3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu s obecými pravidly teorie moži) hodotu tohoto zobrazeí v čísle začit a). Je však zvykemazývattotočíslo -týčleposlouposti,začitje a,proposloupost samuužívatapř.symbol {a } =,vobecějšímpřípadě {a } =N,aazývatji posloupostočleech a.nehrozí-lizáměasjedobodovoumožiou,lzepro tutoposloupostužítistručějšíozačeí {a }. Je-liprokaždé Nobecěji:prokaždé N,kde N Z)dávýrokV),říkáme,ževýrok V)platíproskorovšecha Nobecěji:proskorovšecha N),existuje-likoečámožia K Nobecěji: K NN))tak,ževýrok V)platíprokaždé N Kobecěji:prokaždé NN) K).Nehrozí-li edorozuměí,říkáme,že V)platíproskorovšecha ;místo skorovšecha píšemevětšiou s.v.. Pozameejmeještě,ževýrok V)platípros.v. jeekvivaletísvýrokem existuje 0 tak,že V)platíprovšecha > 0. Zatímco čley posloupostí reálých čísel jsou koečé, limity takových posloupostí budou moci být rovy i ±. Pro pohodlí čteáře zopakujeme základí defiice vztahujícísekčíslůmzr = R {,+ },tedykreálýmčíslům ): 0) Uspořádáí: je ejmeší, + ejvětší reálé číslo, takže erovosti < a <+ platíprokaždé a Rajeovšemi <+ ;sg+ ):=+, sg ):=, + ):=, ):=+, ± :=+. )Součet: a+b:=+, je-libuď a=+ ab >,ebo b=+ aa > ; a+b:=, je-libuď a= ab <+,ebo b= aa <+ ; součet a+bemásmysl,právěkdyžjejedozčísel a, brovo+,druhé. 2)Rozdíl a bjedefiovájakosoučet a+ b),má-litetosoučetsmyslpodle bodu);rozdíl a bemásmysl,právěkdyžjsou a,bekoečáčíslatéhožzaméka. 3) Souči { + ab:= }, je-lisga sgb= { } + abuď a=±,ebo b=± ; souči abemásmysl,právěkdyžjejedozčísel a, brovo ±,zatímcodruhé zichje0. )ČíslazRsepodrobějiazývajíkoečá,čísla ± jsouekoečá.slovoevlastízdeai pročísla,aiprolimityeužíváme,protožemůžebuditdojem,žetoejsou ploprává čísla resp. limity. Kromě toho považujeme za zbytečé mít pro jede pojem dva růzé ázvy. 24
4) Podíl a +, je-li a=±,0 b ±, sga sgb=+ b :=, je-li a=±,0 b ±, sga sgb= 0, je-li a R, b=± ; podíl a/bemásmysl,právěkdyžjebuď b=0,ebo a = b =+. 5)Mociyčísel ± sedefiujítakto: { } ±) + ), je-li ± ) N := ; 0, je-li N výrazy± ) 0, a ± kde a R )emajísmysl;připomeňmevšak,že0 0 :=. Píšeme lim a = a eboapř. a apro ) ačíslo a R azývámelimitaposlouposti {a },jsou-lisplěytytodvěpodmíky: ) ) prokaždé a < a je a > a pros.v., prokaždé a > a je a < a pros.v.. Je-lia R,říkáme,žeposloupost{a }kovergujeebožečíslaa kovergují) kčíslu a;je-li a=±,říkáme,že a k adivergují.kovergetíposloupostje posloupost mající koečou limitu; divergetí jsou všechy ostatí poslouposti, tedy poslouposti s limitou ± a poslouposti, které limitu emají. Říkáme,žeposloupost {a }jeomezeá,existuje-li K R + tak,žeerovost a Kplatíprovšecha.Říkáme,žeposloupost{a }jeomezeáshoraresp. zdola,existuje-li K Rtak,žeje a Kresp. a Kprovšecha. Platí apř. tato tvrzeí:.posloupost {a }jeomezeá,právěkdyžjeomezeáshoraizdola. 2.Je-lilim a <+ resp.lim a > ),jeposloupost {a }omezeá shoraresp. zdola). Každá kovergetí posloupost je omezeá. Pozámka 3.. Na rozdíl od literatury, v íž se koečé a ekoečé limity zavádějí zpravidla třemi růzými defiicemi, jsou zde všechy možosti shruty do jedédefiice.je-li a R,jekojukce ) )ekvivaletísvýrokem,že k ) prokaždé ε R + platíerovost a a < εpros.v.; je-li a=+ resp. a= ),jepodmíka )resp. ))prázdá,protožeelze splitjejípremisu,apodmíku )resp. ))lzeapsatvekvivaletímtvaru ) prokaždé K Rplatíerovost a > Kresp. a < K)pros.v.. 25
Čteářsemůžesámpřesvědčit,žesespodmíkami )a )pracujeaspoň takdobřejakospodmíkami k )a ). V této kapitole se budeme zabývat je limitami, které lze vypočítat elemetárími úpravami, záme-li limity ěkterých jedoduchých výrazů, jako apř. { } 0 prokaždé x,) 2) lim x =, + prokaždé x,+ ) 3) lim x= prokaždé x R+. Je ovšem uté zát i základí věty o limitách posloupostí: Věta3.olimitěabsolutíhodoty).Je-li a a R,je a a.je-li a 0,je a 0. Věta3.2olimitěsoučturozdílu),součiuapodílu).Zrelací a a R, b b R plye,že a ±b a±b 4) a b ab a /b a/b, má-lipříslušápravástraasmysl. Dodatek.Nechť a >0resp. a <0)pros.v.;pak a 0 /a + resp./a ). Věta3.3..Je-li a 0aje-li {b }omezeáposloupost,je a b 0. 2.Je-li {a }omezeáposloupostaje-li b +,je a /b 0. Vmohýchpřípadech,vichžsekvýpočtulimityžádázprávěuvedeýchvět přímoehodí,můževéstkcílitatovětaolimitímpřechoduverovostech: Věta3.4.Prokaždétřiposlouposti {a } =, {b } =, {c } = platí:. a b pro s.v., a + b + ; 2. a b pro s.v., b a ; 3. a b pro s.v., a a, b b a b; 4. a b c pro s.v., a b, c b b b. Pozámka 3.2. Jak se čteář sado přesvědčí, je implikace α 5) α R, a,+ ) lim a =0 přímým důsledkem tohoto užitečého tvrzeí: Věta3.5.Prokaždouposloupostčísel a 0platí: 6) lim a + a < lim a =0. 26
Ilustrujme yí a ěkolika příkladech, jak lze počítat limity posloupostí elemetárími úpravami: Příklad 3.. Abychom dokázali rovost lim +3 4 3 0 2 +si 3 3 2 ++ +3 4 4 3 = 3, stačí všechy sčítace v čitateli i ve jmeovateli dělit. Nové sčítace budou pak mítpořadělimity,0, 0,0čitatel)a0,3jmeovatel)astačíaplikovatV.3.2. Pozameejme, že v podobých případech vytýkáme z čitatele i ze jmeovatele ejvyšší mociy, čímžpo případé úpravě) získáme výraz tvaru α a+, kde0 lim b + a R, 0 lim b R, avěmžtečkyzameajísoučtyvýrazů,zichžkaždýmáulovoulimitu.na taktoupraveývýrazlzepakaplikovatv.3.2.číslo αjerozdílexpoetůmoci vytkutých v čitateli a ve jmeovateli; výsledá limita závisí podstatým způsobem atom,zdalije α <0,ebo α=0,ebo α >0. Příklad3.2.Užitímidetitya 2 b 2 )=a b)a+b)platéprokaždádvě komplexí čísla a, b) vypočteme apř. limitu ) 2 lim + = lim =0. ++ Aplikací obecějšího vzorce 7) a b =a b) a k b k platéhoprokaždé N)arozdíl k=0 8) 2 ++ 3 3 += 6 2 ++) 3 6 3 +) 2 dostaeme zlomek s čitatelem 9) 2 ++) 3 3 +) 2 = 6 +3 5 +6 4 +7 3 +6 2 +3+) 6 +2 3 +) =3 5 +6 4 +5 3 +6 2 +3= 5 3+ ), kdetečkyzameajívýraz,kterýmápro limitu0,asejmeovatelem 0) 6 2 ++) 5 + 6 2 ++) 2 3 +) 2 + + 6 3 +) 0 = 5 6 + + 2 ) 5 + + 6 + 3 ) 0 ) ; vzávorkáchvposledímřádkujepřitom6sčítaců,zichžkaždýmálimitu. 27
Z9)a0)ihedplye,že lim 2 ++ 3 3 + ) = 3 6 = 2. Jak jsme již řekli, mohou tam, kde selhávají rovosti, pomoci erovosti a apř. V.3.4;ilustrujmetoopětpříkladem: Příklad 3.3. Abychom vypočetli limitu b:= lim 2 + 5, uvážíme,želim 5 /2 )=0sr.s5)),zčehožplye,žeerovost 5 <2, atedyirelace 2 2 + 5 2 +2 =2 2 platíprovšechadostatečěvelká. 2 )Protoželim 2=sr.s3)),je b=2 podle4.částiv.3.4. Příklad 3.4. Abychom vypočítali limitu ) lim α kde α R,užijemevzorec k 2, k= k 2 = 6 +)2+) k= zecv.2.3,zěhožjepatré,žepro α=3jelimitarova/3.podlevětyolimitě součiujeprotolimita)rova0provšecha α >3a+ provšecha α <3. Příklad 3.5. Dokažme, že 2) lim =. Protožeje prokaždé N,je =+h provhodéčíslo h 0. Provšecha >jepřitompodlebiomickévěty = ) = +h ) = k=0 k) h k 2 )h2 ; ztohoihedplye,že h 2 2/ ),takže0 h 2/ ) 0.Podle V.3.4jetedyih 0;podleV.3.2proto =+h. 2 )Tj. odurčitéhoidexupočíaje. Čteářmůžeověřit,žeerovost 5 < 2 platípro všecha > 22, zatímco 22 5 /2 22. =.23 >. Proášvýpočet jsouovšemtyto podrobosti zbytečé. 28
Cvičeí Vypočtětelimitypro těchtovýrazů: 3.0. 3.02. 3.03. 3.04. 3.05. 3.06. 3.07. 2 ++) 2 +3) 2 ++4) 2 2 3 +2 ) 3 3) 3 + 3 +2 2 +3 3 +) 3 ++2) 2 ++3) + 4 +) 3 2 2 4 3 3 8 ) 7 a α +a 2 α2 + +a p αp b β +b 2 β2 + +b q βq, kde p N, q N, a 0 b a α > > α p, β > > β q + + + + + 2 + 4 + + 3 ) 2 +) 2 3.08. 3 3 +5) ) 3.09. + 3.0. 2 + 2 ) 3.. 2 ++ 2 + ) 3.2. 2 ++ 2 + ) 3.3. 3.4. 2 3 2 ++2 3 2 2 3.5. α 3 2 + 3 2 ), kde α R 29
3.6. α 2 + 2 3.7. α 3 + 3.8. 3.9. 3.20. 3.2. 3.22. 2 k= k= k k= k2 +k 3 k2 +k ), kde α R 3 ), kde α R ) k+ k+2 2 k+ k= k= +k 3.23. 5 +4 +3 +2 + 3.24. α 3 2), kde α 3.25. α + ), kde α 2 3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. 3.3.!!!) 2 3 2 2 4 2 4k 2 k= k=0 +x 2k) x <) Zapředpokladu,že k N,dokažtetatotvrzeí: 3.32. ) a a R a k a k 2) a ± a k ±)k + ) 30
3.33. ) a 0 pros.v., a a R a 0, k a k a 2) a + k a + 3.34. ) a a R, k jeliché k a k a 2) a, k jeliché k a Připomeňme yí ěkteré dobře zámé pojmy: Je-li X R, říkáme, že fukce f: X Rje eklesající rostoucí erostoucí klesající kostatí v X, jestliže x X, y X, x < y fx) fy) fx) < fy) fx) fy). fx) > fy) fx)=fy) Říkáme,žefukce f: X Rjemootóíresp.ryzemootóí),je-libuď eklesající, ebo erostoucíresp. buď rostoucí, ebo klesající). Místo fukce f jeeklesajícírostoucí,erostoucí,klesající)vx setéžříká,že fv Xeklesá roste,eroste,klesá). Je-li X = Neboobecěji X = NN),kde N Z),jefukce f : X R posloupostí. I když se tedy právě vysloveé defiice vztahují i a poslouposti, připomeeme jejich běžějšíekvivaletí) podobu tímto jedoduchým tvrzeím: Posloupost eklesající a a + rostoucí a < a + {a } =je erostoucí, právěkdyž N a a +. klesající a > a + kostatí a = a + Dodejmeještě,žeposloupost {a }seazývástacioárí,existuje-li mtak,že a = a m prokaždé > m. Má-lisedokázatjeexistecelimity,hodísečastotatoobecávěta: Věta 3.6o existeci limity mootóí poslouposti). Každá mootóí posloupost mákoečou ebo ekoečou) limitu. Koečou limitu má právě každá omezeá mootóí posloupost. Podroběji:Je-liposloupost {a }eklesajícíerostoucí),je lim a =sup{a ; N} lim a =if{a ; N}). 3
3) Příklad 3.6. Ukažme, že prví z posloupostí roste, druhá klesá. { + ) } {+, ) + } = = Nechť a je -týčleprvíposlouposti;jedoduchýmvýpočtemaužitímberoulliho erovostiviz Cv. 2. 0) dostaeme vztahy = +2 + a + a = + ) +: + + +) 2 ) +2 + ) = +2 +2) ) + +) 2 ) +) 2 = 3 +3 2 +3+2 3 +3 2 +3+ >, kterédokazují,žeposloupost {a }jerostoucí. Nechťb je-týčledruhézposloupostí3);podobýmpostupemjakoahoře získámeprokaždé >relace = + b + = b + 2 ) : + ) += 2 ) + 2 + ) 2 = 3 + 2 3 + 2 >, ) + zichžjepatré,žeposloupost {b }jeklesající. Zezřejméerovosti a < b platé prokaždé Nihed plye,žeobě posloupostijsouomezeé;podlev.3.6 majítedyjistékoečélimity aresp. b. Protožeje b = a +)/aprotože+)/ pro,je a=b. Společá limita 4) e:= lim + ) posloupostí3) se azývá Eulerovo číslo; je základem tzv. přirozeých logaritmů. Cvičeí PomocívětV.3.6 av.3.4 dokažteexistecikoečýchlimittěchtodvouposloupostí: 3.35. k= k 2 3.36. k=, kde α >2. kα 3.37. Buď a 0 := 2aa := 2+a, je-li N; dokažte,že a 2. 32
3.38. Proveďte do všech podrobostí důkaz tohoto tvrzeí: Věta3.7.Prokaždouposloupost {a } = platí: 5) lim a = a R lim a k = a. Návod:Je-lidáo a < a,zvolímepomocé b a,a)aajdeme p Ntak,že je a > b prokaždé > p.protožea +...+a p )/ 0a p)b / b pro,existuje q > ptak,žeprovšecha > qje k= a +...+a = a +...+a p + a p++...+a > a +...+a p + p b > a. Podoběpostupujemevpřípadě,žejedáo a > a.) 3.39. PomocíV.3.7ukažte,že lim k= k k=. *** Je-li { k } k= rostoucí posloupost přirozeýchčísel, říkáme, že {a k } k= je posloupostvybraázposlouposti {a } =.Zdefiicelimityihedplye,že 6) a a a k a. Číslo a R azývámehromadýmbodemposlouposti {a } =,existuje-li posloupost {a k } k= vybraáz{a } = tak,že a k apro k ).Možiu všechhromadýchbodůposlouposti {a } =začímelsa. 3 ) Platí tato tři důležitá tvrzeí: Věta 3.8.Bolzao Weierstrassova.) Každá posloupost má aspoň jede hromadýbodv R.Každáomezeáposloupostmáaspoňjedehromadýbodv R. Věta3.9.lim a = a R,právěkdyžjeLsa = {a}. Věta3.0.Prokaždouposloupost {a } = existujemilsa imaxlsa. ČíslamiLsa amaxlsa seazývajílimesiferioralimessuperiorposlouposti {a } = azačíseapř.takto: lim if a :=milsa, limsupa :=maxlsa ; symbol podzakylimifalimsupsečastovyechává. 3 )Ozačeíjepřevzatozobecétopologie,kdezameátopologickýlimessuperior;latiský limes je a rozdíl od české limity rodu mužského. 33
Sadoahlédeme,žeposloupost{a } = málimitu,právěkdyžjemilsa = maxlsa ;limitajepakrovaspolečéhodotělimifa alimsupa. Obráceě:Ktomu,abyposloupost{a } =emělalimitu,jeutéastačí,aby mělaaspoňdvarůzéhromadébody,tj.abybylolimifa <limsupa. Cvičeí Prokaždouzásledujícíchposloupostí {a } = ajdětemožiulsa ačísla limifa,limsupa. 3.40. ) 3.4. ) 3.42. ) + 3.43. ) ) 3.44. ) + + ) 2 3.45. ) 2 + + 3.46. + + cos 2 π) 3.47. si 4 π) 3.48. + ) cosπ 3.49. si π k, kde k N Dále: 3.50. Dokažte,žeposlouposti {si} =, {cos} =emajílimitu. Návod pro prví posloupost. Ozačíme-li I k := 6 π+2kπ,5 6 π+2kπ, J k:= 5 6 π+2kπ, 6 π+2kπ, jesix 2 všudevi kasix 2 všudevj kprokaždé k Z.Protožedélka každéhozitervalů I k, J k je 2 3 π >2,existujídvěrostoucíposloupostipřirozeých čísel m k I k, k J k tak,žesim k 2 asi k 2prokaždé k N.Ztoho sado plye, že posloupost si emá limitu.) 34
Řešeí 3.0.. 3.02. 5 3. 3.03.3. 3.04. 3. 3.05. a /b pro α = β ;sga /b ) + )pro α > β ;0pro α < β. 3.06.. 3.07. + 2. 3.08.. 3.09. 2. 3.0.. 3..+. 3.2.. 3.3.2. 3.4.+. 3.5. 2 3 pro α= 4 3 ;+ pro α > 4 3 ;0pro α < 4 3. 3.6.pro α= 2 ;+ pro α > 2 ;0pro α < 2. 3.7.pro α=;+ pro α >;0pro α <. 3.8. 2. 3.9.+. 3.20.+. 3.2. 2. 3.22.+. 3.23.5. 3.24.+ pro α >;0pro α <. 3.25.+ pro α >2;0pro α <2. 3.26.+. 3.27.0. 3.28.+. 3.29.0. 3.30. 2. 3.3./ x). ProtožemožiaLsa jevevšechpříkladech3.40 3.49koečá,jistěeíuté uvádětjejímiimumlimifa amaximumlimsupa ;omezujemeseprotojea vyjmeováí hromadých bodů. 3.40. ±. 3.4. ±. 3.42. ±. 3.43.0. 3.44.0,. 3.45. ±. 3.46.0,,2. 3.47.0, ±. 3.48. ±e. 3.49. ±sijπ/k), 0 j < k. Pozámka3.3.Cvičeí3.24sα=a3.25sα=2evyřešímejedoduchými algebraickýmiúpravami;kvýsledkůmlg3/2). =0.405465resp.)všaklzedojít metodami,kterévyložímevkapitole6sr.spo.6.4apříkladem6.8). Cvičeí 3.5. Dokažte,že a Lsa,právěkdyžkaždéokolíbodu aobsahujeekoečě mohočleůposlouposti {a },tj.právěkdyžprokaždé Ua)existujeekoečě mohoidexů,proěžje a Ua). Dokažtedále,ževdůsledkutohoplatíitototvrzeí: 7) b k Lsa provšecha k N, b k b b Lsa. 3.52. Existují poslouposti, jejichž čley jsouprávě) všecha racioálí čísla; jedouzichjeapř.tatoposloupost {a } =:,0,, 4 2, 3 2, 2 2, 2,0 2, 2,2 2,3 2,4 2, 9 3, 8 3,...,0 3,...,9 3, 6 4, 5 4,...,6 4, 25 5,.... 35
Protožeprokaždéčíslo q Qexistujeekoečěmohoidexů tak,že q=a, jezřejmě Q Lsa.Dokažtevšak,žeLsa = R,tj.žekaždéčíslo r R je hromadým bodem této poslouposti. 3.53. Srovejteprvky dvakrátekoečé matice + 2 + 3 + 4... 2 2+ 2 2+ 3 2+ 4... 3 3+ 2 3+ 3 3+ 4... 4 4+ 2 4+ 3 4+ 4...... po jejích vedlejších diagoálách do poslouposti,+ 2,2,+ 3,2+ 2,3,+ 4,2+ 3,3+ 2,4,... a dokažte, že hromadými body této poslouposti jsou právě všecha přirozeá čísla abod+. 3.54. Najděteposloupost {a },proižjelsa = Z {,+ }. 3.55. Rozhoděte,zdaliexistujeposloupost {a },proižjelsa rovo N resp. {/; N}resp. Q.Odpověďje e avšechytřiotázky viz7).) 36