GEOMETRIE PRO INFORMATIKY

KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GEOMETRIE PRO INFORMATIKY MICHAL KRUPKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc 2008

Abstrakt Tento text se věnuje základům analytické a projektivní geometrie. Uvádí veškerou potřebnou teorii a příklady, které jsou zaměřeny zejména na aplikace v počítačové grafice. Cí lová skupina Text je určen studentům informatických a matematických oborů přírodovědecké fakulty UP Olomouc

Obsah Úvod...................................................... 4 2 Afinní prostory a podprostory........................................ 5 2. Afinní prostory............................................. 5 2.2 Afinní podprostory........................................... 7 3 Afinní souřadnice............................................... 9 3. Báze a souřadnice ve vektorových prostorech............................ 9 3.2 Afinní báze a souřadnice........................................ 0 3.3 Matice přechodu mezi afinními bazemi............................... 4 Více o afinních podprostorech........................................ 3 4. Vzájemná poloha afinních podprostorů............................... 3 4.2 Příčka mimoběžek........................................... 4 5 Afinní a konvexní kombinace........................................ 6 5. Afinní kombinace a afinní obaly.................................... 6 5.2 Body v obecné poloze, bodové báze a souřadnice.......................... 8 5.3 Konvexní kombinace, konvexní množiny.............................. 20 6 Afinní zobrazení................................................ 2 6. Základní vlastnosti afinních zobrazení................................ 2 6.2 Matice afinního zobrazení vzhledem k afinním bazím....................... 23 7 Projektivní prostory.............................................. 24 7. Afinní podprostory vektorových prostorů.............................. 24 7.2 Perspektivní promítání......................................... 29 7.3 Základní pojmy............................................. 3 7.4 Příklady................................................. 33

Úvod Cílem textu je seznámit studenty informatických oborů se základy analytické a projektivní geometrie v rozsahu potřebném pro pochopení matematických základů počítačové grafiky a softwarových nástrojů v ní používaných (OpenGL, DirectX). Afinní a projektivní geometrie má přirozené uplatnění v počítačové grafice. Kromě toho se ale objevuje i v dalších oblastech informatiky (například v teorii pravděpodobnostních automatů se hojně pracuje s konvexními kombinacemi bodů a afinními transformacemi). Kromě napojení probírané teorie na oblast počítačové grafiky a další oblasti informatiky je látka obsažená v textu důležitá pro studenty informatiky i z dalších důvodů. Studenti si procvičí axiomatický způsob uvažování, obvyklý v matematice například v oblasti algebry. Tím si procvičí schopnost abstrakce, která je pro informatiky (například programátory) velmi podstatná (rozhodnout o podstatných aspektech problému, kterými se nyní budeme zabývat, a ostatní pominout). Z těchto důvodů se teoretické partie textu zabývají obecně n-rozměrnými strukturami (afinní, projektivní prostory), čímž na jednu stranu studenty nutí osvojit si abstraktní (formální) způsob myšlení a na druhou stranu brání vnášet do úvah nepodstatné prvky, platné pouze pro speciální případy. Dále si studenti rozvinou geometrickou představivost, která je rovněž důležitá pro schopnost abstraktního myšlení, a poučí se, jak intuitivně ověřené poznatky korektně zdůvodnit, případně dokázat. Předkládaná podoba textu je pouze první verzí. V budoucnu je v plánu rozšířit text o oblast eukleidovských prostorů a doplnit další příklady z oblasti počítačové grafiky. 4

2 Afinní prostory a podprostory Tato kapitola se zabývá úvodními pojmy: afinními prostory a jejich podprostory. Jak uvidíme, afinní prostory jsou vhodným modelem trojrozměrného světa pro počítačovou grafiku. 2. Afinní prostory Řekneme, že na neprázdné množině A je dána struktura afinního prostoru, je-li dán vektorový prostor V a zobrazení Add A : A V A takové, že. pro všechna a A, u, v V Add A (Add A (a, u),v)=add A (a, u + v), (2.) 2. pro všechna a, b A existuje právě jedno v V tak, že Add A (a, v) =b. (2.2) Množina A se strukturou afinního prostoru se nazývá afinní prostor, její prvky se nazývají body. Vektorový prostor V se nazývá zaměření afinního prostoru A. Je-li V vektorový prostor konečné dimenze, říká se o afinním prostoru A, že je také konečné dimenze. V takovém případě dimenzí afinního prostoru A nazýváme dimenzi vektorového prostoru V. Nemá-li vektorový prostor V konečnou dimenzi, říkáme i o afinním prostoru A, že nemá konečnou dimenzi (má nekonečnou dimenzi, je nekonečně rozměrný). Afinní prostor dimenze se nazývá afinní přímka, afinní prostor dimenze 2 afinní rovina. Zobrazení Add A se nazývá sčítání bodů a vektorů. Pro libovolné a A a v V se bod Add A (a, v) označuje a + v a nazývá se součet bodu a a vektoru v. Jelikož podle bodu. definice platí (a + u) +v = a +(u + v), můžeme při přičítání dvou vektorů k bodu vynechat závorky a psát pouze a + u + v. Vektor v z bodu 2. definice afinního prostoru se označuje b a. Vzhledem k podmínce bodu 2. tento vektor existuje pro libovolné a a b, a to právě jeden. Přiřazení (a, b) b a je tedy jednoznačně určené zobrazení z A A do V. Vektoru b a se říká rozdíl bodů b a a. Příklad 2.. Na libovolné jednoprvkové množině A = {a} lze zavést jediným způsobem strukturu afinního prostoru. Příklad 2.2. Na vektorovém prostoru V zavádíme kanonickou strukturu afinního prostoru takto: zaměřením prostoru V volíme samotný vektorový prostor V, pro libovolné dva vektory u, v V klademe Add V (u, v) =u+v, kde součet na pravé straně je součet vektorů ve vektorovém prostoru V. Ověřte, že jsou splněny podmínky definice afinního prostoru. Pokud nebude řečeno jinak, budeme vektorové prostory uvažovat vždy s kanonickou strukturou afinního prostoru, popsanou v předchozím příkladě. Příklad 2.3. Víme, že na n-té kartézské mocnině množiny reálných čísel R n je dána kanonická struktura vektorového prostoru. Pokud tuto strukturu využijeme jak je popsáno v předchozím příkladě, dostaneme kanonickou strukturu afinního prostoru na R n. Připomeňme, že uvažujeme pouze vektorové prostory nad tělesem reálných čísel 5

Pokud nebude řečeno jinak, budeme množinu R n uvažovat vždy s kanonickou strukturou afinního prostoru, popsanou v předchozím příkladě. Abychom odlišili, kdy prvek R n chápeme jako bod z afinního prostoru R n a kdy jako vektor z vektorového prostoru R n, budeme v prvním případě používat hranaté a ve druhém kulaté závorky. Příklad 2.4. Zvolme bod a 0 A a definujme zobrazení f : A V předpisem f(a) = a a 0. Ukažte, že toto zobrazení je bijekce a najděte jeho inverzi. Příklad 2.5. Pro afinní prostor A se zaměřením V a afinní prostor A 2 se zaměřením V 2 definujte na množině A A 2 strukturu afinního prostoru se zaměřením V V 2. Věta 2.6. Nechť A je afinní prostor se zaměřením V, a, b A, u V. Pak. a + 0 = a, 2. a b = (b a), 3. (a + u) b =(a b)+u, Poznámka 2.7. 0 v bodu. je nulový vektor ve vektorovém prostoru V. Důkaz.. Podle bodu 2. definice afinního prostoru existuje právě jeden vektor v V takový, že a + v = a. Odtud plyne rovnost a + v =(a + v) +v, která podle bodu. znamená a + v = a +(v + v), což podle bodu 2. (jednoznačnost) vede k v = v + v. Tuto rovnost ale splňuje pouze nulový vektor (proč?). Z rovnosti a + v = a tedy vyplynulo v =0, což znamená, že žádný jiný vektor kromě nulového tuto rovnost nesplňuje. To společně s bodem 2. (existence) dokazuje první bod věty. 2. Označme a b = u, b a = v. Dostáváme b = a + v =(b + u) +v = b +(u + v). Podle prvního bodu této věty, který jsme již dokázali, platí u + v =0, neboli u = v. 3. Vektor v =(a+u) b splňuje podmínku b+v = a+u. Přičtením vektoru v k oběma stranám této rovnice a úpravou dostaneme a = b +(v u). Odtud plyne v u = a b. Nyní, přičtením vektoru u dostaneme v =(a b)+u, což je dokazované tvrzení. Poznámka 2.8. Projděte všechny výskyty symbolu + v důkazu předchozí věty a rozhodněte, kdy označuje sčítání vektorů ve vektorovém prostoru V a kdy přičítání bodu z afinního prostoru A a vektoru z V (tedy zobrazení Add A z definice afinního prostoru). Podobně rozhodněte, kdy symbol označuje odečítání vektorů (tedy operaci na vektorovém prostoru V ) a kdy rozdíl bodů (tedy zobrazení A A V ). Poznámka 2.9. V případech, kdy symboly + a neoznačují základní operace s reálnými čísly nebo vektory, ale slouží k označení sčítání bodů s vektory a odečítání bodů, jak jsme je definovali v této kapitole, nelze k práci s nimi používat naše znalosti z oblasti reálných čísel či vektorových prostorů. Je nutné postupovat pouze podle poznatků o afinních prostorech. Například v důkazu předchozí věty je třeba umět každý jednotlivý krok zdůvodnit pomocí definice afinního prostoru. Příklad 2.0. Dokažte, že pro libovolné tři body a, b, c afinního prostoru A platí (a b) + (b c) =a c. Příklad 2.. Dokažte, že pro libovolné dva body a, b afinního prostoru A a vektory u, v jeho zaměření platí (a + u) (b + v) = (a b) + (u v). 6

2.2 Afinní podprostory Mějme afinní prostor A se zaměřením V. Neprázdná množina B A se nazývá (afinní) podprostor afinního prostoru A, existuje-li vektorový podprostor W V tak, že jsou splněny následující podmínky:. Pro každé a B, v W platí a + v B. 2. Pro každé a, b B platí b a W. Vektorový podprostor W V se nazývá zaměření afinního podprostoru B. Je-li dimenze afinního prostoru A rovna n a dimenze podprostoru B A rovna n, nazýváme afinní podprostor B nadrovinou v afinním prostoru A. Příklad 2.2. Ukažte, že každý vektorový podprostor daného vektorového prostoru je jeho afinním podprostorem. Příklad 2.3. Uveďte příklad vektorového prostoru V a jeho afinního podprostoru, který není jeho vektorovým podprostorem. Příklad 2.4. Charakterizujte všechny afinní podprostory B R 2. Příklad 2.5. Charakterizujte všechny afinní podprostory B R 3. Příklad 2.6. Uveďte příklad afinního prostoru A a množiny B A, která splňuje všechny podmínky definice afinního podprostoru kromě podmínky. Příklad 2.7. Uveďte příklad afinního prostoru A a množiny B A, která splňuje všechny podmínky definice afinního podprostoru kromě podmínky 2. Příklad 2.8. Rozhodněte, zda následující podmínka je ekvivalentní podmínce B je afinním podprostorem A : B je neprázdná podmnožina A a existuje podmnožina W V tak, že jsou splněny následující podmínky:. Pro každé a B, v W platí a + v B. 2. Pro každé a, b B platí b a W. Příklad 2.9. Dokažte, že pro libovolné lineární zobrazení f : V W vektorových prostorů V a W a bod b W platí, že je-li množina f (b) neprázdná, je afinním podprostorem vektorového prostoru V. Příklad 2.20. Aplikujte předchozí tvrzení na množinu všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic. Věta 2.2. Je-li A afinní prostor se zaměřením V a B A jeho afinní podprostor se zaměřením W V, pak množina B spolu s vektorovým prostorem W a zobrazením Add B : B W B vzniklým zúžením zobrazení Add A je afinní prostor. Důkaz. Přenecháme čtenáři. Je třeba ověřit podmínky definice afinního prostoru. Pro množinu B = {a A a = a 0 + v, v W }, kde W V je vektorový podprostor, zavádíme symbolické označení B = a 0 + W. (2.3) Následující věta ukazuje, že každý podprostor afinního prostoru lze charakterizovat pomocí jednoho bodu a vektorového podprostoru zaměření. Věta 2.22. Mějme afinní prostor A se zaměřením V.. Je-li a 0 A bod a W V vektorový podprostor, pak množina B = a 0 + W je podprostor afinního prostoru A, jehož zaměření je W. 2. Je-li B podprostor afinního prostoru A se zaměřením W V, a 0 B bod, pak B = a 0 +W. 7

Důkaz.. Je třeba dokázat, že množina B společně s vektorovým podprostorem W je afinním podprostorem afinního prostoru A. Především, a 0 B, což znamená, že B je neprázdná množina. Nyní ověříme obě podmínky definice afinního podprostoru: Je-li a B, pak existuje v W tak, že a = a 0 + v. Pro libovolný prvek w W nyní platí a + w =(a 0 + v) +w = a 0 +(v + w). Vektor v + w je jistě prvkem podprostoru W (vektorový podprostor je uzavřený vzhledem k operaci sčítání vektorů), bod a 0 +(v + w) je tedy prvkem množiny B. Druhá podmínka: zvolme dva prvky a, b B. Podle definice množiny B existují vektory v, w W takové, že a = a 0 + v, b = a 0 + w. Máme tedy b a =(a 0 + w) (a 0 + v) =w v W (viz příklad 2.). 2. Zde je potřeba dokázat rovnost dvou množin, tedy že libovolný prvek první množiny je prvkem druhé a naopak. To necháme na čtenáři. Příklad 2.23. Mějme dva afinní podprostory B,B 2 afinního prostoru A takové, že B B 2 =. Ukažte, že množina B B 2 je afinním podprostorem afinního prostoru A. Příklad 2.24. Obecněji: ukažte, že pokud pro neprázdný systém S afinních podprostorů afinního prostoru A platí u S =, pak u S je afinním podprostorem afinního prostoru A. Je-li (u,...,u m ) báze vektorového podprostoru W V, platí pro libovolný bod a 0 A, I J mÿ a 0 + W = x A - x = a 0 + t i u i,t,...,t m R. (2.4) Rovnice se nazývá parametrická rovnice afinního podprostoru a 0 + W. i= Příklad 2.25. Parametrická rovnice přímky je tedy mÿ x = a 0 + t i u i (2.5) i= x = a 0 + tu, (2.6) kde a 0 je libovolný bod přímky a u libovolný nenulový vektor jejího zaměření. Příklad 2.26. Parametrickou rovnici přímky lze pomocí dvou jejích různých bodů a, b napsat takto: x = a + t(b a). (2.7) Příklad 2.27. Ukažte, že pokud dva různé body a, b leží v afinním podprostoru B A, leží v něm i celá přímka tyto dva body obsahující. 8

3 Afinní souřadnice Afinní báze a souřadnice v afinních prostorech hrají podobnou roli jako (vektorové) báze a souřadnice v prostorech vektorových. Představují způsob, jak prvky světa, který modelujeme, ztotožnit s n-ticemi reálných čísel, které můžeme reprezentovat v počítači a se kterými můžeme počítat. Rozlišení mezi prvky afinního prostoru a jejich souřadnicemi je podstatné pro pochopení celé problematiky afinních prostorů. V této kapitole nejprve stručně opakujeme základní pojmy z vektorových prostorů, týkající se bazí a souřadnic, a uvádíme jejich značení, které budeme používat v tomto textu. Dále zavádíme základní pojem afinní báze a afinních souřadnic a pojem matice přechodu mezi afinními bazemi, který je analogií pojmu matice přechodu mezi (vektorovými) bazemi vektorových prostorů. Matice přechodu mezi afinními bazemi jsou základním nástrojem v analytické geometrii. Pokud prostor, se kterým pracujeme, popisujeme pomocí více různých bazí (což je obvyklé), potřebujeme nějak charakterizovat vztah mezi nimi. Proto se matice přechodu mezi afinními bazemi rutinně používají v počítačové grafice. 3. Báze a souřadnice ve vektorových prostorech Nejprve zavedeme značení známých pojmů z vektorových prostorů. Je-li V vektorový prostor dimenze n, α =(u,...,u n ) jeho báze, pak souřadnice (souřadnicové vyjádření) vektoru v V v bázi α značíme v α. Jedná se o n-tici čísel, kterou indexujeme horními indexy a v případě, že nešetříme místem, píšeme do sloupce: v α v 2 v α = α. vα n (3.) Je-li ᾱ = (ū,...,ū n ) druhá báze vektorového prostoru V, pak matici přechodu od báze α k bázi ᾱ značíme M α,ᾱ. Pro libovolný vektor v V tedy vᾱ = M α,ᾱ v α. (3.2) Platí také kde E je jednotková matice. M α,ᾱ Mᾱ,α = E, (3.3) Matice přechodu M α,ᾱ je složena ze souřadnic vektorů báze α vzhledem k bázi ᾱ: (u ) ᾱ (u 2 ) ᾱ (u n ) ᾱ (u ) 2 ᾱ (u 2 ) 2 ᾱ (u n ) 2 ᾱ M α,ᾱ =.... (3.4) (u ) n ᾱ (u 2 ) n ᾱ (u n ) n ᾱ V dalším textu definujeme pojmy, které ve svém názvu obsahují slovo báze (afinní báze, bodová báze). Abychom zabránili nedorozumění, budeme o bazích vektorových prostorů hovořit také jako o vektorových bazích. 9

3.2 Afinní báze a souřadnice Mějme afinní prostor A dimenze n se zaměřením V. Pro bod a 0 A a bázi α = (u,...,u n ) vektorového prostoru V nazýváme dvojici ϕ =(α, a 0 ) afinní bazí afinního prostoru A. Bod a 0 nazýváme počátkem báze ϕ. Afinní bázi ϕ zapisujeme také jako (n + )-tici (u,...,u n,a 0 ). Pro libovolný bod a A nazýváme afinními souřadnicemi (souřadnicovým vyjádřením) bodu a vzhledem k afinní bázi ϕ =(α, a 0 )(n + )-tici (a a 0 ) α (a a 0 ) 2 α a ϕ =.. (3.5) (a a 0 ) n α Souřadnicové vyjádření bodu a vzhledem k afinní bázi ϕ tedy vznikne tak, že se najdou souřadnice vektoru a a 0 vzhledem k bázi α vektorového prostoru V a doplní se číslem (důvody této formality vysvitnou postupně). Kvůli odlišení od souřadnic vektorů budeme afinní souřadnice bodů zapisovat v hranatých závorkách. Příklad 3.. Nalezněme souřadnice bodu a = [0, 2, ] R 3 vzhledem k afinní bázi ϕ =(α, a 0 ), kde α =(u,u 2,u 3 ) a 0 0 u =, u 2 =, u 3 =, a 0 = 0. (3.6) 0 Máme a a 0 = 2. (3.7) 0 Hledáme tedy souřadnice vektoru (, 2, 0) v bázi α. Jelikož (jak lze zjistit například vyřešením soustavy lineárních rovnic) 2 = 3 0 3 0, (3.8) 2 2 0 0 dostáváme čili (a a 0 ) α =, (3.9) a ϕ = 3 2 3 2 3 2 3. (3.0) 2 Je-li a 0 = [0,...,0] R n a α kanonická báze vektorového prostoru R n, nazývá se afinní báze (α, a 0 ) afinního prostoru R n kanonickou afinní bazí prostoru R n. Příklad 3.2. V afinním prostoru R 2 mají vzhledem k afinní bázi ϕ body [, ], [, 2] a [, ] souřadnice (po řadě) [0, ], [0, ] a [ 2, ]. Najděte afinní bázi ϕ. 0

Příklad 3.3. Lze změnit číselné údaje v zadání předchozího příkladu tak, aby neměl řešení? Příklad 3.4. Součet bodu a vektoru lze v afinních souřadnicích vyjádřit pomocí sčítání souřadnic, pokud k souřadnicím vektoru přidáme na konec nulu. Konkrétně: máme-li afinní souřadnicový systém ϕ =(α, a 0 ) afinního prostoru A se zaměřením U, pak pro libovolný bod a A a vektor u U platí C D (a a0 + u) (a + u) ϕ = α = C D (a a0 ) = α + A B uα = a ϕ +. 0 A B uα = 0 3.3 Matice přechodu mezi afinními bazemi Mějme dvě afinní báze ϕ =(α, a 0 ), ϕ = (ᾱ, ā 0 ) afinního prostoru A dimenze n se zaměřením V. Podívejme se na následující problém: jak najít souřadnicové vyjádření bodu a A vzhledem k bázi ϕ, známe-li souřadnicové vyjádření tohoto bodu vzhledem k báziϕ? Při řešení tohoto problému můžeme předpokládat, že známe vzájemné vztahy obou bazí, tj. že známe souřadnice počátku a 0 vzhledem k bázi ϕ a souřadnice vektorů vektorové báze α vzhledem k vektorové bázi ᾱ a naopak. Zvolme tedy libovolný bod a A a pokusme se vypočítat jeho souřadnice vzhledem k bázi ϕ pomocí souřadnic vzhledem k bázi ϕ: (a ā 0 )ᾱ =(a a 0 + a 0 ā 0 )ᾱ = = (a a 0 )ᾱ +(a 0 ā 0 )ᾱ = = M α,ᾱ (a a 0 ) α +(a 0 ā 0 )ᾱ. (3.) (Umíte zdůvodnit všechny kroky tohoto výpočtu?) Vidíme, že se nám podařilo vypočítat souřadnice bodu a vzhledem k afinní bázi ϕ pomocí následujících dat: souřadnic bodu a vzhledem k afinní bázi ϕ, matice přechodu od (vektorové) báze α k bázi ᾱ a souřadnic počátku a 0 vzhledem k afinní bázi ϕ. Hodnoty M α,ᾱ a (a 0 ) ϕ přitom nezávisejí na volbě bodu a. Pokud tedy potřebujeme přepočítat souřadnice u více bodů, stačí tyto hodnoty vypočíst pouze jednou. Nyní ještě provedeme menší trik. Uvědomme si, že (n + )-tice a ϕ obsahuje ve svých prvních n složkách hodnoty n-tice (a ā 0 )ᾱ. Levá strana (3.) je tedy souřadnicové vyjádření bodu a v afinní bázi ϕ kromě posledního řádku (obsahujícího jedničku). Poslední výraz v (3.), pokud se doplní o tento řádek (obsahující jedničku), lze zase vyjádřit jako součin jisté matice a souřadnicového vyjádření a ϕ. Konkrétně, pokud definujeme po blocích matici M ϕ, ϕ takto: bude tato matice splňovat M ϕ, ϕ = M α,ᾱ 0 0 (a 0 ) ϕ (3.2) a ϕ = M ϕ, ϕ a ϕ. (3.3) (pokud vám není poslední rovnice jasná, zkuste si napsat jednoduchý příklad). Matice M ϕ, ϕ se nazývá matice přechodu od afinní báze ϕ k afinní bázi ϕ.

Příklad 3.5. Napište matici přechodu od afinní báze ϕ =(e,e 2,a 0 ) k afinní bázi ϕ = (ē, ē 2, ā 0 ) afinního prostoru R 2, je-li A B A B C D 0 0 e = e 0 2 =,a 0 = A B A B C D 2 ē =, ē 2 =, ā 0 0 =. 0 Příklad 3.6. Ukažte, že pro tři afinní báze ϕ, ϕ, ϕ Õ afinního prostoru A platí M ϕ Õ, ϕ M ϕ,ϕ = M ϕ Õ,ϕ. (3.4) Příklad 3.7. Ukažte, že pro libovolné dvě afinní báze ϕ, ϕ afinního prostoru A platí (E je jednotková matice). M ϕ, ϕ M ϕ,ϕ = E (3.5) Příklad 3.8. V počítačové grafice se často používají dva typy afinních bazí k popisu pixelů na monitoru. Je-li rozlišení monitoru h v, měla by báze prvního typu (používaného například v 2D grafice systému Windows) počátek v levém horním rohu obrazovky, souřadnice levého dolního rohu vzhledem k této bázi by byly [0, v, ], souřadnice pravého horního [h, 0, ]. Báze druhého typu (bližšího matematikům a používaného také v OpenGL) by měla počátek v levém dolním rohu, souřadnice levého horního by byly [0, v, ] a pravého dolního [h, 0, ]. Najděte matici přechodu mezi těmito bazemi. 2

4 Více o afinních podprostorech V této kapitole nejprve zavedeme základní charakteristiku vzájemné polohy afinních podprostorů a ukážeme jednoduchá kritéria na její určování. Pak se věnujeme speciálnímu, ale často řešenému problému: hledání příčky dvou mimoběžných přímek. 4. Vzájemná poloha afinních podprostorů Mějme dva afinní podprostory B a B 2 se zaměřeními V, V 2 afinního prostoru A se zaměřením U. O afinních podprostorech B, B 2 řekneme, že jsou rovnoběžné, pokud platí V V 2 nebo V 2 V, různoběžné, pokud nejsou rovnoběžné a pokud V V 2 =, mimoběžné ve všech ostatních případech. Poznámka 4.. Uvědomte si, že tato definice opravdu odpovídá třem typům vzájemné polohy dvou afinních podprostorů (přímek, rovin), jak je známe ze střední školy. Pokud se vám uvedená definice zdá nepřirozená (to se bude zřejmě týkat především definice rovnoběžnosti), pokuste se navrhnout definici vlastní, která by vycházela pouze z předchozích kapitol tohoto textu. Příklad 4.2. Dokažte, že bod (tedy 0-rozměrný afinní podprostor) je rovnoběžný s libovolným jiným afinním podprostorem. Pokud jsou afinní podprostory B a B 2 rovnoběžné, mohou nastat dva případy: buď mají společný bod, nebo nemají. Následující věta uvádí dvě podmínky, které pomáhají tyto dva případy efektivně rozlišit. Věta 4.3. Předpokládejme, že afinní podprostory B, B 2 jsou rovnoběžné a že V V 2. Následující tři podmínky jsou ekvivalentní:. Existuje bod b 0 B B 2. 2. Pro každé dva body b B a b 2 B 2 platí b 2 b V 2. 3. Existují body b B a b 2 B 2 takové, že b 2 b V 2. Důkaz. Předpokládejme, že platí tvrzení. a zvolme libovolné dva body b B a b 2 B 2. Pro vektor b 2 b platí b 2 b =(b 2 b 0 )+(b 0 b ). Jelikož bod b 2 i bod b 0 leží v podprostoru B 2, máme b 2 b 0 V 2. Podobně pro vektor b 0 b platí b 0 b V. Jelikož V V 2, máme b 2 b V 2, což dokazuje tvrzení 2. Tvrzení 3 plyne z tvrzení 2, jelikož podprostory B a B 2 jsou neprázdné. Pokud platí tvrzení 3, je b = b 2 (b 2 b ). Proto je tvrzení splněno pro b 0 = b. Pokud afinní podprostory nejsou rovnoběžné, mohou být různoběžné nebo mimoběžné. Následující věta pomáhá rozlišit mezi těmito dvěma případy. Věta 4.4. Předpokládejme, že afinní podprostory B, B 2 nejsou rovnoběžné. Pak jsou následující tři podmínky ekvivalentní:. B a B 2 jsou různoběžné. 2. Pro každé dva body b B a b 2 B 2 platí b 2 b V V 2. 3

3. Existují body b B a b 2 B 2 takové, že b 2 b V V 2. Poznámka 4.5. Symbolem označujeme operaci přímého součtu vektorových podprostorů. Poznámka 4.6. Bod 2 předchozí věty můžeme využít, pokud máme dva afinní podprostory, o kterých víme, že jsou různoběžné. Naopak tvrzení bodu 3 se hodí pro situace, kdy se o dvou podprostorech potřebujeme přesvědčit, zda jsou různoběžné. Příklad 4.7. Dokažte, že v R 3 neexistují dvě mimoběžné roviny. Příklad 4.8. Najděte dvě mimoběžné roviny v R 4. Příklad 4.9. Existují v R 4 dva mimoběžné podprostory dimenzí 2 a 3? Příklad 4.0. Na základě výsledků předchozích příkladů se pokuste zformulovat a dokázat obecné tvrzení. 4.2 Příčka mimoběžek Nyní se podíváme na speciální problém nalezení příčky dvou mimoběžných přímek v trojrozměrném prostoru. V této podkapitole budeme tedy předpokládat, že dimenze afinního prostoru A je rovna 3 a afinní podprostory B,B 2 A jsou mimoběžné přímky. Poznámka 4.. Uvedené výsledky lze ovšem poměrně snadno zobecnit na případ dvou mimoběžných přímek v afinním prostoru libovolné dimenze. Můžete se o to pokusit. Příčkou mimoběžek B,B 2 A nazýváme libovolnou přímku C A, která má neprázdný průnik s každou z přímek B, B 2. Příklad 4.2. Libovolnou volbou bodů b B, b 2 B 2 je určena příčka mimoběžek B, B 2. Je tedy zřejmé, že příček mimoběžek B, B 2 existuje nekonečně mnoho. Z důvodu uvedeného v předchozím příkladě má smysl uvažovat o příčce mimoběžek splňující nějaké dodatečné podmínky. V obecném případě se řeší následující dvě úlohy:. nalézt příčku dvou mimoběžek, která má zadaný směrový vektor, 2. nalézt příčku dvou mimoběžek, která prochází zadaným bodem. Obecné řešení první úlohy uvádí následující věta. Příklad 4.3. Než začnete číst dál, pokuste se sami odpovědět na otázku: Za jakých podmínek existuje příčka dvou mimoběžek určená daným směrovým vektorem? Jako pomůcka se osvědčuje představit si zadané mimoběžky pomocí nějakých reálných předmětů, například jako průnik dvou zdí a jedné zdi a stropu místnosti, ve které právě sedíte. Pak si můžete představovat různé směrové vektory a zkoušet hledanou příčku nalézt. Věta 4.4. Mějme dvě mimoběžné přímky B, B 2 se zaměřeními V, V 2 v trojrozměrném afinním prostoru A se zaměřením U. Dále uvažujme nenulový vektor w U. Následující dvě podmínky jsou ekvivalentní:. Existuje příčka mimoběžek B, B 2 se směrovým vektorem w. 2. w / V V 2. Následující věta uvádí obecné řešení druhé z výše uvedených úloh. 4

Příklad 4.5. Podobně jako před předchozí větou byste se měli i zde nejprve zamyslit nad řešením této úlohy sami. S trochou geometrické představivosti lze řešení poměrně snadno odhalit. Věta 4.6. Mějme dvě mimoběžné přímky B = b + V a B 2 = b 2 + V 2 v trojrozměrném afinním prostoru A a bod c A. Následující dvě podmínky jsou ekvivalentní:. Existuje příčka C mimoběžek B, B 2 taková, že c C. 2. c / b +(V V 2 ) a c / b 2 +(V V 2 ). 5

5 Afinní a konvexní kombinace Některé partie probírané v této kapitole nemají přímou aplikaci v počítačové grafice, jsou ale podstatné pro pochopení problematiky afinních prostorů. 5. Afinní kombinace a afinní obaly Věta 5.. Mějme prvky a 0,a,...,a m afinního prostoru A se zaměřením V. Pro libovolné dva body b, b Õ A a čísla c 0,c,...,c m taková, že c 0 + c + + c m =platí b + c 0 (a 0 b)+c (a b)+ + c m (a m b) = b Õ + c 0 (a 0 b Õ )+c (a b Õ )+ + c m (a m b Õ ). (5.) Důkaz. Podle příkladu 2. je rozdíl levé a pravé strany roven (b b Õ )+c 0 (a 0 b + b Õ a 0 )+c (a b + b Õ a )+ + c m (a m b + b Õ a m ) = = (b b Õ )+c 0 (b Õ b)+c (b Õ b)+ + c m (b Õ b) = = (b b Õ ) + (c 0 + c + + c m )(b Õ b) = = (b b Õ ) + (b Õ b) = = 0. Z uvedené věty vyplývá, že hodnota výrazu b + c 0 (a 0 b) +c (a b) + + c m (a m b) nezávisí na volbě bodu b. Závisí tedy pouze na bodech a 0,a,...,a m a číslech c 0,c,...,c m (jejichž součet je roven ). Tento výraz nazýváme afinní (nebo také bodovou) kombinací bodů a 0,a,...,a m s koeficienty c 0,c,...,c m a značíme c 0 a 0 + c a + + c m a m. (5.2) Poznámka 5.2. Tento výraz je třeba vnímat jako celek a nechápat jeho části jako výsledek aplikace nějakých operací. Body nelze násobit čísly, ani je nelze sčítat. Je třeba mít také na paměti, že v tomto výrazu musí být součet koeficientů c 0,c,...,c m roven jedné. Příklad 5.3. Dokažte, že pokud a 0 = a, je množina všech afinních kombinací c 0 a 0 + c a rovna přímce procházející těmito body. Poznámka 5.4. Každou afinní kombinaci více než dvou bodů lze vyjádřit pomocí afinních kombinací dvojic bodů. Ukážeme si to na příkladě afinní kombinace c 0 a 0 + c a + c 2 a 2. Pokud je c 0 + c =0, platí 3 4 c c 0 a 0 + c a + c 2 a 2 =(c 0 + c 0 ) c 0 + c a 0 + c c 0 + c a + c 2 a 2 c (proč?), přičemž 0 c 0 +c + c c 0 +c =, takže uvnitř velké závorky je opravdu afinní kombinace dvou bodů, stejně jako je afinní kombinací dvou bodů i celý výraz, protože (c 0 + c )+c 2 =. Příklad 5.5. Pro body a,a 2,a 3 A můžeme vypočítat nový bod a 4 jako afinní kombinaci a 3 + a 2 a (součet koeficientů je roven jedné). Také můžeme položit ā 4 = a 3 +(a 2 a ), kde na pravé straně uvažujeme součet bodu a 3 a vektoru a 2 a. Ukažme, že ā 4 = a 4. Zvolíme jako pomocný bod b bod a 3. Podle definice afinní kombinace máme a 4 = a 3 + a 2 a = = a 3 +(a 3 a 3 ) + (a 2 a 3 ) (a a 3 ) = = a 3 +(a 2 a 3 ) + (a 3 a ) = = a 3 +(a 2 a ) = = ā 4. 6

Příklad 5.6. Pro bod a A a vektory u,u 2 ze zaměření A označme b = a + u, b 2 = a + u 2. Ukažte, že pro libovolná reálná čísla c,c 2 je bod a + c u + c 2 u 2 (součet bodu a vektoru) roven afinní kombinaci ( c c 2 )a + c b + c 2 b 2. Zobecněte toto tvrzení na libovolný počet vektorů. Příklad 5.7. Zajímavé je, že pokud c 0 + c + + c m =0, pak vektor c 0 (a 0 b)+c (a b)+ + c k (a k b) (5.3) nezávisí na volbě bodu b (přesvědčte se o tom). Body a 0,a,...,a k spolu s koeficienty c 0,c,...,c k tak jednoznačně definují vektor. Afinním obalem množiny K A nazýváme množinu všech afinních kombinací prvků množiny K. Afinní obal množiny K označujeme symbolem Aff(K). Platí Aff(K) = ) c 0 a 0 + + c k a k k, a 0,...,a k K, c 0 + c k = *. (5.4) Věta 5.8. Pro libovolnou neprázdnou množinu K A je množina Aff(K) afinním podprostorem afinního prostoru A. Tento afinní podprostor je roven průniku všech afinních podprostorů obsahujících množinu K. Jeho zaměřením je lineární obal množiny kde a 0 K je libovolný bod. K 0 = {a a 0 a K} V, Důkaz. Označme W = ÈK 0 Í. W je lineární obal množiny K 0 ; je to tedy vektorový podprostor vektorového prostoru V. Položme B = a 0 + W. Dokážeme, že B = Aff(K). Pro libovolný prvek b B platí b = a 0 + w, kde w W. Jelikož W je lineárním obalem množiny K 0, existují vektory w,...,w k K 0 a čísla c,...,c k R tak, že w = c w + + c k w k. Označíme-li a 0 + w = a,..., a 0 + w k = a k, máme podle příkladu 5.6 (zobecnění na libovolný počet bodů) b = c 0 a 0 + c a + + c k a k, kde c 0 = c c k. Tím jsme dokázali, že množina B je podmnožinou množiny Aff(K). Nyní zvolme libovolný prvek b Aff(K). Podle definice afinního obalu je tento prvek afinní kombinací prvků množiny K. Pokud mezi těmito prvky není bod a 0, můžeme jej k nim přidat s koeficientem afinní kombinace c 0 =0. Máme tedy b = c 0 a 0 + c a + + c k a k, kde a,...,a k jsou prvky množiny K, a 0 je dříve zvolený bod a c 0 + c + + c k =. Položíme-li w = a a 0,..., w k = a k a 0, dostaneme odtud b a 0 = c w + + c k w k. Vektor b a 0 je lineární kombinací vektorů w,...,w k, což znamená, že bod b leží v každém afinním podprostoru prostoru A, který obsahuje množinu K. Tím je dokázána opačná inkluze (tedy Aff(K) B) a je také dokázáno, že afinní obal Aff(K) je podmnožinou průniku všech afinních podprostorů prostoru A obsahujících množinu K. Označme tento průnik C. Již jsme dokázali, že Aff(K) C a B Aff(K). Jelikož B je afinní podprostor obsahující K, je také C B. Odtud C = B. 7

Věta 5.9. Pro libovolnou neprázdnou množinu B A jsou následující tři podmínky ekvivalentní:. B je afinní podprostor A. 2. Aff(B) =B. 3. Pro libovolné dva body a 0,a B a čísla c 0,c taková, že c 0 +c =, platí c 0 a 0 +c a B. Důkaz. Předpokládejme, že B A je afinní podprostor a zvolme body a 0,a B. Pokud a 0 = a, je libovolná afinní kombinace těchto bodů rovna témuž bodu a je tedy prvkem B. Pokud a 0 = a, leží bod c 0 a 0 + c a na přímce těmito body určené (příklad 5.3), která je celá podmnožinou B (příklad 2.27). Tím je dokázáno, že podmínka 3. plyne z podmínky. Podmínka 2. plyne z podmínky 3. na základě poznámky 5.4: každou afinní kombinaci více bodů lze vyjádřit pomocí afinních kombinací dvojic bodů. Podmínka. plyne z podmínky 2. přímo pomocí věty 5.8. Poznámka 5.0. Tato věta má tvar ekvivalence. Proto by se například podmínka 3. dala použít jako definice afinního podprostoru. Mělo by to dvě zajímavé přednosti:. definice by byla podobnější definici vektorového podprostoru i jiných algebraických podstruktur požadovala by čistě uzavřenost podprostoru vzhledem k operacím afinního prostoru (afinní kombinace není operace, proto ty uvozovky), 2. jedná se o jednodušší a srozumitelnější podmínku, než je podmínka původní definice. 5.2 Body v obecné poloze, bodové báze a souřadnice O bodech a 0,a,...,a m A říkáme, že jsou v obecné poloze, jestliže žádný z nich není afinní kombinací ostatních, čili jestliže neexistuje číslo i {0,...,m} a čísla c 0,...,c i, c i+,...,c m tak, že c 0 +...+ c i + c i+ +...+ c m =a a i = c 0 a 0 +...+ c i a i + c i+ a i+ +...+ c m a m. (5.5) Věta 5.. Nechť a 0,...,a m A. Pak následující čtyři podmínky jsou ekvivalentní:. Body a 0,...,a m jsou v obecné poloze. 2. Vektory a a 0, a 2 a 0,..., a m a 0 jsou lineárně nezávislé. 3. Dimenze afinního obalu bodů a 0,...,a m je rovna m. 4. Pokud pro dvě bodové kombinace bodů a 0,...,a m A s koeficienty c 0,...,c m a c 0,..., c m platí c 0 a 0 + + c m a m = c 0 a 0 + + c m a m, pak c 0 = c 0,c = c,,c m = c m. (5.6) Důkaz. Nejprve sporem dokažme, že z podmínky. plyne podmínka 2. Předpokládejme, že vektory z podmínky 2. jsou lineárně závislé. Existují tedy čísla c,...,c m, ne všechna současně rovna nule a taková, že c (a a 0 )+ + c m (a m a 0 ) = 0. Pro nenulový koeficient c i (takový určitě existuje) můžeme všechny členy kromě i-tého převést na pravou stranu a rovnici podělit c i : a i a 0 = = c c i (a a 0 ) ci c i (a i a 0 ) ci+ c i (a i+ a 0 ) cm c i (a m a 0 ). 8

Podle příkladu 5.6 je tedy bod a i roven afinní kombinaci kde a i = da 0 c c i a ci c i a i ci+ c i a i+ cm c i a m, d = + c ci + + ci c i + ci+ c i + + cm c i. Tak se nám podařilo vyjádřit bod a i jako afinní kombinaci ostatních bodů a dospět ke sporu s podmínkou. Nyní z podmínky 2. odvodíme podmínku 4. (podmínku 3. zatím vynecháme). Podle definice afinní kombinace je rovnost c 0 a 0 + +c m a m = c 0 a 0 + + c m a m ekvivalentní rovnosti c (a a 0 )+ + c m (a m a 0 ) = c (a a 0 )+ + c m (a m a 0 ). Z lineární nezávislosti vektorů a a 0,..., a m a 0 nyní plyne rovnost koeficientů z podmínky 4. K odvození podmínky. z podmínky 4. si stačí uvědomit, že ve vztahu (5.5) na levé i pravé straně vystupuje afinní kombinace bodů a 0,...,a m. Tyto afinní kombinace mají různé koeficienty, protože na levé straně je u bodu a i koeficient, zatímco na straně pravé 0. Proto z podmínky 4. plyne, že body jsou v obecné poloze. Na závěr dokážeme, že podmínka 3. je ekvivalentní s podmínkou 2. Podle věty 5.8 je zaměření afinního obalu Aff({a 0,a,...,a m }) rovno lineárnímu obalu vektorů a a 0,..., a m a 0, jehož dimenze je rovna m právě když jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Je-li dim A = n a body a 0,...,a n A jsou v obecné poloze, pak se (n + )-tice (a 0,...,a n ) nazývá bodová báze afinního prostoru A. Z předchozí věty plyne, že je-li ϕ =(a 0,...,a n ) bodová báze A, pak pro každý bod a A existuje právě jedna (n + )-tice čísel c 0,...,c n, jejichž součet je roven jedné a a = c 0 a 0 + + c n a n. (5.7) (n + )-tice [c 0,...,c n ] (píšeme do hranatých závorek a do sloupce) se nazývá bodovými souřadnicemi bodu a vzhledem k bodové bázi ϕ. Zavádíme označení [c 0,...,c n ] = [a 0 ϕ,...,a n ϕ]=a ϕ. Mějme dvě bodové báze afinního prostoru A: ϕ =(a 0,...,a n ), ϕ = (ā 0,...,ā n ). Matici (a 0 ) 0 ϕ (a ) 0 ϕ (a n ) 0 ϕ (a 0 ) ϕ (a ) ϕ (a n ) ϕ M ϕ, ϕ = (5.8)... (a 0 ) n ϕ (a ) n ϕ (a n ) n ϕ nazýváme maticí přechodu od bodové báze ϕ k bodové bázi ϕ. Poznámka 5.2. Matice přechodu od bodové báze ϕ k bodové bázi ϕ vznikne tak, že do sloupců zapíšeme souřadnice jednotlivých prvků bodové báze ϕ vzhledem k bodové bázi ϕ tedy stejným postupem, jakým vzniká matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru. Poznámka 5.3. Součet prvků každého sloupce v matici přechodu mezi bodovými bazemi je roven jedné. Věta 5.4. Pro libovolné dvě bodové báze ϕ, ϕ afinního prostoru A a bod a A platí a ϕ = M ϕ, ϕ a ϕ. (5.9) 9

5.3 Konvexní kombinace, konvexní množiny Afinní kombinaci c 0 a 0 + c a + + c m a m bodů a 0,a,...,a m afinního prostoru A s koeficienty c 0,c,...,c m nazýváme konvexní kombinací, jestliže všechny koeficienty c 0,c,...,c m jsou nezáporné. Konvexním obalem neprázdné podmnožiny K A nazýváme množinu všech konvexních kombinací prvků množiny K. Uvažme množinu K = {a 0,...,a m } bodů v obecné poloze. Konvexní obal této množiny se nazývá úsečka, je-li m =, trojúhelník, je-li m = 2 a čtyřstěn, je-li m = 3. Konvexní obal libovolné konečné množiny (jejíž prvky nemusejí být v obecné poloze) se nazývá mnohostěn, pokud je její afinní obal roven celému prostoru A. Neprázdná množina K A se nazývá konvexní, je-li její konvexní obal roven K. Věta 5.5. Konvexní obal libovolné neprázdné podmnožiny afinního prostoru A je konvexní množina. 20

6 Afinní zobrazení Afinní zobrazení jsou zobrazení, která jsou popsatelná v rámci teorie afinních prostorů. Mezi afinní zobrazení patří mnohá zobrazení, která se používají v počítačové grafice: posunutí, otočení, změna měřítka apod., jak v dvojrozměrném, tak trojrozměrném prostoru. Dále také rovnoběžné promítání (například trojrozměrného prostoru na obrazovku počítače). K popisu afinních zobrazení slouží jejich matice vzhledem k afinním bazím. Při realizaci afinních zobrazení na počítači (například v OpenGL) se pracuje s jejich maticemi. V této kapitole budeme uvažovat afinní prostory A a B se zaměřeními (po řadě) U a V. 6. Základní vlastnosti afinních zobrazení Zobrazení f : A B afinních prostorů A a B se nazývá afinní, jestliže pro libovolné dva body a,a 2 A a jejich afinní kombinaci c a + c 2 a 2 platí f(c a + c 2 a 2 )=c f(a )+c 2 f(a 2 ). (6.) Poznámka 6.. Pro připomenutí pojmu afinní kombinace bodů si přečtěte začátek kapitoly 5. Zejména si uvědomte, že c + c 2 =. Poznámka 6.2. Podle poznámky 5.4 plyne z podmínky (6.) její zobecnění na libovolný počet bodů: f(c 0 a 0 + c a + + c k a k )=c 0 f(a 0 )+c f(a )+ + c k f(a k ). (6.2) Součet koeficientů c 0,c,...,c k je opět roven jedné. Příklad 6.3. Pro libovolné afinní zobrazení f : A B platí: je-li C A afinní podprostor, je množina f(c) afinním podprostorem afinního prostoru B. Dokažte. Věta 6.4. Mějme afinní zobrazení f : A B. Pokud pro čtyři body a,a 2,a 3,a 4 A platí a 2 a = a 4 a 3, pak f(a 2 ) f(a )=f(a 4 ) f(a 3 ). Důkaz. Z předpokladu věty plyne, že a 4 = a 3 +(a 2 a ). Podle příkladu 5.5 platí a 4 = a 3 + a 2 a, kde na pravé straně stojí bodová kombinace bodů a 3,a 2,a s koeficienty, a. Podle poznámky 6.2 tedy f(a 4 )=f(a 3 )+f(a 2 ) f(a ), neboli, opět podle příkladu 5.5, f(a 4 )=f(a 3 ) + (f(a 2 ) f(a )) (součet bodu a vektoru). Odtud tvrzení věty. Označíme-li ve větě 6.4 vektor a 2 a = a 4 a 3 písmenem u, dostaneme f(a + u) f(a )=f(a 3 + u) f(a 3 ). Vektor f 0 (u) =f(a 0 + u) f(a 0 ) (6.3) z vektorového prostoru V tedy nezávisí na volbě bodu a 0 A, ale pouze na vektoru u U. Předpis (6.3) tedy definuje zobrazení f 0 : U V. Zobrazení f 0 : U V definované předpisem (6.3) se nazývá zobrazení podřízené afinnímu zobrazení f. Přepsání vztahu (6.3) do tvaru f(a 0 + u) =f(a 0 )+f 0 (u) (6.4) ukazuje, že ke zjištění hodnoty afinního zobrazení f v bodě a 0 + u stačí znát jeho hodnotu v bodě a 0 a hodnotu podřízeného zobrazení ve vektoru u. Pokud označíme a 0 + u = a, dostaneme jinou verzi tohoto vztahu, f(a) =f(a 0 )+f 0 (a a 0 ), (6.5) 2

která ukazuje, jak lze vypočíst hodnotu afinního zobrazení f v libovolném bodě a, pokud známe jeho hodnotu v bodě a 0 a umíme vypočítat hodnotu podřízeného zobrazení ve vektoru a a 0. Následující věta ukazuje základní vlastnost zobrazení podřízeného afinnímu zobrazení. Věta 6.5. Pro libovolné afinní zobrazení f : A B je podřízené zobrazení f 0 : U V lineární. Důkaz. Podle (6.3) pro libovolné skaláry c,c 2 R, vektory u,u 2 U a bod a 0 A máme f 0 (c u + c 2 u 2 )=f(a 0 + c u + c 2 u 2 ) f(a 0 ). Označme a 0 + u = b, a 0 + u 2 = b 2. Podle příkladu 5.6 je bod a 0 + c u + c 2 u 2 roven afinní kombinaci ( c c 2 )a 0 + c b + c 2 b 2, takže f(a 0 + c u + c 2 u 2 )=f(( c c 2 )a 0 + c b + c 2 b 2 ) = = ( c c 2 )f(a 0 )+c f(b )+c 2 f(b 2 ). Nyní si uvědomme, že f(b )=f(a 0 )+f 0 (u ) a f(b 2 )=f(a 0 )+f 0 (u 2 ). Proto se, opět podle příkladu 5.6, poslední výraz rovná f(a 0 )+c f 0 (u )+c 2 f 0 (u 2 ). Vrátíme-li se nyní k začátku důkazu, dostaneme f 0 (c u + c 2 u 2 )=f(a 0 + c u + c 2 u 2 ) f(a 0 ) = = f(a 0 )+c f 0 (u )+c 2 f 0 (u 2 ) f(a 0 ) = = c f 0 (u )+c 2 f 0 (u 2 ). Tím je dokázáno, že zobrazení f 0 je opravdu lineární. Věta 6.6. Pro libovolné dva body a 0 A, b 0 B a lineární zobrazení f 0 : U V existuje právě jedno afinní zobrazení f : A B takové, že f(a 0 )=b 0 a f 0 je podřízené zobrazení f. Důkaz. Ze vztahu (6.5) plyne, že je-li dána hodnota zobrazení f v bodě a 0 a podřízené zobrazení f 0, jsou hodnoty zobrazení f ve všech ostatních bodech afinního prostoru A jednoznačně určeny. Zobrazení f daných vlastností tedy existuje nejvýše jedno a pokud existuje, je dáno vztahem (6.5). Je tedy třeba dokázat, že zobrazení f dané tímto vztahem je afinní s podřízeným zobrazením f 0. Zvolme tedy libovolně dva body a,a 2 A a čísla c,c 2 R taková, že c + c 2 =. Dále označme a a 0 = u, a 2 a 0 = u 2. Podle vztahu (6.5) máme f(c a + c 2 a 2 )=b 0 + f 0 (c a + c 2 a 2 a 0 ) = = b 0 + f 0 (c u + c 2 u 2 ) = = b 0 + c f 0 (u )+c 2 f 0 (u 2 ) = = c f 0 (a )+c 2 f 0 (a 2 ). f je tedy afinní zobrazení. Hodnota jeho podřízeného zobrazení ve vektoru u U je podle (6.) rovna f(a 0 + u) f(a 0 )=f(a 0 )+f 0 (u) f(a 0 )=f 0 (u). f 0 je tedy podřízeným zobrazením afinního zobrazení f. 22

6.2 Matice afinního zobrazení vzhledem k afinním bazím Mějme afinní bázi ϕ =(α, a 0 ), α =(u,...,u m ) afinního prostoru A se zaměřením U a afinní bázi ψ =(β, b 0 ), β =(v,...,v n ) afinního prostoru B se zaměřením V. Dále mějme afinní zobrazení f : A B s podřízeným lineárním zobrazením f 0 : U V. Naším cílem je najít způsob, jak ze souřadnicového vyjádření a ϕ bodu a A vzhledem k bázi ϕ vypočítat souřadnicové vyjádření f(a) ψ jeho obrazu f(a) při zobrazení f vzhledem k bázi ψ. Máme f(a) =f 0 (a a 0 )+f(a 0 ), čili podle příkladu 3.4 a s použitím matice M f 0 α,β lineárního zobrazení f 0 vzhledem k bazím α, β, A B A f0 (a a f(a) ψ = 0 ) β M f 0 + f(a 0 0 ) ψ = α,β (a a B 0) α + f(a 0 ) ψ 0 M f 0 = α,β (a a 0) α + f(a 0 ) ψ. 0 0 Pokud nyní sestavíme blokovou matici M f ϕ,ψ = M f 0 α,β 0 0 f(a 0 ) ψ, (6.6) dostaneme f(a) ψ = M f ϕ,ψ a ϕ. Matice M f ϕ,ψ se nazývá matice zobrazení f vzhledem k bazím ϕ, ψ. K sestavení této matice potřebujeme následující údaje: matici lineárního zobrazení f 0 vzhledem k vektorovým bazím α, β a souřadnice bodu f(a 0 ) vzhledem k afinní bázi ψ. Příklad 6.7. Matice identického zobrazení id A : A A vzhledem k bazím α, α Õ je rovna matici přechodu mezi těmito bazemi: M id A α,α Õ = M α,α Õ. (6.7) 23

7 Projektivní prostory Tato kapitola obsahuje úvod do teorie projektivních prostorů, který by měl čtenáři umožnit pochopit základy geometrických transformací používaných v trojrozměrné počítačové grafice. Základem kapitoly jsou definice v podkapitole 7.3, k jejichž pochopení je ale vhodné nastudovat motivační příklad z podkapitoly 7.2 a také první podkapitolu 7., která se snaží ukázat podrobně souvislost projektivních prostorů a dříve probíraných prostorů afinních. Tuto podkapitolu je vhodné zvládnout alespoň v rozsahu konkrétního příkladu z vektorového prostoru R 3, který se jejím textem prolíná. Studenti s hlubším zájmem o počítačovou grafiku a související teorii by ji měli nastudovat celou. Poslední podkapitolu 7.4 by měli nastudovat všichni, protože obsahuje základní aplikace probírané teorie. Ve většině textu této kapitoly jsou prvky afinních prostorů současně vektory v nějakých prostorech vektorových. Proto není vždy možné striktně rozlišovat mezi body a vektory, což se projevuje i na značení, v němž se volba mezi hranatými a kulatými závorkami nemůže řídit přísnými kritérii. Toto je pracovní verze části chystaného učebního textu s pracovním názvem Geometrie pro informatiky. Některé poznatky z předchozích částí, které zatím nejsou k dispozici, jsou připomenuty v poznámkách pod čarou. 7. Afinní podprostory vektorových prostorů Uvažme nadrovinu A ve vektorovém prostoru prostoru R 3 danou předpisem A = Zaměřením této nadroviny je vektorový podprostor A 0 = Ó Ô (x,x 2,x 3 ) R 3 x 3 =. (7.) Ó Ô (x,x 2,x 3 ) R 3 x 3 =0. (7.2) Prvky nadroviny A hrají dvojí roli. Jsou to body v afinním prostoru A a současně vektory ve vektorovém prostoru R 3. Prvky vektorového podprostoru A 0, který je zaměřením afinního prostoru A, jsou tedy vektory téhož vektorového prostoru jako prvky afinního prostoru A. Podívejme se podrobněji, co lze z těchto souvislostí vytěžit. Nejprve si uvědomme, jak lze v této situaci interpretovat základní operaci v afinních prostorech, sčítání bodu a vektoru. Víme, že prostor R 3 je afinní prostor, v němž je sčítání bodu a vektoru totožné se sčítáním vektorů ve vektorovém prostoru. 2 Protože afinní prostor A je afinním podprostorem afinního prostoru R 3 a jeho zaměřením je vektorový podprostor A 0 R 3, přenese se tato vlastnost i na tento podprostor: pro libovolný bod a A a vektor v A 0 je součet bodu a vektoru a + v roven součtu a + v vektorů v R 3. Ze vztahů (7.) a (7.2) vyplývá, jak vypadají složky vektorů a a v. Zatímco třetí složka vektoru a je rovna jedné, vektor v má třetí složku nulovou: a v a = a 2,v = v 2. (7.3) 0 2 Na každém vektorovém prostoru V lze zavést strukturu afinního prostoru se zaměřením V. Sčítání bodu a vektoru je v takto definovaném afinním prostoru rovno sčítání dvou vektorů v původním prostoru vektorovém. 24

Odtud je také vidět, že součet a + v bude prvkem podprostoru A, protože bude mít stejně jako bod a třetí složku rovnu jedné: a v a + v a + v = a 2 + v 2 = a 2 + v 2. (7.4) 0 Nyní se podívejme, jakým způsobem lze v této situaci interpretovat afinní báze afinního prostoru A. Uvažme vektorovou bázi v,v 2,a 0 R 3 takovou, že v,v 2 A 0 (A 0 je zaměření nadroviny A, viz (7.2)) a a 0 A. Vektory v,v 2 mají tedy svou třetí složku nulovou, vektor a 0 rovnu jedné: v = v v 2 0,v 2 = v 2 v 2 2 0,a 0 = a 0 a 2 0. (7.5) Vektory v,v 2 jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi vektorového podprostoru A 0. Podle definice afinní báze je tedy trojice (v,v 2,a 0 ) afinní bazí afinního prostoru A. 3 Zvolme nyní libovolný bod a A a podívejme se, co lze zjistit o jeho souřadnicích ve zvolené bázi. Pokud a = c v + c 2 v 2 + c 0 a 0, (7.6) pak, rozepsáno po složkách, a v a 2 v = c v 2 2 a + c 2 v2 2 0 + c0 a 2 0 0 0 c v + c 2v2 + c 0a 0 = c v 2 + c 2v2 2 + c 0a 2 0. c 0 Vidíme, že c 0 =, a souřadnice libovolného bodu a A v afinní bázi (v,v 2,a 0 ) jsou tvaru (c,c 2, ). Tím dostává dříve uvedená formální konvence přidávání jedničky k souřadnicím prvku afinního prostoru v afinní bázi zajímavý význam. Jak ukazuje následující věta, dosud uvedené poznatky mají obecnější platnost. Věta 7.. Mějme vektorový prostor V dimenze n +a afinní nadrovinu A V se zaměřením A 0 V, neobsahující nulový vektor. Dále uvažujme vektory v,...,v n,a 0 V tvořící bázi vektorového prostoru V a takové, že v,...,v n A 0 a a 0 A. Pak libovolný vektor a V leží v nadrovině A, právě když je poslední složka jeho souřadnic v této bázi rovna jedné. Navíc, (n + )-tice (v,...,v n,a 0 ) je afinní bazí afinního prostoru A a souřadnice libovolného bodu a A vzhledem k této bázi jsou stejné, ať tuto bázi uvažujeme jako afinní bázi afinního prostoru A, nebo vektorovou bázi vektorového prostoru V. Důkaz. Zvolme libovolný bod a A a vyjádřeme jej jako lineární kombinaci vektorů báze v,...,v n,a 0 : a = c v + + c n v n + c 0 a 0. (7.7) Odtud plyne c 0 a 0 = a c v c n v n, (7.8) což znamená, že c 0 a 0 A. Vzhledem k tomu, že podprostor A neobsahuje nulový vektor a a 0 A, musí být c 0 =. Opačně, pokud v (7.7) je c 0 =, musí být a A, protože je vyjádřeno jako součet bodu a 0 A a vektoru c v + + c n v n A 0. Zbytek důkazu přenecháváme čtenáři. 3 Prověřte podrobně platnost všech podmínek definice afinní báze. 25

Vraťme se nyní k afinnímu prostoru A R 3 danému předpisem (7.) a podívejme se podrobněji na bodové kombinace a bodové báze v tomto prostoru. Zvolme n +bodů a 0,a,...,a n A. Tyto body jsou současně vektory v R 3, takže můžeme udělat jejich lineární kombinaci s libovolnými koeficienty c 0,c,...,c n R. Dostaneme vektor a = c 0 a 0 + c a + + c n a n R 3, který jistě nemusí ležet v podprostoru A. Aby tam ležel, je nutné, aby byla jeho třetí složka rovna. Rozepišme si tedy tuto lineární kombinaci po složkách a podívejme se, co to znamená: a a a 2 0 a = c 0 a 2 a a 3 0 + c a 2 n + + cn a 2 n c 0 a 0 + c a + + c na n = c 0 a 2 0 + c a 2 + + c na 2 n. c 0 + c + + c n Vidíme, že vektor a bude ležet v podprostoru A jedině když bude c 0 +c + +c n =. Pojďme teď interpretovat prvky a 0,a,...,a n jako body v afinním prostoru A a udělejme jejich bodovou kombinaci ā = c 0 a 0 + c a + + c n a n. Víme, že tuto bodovou kombinaci můžeme vypočíst jako bodovou kombinaci v afinním prostoru R 3. 4 Dále víme, 5 že bodové kombinace v R 3 lze počítat jako kombinace lineární. Z uvedeného vyplývá, že bodové kombinace bodů z afinního podprostoru A lze počítat jako lineární kombinace v R 3, chápeme-li tyto body jako vektory v R 3. Dokažme si toto tvrzení v obecnější podobě: Věta 7.2. Je-li A afinní podprostor vektorového prostoru V neobsahující nulový vektor a v 0,v,...,v n jsou jeho prvky, pak lineární kombinace v = c 0 v 0 + c v + + c n v n je také jeho prvkem, právě když c 0 + c + + c n =. Pro bodovou kombinaci v těchto prvků, chápaných jako body z A, a s týmiž koeficienty, platí v = v. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že c 0 + c + + c n =. Pak v v 0 = c 0 v 0 + c v + + c n v n v 0 = c 0 v 0 + c v + + c n v n (c 0 + c + + c n ) v 0 = c 0 v 0 + c v + + c n v n c 0 v 0 c v 0 c n v 0 = c (v v 0 )+ + c n (v n v 0 ). Zjistili jsme, že vektor v v 0 je lineární kombinací vektorů v v 0,...,v n v 0, které všechny leží v zaměření afinního podprostoru A (vznikly totiž jako rozdíly bodů z tohoto podprostoru). Vektor v v 0 tedy v tomto zaměření leží také, což znamená, že v A. Tím je dokázáno, že pokud je součet koeficientů c 0,c...,c n roven jedné, leží vektor v v podprostoru A. Předpokládejme nyní, že c 0 + c + + c n = k = a dokažme, že pak v / A. Pokud k = 0, pak z předchozí části důkazu plyne, že vektor k v leží v podprostoru A, neboť vznikl jako lineární kombinace k c 0v 0 + k c v + + k c nv n, která má součet koeficientů roven jedné. Vektory v a k v jsou ovšem různé a určují přímku, která prochází nulovým vektorem. Pokud by tedy vektor v ležel v A, ležel by v tomto podprostoru i nulový vektor, což je vyloučeno v předpokladu věty. Dokázali jsme tedy, že pokud k = 0, vektor v v podprostoru A neleží. 4 Jsou-li a 0,a,...,a n body afinního podprostoru B A, je jedno, jestli jejich bodovou kombinaci c 0a 0 + c a + + c na n počítáme v afinním prostoru B, nebo A; vždy dostaneme stejný výsledek. 5 Je-li V vektorový prostor, v = c 0v 0 + c v + + c nv n lineární kombinace jeho prvků s koeficienty c 0,c,...,c n R splňujícími c 0 + c + + c n =, a v = c 0v 0 + c v + + c nv n bodová kombinace s týmiž koeficienty, pak v = v. 26