CVIČNÝ TEST 16 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Brzký ranní vlak z Prahy do Brna zastavil v Pardubicích. Ve sledovaném vagónu (viz obrázek) je pět kupé, každé s šesti místy k sezení, tři jsou vždy proti a tři po směru jízdy. Místa, která byla, než vlak zastavil v Pardubicích, obsazena (někdo na nich sedí nebo je na ně zakoupena místenka), jsou označena v obrázku křížkem. V Pardubicích nastoupila do vlaku parta pěti kamarádů, kteří jedou do Brna na veletrh, ani jeden z kamarádů neměl zakoupenou místenku. Místenku neměl zakoupenou ani pan Voříšek, který nastoupil do vlaku na další zastávce, v České Třebové. Pan Voříšek jel do Brna na přednášku na Masarykovu univerzitu. Jiní cestující mezi Pardubicemi a Brnem do tohoto vagonu nenastoupili, ani do něj během jízdy nepřesedli. max. 2 body 1.1 Kolika způsoby se mohla pětice kamarádů usadit do kupé sousedícího s toaletou? 1.2 Určete, jaká je pravděpodobnost, že si pan Voříšek sedl na sedadlo ve směru jízdy na místo, které ještě nebylo obsazeno a nebyla na něj koupena místenka. (Výsledek vyjádřete v % a zaokrouhlete na celá procenta.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde platí: AB CD, AB BC, AB = 7 cm, CD = 3 cm, AD = 5 cm max. 4 body 2.1 Jaký je obsah lichoběžníku ABCD? 2.2 Narýsujte bod X tak, aby lichoběžník AXCD byl také pravoúhlý, přičemž AD XC, AX XC. (V záznamovém listu proveďte celou konstrukci.) 2 Maturita z matematiky 02
1 bod 3 Určete součet čísel A + B + C (A, B a C jsou celá čísla) tak, aby pro každé x R platilo: Ax 2 + B(2x 1) + C(4 6x) = 1 4 Určete všechna reálná čísla x, která jsou řešením rovnice: 1 1 2 x VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 x x + 1 = 2 6,11893 3 1 bod Děti ve školce hrají hru. Pepa, Kája a Lidka sedí ve třech rozích trojúhelníkového koberce a čtvrtý hráč ve hře, Emička, chodí po směru hodinových ručiček od jednoho k druhému dítěti a rozdává jim karty z balíčku 54 karet tak, že každému dalšímu dítěti dá o kartu více než předchozímu. Ema začíná u Pepy, kterému dá dvě karty. 5 Kolikrát se Ema ještě k Pepovi vrátí? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Pokles ceny mobilního telefonu odpovídal přibližně funkci y = 10 200 1,02 x, kde y udává celkovou cenu, proměnná x vyjadřuje prodejní měsíc. V první den, kdy se zboží objevilo na pultech, stál telefon 10 000 Kč. 1 bod 6 O kolik Kč méně bude podle tohoto odhadu stát mobilní telefon o rok později? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) 2 body 7 Tetička se rozhodla, že na přání uplete k Vánocům všem svým synovcům svetry, každému jeden. Tetička dva svetry upletla, pak ještě upletla polovinu toho, co zbývalo uplést, potom třetinu hotových svetrů zase rozpárala. Když se k práci vrátila, upletla ještě dvojnásobek toho, co už měla hotové. Z hotových svetrů nakonec pětinu dala sousedce. Kolik má teta synovců? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6 Maturita z matematiky 02 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dán trojúhelník ABC, v němž platí: C[2; 3], A[6; 2], CB = { [2; 3t]; t 1, 1 3 }. 8 Která z rovnic vyjadřuje rovnici úsečky AB? A) AB = {[6 + 3s; 2 + 3s]; s 1; 0 } B) AB = { [6; 2 + 3s]; s 1, 1 3 } C) AB = { [6 4s; 2 3s]; s 1, 1 3 } 2 body D) AB = {[6 + 4s; 2 3s]; s 1; 0 } E) AB = {[2 + 4s; 3 3s]; s 0; )} VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Na číselné ose jsou zobrazeny obrazy čísel A = 18 a B > A. Na číselné ose je dále zobrazen obraz čísla C = 6 2, který dělí úsečku AB v poměru 3 : 1. max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu B je rovna 4 2. 9.2 Bod B je obrazem čísla 99. 9.3 Obraz čísla A je zároveň obrazem čísla 3 2. 9.4 Platí, že AC = 18. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán kvádr ABCDA B C D s výškou v = 8 cm a s podstavou ABCD tvaru čtverce o hraně délky a = 6 cm. 10 Přiřaďte každému z těles (10.1 10.4), jeden z objemů (A F). 10.1 trojboký hranol ABDA B D 10.2 trojboký jehlan ABDA 10.3 krychle s podstavou ABCD 10.4 čtyřboký jehlan ABCDC max. 4 body 4 Maturita z matematiky 02
A) 288 cm 3 B) 216 cm 3 C) 144 cm 3 D) 96 cm 3 E) 72 cm 3 F) 48 cm 3 KONEC TESTU Maturita z matematiky 02 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Brzký ranní vlak z Prahy do Brna zastavil v Pardubicích. Ve sledovaném vagónu (viz obrázek) je pět kupé, každé s šesti místy k sezení, tři jsou vždy proti a tři po směru jízdy. Místa, která byla, než vlak zastavil v Pardubicích, obsazena (někdo na nich sedí nebo je na ně zakoupena místenka), jsou označena v obrázku křížkem. V Pardubicích nastoupila do vlaku parta pěti kamarádů, kteří jedou do Brna na veletrh, ani jeden z kamarádů neměl zakoupenou místenku. Místenku neměl zakoupenou ani pan Voříšek, který nastoupil do vlaku na další zastávce, v České Třebové. Pan Voříšek jel do Brna na přednášku na Masarykovu univerzitu. Jiní cestující mezi Pardubicemi a Brnem do tohoto vagonu nenastoupili, ani do něj během jízdy nepřesedli. max. 2 body 1.1 Kolika způsoby se mohla pětice kamarádů usadit do kupé sousedícího s toaletou? V kupé sousedícím s toaletou je 5 volných míst. Na první místo se může posadit pět, na druhé čtyři, na třetí tři, na druhé dva a na poslední volné místo už zbyde jen jeden kandidát z pětičlenné party. Jde tedy o 5 4 3 2 1 = 5! = 120 možností. Řešení: 120 možností 1.2 Určete, jaká je pravděpodobnost, že si pan Voříšek sedl na sedadlo ve směru jízdy na místo, které ještě nebylo obsazeno a nebyla na něj koupena místenka. (Výsledek vyjádřete v % a zaokrouhlete na celá procenta.) Ve vagónu je nyní obsazeno 12 míst, zbývá 10 míst ve směru a 8 míst proti směru jízdy. Pan Voříšek si tedy může sednout na 10 míst. Pravděpodobnost je tedy určena poměrem příznivých možností ke všem možnostem, tj.: 10 18 = 0,5. Pravděpodobnost je přibližně 56 %. Řešení: 56 % 6 Maturita z matematiky 02
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde platí: AB CD, AB BC, AB = 7 cm, CD = 3 cm, AD = 5 cm 2.1 Jaký je obsah lichoběžníku ABCD? Dopočteme výšku BC lichoběžníku ABCD. Z obrázku platí, že BC = ( AD 2 ( AB CD ) 2. Dosazením vypočteme, že BC = 3 cm. Dosadíme ji do vztahu pro výpočet obsahu lichoběžníku. AB + CD S = BC 2 Obsah lichoběžníku ABCD je 15 cm 2. max. 4 body Řešení: 15 cm 2 2.2 Narýsujte bod X tak, aby lichoběžník AXCD byl také pravoúhlý, přičemž AD XC, AX XC. (V záznamovém listu proveďte celou konstrukci.) Lichoběžník AXCD má rovnoběžné základny v úsečkách AD a XC, pravé úhly u vrcholů A a X. Hledáme-li bod X, víme, že leží na Thaletově kružnici k nad úsečkou AC, která je z něj vidět pod úhlem 90, a zároveň na přímce p procházející bodem C, která je rovnoběžná s úsečkou AD. Průsečík kružnice k a přímky p je hledaný bod X. 1) lichoběžník ABCD (byl zadán) Řešení: 2) p; p AD C p 3) k; k ( S; AC 2 ), kde S je střed AC. 4) X; X k p Maturita z matematiky 02 7
Konstrukci je možno provést i takto: 1) lichoběžník ABCD (byl zadán) 2) p; p AD C p 3) q; q AD A q 4) X; X p q 1 bod 3 Určete součet čísel A + B + C (A, B a C jsou celá čísla) tak, aby pro každé x R platilo: Ax 2 + B(2x 1) + C(4 6x) = 1 Upravíme výraz na levé straně rovnice tak, abychom znali koeficienty jednotlivých členů polynomu. Ax 2 + 2Bx B + 4C 6Cx = Ax 2 + x(2b 6C) + 4C B Protože výraz na pravé straně zadané rovnosti neobsahuje x 2, je A = 0. Neobsahuje ani proměnnou x, přičemž prostý člen je roven 1, musí být proto splněna soustava rovnic: 2B 6C = 0 B + 4C = 1 Řešením soustavy je dvojice B = 3 a C = 1. Součet A + B + C = B + C = 4. Řešení: 4 1 bod 4 Určete všechna reálná čísla x, která jsou řešením rovnice: 1 1 2 x x x + 1 = 2 6,11893 3 Z levé strany rovnice vytkneme neznámou x: x ( 1 1 2 3 2 ) = x + 1 6,11893 Dořešíme. x ( 1 1 2 3 2 ) = x + 1 6,11893 x + 1 x 0 = 6,11893 Protože zlomek je roven nule právě tehdy, když má nenulového jmenovatele a nulového čitatele, platí, že: x + 1 = 0 x = 1 Řešení: x = 1 8 Maturita z matematiky 02
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Děti ve školce hrají hru. Pepa, Kája a Lidka sedí ve třech rozích trojúhelníkového koberce a čtvrtý hráč ve hře, Emička, chodí po směru hodinových ručiček od jednoho k druhému dítěti a rozdává jim karty z balíčku 54 karet tak, že každému dalšímu dítěti dá o kartu více než předchozímu. Ema začíná u Pepy, kterému dá dvě karty. 5 Kolikrát se Ema ještě k Pepovi vrátí? 1 bod Úlohu můžeme spočítat pomocí aritmetické posloupnosti nebo ji rozepsat tak, jak hra probíhala. 1. kolo: Pepa 2, Kája 3 a Lidka 4 karty, Ema rozdala 9 karet, takže jí zůstává v ruce 45 karet. 2. kolo: Pepa 5, Kája 6 a Lidka 7 karet, Ema rozdala 18 karet, takže jí zůstává v ruce 27 karet. 3. kolo: Pepa 8, Kája 9 a Lidka 10 karet, Ema rozdala 27 karet, takže jí žádná v ruce nezůstává. Ema se k Pepovi dvakrát vrátí. Pokud bychom uvažovali aritmetickou posloupnost, a 1 = 2, d = 1, potom se ptáme, pro jaká n je součet n po sobě jdoucích členů roven 54. Upravíme vzorec pro n-tý člen. (a 1 + a n ) n = [a 2 1 + a 1 + (n 1)d] n = [2 + 2 + (n 1)1] n 2 2 [2 + 2 + (n 1)1] n = 54 2 [3 + n] n = 108 n 2 + 3n 108 = 0 (n 9)(n + 12) = 0 n = 9 54 je roven součet devíti po sobě jdoucích členů, kde první, čtvrtý a sedmý představují zastávky u Pepy. Ema se tedy musela u Pepy zastavit ještě dvakrát od chvíle, kdy mu prvně rozdala karty. Řešení: dvakrát VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Pokles ceny mobilního telefonu odpovídal přibližně funkci y = 10 200 1,02 x, kde y udává celkovou cenu, proměnná x vyjadřuje prodejní měsíc. V první den, kdy se zboží objevilo na pultech, stál telefon 10 000 Kč. 1 bod 6 O kolik Kč méně bude podle tohoto odhadu stát mobilní telefon o rok později? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) Dosadíme prodejní měsíc za proměnnou x. Za rok bude 13. prodejní měsíc, tedy cena telefonu bude: y = 10 200 = 7884,93 = 7885 1,02 13 Cena tudíž poklesla o 2 115 Kč. Řešení: 2 115 Kč Maturita z matematiky 02 9
2 body 7 Tetička se rozhodla, že na přání uplete k Vánocům všem svým synovcům svetry, každému jeden. Tetička dva svetry upletla, pak ještě upletla polovinu toho, co zbývalo uplést, potom třetinu hotových svetrů zase rozpárala. Když se k práci vrátila, upletla ještě dvojnásobek toho, co už měla hotové. Z hotových svetrů nakonec pětinu dala sousedce. Kolik má teta synovců? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6 Teta má x synovců. x 2 2 + x Teta napřed upletla 2 svetry, zbývalo tedy x 2 svetrů, teta tedy upletla 2 +, tj. svetrů. 2 2 Třetinu z toho rozpárala, zůstaly tedy dvě třetiny svetrů, tedy 2 2 + x 2 + x =. 3 2 3 2 + x Teta upletla ještě dvojnásobek, tedy celkově měla 3, tj. x + 2 upletených svetrů. 3 Protože pětinu dala sousedce, zůstaly jí čtyři pětiny upletených svetrů. ( 2 + x 2 2 ) 2 3 4 = x 3 5 (x + 2) 4 5 = x 4x + 8 = 5x x = 8 Teta měla 8 synovců. Správná je možnost C. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dán trojúhelník ABC, v němž platí: C[2; 3], A[6; 2], CB = { [2; 3t]; t 1, 1 3 }. 8 Která z rovnic vyjadřuje rovnici úsečky AB? A) AB = {[6 + 3s; 2 + 3s]; s 1; 0 } B) AB = { [6; 2 + 3s]; s 1, 1 3 } C) AB = {[6 4s; 2 3s]; s 1, 1 3 } D) AB = {[6 + 4s; 2 3s]; s 1; 0 } E) AB = {[2 + 4s; 3 3s]; s 0; )} 2 body 10 Maturita z matematiky 02
Z rovnice úsečky BC určíme bod B dosazením t = 1 3. Bod B má souřadnice B [2; 1]. Nyní určíme parametrickou rovnici AB. s = AB = ( 4; 3) (4; 3) Rovnice přímky AB má tvar: x = 6 + 4s y = 2 3s; s R Protože bodu A dosáhneme dosazením s = 0, bodu B dosazením s = 1, je rovnicí úsečky AB tato rovnice: x = 6 + 4s y = 2 3s; s 1; 0 Správným řešením je možnost D. Řešení: D VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Na číselné ose jsou zobrazeny obrazy čísel A = 18 a B > A. Na číselné ose je dále zobrazen obraz čísla C = 6 2, který dělí úsečku AB v poměru 3 : 1. max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu B je rovna 4 2. 9.2 Bod B je obrazem čísla 99. 9.3 Obraz čísla A je zároveň obrazem čísla 3 2. 9.4 Platí, že AC = 18. ANO NE 9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu C vypočteme takto AC = 6 2 18 = 6 2 3 2 = 3 2 Dále platí: AB = AC + CB Vyjádříme poměr úseček ze zadání a vyjádříme úsečku BC : AC CB = 3 1 CB = 1 3 AC = 1 3 3 2 = 2 A určíme velikost úsečky AB AB = AC + CB = 3 2 + 2 = 4 2 Tvrzení je pravdivé. 9.2 Bod B je obrazem bodu, který je vzdálen 2 od bodu C, tj. B = 6 2 + 2 = 7 2 = 98 99. Tvrzení je nepravdivé. 9.3 Odpověď, zda je toto tvrzení pravdivé, jsme již získali při předchozích úpravách. 18 = 9 2 = 3 2 Tvrzení je pravdivé. Maturita z matematiky 02 11
9.4 I na tuto otázku jsme již schopni odpovědět. AC = 6 2 18 = 6 2 3 2 = 3 2 = 18 Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán kvádr ABCDA B C D s výškou v = 8 cm a s podstavou ABCD tvaru čtverce o hraně délky a = 6 cm. 10 Přiřaďte každému z těles (10.1 10.4), jeden z objemů (A F). 10.1 trojboký hranol ABDA B D 10.2 trojboký jehlan ABDA 10.3 krychle s podstavou ABCD 10.4 čtyřboký jehlan ABCDC A) 288 cm 3 B) 216 cm 3 C) 144 cm 3 D) 96 cm 3 E) 72 cm 3 F) 48 cm 3 max. 4 body 10. 1 Objem hranolu spočteme jako polovinu objemu celého kvádru, V 1 = 1 a 2 v = 36 8 = 144. Objem 2 2 hranolu je 144 cm 3. 10.2 Objem jehlanu je třetinou objemu hranolu ze zadání 10.1, tj. V 2 = 1 a 2 v = 48. Objem jehlanu je 48 cm 3. 6 10.3 Krychle má velikost výšky rovnu délce hrany podstavy, její objem tedy vypočteme ze vzorce V 3 = a 3 = 216. Objem krychle je 216 cm 3. 10.4 Jehlan má stejnou výšku a obsah podstavy jako kvádr ze zadání úlohy, představuje tedy jednu třetinu jeho objemu, tj. V 4 = 1 36 8 a 2 v = = 96. Objem jehlanu je 96 cm 3. 3 3 Řešení: C, F, B, D KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 02
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1.1 120 možností 1 bod 1.2 56 % 1 bod 2 2.1 15 cm 2 1 bod 2.2 max. 3 body 3 4 1 bod 4 x = 1 1 bod 5 dvakrát 1 bod 6 2 115 Kč 1 bod 7 C 2 body 8 D 2 body Maturita z matematiky 02 13
9 10 9.1 ANO 9.2 ANO 9.3 NE 9.4 ANO 10.1 C 10.2 F 10.3 B 10.4 D max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 02
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1.1 1 bod 1.2 1 bod 2 2.1 1 bod 2.2 max. 3 body 3 1 bod 4 1 bod 5 1 bod 6 1 bod 7 2 body 8 2 body Maturita z matematiky 02 15
9 10 9.1 9.2 9.3 9.4 10.1 10.2 10.3 10.4 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 02