1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže dojít k nedorozumění, budeme mluvit o posloupnosti čísel, resp. posloupnosti a slovem číslo budeme rozumět reálné číslo. Prvek n N nazýváme index a prvek f(n) =a n R nazýváme n-tým členem posloupnosti f, kterou pak značíme {a n } nebo jen stručně {a n }. Při výčtu členů posloupnosti píšeme (a 1, a 2,...,a n,...) nebo stručně (a 1, a 2,...), popř. také bez závorky a 1, a 2,... Definice 1.2: Posloupnost čísel {a n } nazýváme zdola omezenou, existuje-li takové číslo m R, že pro všechna n N platí m a n. Definice 1.3: Posloupnost čísel {a n } nazýváme zhora omezenou, existuje-li takové číslo M R, že pro všechna n N platí a n M. Definice 1.4: Posloupnost čísel {a n } nazýváme omezenou, když je omezená zdola i shora, tj. když existují čísla m, M tak, že pro každé n N platí m a n M, tj. když existuje takové číslo K, že pro všechna n N platí a n K. Definice 1.5: Posloupnost čísel {a n } nazýváme rostoucí, platí-li n N : a n <a n+1. Definice 1.6: Posloupnost čísel {a n } nazýváme klesající, platí-li n N : a n >a n+1. Definice 1.7: Posloupnost čísel {a n } nazýváme nerostoucí, platí-li n N : a n a n+1. Definice 1.8: Posloupnost čísel {a n } nazýváme neklesající, platí-li n N : a n a n+1. Definice 1.9: neklesající. Posloupnost čísel {a n } nazýváme monotónní, právě tehdy, když je nerostoucí nebo Definice 1.10: Posloupnost čísel {a n } nazýváme konstantní, platí-li n N : a n = a. Definice 1.11: Je-li {k n } rostoucí poslopnost v N, pak {a kn } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {a n }. Definice 1.12: Posloupnost {a n }, v níž rozdíl a n+1 a n = d je konstantní, se nazývá aritmetická posloupnost. Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Věta 1.1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti {a n }, definované prvním členem a 1 a diferencí d, platí a n = a 1 +(n 1)d. Pro libovolné dva členy a r, a s aritmetické posloupnosti {a n } platí a s = a r +(s r)d. 1

Věta 1.2: Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti {a n } platí s n = n 2 (a 1 + a n ). Definice 1.13: Posloupnost {a n }, kde n N : a n+1 /a n = q, (a 1 0,a 2 0), se nazývá geometrická posloupnost. Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti {a n }. Věta 1.3: Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti {a n }, definované prvním členem a 1 0 a kvocientem q 0, platí a n = a 1 q n 1. Pro libovolné dva členy a r, a s geometrické posloupnosti {a n }, v níž je a 1 0, q 0, platí a s = a r q s r. Věta 1.4: Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti {a n } platí 1 q s n = a n 1 1 q (q 1), s n = na 1 (q =1). Je-li q < 1, pak součet s = a n = a 1 q n 1 = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 +...+ a 1 q n +... se rovná s = a 1 1 q. 1.2 Limita posloupnosti. Definice 1.14: a, a značíme Říkáme, že posloupnost {a n } má (vlastní) limitu a nebo že konverguje k číslu lim a n = a, jestliže ke každému číslu ε>0 existuje takové číslo n 0, že pro každé přirozené číslo n>n 0 platí nerovnost a n a <ε. Nemá-li posloupnost vlastní limitu, pak se nazývá divergentní. Věta 1.5: Věta 1.6: Věta 1.7: Posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je ohraničená. Jestliže posloupnosti {a n }, {b n } mají vlastní limity lim a n = a, lim b n = b, pak lim (a n ± b n )=a ± b, a jestliže b 0, pak lim (a nb n )=ab, a n lim = a b n b. Věta 1.8: Jestliže posloupnosti {a n }, {b n } mají vlastní limity lim a n = a, lim b n = b a existuje takové přirozené číslo n 1, že pro všechny indexy n>n 1 je a n b n, pak je a<b. 2

Věta 1.9: Jestliže posloupnosti {a n }, {b n } mají vlastní limity lim a n = lim b n = a a existuje takové přirozené číslo n 1, že pro všechny indexy n>n 1 posloupnosti {c n } platí a n c n b n, pak existuje také lim c n a platí lim c n = a. Definice 1.15: Mějme posloupnost {a n }. Zvolme rostoucí posloupnost (k 1,k 2,...) přirozených čísel a utvořme posloupnost (a k1,a k2,...,a kn,...). Posloupnost {a kn } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {a n }. Věta 1.10: Jestliže posloupnost {a n } má limitu a, pak každá z ní vybraná posloupnost {a kn } má také limitu a. Definice 1.16: Jestliže ke každému číslu A>0 existuje takové číslo n 0, že pro každý index n>n 0 je a n >A, pak říkáme, že posloupnost {a n } má nevlastní limitu + a píšeme lim a n =+. Definice 1.17: Jestliže ke každému číslu A<0 existuje takové číslo n 0, že pro každý index n>n 0 je a n <A, pak říkáme, že posloupnost {a n } má nevlastní limitu a píšeme lim a n =. Věta 1.11: Jestliže platí lim a n =+, lim b n =, lim c n = c>, lim d n = d<+, kde c, resp. d může být také rovno +, resp., pak lim (a n + c n )=+, lim (b n + d n )=. Věta 1.12: Jestliže platí lim a n =+, lim b n =, lim c n = c>0, lim d n = d<0, kde c, resp. d může být také rovno +, resp., pak lim (a nc n ) = lim (b nd n )=+, lim (a nd n ) = lim (b nc n )=. Věta 1.13: Jestliže posloupnost {a n } je neklesající a shora ohraničená, pak má vlastní limitu. Není-li neklesající posloupnost {a n } shora ohraničená, pak je lim a n =+. Věta 1.14: Jestliže posloupnost {a n } je nerostoucí a zdola ohraničená, pak má vlastní limitu. Není-li nerostoucí posloupnost {a n } zdola ohraničená, pak je lim a n =. Věta 1.15: Bolzano-Cauchyho kritérium Posloupnost {a n } je konvergentní právě tehdy, když splňuje tzv. Bolzanovu-Cauchyovu podmínku: 1.3 Číselné řady. Definice 1.18: ε >0 n 0 N n, m N, n n 0,m n 0 : a n a m <ε. Je-li {a n } posloupnost čísel, pak se výraz a n = a 1 + a 2 +...+ a n +... nazývá číselná řada nebo stručně řada. Čísla a 1, a 2,... se nazývají členy řady. 3

Je-li n-tý člen řady a n dán funkčním vztahem a n = f(n), pak tuto řadu zapi- Poznámka 1.1: sujeme ve tvaru f(n). Definice 1.19: Součet s n prvních n členů řady se nazývá n-tý částečný součet řady. Je tedy s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2,..., s n = a 1 + a 2 +... + a n. Posloupnost {s n } se nazývá posloupnost částečných součtů. Definice 1.20: Řada a n se nazývá konvergentní, konverguje-li posloupnost {s n } jejích částečných součtů. Řada a n se nazývá divergentní, jestliže posloupnost {s n } jejích částečných součtů diverguje. Vlastní limita s = lim s n posloupnosti částečných součtů se nazývá součet řady, píšeme a n = s. Věta 1.16: Jestliže řada a n = s je konvergentní a k je libovolné číslo, pak řada ka n je také konvergentní a její součet je roven s = ks. Věta 1.17: Jsou-li řady a n = A, konvergentní a má součet s = A + B. a n = B konvergentní, pak řada (a n + b n ) je také Věta 1.18: Jestliže řada a n je konvergentní, resp. divergentní, pak řada b n, která vznikne z řady a n vynecháním konečného počtu členů, je také konvergentní, resp. divergentní. Věta 1.19: Je-li řada a n konvergentní, pak lim a n =0. 1.4 Kriteria konvergence číselných řad. Definice 1.21: platí a n 0. Řada a n > 0. Definice 1.22: Řada a n se nazývá řada s nezápornými členy, jestliže pro všechny indexy n a n se nazývá řada s kladnými členy, jestliže pro všechny indexy n platí Řada b n se nazývá majoranta řady a n, platí-li nerovnost a n b n pro skoro všechna přirozená čísla n, tj. pro všechny členy a n s výjimkou konečného počtu členů. Věta 1.20: (srovnávací kritérium) Řada a n s kladnými členy konverguje, jestliže k ní existuje konvergentní majoranta. Jestliže řada a n diverguje, pak diverguje i každá její majoranta. 4

Věta 1.21: (podílové kritérium) Nechť a n je řada s kladnými členy a nechť 0 <k<1. Jestliže skoro všechny členy posloupnosti {a n+1 /a n } jsou menší než číslo k, pak řada a n je konvergentní. Věta 1.22: (limitní podílové kritérium) Je-li pak 1. je-li p<1, řada konverguje, 2. je-li p>1, řada diverguje, ( an+1 lim a n a n řada s kladnými členy taková, že ) = p, 3. je-li p = 1, nelze o konvergenci řady podle tohoto kriteria rozhodnout. Věta 1.23: (odmocninové kritérium) Je-li a n řada s nezápornými členy a existuje-li přirozené číslo m a číslo q<1 tak, že je n an q<1 pro všechna n m, pak řada konverguje. Je-li však n a n 1 pro všechna k m, pak daná řada diverguje. Věta 1.24: limita (limitní odmocninové kritérium) Je-li pak 1. je-li l<1, řada konverguje, 2. je-li l>1, řada diverguje, lim n an = l, 3. je-li l = 1, nelze o konvergenci řady podle tohoto kriteria rozhodnout. a n řada s nezápornými členy a existuje-li Věta 1.25: (integrální kritérium) Nechť je a n daná řada a nechť existuje taková funkce f(x), že 1. je spojitá a nezáporná na intervalu 1, ); 2. je nerostoucí na uvedeném intervalu; 3. platí f(n) =a n pro všechna přirozená n. Pak daná řada konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál f(x)dx. 1 Definice 1.23: Řada ( 1) n+1 a n, kde a n 0, se nazývá alternující řada. Věta 1.26: (Leibnizovo kritérium) Nechť ( 1) n+1 a n je alternující řada a nechť platí a 1 a 2 a 2 a 2... 0, lim a n =0; pak tato řada konverguje a pro její součet s platí a 1 a 2 s a 1. 5

Věta 1.27: Konverguje-li řada a n, konverguje také řada a n. Definice 1.24: Řada a n se nazývá absolutně konvergentní, jestliže řada a n = a 1 + a 2 +...+ a n +...je konvergentní. Jestliže řada a n je konvergentní, ale řada a n je divergentní, pak o řadě a n říkáme, že je relativně (neabsolutně) konvergentní. Definice 1.25: Nechť je dána řada a n a vzájemně jednoznačné zobrazení ϕ : N N. O řadě a ϕ(n) = a ϕ(1) + a ϕ(2) + a ϕ(3) +... řekneme, že vznikla přerovnáním řady a n. Věta 1.28: Nechť řada a n a absolutně konverguje a nechť a ϕ(n) je řada, která vznikla jejím přerovnáním. Potom řada a ϕ(n) absolutně konverguje a má stejný součet jako původní řada. Věta 1.29: (Riemannova) Jestliže řada a n konverguje neabsolutně, potom lze tuto řadu přerovnat tak, že její součet je roven libovolnému předem danému číslu λ R. 6