Obsah Derivace 3 Integrály 7. Neurčité integrály.................. 7. Určité integrály................... 3.3 Aplikace v geometrii a fyzice............ 6 3 Diferenciální rovnice 8 3. Motivace....................... 8 3. Diferenciální rovnice. řádu............ 8 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu... 0 3.3. Ortogonální systémy integrálních křivek.. 3 3.4 Lineární diferenciální rovnice. řádu....... 4 3.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu..... 6 3.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu......... 8 3.6. Homogenní rovnice............. 8 3.6. Nehomogenní rovnice............ 3 3.6.3 Fyzikální aplikace.............. 34 3.7 Okrajové úlohy pro rovnice. řádu........ 35 3.8 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. řádu 38 3.9 Metody řešení soustavy diferenciálních rovnic.. 39 4 Posloupnosti a řady funkcí 48 4. Posloupnosti funkcí................. 48 4. Funkční řady.................... 5 4.3 Mocninné řady................... 5 4.4 Trigonometrické Fourierovy řady......... 57
Matematická analýza 5 Skalární funkce více reálných proměnných 59 5. Prostor R n...................... 59 5. Základní vlastnosti funkcí v R n.......... 6 5.3 Derivace a diferenciál................ 66 5.4 Vlastnosti diferencovatelných funkcí........ 69
Matematická analýza 3 Derivace Rozdíl t = t t 0 se nazývá diference argumentu, rozdíl s(t 0, t) = s(t) s(t 0 ) se nazývá diference funkce s v bodě t 0 a podíl s(t) s(t 0) t t 0 se nazývá poměrná diference funkce s v bodě t 0. K výpočtu okamžité rychlosti v 0 auta v čase t 0 potřebujeme znát hodnotu limity v 0 = lim t t0 s(t) s(t 0 ) t t 0. Příklad. : Máme auto, jehož ujetá dráha je popsána V 7.století se ma- funkcí s(t). Chceme-li spočítat jeho průměrnou rychlost v v časovém intervalu t 0, t, pak v = s(t) s(t 0) t t 0. tematici pokoušeli vyřešit tzv. Problém tečny - nalezení tečny ke grafu funkce a Problém plochy - spočítat obsah plochy pod grafem funkce. Na úspěšném vyřešení těchto problémů se nezávisle na sobě podíleli Isaac Newton (643-77) Definice. : (derivace) Necht funkce f je definována na okolí bodu U(x 0 ). Jestliže existuje limita f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) (= f x0 ), x x 0 x x 0 pak se nazývá derivace funkce f v bodě x 0. (Jestliže = ±, pak hovoříme o nevlastní derivaci.) f(x) f(x lim 0 ) x x x x 0 0 f(x) f(x Jestliže existuje lim 0 ) x x 0 + x x 0 = f +(x 0 ), pak se nazývá derivace zprava. f(x) f(x Jestliže existuje lim 0 ) x x 0 x x 0 = f (x 0 ), pak se nazývá derivace zleva funkce f v bodě x 0. Funkce f : x f (x), x I na množině I. se nazývá derivace funkce f a Gottfried Wilhelm von Leibniz (646-76). Další rozvoj v této oblasti vedl k získání velkého množství matematických poznatků, které nazýváme kalkulus. Příklad. : Vypočítáme derivaci funkce f(x)=x n, n N, x R. Dostaneme f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 (x x lim 0 )(x n +x n x 0 + +x x x x x 0 0 n 0 ) = lim x x0 x n x n 0 x x 0 = = nx n 0 (x n ) = nx n. y f(x) = x f(x) } f(x) f(x 0 ) x 0 }{{} x x x 0 x
4 Matematická analýza Definice. : Necht k funkci f : U(x 0 ) R existují konstanta A a funkce ω : U(x 0 ) R takové, že x U(x 0 ) : f(x) f(x 0 ) = A (x x 0 ) + ω(x x 0 ) lim x x0 ω(x x 0 ) x x 0 = 0, pak řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x 0. Položíme h = x x 0. Funkce df(x 0, h) = A h se nazývá diferenciál funkce f v bodě x 0. Věta. : Funkce f má derivaci v bodě x 0 (je derivovatelná v x 0 ) právě tehdy, když je diferencovatelná v bodě x 0. Navíc platí df(x 0, h) = f (x 0 ) h. diferenciál funkce f y ω(h) f (x 0 )h h 0 x 0 x x Poznámka. :. Pro funkci f(x) = x je f(x) f(x 0 ) = (x x 0 )+0 = h. Tedy f (x) = a df(x 0, h) = dx(x 0, h) = h, proto se pro diferenciál funkce f v bodě x 0 zavádí značení df(x 0, h) = f (x 0 ) dx.. Diferenciál funkce f určuje hlavní (lineární) změnu funkce f v bodě x 0 a používá se pro výpočet přibližných hodnot dané funkce na okolí bodu x 0 pomocí vztahu f(x). = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Například pro funkci f(x) = x a body x = 4,, x 0 = 4 dostaneme 4, =. 4+ (4, 4) =,05. 4 3. Rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] má tvar y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). 4. Pokud f (x 0 ) 0, pak rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] má tvar y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0).
Matematická analýza 5 Věta. : (algebra derivací) Necht existují derivace f (x 0 ), g (x 0 ), pak platí: i) (a f ± b g) (x 0 ) = a f (x 0 ) ± b g (x 0 ), a, b R, ii) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ), ( f ) (x0 iii) ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ), g(x g g 0 ) 0. (x 0 ) Věta.3 : (Derivace složené a inverzní funkce) Necht funkce f je diferencovatelná v bodě x 0, y 0 = f(x 0 ) a funkce g je diferencovatelná v bodě y 0, potom i složená funkce g(f(x)) je diferencovatelná v bodě x 0 a platí (g(f(x))) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). Necht f (x 0 ) 0, pak pro derivaci inverzní funkce f v bodě y 0 = f(x 0 ) platí Příklad.3 : (f ) (y 0 ) = f (x 0 ) = f (f (y 0 )).. (a x ) = (e x ln a ) = (y = x ln a) = (e y ) (x ln a) = e x ln a ln a (a x ) = a x ln a.. (arctg y) (y 0 ) = (tan x) (x 0 ) = cos (x 0 ) = +tan (x 0 ) = +tan (arctan(y 0 )) = +(y 0 ) (arctg x) = +x. = cos (x 0 )+sin (x 0 ) cos (x 0 ) = ((x + ) cos x e x ) = cos x e x + (x + ) (cos x e x ) = cos x e x +(x+)( sin x) e x + (x + ) cos x e x. ( (tg x) sin x = cos x) = cos x cos x sin x( sin x) = cos x cos x (tg x) = cos x. Derivaceinverznífunkce y y 0 0 x 0 f (x) f(x) x Například = (x) = (e ln x ) = e ln x (ln x) = x (ln x) (ln x) = x.
6 Matematická analýza Tabulka : Přehled derivací základních funkcí (e x ) = e x x R (a x ) = a x ln a a > 0, a, x R (ln x) = x x (0, ) (log a x) = x ln a a > 0, a, x (0, ) (x α ) = α x α α R, x (0, ) (x n ) = n x n n N, x R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = cos x (cotg x) = sin x x R x R x (k + ) π, k Z x kπ, k Z (arcsin x) = x x (, ) (arccos x) = x x (, ) (arctg x) = +x x R (arccotg x) = +x x R (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tgh x) = cosh x x R x R x R (cotgh x) = sinh x x 0 (argsinh x) = x + (argcosh x) = x x R x (, ) (argtgh x) = x x (, ) (argcotgh x) = x x (, ) (, )
Matematická analýza 7 Integrály. Neurčité integrály Už víme, že derivace s (t) funkce s(t) popisující ujetou vzdálenost auta v závislosti na čase t udává jeho rychlost v(t). V této kapitole budeme řešit opačný problém. K dané rychlosti budeme hledat ujetou vzdálenost. Definice. : Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na množině M, jestliže x M : F (x) = f(x). Definice. : Množina všech primitivních funkcí k funkci f se nazývá neurčitý integrál funkce f a značí se f(x) dx = F (x) + C, C R. Necht G, F jsou primitivní funkce k funkci f na množině M, pak x M platí: (G F ) (x) = f(x) f(x) = 0. Odtud vyplývá, že existuje konstanta C R taková, že G(x) F (x) = C. Konstanta C se nazývá integrační konstanta. Příklad. :. Funkce s(t) popisující dráhu auta je primitivní funkcí k funkci v(t) popisující rychlost auta.. Funkce x 3 +, x 3 3 jsou primitivní k funkci 3x na R a pro neurčitý integrál k funkci 3x platí 3x dx = x 3 + C, C R. Znak integrálu f(x) dx Integrand Integrální proměnná Úloha najít primitivní funkci je obrácená k úloze nalézt derivaci dané funkce. Z linearity operace derivování (věta (.) i)) plyne i linearita neurčitého integrálu. Věta. : Necht funkce f, g mají primitivní funkce na intervalu I, α, β R, potom platí [α f(x) ± β g(x)] dx = α f(x) dx ± β g(x) dx. Příklad. : 3 e x sin x dx = 3 e x dx sin x dx = 3 e x + cos x + C. Ze znalosti derivací základních funkcí lze odvodit následující primitivní funkce.
8 Matematická analýza Tabulka : Základní primitivní funkce e x dx = e x + C a x dx = ax + C ln a x R a > 0, a, x R x n dx = xn+ n+ + C n N, x R x dx = ln x +C x R \ {0} x α dx = xα+ α+ + C α, x (0, ) sin x dx = cos x + C x R cos x dx = sin x + C dx = tg x + C x cos x dx = cotg x + C x sin x x R (k + ) π, k Z kπ, k Z x dx = arcsin x + C = arccos x + C x (, ) dx = arctg x + C = arccotg x + C +x x R cosh x dx = sinh x + C x R sinh x dx = cosh x + C dx = tgh x + C x cosh x x R R dx = cotgh x + C x 0 sinh x +x dx = argsinh x + C = ln x + + x +C x R dx = argcosh x +C = ln x + x x +C x (, ) dx = argtgh x + C x (, ) x dx = argcotgh x + C x (, ) (, ) x
Matematická analýza 9 Ze vztahu pro derivaci součinu dvou funkcí (věta (.) ii)) plyne následující věta. Věta. : (integrace per partes) Necht funkce u, v jsou derivovatelné na intervalu I a existuje primitivní funkce k součinu u v na I, pak na I platí u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx. Příklad.3 : ) Vypočtěte integrál x cos x dx. [ ] u = cos x v = x x cos x dx = u = sin x v = x sin x sin x dx = = x sin x + cos x + C. ) Vypočtěte integrál log a x dx. [ ] u loga x dx = = v = log a x u = x v = x ln a x log a x x ln a + C. 3) Vypočtěte integrál (+x ) dx. u = x v = = x log a x x x ln a dx = Obecně označíme I n = (+x ) dx, n N a pomocí n metody per partes dostaneme I n = [ ] u = v = x (+x ) dx = = n (+x ) n x( n x) (+x ) n+ dx = x (+x ) n + n (+x ) n n x (+x ) n+ +x x (+x ) dx = n+ (+x ) + n n ( (+x ) n (+x ) dx) = x n+ (+x ) + n (I n n I n+ ). ( ) Odtud vyplývá I n+ = x n (+x ) + (n )I n n. Podobně počítáme integrály funkcí x n cos kx, x n sin kx, x n e kx, k, n N. Podobně počítáme integrály funkcí arcsin ax, arccos ax, arctg ax, a R ap. Nyní vypočítáme (+x ) dx = (n = ) ( x (+x ) + ( ) ) ( ) +x dx = x +x + arctan x + C.
0 Matematická analýza Typickými integrály, které lze spočítat pomocí věty o substituci jsou ln x tg x dx ; x dx ; arcsin x x dx ; argsinh x + x dx ap. Věta.3 : (integrace substitucí) Necht f : D(f) H(f), g : D(g) H(g) a H(f) D(g). Jestliže funkce f je derivovatelná na D(f) a existuje primitivní funkce G k funkci g na D(g), potom na D(f) platí g(f(x)) f (x) dx = g(y) dy = G(f(x)) + C, C R. Příklad.4 : Větu.3 je vhodné použít v příkladech, kdy se v integrálu vyskytuje funkce f a její diferenciál f dx, pak provedeme substituci za funkci f. ( cotg x dx = cos x y = sin x ) sin x dx = = dy = cos x dx y dx = ln y + C = ln sin x + C. Obráceně je někdy výhodné proměnnou x nahradit funkcí x(t). V tomto případě však musíme mít zaručenou existenci inverzní funkce x (t). x dx = ( x = cos t t (0, π) dx = sin t dt t = arccos x ) = ( sin t) dt = ( pro t (0, π) cos sin t t sin t dt = je sin t > 0 dt = t + C = arccos x + C. ) = Racionální lomené funkce mají tvar R(x) = P (x) Q(x), kde P (x), Q(x) jsou polynomy. Integrály typu R(x) dx Nejdříve budeme integrovat základní racionální funkce typu. A x x dx, kde A, x R. ( 3 u = x 4 ) x 4 dx = = 3 du = dx u du = 3 ln x 4 + C.. A (x x dx, kde A, x ) k R, k N \ {}. ( u = x ) ( x) dx = 3 du = dx ( x) + C. = u 3 ( du) = u = 3. Ax+B x +px+q dx, kde A, B, p, q R a jmenovatel zlomku má komplexní kořeny. x+ x +x+ dx = ( x+ u = x x +x+ dx = + x + ) = du = (x + )dx
Matematická analýza ( u du v = x + ) (x+) + dx= =ln u +C dv = dx v + dv = ln x + x + arctg (x + ) + C. 4. Ax+B dx, kde A, B, p, q R, k N \ {} a jmenovatel zlomku má komplexní (x +px+q) k kořeny. 6x 3 (x +4) dx = 3 ( x u = x (x +4) dx = + 4 ) = du = x dx 3 u du 3 ( v = x ) dx = = 6(( x +) dv = dx ) 3 u + C 3 ( 8 ) 3 8 ( v v + + arctg v) (v +) dv = (viz příklad (.) 3) = 3 x +4 + C = 3 x +4 3 6 ( x x +4 + arctg x ) + C. Rozklad na parciální zlomky Z algebry víme, že polynom Q(x) lze rozložit na součin polynomů nejvýše druhého stupně. Tedy Q(x) = (x x i ) k i (x +p j x+q j ) r j, k i, r j N, p j, q j R. i=,...,n j=,...,m Racionální lomenou funkci R(x) = P (x) Q(x), kde P (x), Q(x) jsou polynomy a stupeň P (x) < stupeň Q(x) rozložíme na součet základních racionálních funkcí: R(x) = n A i x x i + A i (x x i ) + + A k i (x x i ) + m B j x+c j k i x +p j x+q j + B j x+c j (x +p j x+q j ) + i= + B r j x+c rj (x +p j x+q j ) r j a jednotlivé zlomky integrujeme zvlášt, například: x+ x 4 x 3 +x x+ dx= x+ (x ) (x +) dx= A x + B (x ) + Cx+D x + dx = A(x )(x +)+B(x +)+(Cx+D)(x ) (x ) (x +) j= dx = x + (x ) + x x + dx = ln x (x ) + ln x + arctg x + C. Konstanty A, B, C, D vypočítáme z rovnosti x + = A(x )(x + ) + B(x + ) + (Cx + D)(x ). Pro x = je 4 = B B =. Pro x = i je i + = (Ci + D)(i ) i + = C id C =, D =. Pro x = 0 je = A( ) + A =. Rozklad na parciální zlomky je inverzní o- perace k operaci hledání společného jmenovatele. V případě, kdy stupeň P (x) stupeň Q(x), nejdříve vydělíme polynom P (x) polynomem Q(x) a pak přejdeme k parciálním zlomkům.
Matematická analýza Základní vztahy pro goniometrické funkce cos x + sin x = cos x = cos x sin x cos +cos x x = sin cos x x = sin x = sin x cos x. t=tg x t = sin x cos x t cos x = cos x cos x(t + )= cos x = +t. Integrály typu R(sin x, cos x) dx Řešíme přechodem k racionálním lomeným funkcím pomocí následujících substitucí.. Pokud R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak t = cos x. Pokud R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak t = sin x. ( t = cos x ) sin x cos x dx = = t dt = sin x dx dt = t3 3 + C = cos3 x 3 + C. ( t = sin x t, ) cos x dx = = dt dt = cos x dx cos x cos x = dt = dt sin x t = argtgh t + C = argtgh (sin x) + C.. Pokud R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak t = tg x, x (k+)π, k Z a platí x = arctg t, dx = dt +t, sin x = t +t, cos x = +t. dx = +t dt = +t dt = sin x+ t +t + t ++t +t ( dt = t) + ( u = t du = ) = du dt u + = arctg ( tg x) + C. V některých speciálních případech je vhodné použít základní vztahy pro goniometrické funkce. dx = sin x+cos x sin 4 x sin 4 x ( u = cotg x du = dx sin x Metoda snižování stupně. cos x dx = +cos x = ( u = x du = dx dx = sin x + sin x cotg x dx = ) = cotg x u du= cotg x cotg 3 x 3 +C. dx = ) = (x + [ + cos x] dx cos u du) = x + 4 sin x + C. 3. V obecném případě používáme univerzální substituci t = tg x, x (k + )π, k Z. Potom x = arctg t, dx = dt +t, sin x = t +t, cos x = t +sin x dx = = ( u = t + du = dt 4 3 ) dt +t dx = dt + t +t t +t+ = dt (t+ ) + 3 4 +t. = du = ( du v = u + 3 3 4 4(( 3 u) +) = 3 u dv = 3 du 3 dv v + = 3 arctg v + C = 3 arctg ( 3 tg x + 3 ) + C. ) =
Matematická analýza 3. Určité integrály Definice.3 : Necht k funkci f : a, b R existuje primitivní funkce F : a, b R (v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace). Pak rozdíl F (b) F (a) nazýváme Newtonovým určitým integrálem funkce f na intervalu a, b a píšeme F (b) F (a) = b a f(x) dx. Uvedený vztah se nazývá Newtonova-Leibnizova formule a také píšeme F (b) F (a) = [F (x)] b a = Číslo a se nazývá dolní mez, číslo b se nazývá horní mez Newtonova integrálu. Množinu všech funkcí, které mají Newtonův integrál na intervalu a, b značíme N ( a, b ). b a f. Pro jednoduchost si nyní představíme, že rychlost našeho auta je konstantní v(t) = c. Ujetá dráha auta s(t) v čase t od počátku měření v čase t 0 je pak dána vztahem s(t) s(t 0 ) = c (t t 0 ). Rozdíl s(t) s(t 0 ) se zároveň rovná ploše pod grafem funkce v na intervalu t 0, t. Připomeňme, že funkce s(t) je primitivní k funkci v(t). Platí, že i v obecnějším případě lze primitivní funkci využít k výpočtu plochy pod grafem funkce. Věta.4 : (vlastnosti Newtonova integrálu) ) Newtonův integrál nezávisí na volbě primitivní funkce. ) Necht f N ( a, b ), c a, b, pak platí b a b a f(x) dx = f(x) dx = c a a b f(x) dx, f(x) dx + b c a a f(x) dx. f(x) dx = 0, 3) Necht f, g N ( a, b ), α, β R, pak platí b a αf(x) + βg(x) dx = α b a f(x) dx + β (Tedy množina N ( a, b ) je lineární prostor.) Příklad.5 : 0 x dx = [x + C] 0 = [x ] 0 = 4. b a g(x) dx. π π 0 [3 cos x sin x] dx = 3 cos x dx + sin x dx = 0 0 π 3 [sin x] π 0 + [ cos x] 0 π = 3 (0 0) ( ( )) = 4.
4 Matematická analýza Následující dvě věty vyplývají z vět (.) a (.3). Věta.5 : (per partes v Newtonově integrálu) Necht funkce u, v jsou derivovatelné na intervalu a, b (v krajních bodech zprava, popř. zleva) a u v N ( a, b ), potom také u v N ( a, b ) a platí Produkce plynu Ze zkušeností víme, že nový vrt produkuje asi f(t) = 0. t e 0.0t milionů kubických metrů plynu za t měsíců. Pokud chceme odhadnout celkovou produkci P (t) vrtu za jeden rok, pak musíme spočítat integrál P (t) = 0 0. t e 0.0t dt. Pomocí metody per partes dostaneme 0. t e 0.0t dt = 0 ( 0 [t e 0.0t ] 0 0 + e 0.0t dt).=. b a u (x) v(x) dx = Příklad.6 : [ ] b b u(x) v(x) a Vypočtěte integrál 0 a u(x) v (x) dx. e x sin x dx. Metodu per partes použijeme dvakrát. [ ] u e x sin x dx = = e x v = sin x 0 u = e x v = [e = cos x x sin x] 0 [ ] u e x cos x dx = = e x v = cos x u = e x v = [e = sin x x sin x] 0 0 [e x cos x] 0 e x sin x dx. 0 0 Odtud vyplývá e x sin x dx = [ex (sin x cos x)] 0 = e (sin cos ) +. Věta.6 : (substituce v Newtonově integrálu) Necht f : D(f) H(f), g : D(g) H(g) a H(f) D(g). Jestliže funkce f je derivovatelná na D(f) a existuje primitivní funkce G k funkci g na D(g), potom pro a, b D(f) platí b g(f(x)) f (x) dx = f(b) g(y) dy = G(f(b)) G(f(a)). a f(a) e ln x dx = x ( y = ln x ) dy = dx x ln e ln [ y dy = ] y 0 = =. ) Příklad.7 : = 0 π 0 π 0 x dx = 0 cos t dt = sin t dt = [t] 0 = π π. ( x = sin t = sin a a = π dx = cos t dt 0 = sin b b = 0 π ( cos t pro t ( π cos t dt = ), 0) ) = je cos t > 0
Matematická analýza 5 Definice.4 : (nevlastní integrál vlivem meze) Necht funkce f N ( a, b ) pro každé b > a. Necht existuje b limita lim f(x) dx, pak se nazývá nevlastní Newtonův b a integrál vlivem meze a píšeme b lim f(x) dx = b a a f(x) dx. Značíme f N ( a, )) a říkáme, že nevlastní integrál konverguje; v opačném případě diverguje. Analogicky f(x) dx = b c f(x) dx = lim a f(x) dx + c b a f(x) dx a definujeme f(x) dx, c R. Příklad.8 : ) x α b dx = lim x α dx = lim [ b b α+ (bα+ )] = { α > diverguje α+ α < konverguje. ) x dx = lim [ln b x ]b = [ln x] = diverguje. Integrál sin x dx neexistuje, někdy je proto vhodné pracovat s hlavní hodnotou nevlastního integrálu, která je definována vztahem v.p. f(x) dx = lim c c c f(x) dx. (v.p. je z francouzského valeur principale). Definice.5 : (nevlastní integrál vlivem funkce) Necht t (a, b) je funkce f N ( a, t ) a f N ( a, b ). Necht existuje limita lim t b t a f(x) dx, pak se nazývá nevlastní Newtonův integrál vlivem funkce a píšeme t lim t b a f(x) dx = b a f(x) dx. Značíme f N ( a, b)) a říkáme, že nevlastní integrál konverguje, v opačném případě diverguje. Analogicky b a f(x) dx = lim t a+ b t f(x) dx. Podobně pro nevlastní integrál vlivem funkce definujme hlavní hodnotu vztahem v.p. c a ( b δ lim δ 0+ a c b+δ f(x) dx = f(x) dx + ) f(x) dx.
6 Matematická analýza Příklad.9 : ) ) 0 0 x α dx = lim t 0+ t x α dx = lim [ t 0+ α+ ( tα+ )] = { α < diverguje α+ α > konverguje. x dx = lim [ ln x t 0+ ] t = [ln x] 0 = diverguje..3 Aplikace v geometrii a fyzice Při zavedení Riemannova integrálu jsme sčítali nekonečně mnoho nekonečně malých ploch -tzv. elementů a dostali jsme vlastně obsah plochy pod grafem funkce f. Tento postup lze použít i při výpočtu objemu těles, délek křivek, vykonané práce ap. Popis Vztah Obrázek Plocha pod grafem funkce Plocha S je ohraničena grafem funkce f, přímkami x = a, x = b a osou x. S = b a f(x) dx Element plochy ds = f(x) dx Délka křivky Délka s křivky určené grafem funkce f. s = b a + (f (x)) dx Element délky ds. = (dx) + (df) = (dx) + f (x) (dx) = + f (x) dx
Matematická analýza 7 Povrch rotačního tělesa Velikost S plochy vzniklé rotací grafu funkce f kolem osy x. b S =π a f(x) + (f (x)) dx Element povrchu ds. = πf(x) ds = πf(x) + f (x) dx Objem rotačního tělesa Objem V tělesa vzniklého rotací plochy pod grafem funkce f kolem osy x. b V = π a f (x) dx Element objemu dv = πf (x) dx Statický moment Statické momenty M x, M y plochy S o hustotě ϱ = ϱ(x) vzhledem k osám x, y. M x = M y = b a b a y (x)ϱ(x) dx xy(x)ϱ(x) dx Statický moment M tělesa o hmotnosti m vzhledem k ose otáčení o, která je ve vzdálenosti d od těžiště tělesa, je dán vztahem M = m d. Těžiště plochy Těžiště T = [x T, y T ] plochy S má souřadnice: x T = M y S, y T = M x S. S je velikost plochy pod grafem funkce f na intervalu [a, b]. Moment setrvačnosti Momenty setrvačnosti I x, I y křivky dané grafem funkce f vzhledem k osám x, y. Hmotnost křivky je reprezentována její délkou. b I x = f (x) + (f (x)) dx a b I y = x + (f (x)) dx a Moment setrvačnosti I tělesa o hmotnosti m vzhledem k ose otáčení o, která je ve vzdálenosti d od těžiště tělesa, je dán vztahem I = m d.
8 Matematická analýza 3 Diferenciální rovnice R. P. Feyman: Existuje jediný způsob formulace fyzikálních zákonů, a to ve tvaru diferenciálních rovnic. Nejen fyzika, ale i e- kologie, biologie nebo chemie popisují své vztahy pomocí diferenciálních rovnic. z(t)=ce ut z C 3. Motivace Na účet v bance vložíme v čase t 0 = 0 peníze v hodnotě z(0). Při úročení s denním úrokem u máme po t dnech na účtu zůstatek z(t ) = z(0) + z(0) u t. Na účtu tedy přibude z(t ) z(0) = z(0) u t a rychlost růstu = z(0) u. Okamžitou změnu účtu dostaneme pro je z(t ) z(0) t 0 z(t t 0, potom lim ) z(0) t t t 0 0 = z (0) a z (0) = z(0) u. Uvedená rovnost platí v libovolném čase t. Tedy z (t) = z(t) u C C 3 0 t a jejím (obecným) řešením je funkce z(t) = C e ut, C R. Pro (počáteční) podmínku z(0) = z 0 dostaneme z 0 = C e 0 C = z 0 a (partikulární) řešení naší úlohy má tvar z(t) = z 0 e ut. 3. Diferenciální rovnice. řádu Definice 3. : (diferenciální rovnice.řádu) Rovnice pro neznámou funkci y = y(x), x I, I R, v níž vystupuje derivace y a která je zapsána ve tvaru Zobrazení f : R n R se nazývá funkce n- reálných proměnných. Funkce f = f(x, y) je funkce dvou reálných proměnných. F (x, y, y ) = 0 implicitní tvar nebo y = f(x, y) explicitní tvar se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Diferencovatelná funkce y = y(x), x I, která splňuje rovnici () pro každé x I se nazývá řešení diferenciální rovnice. Podmínka y(x 0 ) = y 0 x 0 I () se nazývá počáteční podmínka a úloha (), () se nazývá počáteční (Cauchyova) úloha. ()
Matematická analýza 9 Definice 3. : (geometrický popis dif. rovnice.řádu) Graf řešení y = y(x) diferenciální rovnice () se nazývá integrální křivka diferenciální rovnice. Funkce f(x, y) z rovnice y = f(x, y) určuje směrové pole diferenciální rovnice, což je systém tečných vektorů ke grafu řešení. Množina bodů [x, y], pro které je funkce f(x, y) konstantní se nazývá izoklina. Příklad 3. : Pro diferenciální rovnici y = x mají rovnice izoklin tvar x=c, c je libovolné číslo, což jsou přímky rovnoběžné s osou y. Obecné řešení má tvar y = x + C = ϕ(x, C). Integrální křivky jsou paraboly. Pro počáteční podmínku y(0) = 3 má počáteční úloha (partikulární) řešení tvar y = x + 3. Definice 3.3 : Obecným řešením diferenciální rovnice y =f(x, y) se nazývá funkce ϕ(x, C) závislá na volitelném parametru C taková, že k libovolné bodu [x 0, y 0 ] D(f) (D(f) je definiční obor funkce f) existuje (jediný) parametr C 0 takový, že y 0 = ϕ(x 0, C 0 ) a funkce y(x) = ϕ(x, C 0 ) řeší danou diferenciální rovnici na I. Jestliže každým bodem integrální křivky nějakého řešení ỹ diferenciální rovnice prochází jiná integrální křivka, pak ỹ nazýváme singulárním řešením rovnice. Příklad 3. : je každá funkce tvaru Řešením rovnice y = y 3 Tečné vektory v rovině-xy mají tvar (, y ), resp. (, f(x, y)). Izoklina je geometrické místo bodů [x, y], ve kterých tečné vektory k integrál. křivkám jsou rovnoběžné. Rovnici izoklin píšeme ve tvaru f(t, x) = C (C je konstanta). Geometricky popíšeme obecné řešení diferenciální rovnice. řádu jako jednoparametrický systém křivek. Integrální křivka singulárního řešení tvoří tzv. obálku systému křivek obecného řešení. V bodech integrální křivky singulárního řešení je porušena jednoznačnost řešení počáteční úlohy. y(x)= 7 (x+c)3 y y(x) = 7 (x + C)3 (C je libovolná konstanta). Nulová funkce y(x) = 0 je však také řešením dané rovnice. Je to singulární řešení, nebot libovolným bodem [x 0, 0] prochází integrální křivka řešení tvaru y(x) = 7 (x x 0) 3. Cvičení 3. : rovnice Dokažte, že obecné řešení tzv. Clairautovy y xy + y = 0 je funkce y(x) = Cx C a singulární řešení má tvar y(x) = 4 x. Nakreslete integrální křivky. [ Zderivováním a dosazením do původní rovnice ověříme tvrzení. ] 0 x
0 Matematická analýza y(x)=cx C y Věta 3. : Funkce y = y(x), x I je řešením počáteční úlohy (), () právě tehdy, když je řešením integrální rovnice y(x) = y 0 + x x 0 f(ξ, y(ξ)) dξ. (3) 0 x 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu Při řešení diferenciálních úloh se budeme snažit najít obecné řešení úlohy () a také řešení počáteční úlohy (), (). Metoda přímé integrace.. Chceme najít obecné řešení rovnice y = f(x), x I. Určíme systém primitivních funkcí k funkci f, tj. y(x) = F (x) + C.. Chceme-li najít řešení počáteční úlohy y = f(x), y(x 0 ) = y 0, x I, Necht g(ξ)=f(ξ, y(ξ)) a funkce G je primitivní funkce k funkci g, potom G(x) G(x 0 ) = x x 0 g(ξ) dξ a platí (G(x) G(x 0 )) =g(x) =f(x, y(x)). Poznamenejme, že neexistuje žádná univerzální metoda na řešení všech typů diferenciálních rovnic. pak a) ze systému primitivních funkcí y(x) = F (x) + C vybereme takovou, která splňuje počáteční podmínku y 0 = F (x 0 ) + C. (Graf funkce y prochází bodem [x 0, y 0 ].) Odtud vypočteme C = y 0 F (x 0 ), takže y(x) = F (x) + y 0 F (x 0 ). b) nebo využijeme větu (3.), potom y(x) = y 0 + x x 0 f(ξ) dξ. Tento výsledek lze samozřejmě také psát ve tvaru x y(x) = y 0 + F (x) F (x 0 ), nebot F (x) = f(ξ) dξ x 0 (primitivní funkce vyjádřená integrálem s proměnnou horní mezí, viz definice 8.0 v MA).
Matematická analýza Příklad 3.3 : Řešíme počáteční úlohu y = x 3 + sin x, y(0) =, x R. a) Z obecného řešení vypočteme konstantu C: y(x) = x4 4 cos x + C = + C C =. Řešení úlohy má tvar: y(x) = x4 4 cos x +. b) Přímou integrací dostaneme: y(x) = + x Metoda separace proměnných. Touto metodou řešíme rovnice typu y = f (x) f (y), 0 [ξ 3 + sin ξ] dξ = + x4 4 cos x +. kde f, f jsou dané funkce. Rovnici můžeme psát ve tvaru dy dx = f (x) f (y), resp. f (y) dy = f (x) dx (separace proměnných) a chápat jako rovnost dvou diferenciálů. Protože y = y(x), pak integrováním dostaneme rovnost neboli x x 0 f (y(ξ)) y (ξ) dξ = x x 0 f (ξ) dξ, F (y(x)) = F (x) + C, kde F, F jsou primitivní funkce k funkcím f, f. Poznámka 3. : Vztahu F (y(x)) = F (x) + C říkáme funkcionální rovnice pro neznámou funkci y(x). Také se nazývá obecný integrál dané diferenciální rovnice, nebot její řešení y(x) je obecným řešením diferenciální rovnice. Říkáme také, že obecné řešení je obecným integrálem dáno implicitně.
Matematická analýza Příklad 3.4 : Stanovme obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = x sin y. Separací proměnných převedeme rovnici na tvar dy dx = x sin y a integrováním dostaneme sin y dy = x dx nebo cos y = x + C obecný integrál x cos y = C implicitní tvar řešení. Rovnice umožňující přechod k separaci proměnných. Rovnici tvaru y = f(ax + by + c) rovnice s přímkou převedeme substitucí u = ax + by + c na rovnici se separovatelnými proměnnými. Příklad 3.5 : Příklad dy (x y + ) + dx (4x y + 6) = 0 vyřešíme substitucí u = x y + du = dx dy dy = dx du, potom ( dx du)u + dx (u + 4) = 0 du u + dx (4u + 4) = 0 dx = 4 u u+ du x + C = 4 (u ln u + ) x + C = 4 (x y + ln x y + ) obecný integrál. Rovnici tvaru y = f(x, y), kde t R : f(tx, ty) = f(x, y) převedeme substitucí u = y x na rovnici se separovatelnými proměnnými.
Matematická analýza 3 Příklad 3.6 : Příklad y = e y x + y x vyřešíme substitucí u = y x u x = y y = u x + u, potom u x + u = e u + u du dx x = eu e u du = x dx e u = ln x + C e y x = ln x + C obecný integrál. 3.3. Ortogonální systémy integrálních křivek. Z definice (3.) víme, že integrální křivky rovnice y = f(x, y) tvoří jednoparametrický systém křivek a že funkce f(x, y) určuje v bodě [x, y] směrnici tečny k jedné z těchto křivek. Potom hodnota f(x,y) určí směrnici přímky kolmé (normály) v tomtéž bodě. Proto obecné řešení (obecný integrál) rovnice Připomeňme, že dvě přímky ve směrnicovém tvaru y = k x + q y = k x + q jsou kolmé, jestliže k k =. y = f(x, y) určí systém integrálních křivek ortogonálních k systému původnímu. Příklad 3.7 : diferenciální rovnice y = y x obecné řešení y(x) = C x systém přímek procházející počátkem ortogonální rovnice y = x y y + x = C systém kružnic se středem v počátku Vidíme, že znalost jednoho systému dovoluje určit systém ortogonální. S úlohami tohoto typu se můžeme setkat např. v teorii pole (systém siločar a systém ekvipotenciálních čar).
4 Matematická analýza 3.4 Lineární diferenciální rovnice. řádu Definice 3.4 : Diferenciální rovnice tvaru y = a(x) y + b(x), x I (4) se nazývá lineární diferenciální rovnice. řádu. Funkce a(x) se nazývá koeficient rovnice a funkce b(x) pravá strana rovnice (4). Rovnice y = a(x) y se nazývá homogenní diferenciální rovnice. Řešení rovnice (4) metodou variace konstanty.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y = a(x) y separací proměnných dy y = a(x) dx A(x) je primitivní ln y = A(x) + K funkce k funkci a(x) y = e A(x)+K y h = C e A(x) y = e A(x) K R, položíme C = ±e K obecné řešení homogenní rovnice se nazývá fundamentální řešení. Řešení nehomogenní rovnice (4) hledáme ve tvaru: y(x) = C(x) e A(x) variace konstanty C. Základem metody variace konstanty je hledat řešení y ve tvaru součinu dvou funkcí, tedy y = C y h. Po dosazení do (4) dostaneme C y h +Cy h =acy h+b, což platí, pokud C y h = a C y h a zároveň C y h = b. Po dosazení do rovnice (4) dostaneme C (x) e A(x) + C(x) e A(x) a(x) = a(x) C(x) e A(x) + b(x). Tedy C (x) e A(x) = b(x) C(x) = a partikulární řešení rovnice (4) má tvar y p (x) = b(x) e A(x) dx ea(x). b(x) dx ea(x)
Matematická analýza 5 3. Pro obecné řešení y nehomogenní rovnice (4) platí y = y h + y p, neboli y = C e A(x) + b(x) e A(x) dx ea(x). Obecné řešení rovnice y = a(x)y + b(x) je součtem obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Příklad 3.8 : Najděte obecné řešení rovnice y = y + e x.. Homogenní rovnice y = y má obecné řešení y h (x) = C e x (e x fundamentální řešení).. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y(x) = C(x) e x, tj. y = C (x)e x + C(x) e x. Po dosazení do původní rovnice obdržíme C(x) e x + C(x) e x = C(x) e x + e x, tj. C(x) e x = e x C(x) = e x + K. Bez újmy na obecnosti položíme K = 0 (K e x je homogenní řešení) a dostaneme partikulární řešení y p (x) = e x e x = e x. 3. Obecné řešení nehomogenní rovnice má tedy tvar y(x) = y h (x) + y p (x) = Ce x + e x.
6 Matematická analýza 3.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Definice 3.5 : Necht a 0 (x), a (x),..., a n (x), f(x), x I jsou reálné funkce. Lineární diferenciální rovnici n-tého řádu pro neznámou funkci y = y(x) se nazývá rovnice y (n) +... + a (x)y + a 0 (x)y = f(x), x I. (5) Zkráceně píšeme L[y] = f, říkáme, že L je lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Je-li f(x) = 0, pak se rovnice (5) nazývá homogenní, jinak nehomogenní. Funkce y = y(x), která splňuje rovnici (5) pro každé x I a pro x 0 I splňuje počáteční podmínky y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y,, y n (x 0 ) = y n (6) se nazývá řešení počáteční úlohy (5), (6). Analogii k Peano-Picardově větě zaručující existenci a jednoznačnost řešení pro rovnice.řádu je následující věta. Věta 3. : (o existenci a jednoznačnosti) Necht funkce a 0, a,..., a n, f jsou spojité na otevřeném intervalu I R. Pak počáteční úloha (5), (6) má právě jedno řešení definované na celém intervalu I. Příklad 3.9 : Rovnice y + 4y = 0 je diferenciální rovnice. řádu. Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jsou to například funkce y (x) = sin x, y (x) = cos x a jejich libovolná lineární kombinace y = C y + C y obecné řešení. Počáteční podmínky y(0) =, y (0) = 0 splňuje funkce y = cos x. Podle předchozí věty (3.) je tato funkce určena jednoznačně (a =, a = 0, a 0 = 4, f = 0 jsou spojité funkce na R).
Matematická analýza 7 Dále budeme předpokládat, že a 0, a,..., a n, f jsou spojité funkce na otevřeném intervalu I R a a n (x) 0 na I. Definice 3.6 : Funkce y (x), y (x),..., y n (x), x I se nazývají lineárně závislé, jestliže existují konstanty c, c,..., c n takové, že alespoň jedna je nenulová a platí x I : c y (x) + c y (x) +... + c n y n (x) = 0. V opačném případě říkáme, že funkce y (x), y (x),..., y n (x) jsou lineárně nezávislé. Věta 3.3 : Označme K = {y(x) : L[y] = 0} množinu všech řešení homogenní rovnice. Potom K je lineární prostor dimenze n. Definice 3.7 : Báze prostoru K se nazývá fundamentální systém homogenní diferenciální rovnice L[y] = 0. Fundamentální systém je tvořen n lineárně nezávislými funkcemi Funkce y (x), y (x),..., y n (x), x I. y(x)=c y (x) + c y (x) +... + c n y n (x), kde c, c,..., c n jsou libovolné konstanty, se nazývá obecné řešení homogenní rovnice. Volbou konstant c, c,..., c n nebo počátečních podmínek y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y,, y n (x 0 ) = y n získáme řešení (počáteční) úlohy. Množina K se nazývá jádro operátoru L. Konstanty c, c mohou být i z tělesa komplexních čísel. Existence a jednoznačnost funkcí y i plyne z věty (3.). Příklad 3.0 : Fundamentální systém rovnice y + y = 0 je tvořen funkcemi y (x) = cos x, y (x) = sin x a funkce y(x) = c cos x + c sin x je obecným řešením dané rovnice.
8 Matematická analýza 3.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu 3.6. Homogenní rovnice Rovnice x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a 0 y = 0, kde a 0, a,..., a n jsou reálné konstanty, se nazývá Eulerova rovnice. Je to lineární rovnice se speciálními proměnnými koeficienty a její fundamentální systém tvoří funkce ve tvaru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Výklad provedeme na příkladech. A) (jednoduché kořeny) Pro rovnici x 3 y 3x y + 6xy 6y = 0 chceme stanovit takové hodnoty parametru λ, aby funkce y(x) = x λ byla řešením této rovnice. Protože y = λx λ, y = λ(λ )x λ, y = λ(λ )(λ )x λ 3, pak po dosazení do diferenciální rovnice obdržíme x 3 λ(λ )(λ )x λ 3 3x λ(λ )x λ +6xλx λ 6x λ = 0, tudíž (λ 3 6λ + λ 6) x λ = 0. Tato rovnost je splněna (při x 0) pouze pro kořeny λ =, λ =, λ 3 = 3 uvedeného polynomu. Trojice funkcí y (x) = x, y (x) = x, y 3 (x) = x 3 je lineárně nezávislá, nebot příslušný Wronskián je nenulový (W (x) = x 3, x 0), a tvoří tedy fundamentální systém Eulerovy rovnice. Obecné řešení rovnice má tvar y = C x + C x + C 3 x 3. B) (vícenásobné kořeny) V případě, že λ je k-násobným kořenem polynomu příslušného Eulerově rovnici, potom k tomuto kořenu máme k lineárně nezávislých řešení tvaru y (x) = x λ, y (x) = x λ ln x,... y k (x) = x λ ln k x, patřících do fundamentálního systému.
Matematická analýza 9 Při řešení rovnice dostaneme: x y + 3xy + y = 0 y(x) = x λ, y = λx λ, y (x) = λ(λ )x λ a po dosazení x λ(λ )x λ + 3x λ x λ + x λ = 0, λ λ + 3λ + = 0, λ + λ + = 0, λ, =. Do fundamentálního systému rovnice tedy patří funkce y (x) = x, y (x) = x ln x a obecné řešení rovnice má tvar y = C x + C x ln x. C) (komplexní kořeny) Využijeme-li vztahu Jsou-li kořeny polynomu Eulerovy rovnice komplexní, mohou být funkce fundamentálního systému (tj. komplexní funkce reálné proměnné) x a+ib, x a ib, resp. x a+ib ln k x, x a ib ln k x, nahrazeny reálnými funkcemi x a cos(b ln x), resp. x a cos(b ln x) ln k x, x a sin(b ln x), x a sin(b ln x) ln k x. Při řešení rovnice dostaneme: x y + xy + y = 0 x λ(λ )x λ + x λ x λ + x λ = 0, λ + = 0, λ = i λ = i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y (x) = x i, y (x) = x i nebo y (x) = cos(ln x), y (x) = sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C cos(ln x) + C sin(ln x). a b = e b ln a (a > 0) a Eulerovy identity e ix = cos x + i sin x, pak pro x > 0 dostaneme x ib = cos(b ln x)+ i sin(b ln x). ( Pro x < 0 volíme ln( x) místo ln x. ) Poznamenejme, že L[y + iy ] = 0 L[y ] + il[y ] = 0 L[y ]=0 L[y ]=0.
30 Matematická analýza Metoda charakteristické rovnice Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty n-tého řádu a n y (n) + a n y (n ) +... + a y + a 0 y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = e λx (popř. xe λx,..., x k e λx ), kde číselný parametr λ je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) a n λ n + a n λ n +... + a λ + a 0 = 0. A) (jednoduché kořeny) Řešení rovnice y 4y + 3y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = e λx. Potom y (x) = λe λx, y (x) = λ e λx a po dosazení do rovnice máme λ e λx 4λe λx + 3e λx = 0. Hledáme tedy kořeny charakteristické rovnice λ 4λ + 3 = 0, které jsou λ = 3, λ =. Fundamentální systém rovnice je tedy tvořen funkcemi e 3x, e x a obecné řešení rovnice má tvar y(x) = C e 3x + C e x. B) (vícenásobný kořen) Chceme vyřešit rovnici Její charakteristická rovnice y 3y + 3y y = 0. λ 3 3λ + 3λ = 0 má trojnásobný (k = 3) kořen λ =. V tomto případě je fundamentální systém rovnice tvořen funkcemi y (x) = e x, y (x) = x e x, y 3 (x) = x e x a obecné řešení rovnice má tvar y = C e x + C x e x + C 3 x e x.
Matematická analýza 3 C) (komplexní kořeny) Hledáme obecné řešení rovnice y + 4y + 3y = 0. Kořeny charakteristického polynomu λ +4λ+3 jsou komplexní čísla λ = + 3i, λ = 3i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ( +3i)x = e x (cos 3x + i sin 3x), y (x) = e ( 3i)x = e x (cos 3x i sin 3x), které lze zapsat jako lineární kombinace funkcí ŷ (x) = e x cos 3x, ŷ (x) = e x sin 3x. Z lineární algebry víme, že jestliže komplexní číslo z = a+ib je kořenem polynomu, potom také komplexně sdružené číslo z =a ib je kořenem daného polynomu. Máme tedy jinou bázi lineárního prostoru K ={y : L[y]=0} a obecné řešení tak můžeme psát ve tvaru y(x) = e x (C cos 3x + C sin 3x). Cvičení 3. : Stanovte obecné řešení rovnice y y 3y = 0. [ y(x) = C e x + C e 3x. ] Cvičení 3.3 : Vyřešte rovnici y (5) 3y (4) + 3y y = 0. [ λ, = 0 dvojnásobný kořen a λ 3,4,5 = trojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C + C x + C 3 e x + C 4 x e x + C 5 x e x. ] Cvičení 3.4 : Vyřešte rovnici y (4) + 8y + 6y = 0. [ λ, = i dvojnásobný kořen a λ 3,4 = i dvojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C cos x + C x cos x + C 3 sin x + C 4 x sin x. ]
3 Matematická analýza 3.6. Nehomogenní rovnice Metoda variace konstant pro řešení nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic n tého řádu L[y] = a n (x)y (n) +a n (x)y (n ) + +a (x)y +a 0 (x)y = f(x).. Určíme fundamentální systém y (x), y (x),..., y n (x) a obecné řešení y h (x) = C y (x) + C y (x) + + C n y n (x) homogenní rovnice L[y] = 0.. Partikulární řešení nehomogenní rovnice L[y] = f hledáme ve tvaru y p (x) = C (x) y (x) + C (x) y (x) + + C n (x) y n (x), Po dosazení obecného tvaru partikulárního řešení y p (x) do původní rovnice, dostaneme jednu rovnici s n neznámými funkcemi C (x),, C n (x). Prvních n rovnic v dané soustavě si tedy můžeme volit. Determinant této soustavy je Wronskián, který je podle věty?? nenulový. Uvedená soustava má tedy řešení kde funkce C (x), C (x),, C n (x) získáme jako řešení soustavy C y + C y + + C ny n = 0, C y + C y + + C ny n = 0,.. C y (n ) + C y (n ) + + C ny (n ) n = 0, C y (n ) + C y (n ) + + C ny n (n ).. = f(x) a n (x). 3. Obecné řešení původní nehomogenní diferenciální rovnice je součtem homogenního a partikulárního řešení y(x) = y h (x) + y p (x). Příklad 3. : Stanovme obecné řešení rovnice ( + x ) y x y + y =.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice (viz metoda snižování řádu příklad (??)) y h (x) = C x + C (x ).
Matematická analýza 33. Partikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = C (x) x + C (x)(x ). Po zderivování: y p = C x + C (x ) + C + x C. Položíme C x + C (x ) = 0 a znovu derivujeme y p = C + C + x C. Po dosazení do dané rovnice obdržíme (+x )(C + C +x C ) x (C +x C )+ (C x + C (x )) =, odtud po úpravě dostaneme ( + x )(C + x C ) =. Dostáváme soustavu algebraických rovnic pro neznámé funkce C, C : Odtud C = x + C x + C (x ) = 0, C + x C = x +. 0 x x = (x ) x x (x +) C (x) = x +x + K, x (bez újmy na obecnosti pokládáme : K = 0). Jestliže y h je řešením homogenní rovnice L[y h ] = 0, pak také L[C y h ] = 0, C R. Jestliže tedy máme správně řešení homogenní rovnice, potom v metodě variace konstant musí vypadnout členy z nederivovanými funkcemi C, C. C = x 0 x + x x x = x (x +) C (x) = +x +(K =0). Partikulární řešení dostáváme ve tvaru y p (x) = x + x x + + x (x ) = 3x +. + x 3. Obecné řešení úlohy je tedy funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C x + C (x ) + 3x + + x. Cvičení 3.5 : Metodou variace konstant vyřešte počáteční úlohu y y + y = e x, y(0) =, y (0) =. [ Obecné řešení y(x) = C e x + C xe x + x ex, řešení poč. úlohy y(x) = e x + x ex. ]
34 Matematická analýza 3.6.3 Fyzikální aplikace Kirchhoffův zákon v tzv. RLC obvodu Necht i(t) je proud v elektrickém obvodu v závislosti na čase t, u R je napětí na odporu R > 0, u L je napětí na cívce s indukcí L > 0, u C je napětí na kondenzátoru s kapacitou C > 0, u(t) = U 0 sin ωt je napětí na svorkách zdroje, potom platí u R + u L + u C = u(t), nebo-li Rovnice elektrického obvodu a jednoduchého mechanického systému se z matematického pohledu neliší, a proto hovoříme o rovnici kmitů (elektrických, mechanických). Funkce F 0 cos ω 0 t na pravé straně představuje vnější buzení, přičemž F 0 je amplituda a ω 0 frekvence vnějšího periodického buzení. K jednoznačnému určení těchto funkcí musíme navíc znát počáteční hodnoty y(t 0 ), y (t 0 ), resp. i(t 0 ), di(t 0). dt Řešení příslušné počáteční úlohy se nazývá odezva systému na počáteční stav a na vnější buzení. Ri(t) + L di(t) dt + C t t 0 i(τ) dτ = u(t), t t 0. Hledáme-li funkci i = i(t) splňující tento zákon, pak derivováním obdržíme diferenciální rovnici. řádu pro neznámou funkci i: L d i dt + R di dt + i C = ωu 0 cos ωt. Rovnice mechanického systému Uvažujeme jednoduchý mechanický systém pohybující se po nerovném povrchu. Vertikální pohyb se řídí Newtonovým pohybovým zákonem my (t) = ky(t) γy (t) + F (t), kde y = y(t) je časově závislá výchylka tělesa od klidové polohy, m > 0 je hmotnost systému, k > 0 je tuhost pružiny, γ 0 je koeficient tlumení. Vnější síla F může mít tvar. F (t) = [kϕ(t) + γ ϕ(t)] (buzení vlivem nerovností terénu),. F (t) = F 0 cos ω 0 t (periodické vnější buzení).
Matematická analýza 35 3.7 Okrajové úlohy pro rovnice. řádu Okrajovou úlohou nazveme lineární diferenciální rovnici. řádu a (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x), (7) kde a (x) 0, a (x), a 0 (x), f(x) jsou funkce na intervalu a, b s okrajovými podmínkami α y(a) + β y (a) = γ α, β, γ R, α y(b) + β y (b) = γ α, β, γ R. (8) Podle tvaru okrajových podmínek také dělíme okrajové úlohy na následující typy. Dirichletova okrajová úloha Při této úloze hledáme funkci y = y(x), x a, b tak, aby platilo a (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x), x (a, b), y(a) = γ, y(b) = γ. kde γ, γ jsou daná reálná čísla. Neumannova okrajová úloha Nyní hledáme funkci y = y(x), x a, b tak, aby platilo John Von Neumann (903-957). a (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x), x (a, b), y (a) = γ, y (b) = γ. Příklad 3. : a) Dirichletova úloha y + y = 0, x (0, π), y(0) = 0, y(π) = 0. Obecným řešením úlohy je y(x) = C cos x+c sin x a z okrajových podmínek dostaneme 0 = C cos 0 + C sin 0, 0 = C cos π + C sin π, } C = 0, C R. teoreticky vybudoval ideu samočinného počítače s programem uloženým ve vnitřní paměti a některé části teorie automatů a kybernetiky. Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = C sin x.
36 Matematická analýza b) Neumannova úloha y + y = 0, x (0, b), y (0) = γ, y (b) = γ, y(x)= C cos x+c sin x, } y γ = C sin 0+C cos 0, (x)= C sin x+c cos x, γ = C sin b+c cos b, C = γ, γ γ cos b = C sin b. Protože γ, γ, b jsou daná čísla, mohou nastat následující situace. sin b 0, potom C = γ cos b γ sin b jediné řešení y(x) = γ cos b γ sin b a úloha má tedy cos x + γ sin x.. sin b = 0, γ γ cos b = 0, potom má úloha nekonečně mnoho řešení tvaru y(x) = C cos x + γ sin x, kde C je libovolné reálné číslo. 3. sin b = 0, γ γ cos b 0, pak neexistuje řešení dané úlohy. Například Vidíme, že otázky řešitelnosti okrajových úloh jsou mnohem složitější než u počátečních úloh, kde stačila spojitost koeficientů k jednoznačnosti řešení. Obecně pro operátorovou rovnici L[y]=λy hledáme vlastní číslo a vlastní funkci, které splňují danou rovnici. y + y = 0, y (0) =, y (π) = nemá žádné řešení. Zde b = π, γ =, γ =. Okrajová úloha s parametrem neboli Sturmova-Liouvilleova úloha je speciálním případem okrajové úlohy (7). Nyní hledáme parametr λ a nenulovou funkci y(x) 0, x a, b, tak, aby platilo a (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = λy x (a, b) s homogenními okrajovými podmínkami α y(a) + β y (a) = 0, α y(b) + β y (b) = 0. Ta hodnota parametru λ, pro kterou existuje nenulové řešení y(x) této úlohy, se nazývá vlastní číslo úlohy a funkce y(x) se nazývá vlastní funkce úlohy odpovídající vlastnímu číslu λ.
Matematická analýza 37 Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okra- Příklad 3.3 : jové úlohy y = λy, y(0) = 0, y(π) = 0. Pro λ < 0 a pro λ = 0 vyplývá z tvaru obecného řešení, že úloha má pouze nulové řešení (prověřte!). Pro λ > 0 má obecné řešení tvar y(x) = C cos λx + C sin λx. Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C, C Odtud 0 = C + C 0, 0 = C cos λπ + C sin λπ. C = 0, C sin λπ = 0. Aby mohlo být C 0 (zajímá nás nenulové řešení!), musí nastat rovnost sin λπ = 0, tj. λπ = kπ, kde k =,, 3,.... Pro hodnoty λ = λ k úloha nenulové řešení = k : (, 4, 9, 6,...) má okrajová y k (x) = C sin kx. Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel {, 4, 9, 6,...} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {sin x, sin x, sin 3x,...}.
38 Matematická analýza 3.8 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. řádu Řešením soustavy jsou například funkce y = k sin( k k x), y = k cos( k k x). Motivace: Systém lovec-kořist Necht funkce y popisuje počet lovců (např. lišek) a funkce y počet kořisti (např. zajíců). Velice zjednodušeně si můžeme představit, že rychlost přibývání lovců (tj. y ) je přímo úměrná počtu kořisti, neboli y = k y, k R +. Zároveň rychlost úbytku kořisti (tj. y ) závisí přímo úměrně na počtu lovců, tedy platí y = k y, k R +. Dostáváme tak soustavu dvou diferenciálních rovnic o dvou neznámých y = k y, y = k y. Obecnou soustavu lineárních diferenciálních rovnic. řádu píšeme ve tvaru y = a (x)y + a (x)y +... + a n (x)y n + b (x), y = a (x)y + a (x)y +... + a n (x)y n + b (x),................................................. y n = a n (x)y + a n (x)y +... + a nn (x)y n + b n (x), kde a ij (x), b i (x), i, j =,..., n jsou funkce definované na nějakém intervalu I. Jestliže označíme a (x), a (x),..., a n (x) A(x) = a (x), a (x),..., a n (x)............................, a n (x), a n (x),..., a nn (x) Vektorovou funkci y = y(x) řešící počáteční úlohu můžeme geometricky interpretovat jako parametrické rovnice křivky, fyzikálně pak jako polohový vektor pohybujícího se bodu ve fázovém prostoru. Hovoříme o fázové křivce nebo trajektorii soustavy. b(x) = (b (x), b (x),..., b n (x)) T, y(x) = (y (x), y (x),..., y n (x)) T, můžeme soustavu psát v maticovém tvaru y = A(x) y(x) + b(x). Podobně jako v definici (3.5) formulujeme počáteční úlohu. y (x) = A(x) y(x) + b(x), (9) y(x 0 ) = x 0, x 0 I, x 0 R n (0) Vektorová funkce y = y(x) splňující rovnici (9) a počáteční podmínky (0) se nazývá řešení počáteční úlohy. Matice A(x) se nazývá matice soustavy, vektor b(x) se nazývá vektor pravých stran. Je-li b(x) = 0, potom se soustava (9) nazývá homogenní.
Matematická analýza 39 Poznámka 3. : Každá soustava n diferenciálních rovnic.řádu y = A y + b(x), kde 0 0... 0 0 y (x) 0 0... 0 A=...., y (x) b(x)= 0., y(x)= y 3 (x) 0 0 0... 0. p 0 p p... p n f(x) y n (x) je ekvivalentní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu y (n) + p (n ) y (n ) + + p y + p 0 y = f(x). Na soustavy diferenciálních rovnic používáme stejné metody jako pro rovnici jedinou. Použití těchto metod je však složitější, zvláště když matice A nemá speciální tvar (diagonální, trojúhelníkový, Jordanův). Připomeňme, že všechna řešení homogenní rovnice L[y] = 0 lze zapsat ve tvaru y h = c y + c y + + c n y n, kde funkce y, y,, y n tvoří fundamentální systém rovnice (viz definice (3.7) a věta (3.3)). Podobně lze ukázat, že všechna řešení homogenní soustavy y = A(x) y se dají vyjádřit jako lineární kombinace jednoho (zvoleného) fundamentálního systému. 3.9 Metody řešení soustavy diferenciálních rovnic Metoda převodu na jednu rovnici n-tého řádu (eliminační metoda) Převodem na rovnici. řádu najdeme řešení homogenní soustavy diferenciálních rovnic y = 4y y, y = y + y. Z. rovnice vyjádříme y = y y, zderivujeme y = y y Obecně soustavu a obě rovnice dosadíme do. rovnice. Dostaneme y (x)=a(x) y + b(x) y y = 4(y y ) y y 5y + 6y = 0. Obecné řešení této rovnice má tvar y (x) = C e 3x +C e x, potom y (x) = (C e 3x + C e x ) (C e 3x + C e x ) = C e 3x + C e x. Obecným vektorem řešení soustavy je vektorová funkce ( ) ( ) ( ) C e y(x) = 3x + C e x e 3x e x = C +C. C e 3x + C e x e 3x } {{ } y e x } {{ } y převádíme na jednu rovnici n-tého řádu derivováním, například první rovnice, a postupnou eliminací ostatních neznámých funkcí.
40 Matematická analýza ( ) ( ) e 3x e x Říkáme, že vektorové funkce y = e 3x, y = e x tvoří ( ) e fundamentální systém soustavy a matice Y = 3x e x se nazývá fundamentální matice soustavy. ( ) Označíme-li vektor konstant C C =, pak řešení soustavy C ( ) ( ) e můžeme psát ve tvaru y = 3x e x C = Y C. e 3x Všimněme si, že ( čísla λ) = 3, λ = jsou( vlastní ) čísla( matice soustavy A = a vektory ) 4 h =, h = jsou jim odpovídající vlastní vektory. Obecné řešení soustavy tedy můžeme psát ve tvaru y(x) = C h e λx + C h e λx. Tento poznatek zobecníme v následujícím paragrafu. e x C e 3x e x Metoda fundamentálního systému a fundamentální matice Nyní máme homogenní soustavu n diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty y = A y, x I. () Řešení soustavy () hledáme ve tvaru y = he λx, kde h je konstantní vektor. Po dosazení do () dostaneme λ he λx = A he λx, nebo-li (λi A) h = 0, kde I je jednotková matice. Tudíž λ je vlastní číslo matice A a h je odpovídající vlastní vektor. Různá násobnost vlastního čísla vede k následujícím možnostem. V případě, že máme n různých vlastních čísel matice A, pak každé je jednonásobné. a) Necht λ i, i =,..., n jsou navzájem různá vlastní čísla (obecně komplexní) matice A a h i (i =,..., n) jsou odpovídající lineárně nezávislé vlastní vektory. Potom vektorové funkce y i (x) = h i e λ ix, i =,,..., n
Matematická analýza 4 jsou lineárně nezávislá řešení homogenní soustavy y = A y a tvoří fundamentální systém dané homogenní soustavy. Matice Y(x) (řádu n), jejíž sloupce jsou tvořeny fundamentálním systémem, tj. ( Y(x) = h e λx, h e λx,..., h n e nx) λ se nazývá fundamentální maticí soustavy (). Obecné řešení soustavy () definujeme jako vektorový násobek fundamentální matice resp. v rozepsané podobě y(x) = Y(x) C, y(x) = C h e λ x + C h e λ x + + C n hn e λ nx, kde C = (C, C,..., C n ) T je libovolný konstantní vektor. Příklad 3.4 : Určíme fundamentální matici a obecné řešení soustavy y = 5y y y 3 y = y + y + y 3 y 3 = 4y 6y 6y 3. Zde máme det(λi A) = det A = 5 4 6 6 λ 5 λ 4 6 λ + 6, =λ(λ )(λ+). Vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A jsou: λ =0, h =(0,, ) T (řešení soustavy A h= 0), λ =, h =(, 0, ) T (řešení soustavy (I A) h= 0), λ 3 =, h3 =(,, 4) T (řešení soustavy ( I A) h= 0). Fundamentální matice má tedy tvar Y(x)= 0, 0 a obecné řešení má tvar e x, 4 e x 0 e x e x = 0 e x e x 4e x y(x) = Y(x) C = C h + C h e x + C 3 h3 e x.