Vypočteme ji ze vztahu pro objem T tuhy. v = T = 600 mm 3 πt 2 π (1 mm) = 600 mm 2 π Podstavou válce celé tužky je kruh o poloměru r = 6 mm = 3 mm. 2 Spočteme nyní objem V válce, který je objemem původní, neořezané tužky. V = πr 2 v = π(3 mm) 2 600 mm = 5 400 mm 3. π Tužka měla původně objem 5 400 mm 3. Řešení: 5 400 mm 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[5, 11], B[ 1, 5], P[x, y], x, y R. Bod P leží uvnitř úsečky AB. 5 Určete P tak, aby platilo: AP : PB = 2 : 1 1 bod Rozdělíme-li úsečku AB na tři díly, bude ležet bod P dva dílky od bodu A a jeden dílek bude vzdálen od bodu B. Bude tedy platit, že: P = A + 2 AB 3 x = 5 + 2 3 ( 1 5) = 5 4 = 1 y = 11 + 2 (5 11) = 11 4 = 7 3 P[x, y] = P[1, 7]. Řešení: P[1, 7] 10 Maturita z matematiky 08
6 Řešte rovnici 3 x + 3 x + 1 = 12 s neznámou x R. 1 bod 3 x + 3 x + 1 = 12 3 x (1 + 3) = 12 3 x = 3 x = 1 x = 1 Řešení: x = 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce reálné proměnné f: y = 3px p + 1, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel, kde p je reálný parametr. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro p > 1 je funkce rostoucí. 7.2 Pro p = 1 je funkce lichá. 7.3 Existuje alespoň jedno p, pro které je funkce f omezená. 7.4 Existuje alespoň jedno p, pro které nemá graf funkce f průsečík s osou y. ANO NE 7.1 Aby byla lineární funkce f: y = 3px p + 1 rostoucí, musí být její směrnice kladná. Kdyby bylo p nulové, půjde o konstantní funkci, která není ani rostoucí, ani klesající. Směrnicí bude pro nenulová p výraz 3p, který je pro kladná p rovněž kladný. Pro p > 1 je tedy funkce určitě rostoucí, neboť každé p > 1 je kladné. Tvrzení je pravdivé. 7.2 Funkce je lichá, platí-li pro každé x z jejího definičního oboru, že f( x) = f(x). Je-li p = 1, jedná se v našem případě o funkci f: y = 3x. Protože pro každé x R platí, že f( x) = 3( x) = 3x = f(x), funkce je lichá. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Aby byla funkce f: y = 3px p + 1 omezená, musí být konstantní, neboť ani rostoucí, ani klesající lineární funkce na množině všech reálných čísel není omezená. Funkce f je konstantní pro p = 0. Takové p tedy existuje. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Pro všechny hodnoty reálného parametru p je funkce f funkcí konstantní nebo lineární. Každá konstantní nebo lineární funkce, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel (viz zadání), je definována i pro x = 0, a tudíž má vždy průsečík s osou y. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, NE Maturita z matematiky 08 11
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V balíčku 30 karet jsou jen čtyři druhy karet. Na deseti z nich je na lícové straně obrázek zeleného čtverce, na devíti obrázek červeného kruhu, na třech kartách je vyobrazen zelený kruh a na zbylých kartách obrázek červeného trojúhelníku. 2 body 8 Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytáhneme kartu s červeným obrázkem nebo s obrázkem kruhu? 29 A) 30 B) C) 41 72 2 3 D) 1 125 E) žádná z uvedených možností Zelené čtverce jsou v balíčku 10 krát, zelené kruhy 3 krát, červené kruhy 9 krát a červený trojúhelník na 8 kartách. Pravděpodobnost P(C), že na první kartě je červený obrázek, je 17, pravděpodobnost P(K), že je tam 30 kruh, je 12. Pravděpodobnost P(C K) jevu, že je na obrázku červený obrázek nebo obrázek kruhu, 30 je rovna součtu pravděpodobností P(C) + P(K), zmenšené o pravděpodobnost P(C K), neboť jevy nejsou disjunktní (případné karty s obrázkem červeného kruhu jsou výsledky příznivé oběma jevům). P(C K) = P(C) + P(K) P(C K), = 17 + 12 9 = 20 = 2 30 30 30 30 3 Správná je možnost C. Řešení: C 2 body 9 Která z možností A E udává počet právě všech kořenů rovnice x2 + 2x 3 = x + 3 x + 3 pro přípustné hodnoty reálné neznámé x? A) žádný B) jeden C) dva D) tři E) nekonečně mnoho 12 Maturita z matematiky 08
Definičním oborem rovnice jsou všechna reálná čísla vyjma 3, pro níž je jmenovatel roven 0. Pro přípustná x rovnici řešíme. x 2 + 2x x + 3 = 3 x + 3 x 2 + 2x = 3 x 2 + 2x 3 = 0 (x + 3)(x 1) = 0 x 1 = 3 x 2 = 1 Kořen x 1 = 3 neleží v definičním oboru. Rovnice má právě jeden kořen. Správně je tedy možnost B. Řešení: B max. 4 body 10 Přiřaďte každé dvojici čísel (10.1 10.4) jejich největší společný dělitel (A F). 10.1 144,120 10.2 240, 36 10.3 60, 64 10.4 120, 100 A) 4 B) 8 C) 12 D) 20 E) 24 F) 60 10.1 D(144, 120) = D(2 4 3 2, 2 3 3 5) = 2 3 3 = 24 Řešení: E 10.2 D(240, 36) = D(2 4 3 5, 2 2 3 2 ) = 2 2 3 = 12 Řešení: C 10.3 D(60, 64) = D(2 2 3 5, 2 6 ) = 2 2 = 4 Řešení: A 10.4 D(120, 100) = D(2 3 3 5, 2 2 5 2 ) = 2 2 5 = 20 Řešení: D KONEC TESTU Maturita z matematiky 08 13
14 Maturita z matematiky 08
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1.1 o = 3 + a + b + a 2 + (b 3) 2 1 bod 1.2 Pro výpočet obsahu naopak odečteme od obsahu obdélníka polovinu obsahu obdélníka v němž je šikmá strana čtyřúhelníku úhlopříčkou. Téhož dosáhneme, sečteme-li velikosti obsahů menšího z obdélníků a pravoúhlého trojúhelníka (viz obrázek). max. 2 body Velikost S obsahu vypočteme takto: S = ab 1 2 [a (b 3)] = 3a + 1 2 [a (b 3)] = 1 2 ab + 3 2 a = 1 2 a(b + 3). Řešení: S = 1 2 a(b + 3) 2 2.1 200 cm 1 bod 2.2 19,5 cm 1 bod 3 3.1 II 1 bod 3.2 23 72 1 bod Maturita z matematiky 08 15
4 5 400 mm 3 1 bod 5 P[1, 7] 1 bod 6 x = 1 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 C 2 body 9 B 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 E 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 C 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 A 10.4 D 16 Maturita z matematiky 08
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1.1 1 bod 1.2 max. 2 body 2 2.1 1 bod 2.2 1 bod 3 3.1 1 bod 3.2 1 bod Maturita z matematiky 08 17
4 1 bod 5 1 bod 6 1 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 10.4 18 Maturita z matematiky 08