9. Limita a spojitost funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a, r ), případně jen O (a ) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a r Obrázek 9. Okolí bodu Uvažujme libovolnou množinu M R. Bod a je vnitřní bod množiny M, jestliže eistuje O (a ) takové, že platí O (a ) M. Bod a je hraniční bod množiny M, jestliže v každém O (a ) eistují body, které patří do M a současně body, které do M nepatří. Je zřejmé, že každý vnitřní bod patří do M, kdežto hraniční bod množiny M může, ale nemusí patřit do M. K význačným množinám na reálné ose patří intervaly. Pokud hraniční bod intervalu patří do intervalu, nazývá se též krajní bod. Polouzavřený interval ( p, q má hraniční body p, q, z nichž p M, q M; každý bod ( p, q) je jeho bodem vnitřním. Bod q můžeme též nazvat bodem krajním. POJEM LIMITY FUNKCE V BODĚ V matematické analýze má pojem limity základní význam. V běžném jazyce se ale slovo "limita" nevyskytuje. Používají se však jemu příbuzná slova (například limit rychlosti, limitující faktor) ve smyslu jisté "hranice" mající kritický význam. S takovou intuitivní představou lze přistupovat k pochopení matematického pojmu limita. 84

Motivační úvaha: Ještě než uvedeme definici pojmu limita funkce v bodě je užitečné provést tuto motivační úvahu: Uvažujme funkci f ( ) =, zřejmě D ( f ) = R {}. Jistě vyvstane otázka, co lze očekávat v bodě, ve kterém není funkce definována. Přirozený důvod má myšlenka přiblížit se co nejvíc bodu a z příslušných vypočtených hodnot funkce usuzovat na situaci v bodě. Bodu se lze libovolně přiblížit zleva i zprava například pro 0,9 je f (0,9) =,9, pro, je f (,) =,, dále f (0,99) =,99, f (,0) =,0 atd. Lze vyslovit hypotézu, že při přibližování z obou stran k bodu se hodnoty funkce přibližují k číslu. Tuto hypotézu podporuje i graf funkce f na obrázku 9.. Přesně formulováno, k libovolně zvolenému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro ( δ, δ ), platí f () ( ε, ε). V takovém případě se prohlásí číslo za limitu funkce ( ) zda je f v bodě definována či ne. f = v bodě. Důležitý je fakt, že pro tuto úvahu není podstatné, y f () ε ε f ( ) = 0 δ δ Obrázek 9. Graf f ( ) = Definujme nyní limitu funkce v bodě: Předpokládejme, že funkce f je definována na nějakém okolí O (c ) bodu c s případnou výjimkou bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro (c δ, c δ ), c platí f () (a ε, a ε). Zapisuje se f ( ) = a a". lim a čte se "limita funkce f pro jdoucí (blížící se) k c je rovna c Poznámka: Volně řečeno, funkce f má v bodě c limitu a, jestliže pro hodnoty blízké okolí bodu c (ale různé od c) je hodnota f () blízká hodnotě a. Geometricky to znamená, že při libovolném 85

ε > 0 leží graf funkce pro c, c δ < < c δ v pásu mezi přímkami y = a ε a y = a ε (obr. 9.). Abychom postihli případy, kdy se funkce chová jinak vlevo od zkoumaného bodu a jinak vpravo, definujeme levé (pravé) okolí bodu a jako interval (a r, a ) ( (a, a r ) ), kde r > 0; značí se O - (a ) ( O (a ) ). Předpokládejme, že funkce f je definována na levém (pravém) okolí O - (c ) (O (c ) ) bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a zleva (zprava), jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro (c δ, c ) ( (c, c δ ) ), platí f ( ) (a ε, a ε). Zapisuje se lim f ( ) = a ( lim f ( ) = a c c pro jdoucí (blížící se) k c zleva (zprava) je rovna a". ) a čte se "limita funkce f Obrázek 9. Limita funkce v bodě Závažná je skutečnost, že eistence limity nezávisí na tom, zda je funkce f v bodě definována či ne. To znamená, že je-li f v bodě c definována, její hodnota f (c ) neovlivní hodnotu limity v bodě c. Důležitý případ nastane, jestliže limita eistuje a navíc se rovná funkční hodnotě pak se f prohlásí za spojitou v bodě (viz dále). Na obrázku 9.4 je příklad funkce, která je v bodě c definována, avšak v bodě c limita neeistuje (pro hodnoty blízké c jsou zleva funkční hodnoty rovny číslu, zprava číslu, tedy žádné společné předem pevně zadané hodnotě). Je zřejmé, že definice limity nedává návod, jak ji "vypočítat". Užitím definice lze pouze potvrdit, zda předem zadané číslo limitou skutečně je. Potvrzení je však snadné pouze v jednoduchých případech, jinak vyžaduje obvykle zvláštní postup s vhodně volenými matematickými obraty. 86

y f (c) 0 c f Obrázek 9.4 Neeistence limity V každém případě je však velmi důležité stanovení hypotézy o eistenci limity, případně její hodnotě, založené na pochopení pojmu limita. To umožní i řešení úloh typu "určete lim f ( ) c ", jak jsou tradičně úlohy o limitách zadávány. Při stanovení hypotézy se postupuje tak, jak je uvedeno v motivační úloze o limitě vyšetříme hodnoty funkce v bodech blízkých zleva i zprava bodu, ve kterém se limita hledá. sin (a) Stanovíme hypotézu o lim. Vychází f (0,) = f ( 0,) = 0,998, f (0,05) = f ( 0,05) = 0,9995, 0 sin f (0,0) = f ( 0,0) = 0,9998. Lze stanovit hypotézu, že lim =. Její pravdivost můžeme potvrdit 0 výpočtem při užití L Hospitalova pravidla (viz další kapitola o derivaci funkce). (b) Stanovíme hypotézu o lim. Platí f (0,) = 0, f ( 0,) = 0, f (0,0) = 00, f ( 0,0) = 00, 0 f (0,00) = 000, f ( 0,00) = 000. Zřejmě limita neeistuje, neboť pro > 0, je blízké 0, jsou hodnoty f () dosti velká kladná čísla, kdežto pro < 0, blízké 0, jsou hodnoty f () dosti malá záporná čísla. Důležité je rovněž umět stanovit hypotézu o limitě z grafu funkce. Na následujícím obrázku 9.5 jsou zachyceny základní alternativy (tečkou je vyznačena definovaná funkční hodnota). Poznámka: Obrázek 9.5 znázorňuje dříve zmíněná fakta: Že limita funkce v bodě c nezávisí na hodnotě funkce v bodě c (viz čtvrtý obrázek), že v něm funkce navíc nemusí být ani definována (viz pátý obrázek), limita také nezávisí na hodnotách funkce v bodech vzdálených bodu c. Limita funkce v bodě je tzv. lokální pojem, záleží jen na hodnotách funkce v nejbližším okolí bodu c. 87

Obrázek 9.5 Alternativy (ne)eistence limity DŮLEŽITÉ LIMITY K důležitým základním limitám patří: lim k = k, kde k je konstanta, (plyne z definice) lim = c, sin lim =, 0 cos lim = 0, 0 e lim =. 0 (plyne z definice) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) VLASTNOSTI LIMIT Limita funkce v bodě může, ale nemusí eistovat. Nemůže se však stát, aby v daném bodě eistovalo více limit: Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Funkce f má v daném bodě a R limitu c R, jestliže má v tomto bodě limity zprava i zleva a tyto jsou rovny c. Limita respektuje operace sčítání, odčítání, násobení a dělení s funkcí: Nechť lim f ( ) = a, lim g( ) = b c c. Pak platí: 88

( f ( ) ± g( )) = a ± b lim. (9.) ( f ( ) g( )) = ab lim. (9.) Je-li b 0, pak ( ) a = ( ) b f lim. (9.) g Je-li n 0 celé číslo, pak n n [ f ( )] = a lim. (9.4) (a) Je-li k konstanta a lim f( ) = a, pak kf( ) = ka c lim. c (neboť podle (9.) platí kf( ) = limklimf( ) = ka lim ) c c c (b) n n lim =c c, kde n 0 je celé číslo. (plyne aplikací (9.4) pro f() = ) (c) lim = 9 00. (protože podle (9.) platí lim( ) = lim lim= = lim ( ) = lim lim = = 0 a s využitím (9.4) také ( ) lim ; a tedy podle (9.) lze psát lim = lim = ( ) 0, přičemž konečně užitím (9.4) dostávámelim = 0 = 9 00 ) Pro praktické výpočty má zásadní význam následující tvrzení, které říká, že limity elementárních funkcí ve vnitřních bodech jejich definičních oborů (intervalů) se určí prostým dosazením: Pro každou elementární funkci f a vnitřní bod c jejího definičního oboru platí ( ) = f ( c) lim f. (9.5) c π sin sin π sin lim = =, neboť π je vnitřní bod definičního oboru funkce. π π 89

VÝPOČET LIMIT Nyní uvedeme shrnující fakta k technice výpočtu limit. Jednoduchý je postup, kdy lze limitu určit přímým dosazením (9.5), případně využít znalostí základních limit a aplikace vět o vlastnostech limity (9.) (9.4). Pokud nelze limitu tímto způsobem určit, zbývá (kromě užití L Hospitalova pravidla viz následující kapitola o derivacích) upravit funkci na tvar, který již umožňuje shora uvedený způsob. Nejčastějším je případ limity podílu funkcí kdy lim g() = 0 (někdy i navíc lim f () = 0). Pak nelze použít přímé dosazení, respektive vlastnost (9.); častou hrubou chybou je v případě lim g() = lim f () = 0 učinit závěr, že ( ) ( ) lim f 0 = g 0 =. Umět řešit takové úlohy je do značné míry záležitostí dostatečné početní prae a cviku. V dané chvíli je proto spíše účelné počkat s výpočtem obtížnějších limit až na L Hospitalovo pravidlo s využitím derivací. f g ( ) ( ), Určeme 6 lim. Platí lim ( 6) 0 limity podílu (9.). Úpravou dostaneme = lim lim =, ( ) 0 ( )( ) limity přicházejí v úvahu hodnoty různé od. Pak vychází. Nelze použít přímé dosazení, či vlastnosti ; nyní lze členem ( ) krátit, neboť pro určení lim ( )( ) = lim ( ) = 5. Pokud při výpočtu limit výraz upravujeme, je výhodné před výpočtem, případně až po výpočtu otestovat hypotézu o limitě, abychom vyloučili náhodnou chybu při provádění úprav. NEVLASTNÍ LIMITA V tomto odstavci se budeme zabývat studiem veličin, jejichž chování je charakteristické tím, že jejich hodnoty rostou nade všechny meze. Nejde zdánlivě o umělou abstrakci, vyšetřování takových veličin má své reálné opodstatnění, například, při studiu útlumových dějů, stability fyzikálních procesů apod. K tomu se jeví účelné nejprve rozšířit množinu reálných čísel R o prvky,, pro něž platí < a < pro každé a R; nazývají se nevlastní body. Množina {- } R = R,, jak bylo již stručně uvedeno v kapitole 6 (Posloupnosti a řady), se nazývá rozšířená množina reálných čísel. Pozor, nemají charakter čísel, proto s nimi nelze zacházet (počítat) jako s čísly. Symbol se u někdy vynechává. 90

Jestliže nyní definici limity funkce modifikujeme tak, že c, a mohou být nevlastní body (obě, případně jedno z nich) a příslušným způsobem nahradíme podmínku v definici limity analogickými podmínkami pro nevlastní body, dostaneme definici nevlastní limity (souhrnně řečeno) v těchto alternativách:. c =, případně c =, a R limita v nevlastním bodě;. c R, a =, případně a = nevlastní limita v bodě;. a = c =, případně a = c = nevlastní limita v nevlastním bodě. Zápis nevlastní limity se provede analogicky, například pro alternativu. lim f ( ) = a, případně lim f ( ) = a. Modifikaci podmínek v definici pro jednotlivé alternativy není na tomto místě nutné, z hlediska praktického výpočtu nevlastních limit, detailně rozepisovat. K základní orientaci nám budou stačit geometrické interpretace alternativ na obrázcích (9.6) (9.0) (nezahrnují ale všechny varianty alternativ). Obrázek 9.6 Limita v nevlastním bodě lim f ( ) a, lim f ( ) a = = Obrázek 9.7 Nevlastní limita v bodě lim f ( ) = 9

Obrázek 9.8 Nevlastní limita v bodě lim f ( ) = Obrázek 9.9 Nevlastní limita v bodě c neeistuje, ovšem eistují nevlastní limity zleva ( lim f ( ) = ) a zprava ( f ( ) = lim ) Obrázek 9.0 Nevlastní limita v nevlastním bodě lim f ( ) =, lim f ( ) = Důležité nevlastní limity, limity v nevlastních bodech, popřípadě jednostranné limity jsou uvedeny v následujícím přehledu. Jejich znalost nám poslouží při výpočtu složitějších limit. Snadno si je vybavíme, představíme-li si grafy příslušných funkcí. lim =, lim = ; 9

lim = 0, lim = 0; lim 0 =, lim = ; 0 lim a =, lim a = 0, a > ; lim a = 0, lim a =, 0 < a < ; π π lim arctg =, lim arctg = ; lim arccotg = 0, lim arccotg = π ; a a lim =, lim = 0 ; pro a > 0 0 a a lim = 0, lim = ; pro a < 0 0 lim ln =, lim ln = ; 0 lim = e,788 (iracionální číslo). Hypotézy o právě uvedených limitách se snadno stanoví užitím kalkulačky, či načrtnutím grafu. Vlastnosti nevlastních limit jsou uvedeny souhrnně v symbolickém tvaru: a =, = 0, ± a =, =, a =, ( ) =, =, ( ) ( ) =. Tímto symbolickým zápisem, například a rozumíme: je-li pro lim, lim g( ) =, pak lim ( f ( ) g( )) = c R f ( ) = a například, pro 0, apod.. Pozor!!! Nelze používat, Platí lim( 5) = dostáváme výsledek., neboť lim = (postupnou aplikací = ), lim 5 = 5. Pak užitím a = Pro zajímavost si uvedeme ještě jiný přístup k definování limity funkce. Jedná se o tzv. Heineho definici limity funkce pomocí posloupností. Platí totiž následující tvrzení: 9

Je-li pro c R, a R funkce f definovaná na nějakém okolí O (c ) bodu c s případnou výjimkou bodu c, pak f ( ) = a lim právě tehdy, když pro každou posloupnost ( n ) bodů z O (c ) platí, že když lim = c, pak lim f ( ) = a. n n n n Zdálo by se, že zavedení posloupností celou situaci zkomplikuje. Toto tvrzení je ale velice užitečné při dokazování dalších tvrzení o limitách funkce. V následujícím příkladu rozhodneme na základě Heineho tvrzení o eistenci limity lim sin( ). Eistuje limita funkce lim sin( )? Řešení: Z průběhu této funkce již máme podezření, že daná limita pravděpodobně neeistuje, jelikož tato funkce osciluje mezi hodnotami intervalu ;. Podle předpokladů předchozího tvrzení (promyslete) stačí najít dvě různé posloupnosti reálných čísel konvergující k tak, aby posloupnosti jejich funkčních hodnot konvergovaly pokaždé k jinému číslu. Z jedinečnosti limity pak vyplyne, že lim sin( ) neeistuje (lze volit například posloupnosti (nπ ); (π/ nπ ), lim sin(nπ ) = lim0 = 0 a zároveň lim sin( π / nπ) = lim = ). n n říká, že: n N). Obě konvergují k a jsou zvoleny tak, že n n Dalším užitečným tvrzením pro stanovení limit je tzv. věta o sevření. Věta Máme-li tři funkce f, g, h, pro které na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou výjimkou tohoto bodu) platí f ( ) g ( ) h ( ) a nechť lim f ( ) = lim h( ) = a R, pak eistuje limita lim g( ) a platí, že g( ) = a c, a R lim., kde sin Pomocí věty o sevření lze stanovit často se vyskytující limitu lim =. 0 Řešení: Stačí nalézt svírající funkce f, h, jejichž limita je rovna jedné pro jdoucí k 0. Z obrázku jednotkové kružnice po jednoduchých úvahách dospějeme k nerovnosti: cos < z čehož zase plyne sin < cos sin cos < < cos pro ( 0, π /), pro ( 0, π /). Funkce jsou sudé, tzn. že nerovnosti lze rozšířit na interval ( π /,0) ( ). Platí, že lim = limcos = 0cos 0 94

tedy podle předchozího tvrzení eistuje hledaná limita a platí lim 0sin =. ( ) sin lim =. Rovněž platí (promyslete) 0 Další tvrzení nám říká, že: Máme-li funkce f, g, přičemž funkce g je na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou výjimkou tohoto bodu) ohraničená a platí lim f ( ) = 0 lim f ( ) g( ) a platí, že lim f ( ) g( ) = 0 c., kdec R, pak eistuje limita Podle tohoto tvrzení lze ukázat, že limsin = 0. 0 Řešení: limsin sice neeistuje, sin je ale funkce ohraničená, čili dle předchozího tvrzení platí, že limsin = 0. 0 0 POJEM SPOJITOSTI FUNKCE Pojem spojitosti slouží k popisu toho, co se v běžném životě nazývá, například, nepřetržitostí. Je-li takový děj vyjádřen funkcí, pak je její graf "souvislá čára"; v grafu nejsou žádné "skoky", "mezery" apod. Nabízí se tedy definovat spojitost prostřednictvím limity. V případě spojitosti by totiž měla funkční hodnota souhlasit s limitou. Spojitost funkce v bodě definujeme následovně: Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže platí lim f ( ) = f ( c ). Jinak řečeno, f je spojitá v bodě c, je-li f v bodě c definována a její limita v bodě c je rovna funkční hodnotě v bodě c. Obdobně jako jednostrannou limitu lze definovat i spojitost funkce v daném bodě zprava (zleva): Řekneme, že f je spojitá v bodě c zprava (zleva), jestliže platí lim f ( ) = f ( c ) ( f ( ) = f ( c ) lim ). Funkce f, jejíž graf je na obrázku 9.., je z vyznačených bodů spojitá pouze v bodě g, v ostatních nikoliv (v a, c není definována, v m, d, h, b neeistuje limita, v e není limita rovna funkční hodnotě). 95

y f 0 a m c d e h g b Obrázek 9. Vyšetření spojitosti funkce f v bodech a, m, c, d, e, h, g, b Rozebereme-li podrobněji graf na obr. 9., vidíme, že nastávají následující situace:. Funkce f je v bodě g spojitá, limita je rovna funkční hodnotě.. Funkce f není v daném bodě spojitá, rozlišíme několik případů: a) Limita funkce f v bodě e eistuje, ale není rovna funkční hodnotě (e). b) Limita funkce f v bodě c eistuje, ale funkce není v tomto bodě definovaná (c). V obou těchto případech se jedná o tzv. odstranitelnou nespojitost, stačí funkci vhodně předefinovat, respektive dodefinovat v daném bodě a bude z ní spojitá funkce. c) Limita neeistuje, ale eistují obě jednostranné limity, jsou vlastní, ale nerovnají se (případ bodu m). V tomto případě tento bod nazveme bodem nespojitosti prvního druhu (funkce f má zde jakýsi skok ). d) Jestliže některá jednostranná limita neeistuje, nebo je nevlastní (případ h), mluvíme o bodu nespojitosti druhého druhu. Z pohledu jednostranné spojitosti platí, že v bodech d, h, b je f spojitá zleva, v bodě m zprava. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité.. ( ) f =. ( )( 9) Jde o elementární funkci, přičemž D ( f) =R { ; ; } oboru, body nespojitosti jsou body { ; ; }. Funkce je spojitá ve všech bodech definičního, v nichž není funkce definována.. f () = sgn () = - pro > 0 = 0 pro = 0 = pro < 0. Zde je bodem nespojitosti bod = 0, vlastní jednostranné limity eistují, nerovnají se, jedná se o bod nespojitosti. druhu. Definujme dále spojitost funkce na intervalu. Platí: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b ), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě. Funkce spojitá na celém svém definičním oboru se nazývá spojitá funkce. 96

Definujme rovněž případ po částech spojité funkce. Platí: Funkce definovaná na intervalu a, b se nazývá po částech spojitá, je-li na a, b spojitá nejvýše s výjimkou konečného počtu bodů nespojitosti prvního druhu. VLASTNOSTI SPOJITÝCH FUNKCÍ Spojité funkce mají řadu významných vlastností. Nejdůležitější jsou obsaženy v následujících tvrzeních (větách): Součet, rozdíl, součin a podíl (pokud je definován) funkcí spojitých v bodě jsou funkce spojité v tomtéž bodě. Složením spojitých funkcí vznikne opět spojitá funkce. Víme již, že limita spojité funkce v bodě se počítá snadno, protože je rovna funkční hodnotě. Je pro nás proto velice užitečné znát co nejvíce příkladů spojitých funkcí, viz následující tvrzení: Všechny elementární funkce jsou spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů. Je-li funkce f spojitá na nějakém otevřeném intervalu I a mají-li pro a, b I, a < b funkční hodnoty f (a ), f (b ) opačná znaménka, pak eistuje c (a, b ) tak, že platí f (c ) = 0. Lze tedy volně formulovat spojitá funkce nemůže měnit znaménko, aniž přejde přes reálnou osu. Tato věta má zásadní důležitost při hledání nulových bodů spojitých funkcí (neboli kořenů rovnice f ( ) = 0). Zaručuje, že najdeme-li hodnoty a, b tak, že f (a ), f (b ) jsou opačných znamének, pak v (a, b ) eistuje alespoň jeden nulový bod funkce f. Na obrázku 9. má funkce f tři nulové body c, c, c patřící do (a, b ). Z této vlastnosti rovněž vyplývá, že je-li f spojitá na (a, b ) a f ( ) 0 pro všechna (a, b ), pak je f na (a, b ) buď stále kladná, nebo stále záporná. Obrázek 9. Nulové body c, c a c funkce f 97

Cílové znalosti. Formulace pojmu limity funkce v bodě.. Stanovení hypotézy o limitě z grafu nebo numericky.. Výpočet jednoduchých limit užitím základních vět o limitách a znalosti důležitých limit. 4. Vysvětlení modifikace pojmu limity ve variantě nevlastní. 5. Výpočet jednoduchých nevlastních limit. 6. Rozhodnout v jednoduchých případech o spojitosti funkce podle jejího grafu. 7. Vlastnosti spojitých funkcí. 98